哈工大工程流体力学部分习题详解
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左侧盖所受油液的作用力: (取 )
[陈书2-26]盛有水的圆筒形容器以角速度 绕垂直轴作等速旋转,设原静水深为h,容器半径为R,试求当 超过多少时可露出筒底?
解:非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程:
等速旋转时液体所受的质量力为:
, ,
将其代入欧拉方程,积分得:
自由表面中心处r=0, (大气压),再令此处的z坐标为: (令筒底处z=0),代入上式,得:
将 ,h=2m,R=1m, 和 代入,得:
[陈书3-8]已知流体运动的速度场为 , , ,式中 为常数。试求: 时过 点的流线方程。
解:
流线满足的微分方程为:
将 , , ,代入上式,得:
(x-y平面内的二维运动)
移向得:
两边同时积分: (其中t为参数)
积分结果: (此即流线方程,其中C为积分常数)
将t=1, x=0, y=b代入上式,得:
无旋
(2)根据流线方程
令 ,
根据流体的不可压缩性,从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
当 时, 无旋
当 时,
无旋
(3)根据流线方程
当 时,
令 ,
再把流线方程 对x求导得到
根据流体的不可压缩性,
从而
,不恒为0
有旋
[解法二]
(1)由题意知:
流函数
得到
从而
无旋
(2)同上
流函数
,
无旋
(3)同上
流函数
,
有旋
[陈书3-11]设有两个流动,速度分量为:
(2)易知此二维势流除在原点处均有势,而圆周 不含原点。故沿圆周的速度环量
[陈书6-8]距离 的两平板表面间的速度分布为 ,式中 是两平面间 处的速度。试求流函数 的表达式,并绘制流线。
解:因为
所以,
所以,
则 ,
其中常数C的取值对流动图形无影响,可认为是0
所以
[陈书6-9]已知某平面流场速度势函数为 ,式中 为常数。试求流函数。
又因为密度为 的液体稳定在上层,故 。
[陈书2-12]容器中有密度为 和 的两种液体,试绘出AB面上的压强分布图。
[解]令上、下层液体的厚度分别为 和 ,取垂直向下的方向为z轴的正方向,并将原点设在自由表面上,可写出AB表面上压强的表达式:
整理得:
[陈书2-24]直径D=1.2m,L=2.5的油罐车,内装密度 的石油,油面高度为h=1m,以 的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖A和B上所受到的油液的作用力。
证毕。
[陈书4-13]水流过图示管路,已知 , , , 。不计损失,求 。
[解]因不及损失,故可用理想流体的Bernoulli方程:
(1)
题中未给出流速沿管道断面的分布,再考虑到理想流体的条件,可认为流速沿管道断面不变。此外,对于一般的管道流动,可假定水是不可压缩的,于是根据质量守恒可得:
(2)
其中 和 分别为管道在1和2断面处的截面积:
(1)
其中点1取在皮托管头部(总压孔),而点2取在皮托管环向测压孔(静压孔)处。
因流体在点1处滞止,故:
又因皮托管直径很小,可以忽略其对流场的干扰,故点2处的流速为来流的速度,即:
将以上条件代入Bernoulli方程(1),得:
(2)
再次利用皮托管直径很小的条件,得:
从测压管的结果可知:
将以上条件代入(2)式得:
薄板到上面平板的距离为 ,所以:
所以:
同理,作用于薄板下表面的摩擦力为:
维持薄板匀速运动所需的拖力:
所以:
将 、 、 和 代入,得平板上面油的粘度为:
平板下面油的粘度为:
从以上求解过程可知,若设平板下面油的粘度为 ,平板上面油的粘度为 ,可得出同样的结论。
[陈书1-22]图示滑动轴承宽 ,轴径 ,间隙 ,间隙中充满了动力学粘性系数 的润滑油。试求当轴以 的恒定转速转动时所需的功率。(注:不计其他的功率消耗)
∴积分常数
∴t=1时刻,过(0,b)点的流线方程为:
整理得:
陈书3-10已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下,问哪一个是无旋的?
(1) ;
(2) ;
(3) ,
其中A,B,C均为常数。
[解法一]
(1)根据流线方程
当 时,有
令 ,
根据流体的不可压缩性,从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
y是任意的,得到
解:
根据质量守恒定理有: (1)
其中
将 以及条件 带入(1)式得到:
,
则 , 。
[陈书4-8]测量流速的皮托管如图所示,设被测流体的密度为 ,测压管内液体密度为 ,测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体,皮托管直径很小。试证明所测流速
[证明]沿管壁存在流线,因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程:
故:
整理得:
将:
代入上式,得:
[陈书2-8]容器中盛有密度不同的两种液体,问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平?为什么?若不齐平,则A、B测压管液面哪个高?
[解]依题意,容器内液体静止。
测压管A与上层流体连通,且上层流体和测压管A均与大气连通,故A测压管的液面与液面O-O齐平。
测压管B与上下层流体连通,其根部的压强为:
移项得: (6)
令 为水的密度,负压可用 高的水柱表示为:
代入(6)得:
将流速: 代入上式,得:
(7)
将: 、 、 、 、 、 和 代入(7)式得:
因为: ,所以:
【陈书7-10】将一平板伸入水的自由射流内,垂直于射流的轴线。该平板截去射流流量的一部分 ,引起射流剩余部分偏转角度 。已知射流流速 ,全部流量 ,截去流量 。求偏角 及平板受力 。
;
式中 为常数。试问:这两个流动中哪个是有旋的?哪个是无旋的?哪个有角变形?哪个无角变形?
解:两个流动中均有 ,即均为平面二维流动状态,因此旋转角速度分量 ,角变形速度分量 。
(1)
∴当 时此流动有旋,无角变形;当 时此流动无旋,无角变形。
(2)
∴当 时此流动无旋,有角变形;当 时此流动无旋,无角变形。
[陈书1-15]图轴在滑动轴承中转动,已知轴的直径 ,轴承宽度 ,间隙 。间隙中充满动力学粘性系数 的润滑油。若已知轴旋转时润滑油阻力的损耗功率 ,试求轴承的转速 当转速 时,消耗功率为多少?(轴承运动时维持恒定转速)
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为:
其中剪切应力:
表面积:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故径向流速梯度:
Hale Waihona Puke Baidu同样,位于 深度处的小孔出流速度为:
流出小孔后流体做平抛运动,位于 深度处的小孔出流的下落时间为:
故其射的程为:
同理,位于 深度处的小孔出流的射程为:
根据题意:
所以:
于是:
[陈书6-7]二维势流的速度势为 式中 是极角, 为常数,试计算:
(1)沿圆周 的环量;
(2)沿圆周 的环量。
解:(1)
则沿圆周 的速度环量
对1、2断面列出总流的伯努利方程:
(1)
由质量守恒可知:
再假定动能修正系数:
式(1)可简化为:
(2)
(3)
断面1处的负压: ,移项可得:
而断面2处的压强为当地的大气压,即:
其中 和 分别为断面1、2处的大气压
将以上各式代入(3)式得:
(4)
而: ,
代入(4)式得: (5)
依题意,能量损失:
代入(5)式:
解:因为
所以
又因为
所以 ,即
由于常数C的取值不影响流动情况,故可取为零。
则
[陈书7-6] 烟囱直径 ,烟量 ,烟气密度 ,周围大气密度 ,烟囱内压强损失 , 为烟囱内烟气流动的速度, 为烟囱高度。为保证烟囱底部断面1处的负压不小于 水柱,烟囱的高度 应大于(或小于)多少?
[解] 此题用Bernoulli方程求解。
作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直,即压力的作用线通过球心。简单分析可知,曲面上水平方向的液体合压力为零,液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向,且合力方向向上,且合力作用线通过球心。
球面的外法线方向:
其中 为纬度角, 为经度角。
曲面AB上的垂向总液体压力:
其中: ,
所以:
将 和 代入上式,得:
[陈书3-13]设空间不可压缩流体的两个分速为:
;
其中 均为常数。试求第三个分速度 。已知当 时 。
解:
不可压缩流体的连续性方程为: ,
则:
(1)
将上式积分得:
利用条件 时 得到
∴
(2)
将上式积分得:
利用条件 时 得到
∴
[陈书3-30]如图所示水平放置水的分支管路,已知 , , , , , 。求 , , , , 。
其中转动角速度:
所以:
维持匀速转动时所消耗的功率为:
所以:
将:
代入上式,得:
当 时所消耗的功率为:
[陈书1-16]两无限大平板相距 平行(水平)放置,其间充满动力学粘性系数 的甘油,在两平板间以 的恒定速度水平拖动一面积为 的极薄平板。如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力?如果置于距一板10mm的位置,需多大的力?
[解]由平板等速下滑,知其受力平衡。
沿斜坡表面方向,平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。
平板下表面承受的摩擦阻力为:
其中剪切应力:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为:
所以:
而重力在平行于斜面方向的分量为:
因:
[解]将阀门的圆心定为坐标原点,z轴垂直向上,则压强分布为:
由于静水压导致阀门所受的总力矩为:
所以:
[陈书2-43]图示一储水设备,在C点测得绝对压强为 ,h=2m,R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。
[解]建立如图所示的坐标系,其中坐标原点取在球心,z轴垂直向上。以C为参考点,容器内任意点的压强可表达为:
【解】平板匀速运动,受力平衡。
题中给出平板“极薄”,故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向,薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
作用于薄板上表面的摩擦力为:
题中未给出流场的速度分布,且上下两无限大平板的间距不大,不妨设为线性分布。
设薄板到上面平板的距离为h,则有:
所以:
所以:
等压面的方程:
对于自由表面: ,故自由表面的方程为:
当筒底刚好露出时, ,所以自由面方程为:
自由面与筒壁相交处的垂向坐标:
旋转后的水体体积:
将水视为不可压缩流体,根据质量守恒,旋转前后的水体体积应相等,所以:
所以:
[陈书2-39]在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀,h=10m,蝶阀是一个与管道直径相同的圆板,它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动,问所需施加的力矩应为多大?
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为:
其中剪切应力:
表面积:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故径向流速梯度:
其中转动角速度:
所以:
维持匀速转动时所消耗的功率为:
将:
代入上式,得消耗的功率为:
[陈书1-23]图示斜面倾角 ,一块质量为25kg,边长为1m的正方形平板沿斜面等速下滑,平板和斜面间油液厚度为 。若下滑速度 ,求油的粘度。
其中 为上层液体的厚度, 为液体分界面到B管根部的垂向距离, 为大气压
因测压管B与大气连通,其根部的压强又可表示为:
其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离
所以:
由此可知:若 ,B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面;若 ,B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面;若 ,A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。
所以:
同理,作用于薄板下表面的摩擦力为:
维持薄板匀速运动所需的拖力:
当薄板在中间位置时,
将 、 、 和 代入,得:
如果薄板置于距一板(不妨设为上平板)10mm的位置,则:
代入上式得:
[陈书1-17]一很大的薄板放在 宽水平缝隙的中间位置,板上下分别放有不同粘度的油,一种油的粘度是另一种的2倍。当以 的恒定速度水平拖动平板时,每平方米受的总摩擦力为 。求两种油的粘度。
, (3)
方程(1)可改写为:
(4)
根据题意: , (5)
将(5)代入(4),得: (6)
再由(2)和(3)式可得:
所以: (7)
将(7)式代入(6)得:
整理得:
(8)
将 , , , 代入(8)式,得:
[陈书4-19]图示两小孔出流装置,试证明不计流动损失时有关系式 。(此题陈书 的标注有误)
[证明]因不计损失,可视流体为理想流体,则位于 深度处的小孔出流速度为:
【解】平板匀速运动,受力平衡。
题中给出薄板”,故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向,薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
不妨先设平板上面油的粘度为 ,平板下面油的粘度为 。
作用于薄板上表面的摩擦力为:
题中未给出流场的速度分布,且上下两无限大平板的间距不大,不妨设为线性分布。
[解]取x坐标水平向右,y坐标垂直纸面向内,z坐标垂直向上,原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为:
由欧拉方程积分可得:
根据题意及所选的坐标系,当 时,
故:
所以:
因大气压的总体作用为零,故上式中可令
于是:
左侧盖形心的坐标:
故该处的压强:
左侧盖所受油液的作用力: (取 )
右侧盖形心的坐标:
故该处的压强:
[陈书2-26]盛有水的圆筒形容器以角速度 绕垂直轴作等速旋转,设原静水深为h,容器半径为R,试求当 超过多少时可露出筒底?
解:非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程:
等速旋转时液体所受的质量力为:
, ,
将其代入欧拉方程,积分得:
自由表面中心处r=0, (大气压),再令此处的z坐标为: (令筒底处z=0),代入上式,得:
将 ,h=2m,R=1m, 和 代入,得:
[陈书3-8]已知流体运动的速度场为 , , ,式中 为常数。试求: 时过 点的流线方程。
解:
流线满足的微分方程为:
将 , , ,代入上式,得:
(x-y平面内的二维运动)
移向得:
两边同时积分: (其中t为参数)
积分结果: (此即流线方程,其中C为积分常数)
将t=1, x=0, y=b代入上式,得:
无旋
(2)根据流线方程
令 ,
根据流体的不可压缩性,从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
当 时, 无旋
当 时,
无旋
(3)根据流线方程
当 时,
令 ,
再把流线方程 对x求导得到
根据流体的不可压缩性,
从而
,不恒为0
有旋
[解法二]
(1)由题意知:
流函数
得到
从而
无旋
(2)同上
流函数
,
无旋
(3)同上
流函数
,
有旋
[陈书3-11]设有两个流动,速度分量为:
(2)易知此二维势流除在原点处均有势,而圆周 不含原点。故沿圆周的速度环量
[陈书6-8]距离 的两平板表面间的速度分布为 ,式中 是两平面间 处的速度。试求流函数 的表达式,并绘制流线。
解:因为
所以,
所以,
则 ,
其中常数C的取值对流动图形无影响,可认为是0
所以
[陈书6-9]已知某平面流场速度势函数为 ,式中 为常数。试求流函数。
又因为密度为 的液体稳定在上层,故 。
[陈书2-12]容器中有密度为 和 的两种液体,试绘出AB面上的压强分布图。
[解]令上、下层液体的厚度分别为 和 ,取垂直向下的方向为z轴的正方向,并将原点设在自由表面上,可写出AB表面上压强的表达式:
整理得:
[陈书2-24]直径D=1.2m,L=2.5的油罐车,内装密度 的石油,油面高度为h=1m,以 的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖A和B上所受到的油液的作用力。
证毕。
[陈书4-13]水流过图示管路,已知 , , , 。不计损失,求 。
[解]因不及损失,故可用理想流体的Bernoulli方程:
(1)
题中未给出流速沿管道断面的分布,再考虑到理想流体的条件,可认为流速沿管道断面不变。此外,对于一般的管道流动,可假定水是不可压缩的,于是根据质量守恒可得:
(2)
其中 和 分别为管道在1和2断面处的截面积:
(1)
其中点1取在皮托管头部(总压孔),而点2取在皮托管环向测压孔(静压孔)处。
因流体在点1处滞止,故:
又因皮托管直径很小,可以忽略其对流场的干扰,故点2处的流速为来流的速度,即:
将以上条件代入Bernoulli方程(1),得:
(2)
再次利用皮托管直径很小的条件,得:
从测压管的结果可知:
将以上条件代入(2)式得:
薄板到上面平板的距离为 ,所以:
所以:
同理,作用于薄板下表面的摩擦力为:
维持薄板匀速运动所需的拖力:
所以:
将 、 、 和 代入,得平板上面油的粘度为:
平板下面油的粘度为:
从以上求解过程可知,若设平板下面油的粘度为 ,平板上面油的粘度为 ,可得出同样的结论。
[陈书1-22]图示滑动轴承宽 ,轴径 ,间隙 ,间隙中充满了动力学粘性系数 的润滑油。试求当轴以 的恒定转速转动时所需的功率。(注:不计其他的功率消耗)
∴积分常数
∴t=1时刻,过(0,b)点的流线方程为:
整理得:
陈书3-10已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下,问哪一个是无旋的?
(1) ;
(2) ;
(3) ,
其中A,B,C均为常数。
[解法一]
(1)根据流线方程
当 时,有
令 ,
根据流体的不可压缩性,从而
再把流线方程 对x求导得到
所以
y是任意的,得到
解:
根据质量守恒定理有: (1)
其中
将 以及条件 带入(1)式得到:
,
则 , 。
[陈书4-8]测量流速的皮托管如图所示,设被测流体的密度为 ,测压管内液体密度为 ,测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体,皮托管直径很小。试证明所测流速
[证明]沿管壁存在流线,因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程:
故:
整理得:
将:
代入上式,得:
[陈书2-8]容器中盛有密度不同的两种液体,问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平?为什么?若不齐平,则A、B测压管液面哪个高?
[解]依题意,容器内液体静止。
测压管A与上层流体连通,且上层流体和测压管A均与大气连通,故A测压管的液面与液面O-O齐平。
测压管B与上下层流体连通,其根部的压强为:
移项得: (6)
令 为水的密度,负压可用 高的水柱表示为:
代入(6)得:
将流速: 代入上式,得:
(7)
将: 、 、 、 、 、 和 代入(7)式得:
因为: ,所以:
【陈书7-10】将一平板伸入水的自由射流内,垂直于射流的轴线。该平板截去射流流量的一部分 ,引起射流剩余部分偏转角度 。已知射流流速 ,全部流量 ,截去流量 。求偏角 及平板受力 。
;
式中 为常数。试问:这两个流动中哪个是有旋的?哪个是无旋的?哪个有角变形?哪个无角变形?
解:两个流动中均有 ,即均为平面二维流动状态,因此旋转角速度分量 ,角变形速度分量 。
(1)
∴当 时此流动有旋,无角变形;当 时此流动无旋,无角变形。
(2)
∴当 时此流动无旋,有角变形;当 时此流动无旋,无角变形。
[陈书1-15]图轴在滑动轴承中转动,已知轴的直径 ,轴承宽度 ,间隙 。间隙中充满动力学粘性系数 的润滑油。若已知轴旋转时润滑油阻力的损耗功率 ,试求轴承的转速 当转速 时,消耗功率为多少?(轴承运动时维持恒定转速)
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为:
其中剪切应力:
表面积:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故径向流速梯度:
Hale Waihona Puke Baidu同样,位于 深度处的小孔出流速度为:
流出小孔后流体做平抛运动,位于 深度处的小孔出流的下落时间为:
故其射的程为:
同理,位于 深度处的小孔出流的射程为:
根据题意:
所以:
于是:
[陈书6-7]二维势流的速度势为 式中 是极角, 为常数,试计算:
(1)沿圆周 的环量;
(2)沿圆周 的环量。
解:(1)
则沿圆周 的速度环量
对1、2断面列出总流的伯努利方程:
(1)
由质量守恒可知:
再假定动能修正系数:
式(1)可简化为:
(2)
(3)
断面1处的负压: ,移项可得:
而断面2处的压强为当地的大气压,即:
其中 和 分别为断面1、2处的大气压
将以上各式代入(3)式得:
(4)
而: ,
代入(4)式得: (5)
依题意,能量损失:
代入(5)式:
解:因为
所以
又因为
所以 ,即
由于常数C的取值不影响流动情况,故可取为零。
则
[陈书7-6] 烟囱直径 ,烟量 ,烟气密度 ,周围大气密度 ,烟囱内压强损失 , 为烟囱内烟气流动的速度, 为烟囱高度。为保证烟囱底部断面1处的负压不小于 水柱,烟囱的高度 应大于(或小于)多少?
[解] 此题用Bernoulli方程求解。
作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直,即压力的作用线通过球心。简单分析可知,曲面上水平方向的液体合压力为零,液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向,且合力方向向上,且合力作用线通过球心。
球面的外法线方向:
其中 为纬度角, 为经度角。
曲面AB上的垂向总液体压力:
其中: ,
所以:
将 和 代入上式,得:
[陈书3-13]设空间不可压缩流体的两个分速为:
;
其中 均为常数。试求第三个分速度 。已知当 时 。
解:
不可压缩流体的连续性方程为: ,
则:
(1)
将上式积分得:
利用条件 时 得到
∴
(2)
将上式积分得:
利用条件 时 得到
∴
[陈书3-30]如图所示水平放置水的分支管路,已知 , , , , , 。求 , , , , 。
其中转动角速度:
所以:
维持匀速转动时所消耗的功率为:
所以:
将:
代入上式,得:
当 时所消耗的功率为:
[陈书1-16]两无限大平板相距 平行(水平)放置,其间充满动力学粘性系数 的甘油,在两平板间以 的恒定速度水平拖动一面积为 的极薄平板。如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力?如果置于距一板10mm的位置,需多大的力?
[解]由平板等速下滑,知其受力平衡。
沿斜坡表面方向,平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。
平板下表面承受的摩擦阻力为:
其中剪切应力:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为:
所以:
而重力在平行于斜面方向的分量为:
因:
[解]将阀门的圆心定为坐标原点,z轴垂直向上,则压强分布为:
由于静水压导致阀门所受的总力矩为:
所以:
[陈书2-43]图示一储水设备,在C点测得绝对压强为 ,h=2m,R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。
[解]建立如图所示的坐标系,其中坐标原点取在球心,z轴垂直向上。以C为参考点,容器内任意点的压强可表达为:
【解】平板匀速运动,受力平衡。
题中给出平板“极薄”,故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向,薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
作用于薄板上表面的摩擦力为:
题中未给出流场的速度分布,且上下两无限大平板的间距不大,不妨设为线性分布。
设薄板到上面平板的距离为h,则有:
所以:
所以:
等压面的方程:
对于自由表面: ,故自由表面的方程为:
当筒底刚好露出时, ,所以自由面方程为:
自由面与筒壁相交处的垂向坐标:
旋转后的水体体积:
将水视为不可压缩流体,根据质量守恒,旋转前后的水体体积应相等,所以:
所以:
[陈书2-39]在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀,h=10m,蝶阀是一个与管道直径相同的圆板,它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动,问所需施加的力矩应为多大?
【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为:
其中剪切应力:
表面积:
因为间隙内的流速可近似看作线性分布,而且对粘性流体,外表面上应取流速为零的条件,故径向流速梯度:
其中转动角速度:
所以:
维持匀速转动时所消耗的功率为:
将:
代入上式,得消耗的功率为:
[陈书1-23]图示斜面倾角 ,一块质量为25kg,边长为1m的正方形平板沿斜面等速下滑,平板和斜面间油液厚度为 。若下滑速度 ,求油的粘度。
其中 为上层液体的厚度, 为液体分界面到B管根部的垂向距离, 为大气压
因测压管B与大气连通,其根部的压强又可表示为:
其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离
所以:
由此可知:若 ,B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面;若 ,B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面;若 ,A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。
所以:
同理,作用于薄板下表面的摩擦力为:
维持薄板匀速运动所需的拖力:
当薄板在中间位置时,
将 、 、 和 代入,得:
如果薄板置于距一板(不妨设为上平板)10mm的位置,则:
代入上式得:
[陈书1-17]一很大的薄板放在 宽水平缝隙的中间位置,板上下分别放有不同粘度的油,一种油的粘度是另一种的2倍。当以 的恒定速度水平拖动平板时,每平方米受的总摩擦力为 。求两种油的粘度。
, (3)
方程(1)可改写为:
(4)
根据题意: , (5)
将(5)代入(4),得: (6)
再由(2)和(3)式可得:
所以: (7)
将(7)式代入(6)得:
整理得:
(8)
将 , , , 代入(8)式,得:
[陈书4-19]图示两小孔出流装置,试证明不计流动损失时有关系式 。(此题陈书 的标注有误)
[证明]因不计损失,可视流体为理想流体,则位于 深度处的小孔出流速度为:
【解】平板匀速运动,受力平衡。
题中给出薄板”,故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向,薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
不妨先设平板上面油的粘度为 ,平板下面油的粘度为 。
作用于薄板上表面的摩擦力为:
题中未给出流场的速度分布,且上下两无限大平板的间距不大,不妨设为线性分布。
[解]取x坐标水平向右,y坐标垂直纸面向内,z坐标垂直向上,原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为:
由欧拉方程积分可得:
根据题意及所选的坐标系,当 时,
故:
所以:
因大气压的总体作用为零,故上式中可令
于是:
左侧盖形心的坐标:
故该处的压强:
左侧盖所受油液的作用力: (取 )
右侧盖形心的坐标:
故该处的压强: