哈工大工程流体力学部分习题详解

[陈书3-13]设空间不可压缩流体的两个分速为：
；
其中 均为常数。试求第三个分速度 。已知当 时 。
解：
不可压缩流体的连续性方程为： ，
则：
(1)
将上式积分得：
利用条件 时 得到
∴
(2)
将上式积分得：
利用条件 时 得到
∴
[陈书3-30]如图所示水平放置水的分支管路，已知 ， ， ， ， ， 。求 ， ， ， ， 。
［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。
沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。
平板下表面承受的摩擦阻力为：
其中剪切应力：
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为：
所以：
而重力在平行于斜面方向的分量为：
因：
［解］取x坐标水平向右，y坐标垂直纸面向内，z坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为：
由欧拉方程积分可得：
根据题意及所选的坐标系，当 时，
故：
所以：
因大气压的总体作用为零，故上式中可令
于是：
左侧盖形心的坐标：
故该处的压强：
左侧盖所受油液的作用力： （取 ）
右侧盖形心的坐标：
故该处的压强：
其中转动角速度：
所以：
维持匀速转动时所消耗的功率为：
所以：
将：
代入上式，得：
当 时所消耗的功率为：
[陈书1-16]两无限大平板相距 平行（水平）放置，其间充满动力学粘性系数 的甘油，在两平板间以 的恒定速度水平拖动一面积为 的极薄平板。如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力？如果置于距一板10mm的位置，需多大的力？
薄板到上面平板的距离为 ，所以：
所以：
同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：
维持薄板匀速运动所需的拖力：
所以：
将 、 、 和 代入，得平板上面油的粘度为：
平板下面油的粘度为：
从以上求解过程可知，若设平板下面油的粘度为 ，平板上面油的粘度为 ，可得出同样的结论。
[陈书1-22]图示滑动轴承宽 ，轴径 ，间隙 ，间隙中充满了动力学粘性系数 的润滑油。试求当轴以 的恒定转速转动时所需的功率。（注：不计其他的功率消耗）
【解】平板匀速运动，受力平衡。
题中给出平板“极薄”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
作用于薄板上表面的摩擦力为：
题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。
设薄板到上面平板的距离为h，则有：
其中 为上层液体的厚度， 为液体分界面到B管根部的垂向距离， 为大气压
因测压管B与大气连通，其根部的压强又可表示为：
其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离
所以：
由此可知：若 ，B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面；若 ，B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面；若 ，A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。
[陈书1-15]图轴在滑动轴承中转动，已知轴的直径 ，轴承宽度 ，间隙 。间隙中充满动力学粘性系数 的润滑油。若已知轴旋转时润滑油阻力的损耗功率 ，试求轴承的转速 当转速 时，消耗功率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：
其中剪切应力：
表面积：
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：
无旋
（2）根据流线方程
令 ，
根据流体的不可压缩性，从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
当 时， 无旋
当 时，
无旋
（3）根据流线方程
当 时，
令 ，
再把流线方程 对x求导得到
根据流体的不可压缩性，
从而
，不恒为0
有旋
[解法二]
（1）由题意知：
流函数
得到
从而
无旋
（2）同上
流函数
，
无旋
（3）同上
流函数
，
有旋
[陈书3-11]设有两个流动，速度分量为：
将 ，h=2m，R=1m， 和 代入，得：
[陈书3-8]已知流体运动的速度场为 ， ， ，式中 为常数。试求： 时过 点的流线方程。
解：
流线满足的微分方程为：
将 ， ， ，代入上式，得：
（x-y平面内的二维运动）
移向得：
两边同时积分： （其中t为参数）
积分结果： （此即流线方程，其中C为积分常数）
将t=1, x=0, y=b代入上式，得：
又因为密度为 的液体稳定在上层，故 。
［陈书2-12］容器中有密度为 和 的两种液体，试绘出AB面上的压强分布图。
［解］令上、下层液体的厚度分别为 和 ，取垂直向下的方向为z轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB表面上压强的表达式：
整理得：
［陈书2-24］直径D=1.2m，L=2.5的油罐车，内装密度 的石油，油面高度为h=1m，以 的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖A和B上所受到的油液的作用力。
对1、2断面列出总流的伯努利方程：
（1）
由质量守恒可知：
再假定动能修正系数：
式（1）可简化为：
（2）
（3）
断面1处的负压： ，移项可得：
而断面2处的压强为当地的大气压，即：
其中 和 分别为断面1、2处的大气压
将以上各式代入（3）式得：
（4）
而： ，
代入（4）式得： （5）
依题意，能量损失：
代入（5）式：
解：
根据质量守恒定理有： (1)
其中
将 以及条件 带入(1)式得到：
，
则 ， 。
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为 ，测压管内液体密度为 ，测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速
［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程：
∴积分常数
∴t=1时刻，过(0,b)点的流线方程为：
整理得：
陈书3-10已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？
（1） ；
（2） ；
（3） ，
其中A，B，C均为常数。
[解法一]
（1）根据流线方程
当 时，有
令 ，
根据流体的不可压缩性，从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
y是任意的，得到
左侧盖所受油液的作用力： （取 ）
［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度 绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h，容器半径为R，试求当 超过多少时可露出筒底？
解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：
等速旋转时液体所受的质量力为：
， ，
将其代入欧拉方程，积分得：
自由表面中心处r=0， （大气压），再令此处的z坐标为： （令筒底处z=0），代入上式，得：
， （3）
方程（1）可改写为：
（4）
根据题意： ， （5）
将（5）代入（4），得： （6）
再由（2）和（3）式可得：
所以： （7）
将（7）式代入（6）得：
整理得：
（8）
将 ， ， ， 代入（8）式，得：
［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式 。（此题陈书 的标注有误）
［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于 深度处的小孔出流速度为：
所以：
同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：
维持薄板匀速运动所需的拖力：
当薄板在中间位置时，
将 、 、 和 代入，得：
如果薄板置于距一板（不妨设为上平板）10mm的位置，则：
代入上式得：
[陈书1-17]一很大的薄板放在 宽水平缝隙的中间位置，板上下分别放有不同粘度的油，一种油的粘度是另一种的2倍。当以 的恒定速度水平拖动平板时，每平方米受的总摩擦力为 。求两种油的粘度。
移项得： （6）
令 为水的密度，负压可用 高的水柱表示为：
代入（6）得：
将流速： 代入上式，得：
（7）
将： 、 、 、 、 、 和 代入（7）式得：
因为： ，所以：
【陈书7-10】将一平板伸入水的自由射流内，垂直于射流的轴线。该平板截去射流流量的一部分 ，引起射流剩余部分偏转角度 。已知射流流速 ，全部流量 ，截去流量 。求偏角 及平板受力 。
；
式中 为常数。试问：这两个流动中哪个是有旋的？哪个是无旋的？哪个有角变形？哪个无角变形？
解：两个流动中均有 ，即均为平面二维流动状态，因此旋转角速度分量 ，角变形速度分量 。
(1)
∴当 时此流动有旋，无角变形；当 时此流动无旋，无角变形。
(2)
∴当 时此流动无旋，有角变形；当 时此流动无旋，无角变形。
［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z轴垂直向上，则压强分布为：
由于静水压导致阀门所受的总力矩为：
所以：
［陈书2-43］图示一储水设备，在C点测得绝对压强为 ，h=2m，R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。
［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z轴垂直向上。以C为参考点，容器内任意点的压强可表达为：
（1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。
因流体在点1处滞止，故：
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：
将以上条件代入Bernoulli方程（1），得：
（2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：
从测压管的结果可知：
将以上条件代入（2）式得：
所以：