线性规划例题集锦

．
解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。 目标函数为：z＝0.5x＋0.4y
线性约束条件为：
6x 3y 8 4x 7 y 10 x 0, y 0
画出可行域如图：
画出直线 0.5x+0.4y=0 并平移得点A使Z最
小。
0.5x+0.4y=0 A
求出点A 为 13 ,14
15 15
所以每份盒饭中有面食 13百克，米食为14 百克，费
用最省。
15
15
[例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产 1 t产品需要的电力、煤、劳动力及产值． 如下表所示：
品 种
电力(千 度)
煤(吨)
劳动力( 人)
产值(千 元)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
3
9
❖ 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t ，问每天生产这两种产品各多少时，才能 创造最大的经济效益？
x 1 由 3x 5y 25 0 可得C为（1,4.4）
zmax 25 2 8
zmin 21 4.4 2.4
y 5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
例1.已知x、y满足
3xx45y
≤ 3, y ≤ 25.
x ≥ 1.
解：画出可行域如图：
z x2 y2 表示可行域内的点
x
因为kQA 2 , kQB 0,
z 所以 的范围为 ( , 2][0, ).
返回首页
关闭程序
(2).z y 2 表示可行域内任一点与定点
x 1
R（-1,-2）连线的斜率,
因为
kRA
5 2
,
kRB
1 2
,
z 所以 的范围为( , 5][ 1 , ). 22
点评：
x y6 0
C
y
6
x y 0
解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。
目标函数为：z＝7x＋9y
4x 6y 180 线性约束条件为： 3x 6 y 150
5x 3y 150
画出可行域如图：
画出直线7x+9y=0 并平移得点P使Z最小。
求出点P
为
(150 ,100) 77
所以每天生产甲产品 150吨，乙产品100 吨时，
S
1 2
|
BC
|
h
1 3.4 4 6.8. 2
4 2 2 1 1 10
y 5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
❖ [例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食每百 克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5 元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单 位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每 盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉， 应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？
( x, y ) 到原点 O (0,0) 的距离的平方.
x y6 0
C
2 N4 x B
来自百度文库x3
过 O 向直线 BC、AC 作垂线,垂足非别为 N、A.
易知, C (3,9) 到 O 距离最大,此时zmax 32 92 90 , zmin 02 02 0.
（x,y)到原点的距离的由平图方可，得点A使Z
最大，点B 使Z最小。
x 4y 3 0
由
求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
y
5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
zmin 2, zmax 29.
(4)若 z y , 求z 的最值.
x
y 5C
B
O1
x=1
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
zmax
kOC
4.4 1
4.4,
zmax
kOA
2 5
0.4.
例1.已知x、y满足
3xx45y
≤ 3, y ≤ 25.
x ≥ 1.
(5)求可行域的面积和 整点个数.
解：画出可行域如图：
求A出为（5,2），B为(1，1)， C为( 1 , 4.4）。
4
A
2
6
4
2
O
2
4x
R
2
B
x3
此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.
返回首页
关闭程序
x y 6 0
例3 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
求：(1). z x2 y2最大值和最小值;
2
(2). z x2 2x y2最大值和最小值;
6
4
2
O
2
解: (1) z x2 y2 表示可行域内任一点
例1.已知x、y满足
3xx45y
≤ 3, y ≤ 25.
x ≥ 1.
解：画出可行域如图：
(1)若z=2x+y,求z的最值.
画出直线 2x+y=0 并平移得点A使Z最大， y
点B使Z最小。
由 x 4 y 3 0 求出A 为（5,2)。
5C
3x 5y 25 0
x-4y+3=0
x 1 由 x 4 y 3 0 求出B为（1，1)。
效益最大。
7
7
x y 6 0
例4 已知 x, y 满足不等式 x y 0 ,
y
6
x 3
x y 0
4
A
x y6 0
C
求：(1). z y 3 的范围;
x
2
6
4
2
O
2
4x
(2).
z
y2 x 1
的范围.
2
Q
B
x3
解: (1) z y 3 表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,
❖ 解析：这是一个最优化问题，应先设出目标变量和 关键变量并建立目标函数，然后根据目标函数的类 型，选择合适的方法求最值。目标函数往往是一元 二次函数或分式函数或三角函数或二元函数。如是 一元二次函数一般用配方法求最值，如是三角函数 一般用化一角一函数的方法求最值，如是分式函数 一般用基本不等式法求最值，如是二元函数一般用 线性规划法求最值，有时也可用基本不等式法求最 值。
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3.
A
B
O1
5
x=1
2x+y=0
3x+5y-25=0
x
(2)若z=2x-y,求z的最值.
解：画出可行域如图：
画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点 C使Z最小。
x 4y 3 0
由
可得A为（5,2）
3x 5y 25 0
例1.已知x、y满足
3xx45y
≤ 3, y ≤ 25.
x ≥ 1.
解：画出可行域如图：
z
y, x
表示可行域内的点
（x,y)与原点连线的斜由率图，可得点C使
Z最大，点A使Z最小。
x 4y 3 0
由
求出A 为（5,2)。
3x 5y 25 0
x 1 由 3x 5y 25 0 可得C为（1,4.4）