数学提高班第十一讲 数列中的最值

数学提高班第十一讲 数列中的最值 2019.10.20

题型一 等差数列前n 项和的最值

1．（2019春•温州期中）在等差数列{}n a 中，若10

9

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16

C ．17

D ．14

解：等差数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴等差数列{}n a 为递减数列，又109

1a

a <-，

90a ∴>，100a <，9100a a ∴+<，又1181818()02a a S +=<，11811717918()17()

17022

a a a a S a ++==>，

0n S ∴>成立的正整数n 的最大值是17，故选：C ． 2．（2018•河东区一模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，则k 的值为( ) A ．1006 B ．1007 C ．1008 D ．1009

解：由等差数列的求和公式和性质可得2014S 12014100710082014()

1007()02

a a a a +==+>，

100710080a a ∴+>，同理由20150S <可得100820150a <，可得10080a <，

10070a ∴>，10080a <，且10071008||||a a >，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，k ∴的值为1008，故选：C ．

题型二 利用基本不等式求最值

3．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a

，使得1a =，则91m n

+的最小值为__________． 【答案】 2

正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，1

2

q =，存在两项m a ，n a

使得1a ，

2221164m n a q a +-∴=，整理，得8m n +=，∴

9119119()()(10)88m n m n m n m n n m

+=++=++ 1(10)28n m +=，则91m n

+的最小值为2．当且仅当9m n n m =取等号，但此时m ，*n N ∉．

又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为：2

4．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则63

1

S

S +

取得最小值时，9S 的值为_______． 【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)

2111a q a q a q q q q

---=+---，

化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得3

2q =，

化简得631S S +＝613

1(1)11(1)a q q

q a q --+--＝11

311a q q a -+≥- 当11

311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，

所以919(1)1a q S q -==

-9(1)1q q --

，

题型三 利用单调性求最值

5.（2014秋•虹口区校级期中）已知等差数列{}n a 的前项n 和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈． （1）证明：{1}n a -是等比数列； （2）求{}n S 的通项公式；

（3）求n S 取得最小值时n 的值．

解（1）证明：当1n =时，1111585a S a ==--，解得114a =-，则1115a -=- 当2n 时，11(1)585n n S n a --=---，11155n n n n n a S S a a --∴=-=-+

1651n n a a -∴=+，即151(1)6n n a a --=-，{1}n a ∴-是首项为15-，公比为5

6

的等比数列．

（2）解：由（1）得15

115()6

n n a --=-，

∴1155

5[115()]8575()9066

n n n S n n --=---=+-．

（3）解：由1n n S S +>，得155

175()9075()9066

n n n n -++->+-，

即5

15()16n <，解得56114.8515n

log >≈，n S ∴取得最小值时n 的值为15．

6．（2019春•辛集市校级月考）已知*)n a n N =∈，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别

是( )

A ．1a ，50a

B ．1a ，44

a C ．45a ，50a

D ．44a ，45

a

解：1n a =+

2441936=，2452025=，44n ∴时，数列{}n a 单调递增，且0n a >；45n 时，数列{}n a 单调递增，且1n a <．∴在数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是44a ，45a ． 故选：D ． 7．（2019秋•延吉市校级月考）数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围是( ) A ．(,4)-∞ B ．(-∞，4] C ．(,6)-∞ D ．(-∞，6]

解：数列{}n a 是递减数列，1n n a a +∴>，2222(1)(1)n n n n λλ∴-+>-+++， 解得42n λ<+，数列{42}n +单调递增，1n ∴=时取得最小值6，6λ∴<． 故选：C ．

8．（2019春•金安区校级期末）数列{}n a 的通项公式是9

(2)()10

n n a n =+，那么在此数列中( )

A ．78a a =最大

B ．89a a =最大

C ．有唯一项8a 最大

D ．有唯一项7a 最大

解：9(2)()10n n a n =+，119

(3)()10n n a n ++=+，所以139210n n

a n a n ++=+，

令11n n a a +即391210n n ++，解得7n ，即7n 时递增，7n >递减，所以123789a a a a a a <<<⋯<=>>⋯

所以78a a =最大．故选：A ．

9.已知数列{}n a 满足1=33a ，1+n a －=2n a n ，则n a n 的最小值为 2

21

． 解：)1(33-+=n n a n ，

133

-+=n n

n a n ，5=n ，6.10,，6n =5.10