第一部分 多项式矩阵理论

单位矩阵I 初等矩阵E
初等变换
矩阵A的行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵E 矩阵A的列初等变换相当于右乘相应的初等矩阵E
第一部分：多项式矩阵理论
单模矩阵定义：
称方阵Q(s)为单模阵，当且仅当其行列式detQ(s)=c 为独立于s的非零常数。 例1：非奇异的常数矩阵 s 1 s 2 例2： Q( s )
右互质。
D(s) 矩阵 对所有s列满秩 N ( s)
右互质的秩判据：
右互质贝左特等式：
存在多项式矩阵X(s)和Y(s), 使得：
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I(单位阵），反之亦然。
充要条件：高次系数矩阵Mhc非奇异
M ( s ) M hc Sc ( s ) M lc c ( s ) 其中,M 和M 为常数系数矩阵 既 约 性 多项式矩阵的既约化 4 通过一系列的列或行的初等变换（单模变
hc lc
换），可将非既约的多项式矩阵化为一列或行 既约矩阵。 特性：列或行既约矩阵的列或行次数之和 在单模变换下是不变的。
根据G( s ) C ( sI A) 1 B可知 系统传递函数为： G ( s)
1
2 1 s 1 3 s 5 2 s 6 s 8 2 5
其中X=Ax+Bu，Y=Cx
第一部分：多项式矩阵理论
多 项 式 矩 阵 性 质
多项式矩阵的奇异和非奇异性的定义和实数 矩阵相同。 需注意的是，多项式矩阵的秩，多项式向量 的线性无关性必需在有理分式域中定义。 例： s 3 s 1
单模阵可以分解为一系列初等矩阵的乘积，反之亦然。因
此，一系列初等变换等价于一个单模变换。
(4)
多项式矩阵的奇异性、非奇异性和单模性存在如下对应关 系：
Q( s )奇异 不存在一个s，成立detQ( s ) 0 Q( s )非奇异 对几乎所有s, 成立 det Q( s) 0 Q( s )单模 对所有s, 成立 det (s ) 0
线性系统理论 教案
主要参考书：
1）《线性系统理论》郑大钟 清华大学出版社 2）《线性控制系统》陈际达 中南大学出版社 3）《线性系统》T. Kailath 科学出版社
主讲：刘国才教授、博士生导师
lgc630819@sina.com，lgc630819@hun.edu.cn
电气与信息工程学院 控制科学与工程系
s 3 s 4
单 模 阵
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过计算，可以得到：
det Q(s) (s 1)(s 4) (s 2)(s 3) 2
据定义可知，Q(s)为单模阵。
第一部分：多项式矩阵理论
单模阵的特性
(1)
单模阵M(s)可逆且其可逆矩阵还是单模阵
单 模 阵 特 性
(2) 单模阵的乘积仍为单模阵 (3)
Q(s) 2 2 s 3 s 2 s 5 s 6
显然其行列式DetQ(s)=0，但在实数域内其列 向量不相关。 ※ 矩阵秩的一个重要性质：
rankA(s) B(s) min(r ( A), r ( B))
初 等 变 换 和 初 等 矩 阵
第一部分：多项式矩阵理论
第一部分：多项式矩阵理论

互 质 性 3
R( s ) W ( s ) R( s )
~
第一部分：多项式矩阵理论
最大公因子gcrd的构造定理
对列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s),
互 质 性 4
如果可以找到 一单模阵U(s), 使得：
D(s) U11 (s) U12 (s) D(s) R(s) U ( s) N (s) U 21 (s) U 22 (s) N (s) 0
第一部分：多项式矩阵理论
多项式向量的次数
对列或行多项式向量:
既 约 性 1
a1 ( s ) a(s) aq ( s )
其次数定义为其元多项式次数的最大值，即
a(s)的次数 a(s) max{degai (s),i 1,2,, q}
第一部分：多项式矩阵理论
列既约性的定义：
给定方非奇异多项式矩阵M(s)
既 约 性 2
ci M(s)为其相应的列次数，i=1，2，…p。
称M(s)为列既约的，当且仅当：
其行列式的次数等于其所有列次数的和，即
deg det M ( s ) ci M ( s)
i 1
p
第一部分：多项式矩阵理论
列次表达式：对于多项式矩阵M(s)， 其列次数记为：
cjM (s) kcj, j 1,2, p
s kc1 1 s 1 c (s) , n p kcp 1 s s 1
既 约 性 3
第一部分：多项式矩阵理论
引言
互 质 性 1
MIMOs多变量线性系统传递函数矩阵可表达为 如下“分式”形式： N ( s)
G ( s ) ( g ij ( c ) ) pq
D( s )
其中N(s)和D(s)的最大公因子为单模阵，即N和D互质。 互质性是对两个多项式矩阵间的不可简约属性的表征。 互质性可分为右互质性和左互质性。 右互质多项式矩阵D(s)和N(s)列数相同。 左互质多项式矩阵DL(s)和NL(s)行数相同。
2016年11月11日
第一部分：多项式矩阵理论 1、多项式矩阵 2、初等变换和初等矩阵 3、单模阵 4、既约性 5、互质性
内 容 提 要
第一部分：多项式矩阵理论
定义：以多项式为元构成的矩阵称为多项式矩阵。
多 项 式 矩 阵
引例： 线性系统状态空间表达式：
5 1 X x 1 3 Y 1 2 x 2 5 u
右公因子。且满足如下贝左特等式：
R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)
则导出的多项式矩阵R(s)为D(s)和N(s)的一个最大
第一部分：多项式矩阵理论

互 质 性 5
第一部分：多项式矩阵理论
右互质定义
如果列数相同的两个多项式矩阵D(s)和N(s)的最
互 质 性 6
大右公因子R(s)为一个单模阵，则称D(s)和N(s)
第一部分：多项式矩阵理论
公因子和最大公因子
右公因子：称多项式矩阵R(s)为列数相同的两个多项式
矩阵D(S)和N(s)的一个右公因子，如果存在多项式矩阵：
互 质 性 2
D( s )和N( s), 使得： D( s) D( s) R( s), N ( s) N ( s) R( s)
左公因子有类似定义。 左公因子和线性系统能观性有关， 右公因子和线性系统能控性有关。
s kc 1 Sc ( s ) p p
s
kcp

其中n
k 则可将M(s)表达为其列次表达式：
j 1 cj
p
M ( s ) M hc Sc ( s ) M lc c ( s ) 其中,M hc 和M lc 为常数系数矩阵
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多项式矩阵列既约判据