第一部分 多项式矩阵理论
矩阵理论
§8 矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则A E f −=λλ)(为矩阵A 的特征多项式。
事实上，n n n n a a a A E f ++++=−=−−λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱定理）Th1.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++−−E a A a A a A n n n n （矩阵） 注意：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。
eg 1.设，试计算：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=010110201A E A A A A A 432)(2458−++−=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+−=−=λλλλA E f取多项式432)(2458−++−=λλλλλϕ )()()149542(235λλλλλλr f +⋅−+−+=利用多项式除法余项103724)(2+−=λλλr 由上定理0)(=A f ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=+−==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕ Df 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f −=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则把首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。
性质：.矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。
0102.矩阵A 的最小多项式是唯一的03.若B A ~，则)(λA m =)(λB m证明： 由多项式除法可得： 01)(λg =)()()(λλλr h m A + (1) 其中：)(λr 为余项，且)(λr 的次数小于)(λA m 的次数。
若)(λg 不能被)(λA m 整除，根据(1)知：0)(≠λr ，并有：)()()()(λλλλh m g r A −=将A 代入上式得：0)()()()(=−=A h A m A g A r A （阵），即)(λr 亦为A 的零化多项式，且次数小于)(λA m 的次数，这与)(λA m 是A 的最小多项式相矛盾。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
2012-12-2
f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
2012-12-2
§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
2012-12-2
15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
多项式矩阵理论
如何求gcd 以gcrd为例.
Why:
04级研究生《线性系统理论》教案
Gcd 的性质 以gcrd为例 gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.
04级研究生《线性系统理论》教案
非既约矩阵的既约化
1
通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
2
实质：降低行或列的次数
3
含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。
4
实现既约化以后，次数不能被降低了。
5
6.12 Smith形
史密斯形的特征
04级研究生《线性系统理论》教案
特征： Smith形的求法 见书。 对Smith形的一些讨论 对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）
次数
6.10 列次数和行次数
03
01
02
04级研究生《线性系统理论》教案
如
多项式矩阵的列（行）次表示式
列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，
1
2
行次表示式
6.11 既约性
一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
矩阵论最小多项式
矩阵论最小多项式矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，对于研究矩阵的性质和应用有很大的帮助。
下面我们来一步一步地探究什么是矩阵论最小多项式。
第一步，了解矩阵的特征值和特征向量在介绍矩阵论最小多项式之前，首先需要了解矩阵的特征值和特征向量的概念。
矩阵的特征值是一个数，是该矩阵的一个特性，可以通过求解矩阵的特征多项式得到。
而矩阵的特征向量则是指矩阵与特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的一个向量。
矩阵的特征值和特征向量对于研究矩阵的性质和应用非常重要。
第二步，引入矩阵多项式矩阵多项式是指多项式中的系数为矩阵，它是矩阵理论中一个重要的概念。
例如，一个$2*2$矩阵$A$的多项式可以表示为：$$f(x)=a_0I+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+...+a_nA^n$$其中，$I$是单位矩阵，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为实数或复数。
第三步，引入矩阵的代数幂矩阵$A$的代数幂$A^k$表示将矩阵$A$相乘$k$次所得到的矩阵，其中$k$为自然数。
第四步，定义矩阵的最小多项式对于一个$n*n$矩阵$A$，它的最小多项式是一个次数最低的多项式$f(x)$，使得$f(A)=0$。
具体来说，就是将矩阵$A$代入多项式$f(x)$中，得到的结果为零矩阵。
最小多项式是一个矩阵独有的概念，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。
需要注意的是，最小多项式与矩阵的特征多项式是不同的概念。
第五步，求解矩阵的最小多项式求解矩阵的最小多项式是矩阵理论中的一个重要问题，可以采用以下两种方法进行求解：1.使用线性代数的基本定理求解，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行求解；2.使用寻找伴随算子的方法，可以将矩阵的最小多项式转化为对应的伴随矩阵的特征多项式。
最后总结，矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。
通过了解矩阵的特征值和特征向量、引入矩阵多项式、引入矩阵的代数幂和定义矩阵的最小多项式等步骤，可以更好地理解和运用矩阵论最小多项式。
线性系统理论Chapter多项式矩阵理论PPT学习教案
又因为
R(s) = U11(s)D(s) +U12(s)N(s)
推出 R(s) = [U11(s)D1(s) +U12(s)N1(s)]R1(s) = W(s)R1(s)
表明R1(s)为R(s)的右乘因子。所以原 题得证 。
综上，多项式矩阵D(s)和N(s)的一个gcrd R(s)可通过对矩阵[DT(s)，NT(s)]T行初等变换得到，而相 应于各 初等运 算的初 等矩阵 按逆顺 序的乘 积阵则 为所找 的单模 阵U(s) 。
互质性的常用判据互质性的常用判据结论结论718718贝佐特等式判据贝佐特等式判据pppp和和qqpp的多项的多项式矩阵式矩阵ddss和和n在在pppp和和ppqq的多项式矩阵的多项式矩阵xxss和和yyss使成立使成立以下的贝佐特以下的贝佐特bezoutbezout等式等式xxssddssiipp第20页共45页22结论720秩判据给定pp和qp的多项式矩阵ds和nsrank结论722右互质判据给定pp和qp的多项式矩阵dsdetdegdetdeg左互质性判据左互质性判据与右互质性判据对偶第21页共45页23最大公因子构造关系式性质的进一步讨论最大公因子构造关系式性质的进一步讨论推论
结T(s论)为7.任9 A一(sn)维为单n维模非阵奇，异则多A(项s)式和矩阵A~，具(s有) 相A~同(s)的行T埃(s尔)A米(s) 特形。
返回
第13页/共45页
14
7.8 公因子和最大公因子
公因子和最大公因子定义
方多项式矩阵R(s)为具有相同列数N (的s) 两D个(s多) 项式矩N阵(s)N(Ns)(和s)RD((ss)),的一D(个s) 右 D公(s因)R子(s)，如果存 在方多项式矩和阵Q(s)为，具使有相同行数的两个多项式矩阵B(s)
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。
它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。
本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。
首先，我们来定义多项式矩阵。
一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。
多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。
这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。
接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。
首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。
例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。
同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。
多项式矩阵的乘法也有所不同。
在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。
而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。
具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。
注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。
多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。
一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
这个性质类似于实数矩阵的可逆性。
当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。
多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。
在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。
多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。
多项式矩阵理论
6.1 多项式及其互质性
1 多项式及其性质
以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(s)
d (s) dnsn dn1sn1 d1s d0 , s C, di R, i 0,1,2,n
❖ d(s) 的次数
：n = deg d(s)；
❖ d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn ≠ 0；
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s) a1n (s)
A(s)
am1(s) amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
矩阵论及其应用-1 chapter1
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P [ x] ,即
n
n Pn [ x] { p an x a1 x a0 an ,, a1 , a0 R},
组实数k1，k 2， , km，向量 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km 称为这
个线性组合的系数.
（2） 给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R mn
Amn Bmn C mn ,
．
Amn Dmn ,
R mn是一个线性空间.
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2r k c k ; i i 3 ri krj ci kc j .
矩阵的多项式
矩阵的多项式在数学中，矩阵的多项式是指由矩阵构成的多项式。
它在矩阵论、线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍矩阵的多项式：定义、特征值、Jordan标准型、求解和应用。
一、定义设A为n阶方阵，多项式f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+···+am*x^m(a0,a1,a2,···,am属于数域)。
则f(A)= a0*In+ a1*A+ a2*A^2+ ··· + am*A^m 矩阵称为A的多项式。
其中，In是n阶单位矩阵。
二、特征值对于矩阵A的特征多项式f(x) = |x*In - A|，当f(x)的根为λ1，λ2，...，λn时，λi称为矩阵A的特征值，且它们是n次多项式f(x)的根。
特征值可以帮助我们判断矩阵的性质。
例如：若A的特征值均大于零，则A为正定矩阵。
若A的特征值均小于零，则A为负定矩阵。
若A的特征值均不为零，则A为非退化矩阵。
三、Jordan标准型矩阵的Jordan标准型是指将特定类型的矩阵转化为一种更易于研究的标准形式，主要用于计算矩阵的幂和指数函数等高阶函数值，是矩阵多项式求解的一个必要步骤。
矩阵A的Jordan标准型是指存在一个可逆矩阵P，使得 P^-1 * A * P = J其中，J是Jordan矩阵，具有如下形式：J(d, k) = [λ1, 1, 0, ···, 0][0, λ1, 1, ···, 0][0, 0, λ2, 1, 0][···, ···, ···, ···, ···][0, 0, 0, ···, λn]其中，λi是A的第i个特征值，d1,d2,···，dr 分别是λ1，λ2，···λr的重数。
线性系统理论复频域-多项式矩阵
线性系统理论复频域-多项式矩阵传递函数矩阵的先修内容： 1）自控原理 2）线性代数 3）拉斯变换多项式矩阵理论 1 多项式矩阵定义 多项式设s 为复变量,则称d(s)的次数为m 记为degd(s)=m 当时称d(s)为首1多项式多项式矩阵矩阵中每个元素都是s 的多项式 例实数矩阵是多项式矩阵的特殊情况，即每个元素的次数均为0111)(d s d s d s d s d m m m m ++++=-- 1=m d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=171521311)(322s s s s s s s D有理分式域例称为s 的有理分式 2 奇异性奇异： 方矩阵θ(s)的行列式为0即 det[θ(s)]=0称奇异,反之为非奇异 例 判断以下多项式矩阵的奇异性是非奇异矩阵。
，是奇异矩阵注意 奇异性是指方多项式矩阵行列式的值恒为0（无论s 为何值）3 线性相关性定义 设是s 的多项式向量,当存在一组不全为0的多项式使得01101........)(a s a a s b s b s b s G n n m m +++++++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=2631)(1s s s s θ0)3(6)2)(1()](det[1≠+-++=s s s s θ)(1s θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=652331)(222s s s s s s s θ0)](det[2=s θp i s q i 1),(=p i s i 1),(=α则称多项式向量是线性相关的 反之,仅在时上式成立,则是线性无关的注 是s 的多项式例 考察两个多项式向量的相关性。
解:取由定义可知多项式向量和是线性相关的,上列写成矩阵与向量乘积的形式为可以验证，是奇异的,等同于的列向量(或行向量)是线性相关的4 秩定义 设是p ×q 维多项式矩阵，即如果至少存在一个r ×r 的子式不恒等于0,所有更高阶子式0)()()()()()(2211=+++s q s s q s s q s p p ααα Tp s q s q s q )]()()([21 p i s i 1,0)(==αT p s q s q s q )]()()([21 p i s i 1),(=αT Ts s s s q s s s q ]1,23[)(]1,2[)(2221-++=-+=1)(,1)(21-=+=s s s αα)(1s q )(2s q []αθαα⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111232)()()()(222121s s s s s s s s s q s q 0)]()(det[21=s q s q )(s θ)(s θ)(s θqp Rs ⨯∈)(θ均等于0,则称的秩为r ，记为例 ， 推论:1)2) 等价于中仅有r 个列(行)之间线性无关3) 满秩意味着 4) 为方阵时，,{满秩}={非奇异} {奇异}={}5)设θ(s) ∈R(s)p×q，P(s) ∈R(s)q×q， R(s) ∈R(s)p×p，P(S)与Q(S)均为任意非奇异矩阵。
矩阵分析-多项式理论
说明:
① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为 辗转相除法． ② 定理２中最大公因式 d ( x )=பைடு நூலகம்( x ) f ( x )+v( x ) g( x )
中的 u( x )、v ( x ) 不唯一. ③ 对于 d ( x ), f ( x ),g( x ) P[ x], u( x ),v( x ) P[ x] ， 使 d(x )=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ) ,但是 d(x ) 未必是
f ( x ),g( x )的最大公因式.
④ 若 d ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ) ，且
d ( x ) f ( x ), d ( x ) g ( x )
则 d ( x ) 为 f ( x )、g( x ) 的最公因式．
注:
若仅求 ( f ( x )、g( x )) ，为了避免辗转相除时出现
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式． 2) 若 f ( x ) | g( x ) ，则 af ( x ) | bg( x ), a , b P (a 0).
f ( x ) 所得的商可表成
f ( x) . g( x )
2．整除的判定
定理1 f ( x ), g( x ) P[ x ], g( x ) 0,
g( x ) | f ( x ) g ( x ) 除 f ( x ) 的余式 r x 0.
3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
高等代数ppt课件北大版第一章多项式.ppt
q1( x) c1 p1( x), c1 0 (1)两边消去 q1( x), 即得
p2( x) ps ( x) c11q2( x) qt ( x)
由归纳假设有 s 1 t 1, s t.
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2. 标准分解式： 对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项 式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项 式的可约性的判定都是非常复杂的．
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x) n 的情形.
若 f ( x)是不可约多项式. 结论显然成立．
若 f ( x)不是不可约多项式，则存在 f1( x), f2( x),
且 ( fi ( x)) n, i 1,2 使 f ( x) f1( x) f2( x)
由归纳假设 f1( x), f2( x)皆可分解成不可约多项式的积.
例如，若 f ( x), g( x)的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
g(
x
)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x)
psrs ( x), ri 0 psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1
第7章多项式矩阵理论
秩为r.即rankQ(s)=r 1)秩的取值范围：对一 Q(s)
m n
多项式矩阵
1 rankQ(s) min(m, n)
2) 满秩与降秩
若rankQ(s) min(m, n) Q(s)满秩 若rankQ(s) 〈min(m, n) Q(s)降秩
3）秩和线性无关性
线性系统的复频率域理论
经典控制理论中频域法以传递函数（频率特
性 G ( j ) G (s) s j ）为基础，研究单输入/单输出线
性定常系统，它和时域法比较有如下优点： 1)计算量小（相对于微分方程的求解） 2）物理意义强；
3）可用图形表示，直观地进行分析；
4）可通过实验建模。
状态空间表达式为数模，研究多输入/多输出系统的
初等矩阵的生成
m m行 初 等 矩 阵 E1r 对 应m n的Q(s)交 换 行 i和 行j 为交换 Ι m的 列i和 列j导 出 的 常 阵 ； n n列 初 等 矩 阵 E1c 对 应m n的Q(s)交 换 列 i和 列j 为交换 Ι n 的 行i和 行j导 出 的 常 阵 ；
1 1 3 5 6 1 3 1 Q1r (s) E1r Q(s) 1 1 2 4 1 3 6
第二种初等变换
功能：用非零常数c乘于多项式矩阵Q(s)的某行或 某列。 实现：
Q(s)中 用c乘 于 行 后 ， Q2r (s) E 2r Q(s), E 2r为m m行 初 等 矩 阵 Q(s)中 用c乘 于 列 后 ， Q2c (s) Q(s)E 2c , E 2c为n n列 初 等 矩 阵
qij (s) (s), (实数域 ) 的S多项式 其中，
5.1多项式矩阵
5.1 多项式矩阵1. 定义： 某个矩阵所有的元素由多项式组成()(())()()[()]:()()[]:ij m nm n m n A a A B C A C λλλλλλαλλ⨯⨯⨯=+∈⨯∈加法封闭性标量多项式封闭()()()n n n n A C C λλλ⨯⨯∈的逆元在上可能不存在2 . 多项式矩阵的子式抽取矩阵的r 行、r 列，组成一个方阵，该方阵的行列式作为一个r 阶子式。
201()=+1021A λλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1阶子式：9个，2阶子式： 9个， 2233C C ⨯个，有非0者。
3阶子式： 1个，其为：()()det 0A λ=多项式矩阵的阶次：如果()A λ的所有1r +阶子式都为0，而存在不为0的r 阶子式，则()()rank A r λ=。
在我们的例子中，rank(()A λ)=2.3. 多项式矩阵的展开2211()A λλλλ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦（1） 按λ的阶次展开：2100011()100100A λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦正则：如果λ的最高阶的系数矩阵为非奇异，则称()A λ为正则。
本例中，1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦奇异，故()A λ不是正则。
（2）(i) 先对()A λ的各列依据λ的阶次展开。
记各列的最高次数为12,,c c 。
(ii) 把各列的展开拼起来。
各列的最高项系数拼成一个矩阵0c A 。
注意：各列的最高次数可能不相同。
如果0c A 非奇异，则称()A λ是列正则的。
21000010100()++11000100000A λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 本例为列正则。
（3）(i) 先对()A λ的各行依据λ的阶次展开; 记各行的最高次数为12,,r r 。
(ii) 把各行的展开拼起来。
各行的最高项系数拼成一个矩阵0r A 。
注意：各行的最高次数可能不相同。
如果0r A 非奇异，则称()A λ是行正则的。
第一特征多项式
第一特征多项式在数学中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它可以用来描述线性变换。
而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵理论中的重要概念。
在矩阵的特征值和特征向量中，第一特征多项式是一个非常重要的概念，本文将对第一特征多项式进行详细的介绍。
一、什么是在矩阵理论中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
矩阵的特征值是指矩阵在某个向量上的线性变换所得到的倍数，而特征向量则是指在这个线性变换下不变的向量。
而第一特征多项式则是指一个矩阵的特征值所对应的多项式，它是一个关于矩阵的一个多项式函数。
二、第一特征多项式的计算方法计算一个矩阵的第一特征多项式是非常重要的，因为它可以帮助我们求出矩阵的特征值和特征向量。
计算一个矩阵的第一特征多项式的方法有很多种，其中最常用的方法是通过矩阵的行列式来计算。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，它的第一特征多项式可以表示为：f(λ) = det(λI - A)其中，I是一个n阶单位矩阵，det表示矩阵的行列式。
通过这个公式，我们可以计算出一个矩阵的第一特征多项式。
三、第一特征多项式的性质第一特征多项式具有很多重要的性质，这些性质对于矩阵理论的研究非常重要。
下面我们将介绍一些第一特征多项式的性质。
1. 第一特征多项式的次数等于矩阵的阶数。
2. 第一特征多项式的根是矩阵的特征值。
3. 如果一个矩阵是可对角化的，那么它的第一特征多项式可以表示为：f(λ) = (λ - λ1)(λ - λ2)…(λ - λn)其中，λ1, λ2, …, λn是矩阵的特征值。
四、第一特征多项式的应用第一特征多项式在矩阵理论中有着广泛的应用。
它可以帮助我们求出矩阵的特征值和特征向量，从而帮助我们更好地理解矩阵的性质。
此外，第一特征多项式还可以用来解决一些实际问题，比如在物理学中，它可以用来描述量子力学中的能量本征值问题。
总之，第一特征多项式是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质，解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一部分：多项式矩阵理论
引言
互 质 性 1
MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为 如下“分式”形式： N ( s)
G ( s ) ( g ij ( c ) ) pq
D( s )
其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。 互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。 互质性可分为右互质性和左互质性。 右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。 左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。
右互质。
D(s) 矩阵 对所有s列满秩 N ( s)
右互质的秩判据：
右互质贝左特等式：
存在多项式矩阵X(s)和Y(s), 使得：
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I(单位阵），反之亦然。
列既约性的定义：
给定方非奇异多项式矩阵M(s)
既 约 性 2
ci M(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。
称M(s)为列既约的，当且仅当：
其行列式的次数等于其所有列次数的和，即
deg det M ( s ) ci M ( s)
i 1
p
第一部分：多项式矩阵理论
列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为：
单位矩阵I 初等矩阵E
初等变换
矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E 矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E
第一部分：多项式矩阵理论
单模矩阵定义：
称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c 为独立于s的非零常数。 例1：非奇异的常数矩阵 s 1 s 2 例2： Q( s )
s kc 1 Sc ( s ) p p
s
kcp
其中n
k 则可将M(s)表达为其列次表达式：
j 1 cj
p
M ( s ) M hc Sc ( s ) M lc c ( s ) 其中,M hc 和M lc 为常数系数矩阵
第一部分：多项式矩阵理论
多项式矩阵列既约判据
第一部分：多项式矩阵理论
互 质 性 3
R( s ) W ( s ) R( s )
~
第一部分：多项式矩阵理论
最大公因子gcrd的构造定理
对列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s),
互 质 性 4
如果可以找到 一单模阵U(s), 使得：
D(s) U11 (s) U12 (s) D(s) R(s) U ( s) N (s) U 21 (s) U 22 (s) N (s) 0
根据G( s ) C ( sI A) 1 B可知 系统传递函数为： G ( s)
1
2 1 s 1 3 s 5 2 s 6 s 8 2 5
其中X=Ax+Bu，Y=Cx
第一部分：多项式矩阵理论
多 项 式 矩 阵 性 质
多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数 矩阵相同。 需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量 的线性无关性必需在有理分式域中定义。 例： s 3 s 1
充要条件：高次系数矩阵Mhc非奇异
M ( s ) M hc Sc ( s ) M lc c ( s ) 其中,M 和M 为常数系数矩阵 既 约 性 多项式矩阵的既约化 4 通过一系列的列或行的初等变换（单模变
hc lc
换），可将非既约的多项式矩阵化为一列或行 既约矩阵。 特性：列或行既约矩阵的列或行次数之和 在单模变换下是不变的。
2016年11月11日
第一部分：多项式矩阵理论 1、多项式矩阵 2、初等变换和初等矩阵 3、单模阵 4、既约性 5、互质性
内 容 提 要
第一部分：多项式矩阵理论
定义：以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。
多 项 式 矩 阵
引例： 线性系统状态空间表达式：
5 1 X x 1 3 Y 1 2 x 2 5 u
Q(s) 2 2 s 3 s 2 s 5 s 6
显然其行列式DetQ(s)=0，但在实数域内其列 向量不相关。 ※ 矩阵秩的一个重要性质：
rankA(s) B(s) min(r ( A), r ( B))
初 等 变 换 和 初 等 矩 阵
第一部分：多项式矩阵理论
线性系统理论 教案
主要参考书：
1）《线性系统理论》郑大钟 清华大学出版社 2）《线性控制系统》陈际达 中南大学出版社 3）《线性系统》T. Kailath 科学出版社
主讲：刘国才教授、博士生导师
lgc630819@，lgc630819@
电气与信息工程学院 控制科学与工程系
第一部分：多项式矩阵理论
多项式向量的次数
对列或行多项式向量:
既 约 性 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1 ( s ) a(s) aq ( s )
其次数定义为其元多项式次数的最大值，即
a(s)的次数 a(s) max{degai (s),i 1,2,, q}
第一部分：多项式矩阵理论
右公因子。且满足如下贝左特等式：
R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)
则导出的多项式矩阵R(s)为D(s)和N(s)的一个最大
第一部分：多项式矩阵理论
互 质 性 5
第一部分：多项式矩阵理论
右互质定义
如果列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的最
互 质 性 6
大右公因子R(s)为一个单模阵，则称D(s)和N(s)
单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因
此，一系列初等变换等价于一个单模变换。
(4)
多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性存在如下对应关 系：
Q( s )奇异 不存在一个s，成立detQ( s ) 0 Q( s )非奇异 对几乎所有s, 成立 det Q( s) 0 Q( s )单模 对所有s, 成立 det (s ) 0
cjM (s) kcj, j 1,2, p
s kc1 1 s 1 c (s) , n p kcp 1 s s 1
既 约 性 3
第一部分：多项式矩阵理论
公因子和最大公因子
右公因子：称多项式矩阵R(s)为列数相同的两个多项式
矩阵D(S)和N(s)的一个右公因子，如果存在多项式矩阵：
互 质 性 2
D( s )和N( s), 使得： D( s) D( s) R( s), N ( s) N ( s) R( s)
左公因子有类似定义。 左公因子和线性系统能观性有关， 右公因子和线性系统能控性有关。
s 3 s 4
单 模 阵
通过计算，可以得到：
det Q(s) (s 1)(s 4) (s 2)(s 3) 2
据定义可知，Q(s)为单模阵。
第一部分：多项式矩阵理论
单模阵的特性
(1)
单模阵M(s)可逆且其可逆矩阵还是单模阵
单 模 阵 特 性
(2) 单模阵的乘积仍为单模阵 (3)