新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：第二章 一元二次函数、方程和不等式

第二章 一元二次函数、方程和不等式

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是( D ) A ．若a >b ，则1a <1

b

B ．若a >b >0，c >d ，则a ·c >b ·d

C ．若a >b ，则a ·c 2>b ·c 2

D ．若a ·c 2>b ·c 2，则a >b

[解析] 由题意，对于选项A 中，当a >0>b 时，此时1a >1

b ，所以A 是错误的；对于选项B

中，当0>c >d 时，此时不等式不一定成立，所以B 是错误的；对于选项C 中，当c ＝0时，不等式不成立，所以C 是错误的．

根据不等式的性质，可得若ac 2>bc 2时，则a >b 是成立的，所以D 是正确的．

2．若集合A ＝⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ＋2

x －1≤0，B ＝{x |－1

D ．{x |－1

[解析] 由题意，A ＝{x |x ＋2

x －1≤0}

＝{x |－2≤x <1}，B ＝{x |－1

3．设A ＝b a ＋a

b ，其中a ，b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系

是( B )

A ．A ≥

B B ．A >B

C ．A

D ．A ≤B

[解析] 因为a ，b 都是正实数，且a ≠b ， 所以A ＝b a ＋a

b

>2

b a ·a

b

＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2 ＝－(x －2)2＋2≤2， 即B ≤2，所以A >B ．

4．已知2x ＋3y ＝3，若x ，y 均为正数，则3x ＋2

y 的最小值是( C )

A ．53

B ．83

C ．8

D ．24

[解析] 因为2x ＋3y ＝3，x ，y 均为正数， 则3x ＋2y ＝13(3x ＋2

y )(2x ＋3y ) ＝13(12＋9y x ＋4x y

)≥12＋2

9y x ·4x

y

3＝8，

当且仅当9y x ＝4x

y

且2x ＋3y ＝3，

即x ＝34，y ＝12时取等号，所以3x ＋2

y

的最小值是8.

5．若不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( D ) A ．{a |－16

D ．{a |－8

[解析] 不等式4x 2＋ax ＋4>0的解集为R ， 所以Δ＝a 2－4×4×4<0，解得－8

6．当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立，则实数m 的取值范围是( A ) A ．{m |m <6} B ．{m |m ≤6} C ．{m |m ≥6}

D ．{m |m >6}

[解析] 当x >0时，不等式x 2－mx ＋9>0恒成立⇔当x >0时，不等式m

＋9x )min ，当x >0时，x ＋9x ≥2x ·9x ＝6(当且仅当x ＝3时取“＝”)，因此(x ＋9

x

)min ＝6，所以m <6.

7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＋b ＝12，c ＝8，则此三角形面积的最大值为( C )

A ．4 5

B ．415

C ．8 5

D ．815

[解析] 由题意，p ＝10，

S ＝10(10－a )(10－b )(10－c )＝20(10－a )(10－b )≤20·10－a ＋10－b 2

＝85，当且仅当

a ＝

b ＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8 5.

8．已知关于x 的不等式1a x 2＋bx ＋c <0(ab >1)的解集为空集，则T ＝1

2(ab －1)＋a (b ＋2c )ab －1的最

小值为( D )

A ． 3

B ．2

C ．2 3

D ．4

[解析] 易知a >0，则原不等式的解集为空集等价于x 2＋abx ＋ac <0的解集为空集，所以Δ＝a 2b 2－4ac ≤0⇒4ac ≥a 2b 2，

所以T ＝1＋2ab ＋4ac 2(ab －1)≥1＋2ab ＋a 2b 2

2(ab －1)

＝(ab －1)2＋4(ab －1)＋42(ab －1)＝12[(ab －1)＋4

ab －1＋4]

≥1

2

×(4＋4)＝4， 当且仅当ab －1＝4

ab －1

，即ab ＝3时，等号成立．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

－1

2

0 B ．b >0 C ．c >0

D ．a ＋b ＋c >0

[解析] 因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

－1

2

2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，

则有c a ＝－1<0，－b a ＝3

2>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象可知f (1)

＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，故D 正确，故选BCD ．

10．使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件是( AC ) A ．－2

D ．－2

[解析] 由x 2－x －6<0得－2

若使不等式x 2－x －6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x |－2

11．设a ，b 为非零实数，且a ab

B ．a 2