数电逻辑代数及其化简
数字电子技术优质课件精选——《逻辑代数的运算法则及其化简》
解：设A、B、C分别表示三个车间的开工状态
开工为1，不开工为0； G1和G2运行为1，停机为0。
010 011 100
AB BC CA
101
G2 A BC ABC ABC ABC
110 111
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
ABC ABC ABC ABC
⑶由逻辑式画出逻辑图 G1
&
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
G2
&
&
&
&
&
&
&
&
AB C
AB
C
本章作业
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 由逻辑状态表写出逻辑式并化简
G1 ABC ABC ABC ABC A B C
G2 A BC ABC ABC ABC 0 0 0
用与非门构成逻辑电路
001
G1 AB BC CA
AB BC CA
B.
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
1
&
A
& Y
A•B
1
B
. ⑴ 写出逻辑式 Y = AB AB = AB +AB
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 列逻辑状态表
AB
Y
数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
现代电子技术基础(数字部分)知识点
一、数电知识要点第一章 数制与编码1、码制：各种码制之间的转换(整数,小数)2、带符号数的原码、反码和反码3、二进制编码：自然二进制码、格雷码4、BCD 码：8421BCD 码、余三码等第二章 逻辑函数及其化简1、逻辑代数的基本运算及复合运算：与、或、非、与非、或非、异或、同或与运算： 全1得1，有0得0；或运算：有1得1，全0得0； 非运算：10 01==异或：相同得0，相异得1同或：相同得1，相异得02、逻辑运算基本公式及常用规则：1) 十个基本公式2) 逻辑运算常用规则：代入规则；反演规则；对偶规则3、逻辑函数表示方法1）真值表2）逻辑函数表达式：与或表达式；或与表达式；与非-与非表达式；或非-或非表达式；最小项表达式；最大项表达式（概念、性质、两者之间的关系）3）逻辑电路图(与电路分析设计结合)：由逻辑表达式到电路图；由电路图写逻辑表达式；4）卡诺图（化简：最多四变量）求逻辑函数的最简与或表达式和或与表达式第三章组合逻辑电路1、集成电路主要电气指标：输入/输出电压；输入/输出电流；噪声容限；扇出系数；输出结构：推拉式输出；开路输出；三态输出2、常用组合逻辑模块3-8译码器、数据选择器、加法器、数值比较器3、组合逻辑电路分析分析步骤：1）由给定的逻辑图逐级写出逻辑函数表达式；2)由逻辑表达式列出真值表；3)分析、归纳电路的逻辑功能。
4、组合电路的设计设计步骤：列真值表—写出适当的逻辑表达式—画电路图。
其中第二步写逻辑表达式时根据设计要求有所不同：1)用门电路设计：与或电路/与非-与非电路：卡诺图化简求最简与或表达式或与电路/或非-或非电路：卡诺图化简求最简或与表达式2)用3-8译码器+与非门设计：写最小项表达式3)用3-8译码器+与门设计：写最大项表达式4)用数据选择器设计：通过卡诺图降维得出数据选择器的各位地址信号Ai和各路数据Di的表达式5、逻辑险象的判别和消除第四章时序电路分析1、各类触发器的特性方程、约束方程、状态表、状态图(RS,JK,D)2、集成计数器74163工作原理、功能及应用（如何构成任意模的计数器、序列信号发生器）3、时序电路的分析1)由触发器构成的米里型/莫尔型同步时序电路的分析步骤：分析电路类型—写激励方程和输出方程—求次态方程—状态表、状态图—功能。
电工学2第11讲：逻辑代数-化简
（5）AB ( AB ) A （6）( A B)( A B ) A 证： A AB
A AB AB A B
B 自己证明(提示：BC•1 ）
补： AB A C BC...... AB A C
1. 圈的个数应最少
2. 每个“圈”要最大 3. 每 “圈”至少 包含 一个未被圈过的最小项
i
写出简化逻辑式 Y A BD 如“0”特别少，也可圈0，但结果为 Y 。重做上题。
项少i个因子，填2 格
例4. 应用卡诺图化简逻辑函数
Y A B C A B C A BC AB B C
口诀： 圈大2n; 重复有新； 不拐不漏，边角为邻； 1原0反； 异去同存。
B取值（异）不同—“去” C、D同样
CD 00 AB 00 0 01 0
01 11 10
0 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
CD 00 AB 00 0
01 11 10
01 11 10
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
（2）配项法 例2： 化简 Y AB A C BC
AB A C BC ( A A ) AB ABC A C A BC AB A C
（3）加项法
例3： 化简 Y ABC A B C AB C
（4）吸收 例 4： 法 化简 Y AB AC BC
反演律
A B A B
A B
A B A B
A B 1 0 0 0
A B 1 1 1 0
列真值表证明：
A B
一文看懂，数电中逻辑函数的，代数，化简法常用公式
一文看懂，数电中逻辑函数的，代数，化简法常用公式
1.交换律： A+B=B+A;---@1 AB=BA;---@2
2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C);---@3 (AB)C=A(BC);---@4
3.分配律： A(B+C)=AB+BC;---@5 A+BC=(A+B)(A+C);---@6
4.吸收率： A+AB=A;---@7 A(A+B)=A;---@8
5.其他常用：A+!AB=A+B;---@9 A(!A+B)=AB@10
以上逻辑运算基本定律中，恒等式大多是成对出现的，且具有对偶性。
用完全归纳法可以证明所列等式的正确性，方法是：列出等式的左边函数与右边函数的真值表，如果等式两边的真值表相同，说明等式成立。
但此方法较为笨拙，下面以代数方法证明其中几个较难证明的公式。
@7式证明：A+AB=A(1+B)=A;
@8式证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A;由七式易得；
@6式证明：
A+BC=(A+AB)+BC;此处由@7式可得A=A+AB;
=A+AB+BC=A+B(A+C);此处由@5式可得AB+BC=B(A+C);
=A+AC+B(A+C);此处由@7式可得A=A+AC;
=A(A+C)+B(A+C);
=(A+B)(A+C); 得证。
@9式证明： A+!AB=A(1+B)+!AB;
=A+AB+!AB;
=A+B(A+!A);
=A+B;得证。
数电 第二章 逻辑代数基础(3)
3、将合并后的各个乘积项进行逻辑相加。
数字电子技术
16
•
注意：
• 每一个1必须被圈，不能遗漏。
• 某一个1可以多次被圈，但每个圈至少包含一个新的1。
• 圈越大，则消去的变量越多，合并项越简单。圈内1 的个数应是2n（n=0，1，2…）。
• 合并时应检查是否最简。 • 有时用圈0的方法更简便，但得到的化简结果是原函 数的反函数。
在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0， 所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将 约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。
数字电子技术
21
二.任意项
在输入变量的某些取值下函数值是1 还是 0皆可，并不影响电路的功能。
由于任意项的取值不影响电路的功能。所 以既可以把任意项写入函数式中，也可以不 写进去。
数字电子技术
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例： 例1 Y
ABC D ABCD ABC D
给定约束条件为： ABCD+ABC D+ABC D+AB C D+ABCD+ABCD+ABCD=0
AB
00 00 0 01 0
CD
01 1 x 0 x
AD
AD
Y BC 00 A 0 0 1 1
数字电子技术
01 1 1 1
11 1 0
10 1 1
13
二、用卡诺图化简函数
例1： 将 Y ( A, B, C ) AC AC BC BC 化简为最简与或式。 Y BC 00 A 0 0 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 1
Y BC 00 A 0 0 1 1
ABC D ABCD ABC D
数字电子技术基础逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件
• 把对应函数值为“1”的变量组合挑出 （即第1、4）组合，写成一个乘积项； •凡取值为“1”的写成原变量 A，取值为 “0”的写成反变量 A ； •最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：
L A B AB
ab
A
B
~
cd
220
ABL
0 01 01 0 10 0 11 1
(5) AB AB A B AB
AB A B
A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB 同或 A⊙B AB A B
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
还原律 A A
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( ) A
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table） 功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
数字电子技术 布尔代数、逻辑函数化简课件
例 5 将函数与或表达式
解 (1) 与非-与非式。
_
F AB A转C换为其它(qítā)形式。
将与或式两次取反，利用摩根定律可得
_
_
F AB AC AB AC
共四十五页
(2) 与或非式。
首先求出反函数
_
_
_ __
F AB AC A B AC
_
A
(因为B B 1)
在吸收律2的证明中， 也只证第二式：
（证毕）
A+AB=A(1+B) =A (因为1+B=1)
吸收律3也只证第二式：
（证毕）
_
A A B ( A A)( A B)
AB
_
(因为A A 1) （证毕）
共四十五页
表3-3 求反律的真值表
多余项定律(dìnglǜ)证明如下：
◆ 变量(biànliàng)的最小 项定义
对于给定个数的一组变量，所有变量参加相“与”的项叫做最小项。 在一个最小项中， 每个变量只能以原变量或反变量出现一次。
一个变量A有二个最小项：
A, A
二个变量A、B有四个最小项：
__ _
_
A B, A B, A B, AB
三个变量A、B、C有八个最小项： ABC , ABC, ABC , ABC,
逻辑(luó jí)函数与逻辑(luó Ají)图
B
_
F AB A B
&
≥1 F
&
图3-2 逻辑(luó jí)
函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最简式。 化简电路， 就是
数电公式法化简
数电公式法化简
在数字电路中，使用布尔代数的基本法则可以对逻辑表达式进行化简。
下面介绍几个常见的数电公式化简的方法：
1.代数法：利用布尔代数的基本规则（如分配律、结合律、德摩根定律等）对逻辑表达式中的项进行展开和合并，以简化逻辑电路。
2.卡诺图法：卡诺图是一种将逻辑表达式可视化的方法。
通过将逻辑函数的真值表转化为卡诺图，可以直观地找出逻辑表达式中的最简形式。
3.真值表法：列出逻辑函数的真值表，并找出其中的规律，通过观察真值表中的1的分布情况，判断哪些项可以合并，从而得到最简形式。
4.极小项与极大项法：将逻辑函数表示为与或表达式后，利用极小项（逻辑函数为1的最小项）和极大项（逻辑函数为0的最大项）来化简逻辑函数。
将重复出现的项进行合并和消去。
需要注意的是，在化简过程中，应注意遵循布尔代数的基本规则，并要合理利用化简后的逻辑表达式的特点，例如选择合适的公式展开
顺序、尽量合并重复的项等。
除了以上方法外，还可以使用电路分解、电路索引和逻辑运算性
质等技巧来帮助化简逻辑表达式。
需要根据具体题目的要求和逻辑表
达式的复杂程度选择适合的方法进行化简。
数字电路第3章 布尔代数与逻辑函数化简
Y f ( A, B, C,)
注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
Y1 f ( A, B, C,)
Y2 g ( A, B, C,)
它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2 是相等的，记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。 证明等式：
如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子 是多余的。
3、应用多余项定律
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将冗余项ＢＣ消去。
Y1 AB AC ADE C D AB ( AC C D ADE) AB AC C D
Y2 AB B C AC( DE FG) AB B C
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个 逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。
3.2 逻辑函数 的代数法化简
• 对逻辑函数进行化简，可以求得最简逻辑表达式，也 可以使实现逻辑函数的逻辑电路得以简化，这样既有 利于节省元器件，也有利于提高可靠性。 • 逻辑函数有如下两种化简方法： • 代数法：利用逻辑代数的基本公式和规则来化简逻辑 函数。 • 图解化简法：又称卡诺图（Karnaugh Map）化简法。
摩根率还可以推广到两个以上变量：
A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An
（2）对偶规则：
数电
第2章 逻辑代数及其简化
逻辑函数描述具有二元状态的事件之间的 逻辑关系，逻辑函数随逻辑变量变化而变 化，但自变量、函数取值都为0和1。
数字电路的输入、输出具备二元关系， 因此可以用数字电路来实现逻辑函数。
第2章 逻辑代数及其简化
2.1.2 三种基本逻辑函数
1. 与运算(逻辑乘) 与运算(逻辑乘)表示：只有当决定一 事件结果的所有条件同时具备时，结果 才能发生。 与逻辑可以用逻辑表达式（范例）表示为 F=A· B 意义：输入都为一时，输出才为一。
第2章 逻辑代数及其简化
② “长”非号不变，里面的表达式作变化。
F m(2,3,6,7)
一个逻辑关系的原函数的最大 项表达式和反函数的最小项表 达式是等价的（包含相同输入 组合）。
第2章 逻辑代数及其简化
2.1.4
逻辑函数与逻辑图的相互转化
用逻辑符号及其连线表示基本单元 电路及其组合称为逻辑图。逻辑图也是 逻辑函数的一种表示方式。
用逻辑符号及其连线来代替逻辑函 数中的逻辑运算，就可得到函数的逻辑 图。
2n 1 i 0
M
i
0
② n变量的任意两个不同的最大项的逻辑 和必等于1，即
Mi M j 1(i j)
第2章 逻辑代数及其简化
3. 最大项表达式—— 在一个或与式中，如果所有的或项均 为最大项，则称这种表达式为最大项表达 式，或称为标准或与式、标准和之积表达 式。 将真值表中函数为0所对应的所有最大 项相与便可由真值表得到该函数的最大项 表达式。它表明那些输入组合使函数为0。
第2章 逻辑代数及其简化
图 2-2 与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数及其简化
2. 或运算(逻辑加) 当决定一事件结果的一个或几个条 件具备时，结果发生。这种因果关系称 为逻辑加（或）。 或逻辑可以用逻辑表达式表示为
数电-第二章 逻辑代数
= AB AC
=右式
如果两个乘积项中，一项包括了原变量，另一项包括反变量， 次吸收律消 而这两项剩余因子都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积 除C和B 项是多余的。
分别应用两
2.1 逻辑代数
• For example： a） AB AB AB AB b）AB AC AB AC
2.1 逻辑代数
• For example: 化简函数
Y AB C ABC AB Y AB C ABC AB
AB(C C) AB
B(A A)
B
• For example: 化简函数
Y AB C ABC B D
Y AB C ABC B D
(A B)(A C)
AB 证明： B AB A B AB 证明： AC AB AC A
(A B)(A B) A A A B AB BB A B AB
AA AC AB BC AB AC BC A B AC
2.1 逻辑代数
• B、异或运算的一些公式 异或的定义：在变量A、B取值相异时其值为1， 相同时其值为0。即： B AB AB A 根据相似道理，我们把异或的非（反）称为同或， 记为：A⊙B= A B
1、交换律：
A B BA
2、结合律： (A B) C A (B C)
第二章 逻辑代数
本章重点内容 逻辑函数的化简
2.1 逻辑代数
逻辑代数是英国数学家乔治· 布尔(George Boole)于1849年提出的，所以逻辑代数又称 布尔代数。直到1938年美国人香农在开关 电路中才用到它，现在它已经成为分析和 设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工 具。 •A、逻辑代数的基本定律和恒等式
逻辑代数和逻辑函数化简
第2章 逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家George Boole 在十九世纪提出,因此也称布尔代数,是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
也叫开关代数，是研究只用0和1构成的数字系统的数学。
2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。
复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。
基本逻辑运算1.“与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。
②运算电路：开关A 、B 都闭合，灯F 才亮。
③表示逻辑功能的方法：表达式：F =A •B 逻辑符号：功能说明：有0出0，全1出1。
在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：A B国家标准 A B以前的符号A B欧美符号开关A 、B 的状态代表输入：“0”表示断开； “1”表示闭合。
灯F 的状态代表输出：“0”表示亮； “1”表示灭。
通过“•”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。
推广：当有n 个变量时：F =A 1A 2A 3∙∙∙A n “与”运算的几个等式： 0•0=0，0•1=0，1•1=1A •0=0（0-1律），A •1=A （自等律），A •A =A （同一律），A •A •A =A （同一律）。
2.“或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。
②运算电路：开关A 、B 只要闭合一个，灯F 就亮。
③表示逻辑功能的方法： 逻辑功能：有1出1，全0出0。
真值表：（略） 表达式：F =A +B 逻辑符号：推广：当有n 个变量时：F =A 1+A 2+A 3+∙∙∙+A n“或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1，1+1=1A +0=A （自等律）A +1=1（0-1律），A +A =A （同一律）。
上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。
3．“非”运算①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。
逻辑代数基本原理及公式化简
THANKS
感谢观看
未来发展方向与挑战
新技术与新应用
随着技术的不断发展，数字电路设计面临着 新的挑战和机遇，需要不断探索新的设计方 法和工具，以适应新的需求。
复杂系统设计
随着系统规模的扩大和复杂性的增加，需要研究更 加高效的设计方法和算法，以应对复杂系统的设计 挑战。
人工智能与自动化
人工智能和自动化技术的发展为数字电路设 计提供了新的思路和方法，可以进一步提高 设计的效率和智能化水平。
02
利用逻辑代数基本原理，可以分析组合逻辑电路的输入和输出
关系，简化电路结构。
通过公式化简，可以将复杂的逻辑表达式转换为简单的形式，
03
便于理解和应用。
时序逻辑电路的分析与设计
01
02
03
时序逻辑电路由触发器 和逻辑门电路组成，具
有记忆功能。
利用逻辑代数基本原理 ，可以分析时序逻辑电 路的状态转移和输出特
分配律与结合律
分配律
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C，(A+B)⋅C=A⋅C+B⋅C
结合律
(A+B)+C=A+(B+C)，(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
公式化简的步骤与技巧
利用分配律和结合律化简
利用吸收律和消去律化简
利用吸收律和消去律简化表达式 ，消除冗余项。
利用分配律和结合律将表达式重 组，便于化简。
在自动化控制系统中，逻辑代数用于描述和优化控制逻辑。
逻辑代数的发展历程
起源
逻辑代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole ）在19世纪中叶提出。
发展
随着电子技术和计算机科学的进步，逻辑代数在 20世纪得到了广泛的应用和发展。
逻辑代数及逻辑函数的化简
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.逻辑函数的表示方法
逻辑真值表；逻辑表达式；逻辑图；卡诺图 (1) 逻辑真值表
以上面的举重裁判电路为例
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
第15页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
四、逻辑代数的基本定理
1. 代入定理
在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例: 代入定理证明德•摩根定理也适用于多变 量的情况。 解：
A ( B C) A ( B C) A B C A ( B C) A ( B C) A B C
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
2.“或”门
输入、输出端能实现或运算的电路叫做“或 门”。或门的符号也就是或运算的符号。 逻辑式： F=A+B+C 逻辑符号： A B C
1
F
注1.常见的有二输入或门，三输入或门、四输入或 门等。 注2.常把或门的一个输入端作门的控制端，当控制 端为“0”时，或门打开，为“1”时，或门功能禁 止。
第 1页
数字电路与数字逻辑
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
第二章 逻辑代数及逻辑函数的化简
§2.1 逻辑代数的基本原理
数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、…表示，逻辑变量的取值只有两 种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必 须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。
电子技术(数电部分-第2章 逻辑代数和逻辑函数
A B C ( A B) ( A C )
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
A B C ( A B) ( A C )
; 分配律 ; 结合律 , AA=A ; 结合律
=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC
33 MHz
• 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点
变量 赋值 为1时 用该 变量 表示； 赋0时 用该 变量 的反 来表 示。
33 MHz
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的十 进制数
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意 括号
注意括号
F1 ( A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
与或式
33 MHz
例2： F2 A B C D E
F2 A B C D E
“+” 换成 “· ”，0 换成 1，1 换成 0，
则得到一个新的逻辑式 Y´，
则 Y´ 叫做 Y 的对偶式
A AB A
33 MHz
Y AB CD
对偶式
A( A B) A
Y ( A B)(C D)
2.2 逻辑函数的变换和化简
2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。 四 种 表 示 方 法
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式的化简是指将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
化简的目的是减少逻辑门的数量，简化电路结构，提高电路的可靠性和性能。
常用的逻辑表达式化简方法有两种：代数化简和卡诺图化简。
1. 代数化简：
- 使用布尔代数定律和布尔运算规则进行化简。
常用的代数
化简定律有：吸收定律、分配定律、德摩根定律等。
- 通过代数化简，将逻辑表达式中存在的冗余项、重复项、
冗长项等进行合并、简化，以达到减少逻辑门数量的目的。
2. 卡诺图化简：
- 将逻辑函数的真值表按照输入的组合方式进行分组，并绘
制成卡诺图。
- 通过对卡诺图的分析，找出逻辑函数中的主要项和次要项，去除冗余项，并将其化简为最简的逻辑表达式。
- 卡诺图化简方法适用于逻辑函数较复杂的情况，可以有效
地降低逻辑门的数量。
需要注意的是，在进行逻辑表达式化简时，要关注逻辑函数的功能需求，并根据具体的电路设计要求选择适合的化简方法。
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式化简摘要：1.数电逻辑表达式的概念与意义2.化简数电逻辑表达式的方法3.化简过程的实例演示4.化简后的表达式应用场景5.总结与展望正文：【1.数电逻辑表达式的概念与意义】在数字电子电路中，逻辑表达式是一种描述电路功能和逻辑关系的重要手段。
它采用布尔代数，通过运算符（如AND、OR、NOT等）连接变量，表示电路中各信号的逻辑关系。
化简数电逻辑表达式，就是将一个复杂的逻辑表达式转化为一个更简单、更容易理解和分析的形式。
【2.化简数电逻辑表达式的方法】化简数电逻辑表达式的常用方法有以下几种：1）代入法：将表达式中的一个变量用另一个变量表示，从而简化表达式。
2）乘法公式：利用乘法公式（如分配律、结合律等）简化表达式。
3）除法公式：利用除法公式（如分配律、结合律等）简化表达式。
4）德摩根定律：将表达式中的乘法项转化为加法项，或将加法项转化为乘法项。
5）卡诺图：将逻辑表达式转化为图形化表示，便于观察和化简。
【3.化简过程的实例演示】以一个简单的逻辑表达式为例：A ·B +C · D化简过程如下：1）利用乘法公式，将表达式转化为：(A · B) + (C · D)2）利用德摩根定律，将表达式转化为：A ·B +C ·D = A + B · C + D3）将表达式中的变量用另一个变量表示，得到简化后的表达式：A +B ·C + D【4.化简后的表达式应用场景】化简后的逻辑表达式更易于分析和设计数字电子电路。
在实际应用中，化简后的表达式可以帮助工程师快速了解电路的逻辑功能，简化电路分析与设计过程，提高工作效率。
【5.总结与展望】数电逻辑表达式的化简是数字电子电路设计与分析的重要环节。
掌握化简方法，善于运用乘法公式、德摩根定律等工具，能够将复杂的逻辑表达式简化，为电路设计提供便利。
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式化简（原创实用版）目录1.数电逻辑表达式的概念2.数电逻辑表达式的化简方法3.化简过程中的技巧和注意事项4.实际应用案例正文【1.数电逻辑表达式的概念】数电逻辑表达式（Digital Logic Expression，简称 DLE）是用来描述数字电路中逻辑关系的数学表达式。
在数字电路设计中，逻辑表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解和分析电路的工作原理，同时也可以指导我们设计出符合要求的电路。
【2.数电逻辑表达式的化简方法】数电逻辑表达式的化简是指将复杂的逻辑表达式简化为简单的逻辑表达式，这样可以使我们更容易理解和分析逻辑关系。
化简的方法主要有以下几种：（1）逻辑代数法：利用逻辑代数的运算法则，如德摩根定律、分配律等，将复杂的逻辑表达式化简为简单的逻辑表达式。
（2）卡诺图法：通过画出逻辑表达式的卡诺图，然后通过卡诺图的化简规则，将复杂的逻辑表达式化简为简单的逻辑表达式。
（3）逻辑门法：利用逻辑门的特性，如与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门等，将复杂的逻辑表达式化简为简单的逻辑表达式。
【3.化简过程中的技巧和注意事项】在化简过程中，有一些技巧和注意事项需要我们掌握：（1）在化简逻辑表达式时，应尽量保持逻辑表达式的逻辑意义不变。
（2）在化简过程中，可以适当地使用逻辑代数的运算法则，这样可以使化简过程更加简便。
（3）在绘制卡诺图时，应准确地表示出逻辑表达式的逻辑关系，这样才能保证化简的准确性。
【4.实际应用案例】假设我们有一个逻辑表达式：A·B·（C·D）+（A·B·C）·（A·B·D），我们可以通过逻辑代数法和卡诺图法将其化简为：A·B·C·D。
在这个过程中，我们首先利用逻辑代数法将逻辑表达式化简为：A·B·C·D+A·B·C·D，然后再利用卡诺图法将其进一步化简为：A·B·C·D。
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23
4）异或逻辑运算 对于两变量的异或运算，当输入相异时输 出为1，输入相同时输出为0。
24
5）同或逻辑运算 对于两变量的同或运算，当输入相同时输出为1， 输入相异时输出为0。
25
2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式
1. 基本公式
01定律：
0 A 0, 0 A A,
20
4. 几种常用的逻辑运算
由与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成多种
常用的复合逻辑运算。 1）与非运算
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
F AB
F 1 1 1 0
21
4. 几种常用的逻辑运算
2）或非运算
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 1 0 0 0
22
4. 几种常用的逻辑运算
当条件不具备时，事件才会发生。
R
E
• A
逻辑非运算的真值表 Y
A 0 1 F 1 0
•
19
3. 非运算
非运算的逻辑表达式为 F A，式中A上的“－” 为非运算符号，EDA中表示为 A ' 。 F
非运算的规则为：0 1, 1 0 实现非运算的单元电路叫非门（或反相器），非 门的逻辑符号如图所示。
F AB ACD
F ( A B)( A C D)
F ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
标准与或表达式： F ABCD ABCD ABCD
F ABCD
F AB CD
40
或非或非表达式: F A B C D 与或非表达式：
31
2.常用公式
5. AB AC BC AB AC
AB A C BC AB A C ( A A ) BC AB A C ABC A BC AB A C
例:Y AC AB B C AC AB BC AC BC
第2章逻辑代数及其化简 作业：
2-5（2） 2-11（5） 2-14（2） 2-6（2） 2-12（4） 2-8 2-13（4）
目 录
2.1 计数制与编码
2.2 逻辑代数基础 2.3 逻辑函数常用的描述方法 2.4 逻辑函数的化简 2.5 具有无关项逻辑函数的化简 2.6 用Multisim 2001进行逻辑函数的化简与变换
计算机等数字系统所处理的信息多为数值、文字、
符号、图形、声音和图像等，它们都可以用多位 二进制数来表示，这种多位二进制数叫做代码。 如果用一组代码并给每个代码赋以一定的含义则 称编码（Encode）。
7
在 数 字 电 路 中 ， 常 用 二 - 十 进 制 码 ， 也 叫 做 BCD
（Binary-Coded Decimal）码。 所谓二-十进制码，就是用4位二进制数组成的代码 来表示1位十进制数。 4位二进制数具有16种组合，二-十进制数的10个数
42
3.逻辑图
由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间
关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。
43
4. 卡诺图
将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排列 出各组变量的所有取值组合，构成一个有 2 n 个方 格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取 值组合，这种图形叫做卡诺图。
44
Hale Waihona Puke 2.3.2不同描述方法之间的转换
14
1. 与运算
3）逻辑符号（电路图）：在数字电路中，实现
逻辑与运算的单元电路叫与门，与门的逻辑符 号如图所示。 本教材采用的 符号
15
2. 或运算
在决定一事件发生的多个条件中，只要有一个
条件满足，此事件就会发生。 A B 逻辑或运算的真值表
•
F
•
E
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 0 1 1 1
输入
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
输出
F 0 0 0 1
与逻辑运算真值表
13
1. 与运算
2）逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达
式为F＝A· B，式中“· ”为与运算符号，有时也 可以省略。 与运算的规则为： 0· 0＝0，0· 1＝0，1· 0＝0，1· 1=1。 与运算可以推广到多个逻辑变量，即 F＝A· C·。 B· · ·
分配律：A( B C ) AB AC
A BC ( A B)( A C )
27
2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式
反演律： B A B, AB A B A
同理可证明： ABC A B C
A B C ABC
46
表2-13 逻辑函数 F AB BC C A 的真值表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
F
0 1 1 1 1 1 1 0
47
2.真值表→表达式
真值表
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 1 0 1 0 1 找出输出 “1‖的组合
推论： AC BCDEF（） AB AC AB
32
*异或公式（补充）
A0 A A 1 A AA 0 A A 1
33
2.2.3 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则
对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其
他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。 例如,等式 AB A B ，若函数F＝BC去置换 等式中地变量B，
1 A A 1 A 1
重叠律：
A A A,
A A A
26
2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式
互补律：A A 0, A A 1
交换律：A B B A, AB BA
结合律：A B C）（A B） C, ( AB)C A( BC) （
研究二值变量的运算规律，所以也称为二值代数。
10
2.2.1逻辑代数的基本运算和复合运算
逻辑代数的基本运算包括与、或、非三种运算。
下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基
本逻辑运算的物理意义。
设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭合为逻辑1、 开关断开为逻辑0；设灯为逻辑函数F，约定灯亮 为逻辑1，灯灭为逻辑0。
16
2. 或运算
或运算逻辑函数表达式为F＝A＋B，式中“＋” 或运算的规则为：
为或运算符号。
0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1=1。
逻辑或运算也可推广到多个逻辑变量，即
F=A+B+C+……。
17
2. 或运算
实现逻辑或运算的单元电路叫或门，或门的逻
辑符号如图所示。
18
3. 非运算
4.十六—二进制
( 8 F A. C 6)16
5
=(1000 1111 1010.1100 0110) 2
按“形”表示，就是用代码来表示某些数的
“值”。 按“形”表示一个数时，先要确定编码规则，然 后按此编码规则编出代码，并给代码赋以一定的 含义，这就是所谓的编码。
6
2.1.2 编码
4
D= ki2i
2.1.1 常用计数制及其转换（自学）
1. 二—十进制 (101.11)2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2=(5.75)10 2. 十—二进制 分整数和小数两部分： 整数部分除以2取余，小数部分乘以2取整。 3. 二—十六进制
(101,1110.1011,0010)2 =(5 E . B 2)16
字符号只需选用其中的10种组合来表示常用的几种
二-十进制编码如表2-1所示。
8
表2-1 常用的几种二-十进制编码
有权码
无权码
9
2.2 逻辑代数基础
英国数学家乔治· 布尔（George Boole）于1847年
在他的著作中首先对逻辑代数进行了系统的论述，
故逻辑代数始称为布尔代数，因为逻辑代数用于
1.表达式→真值表
由表达式列函数的真值表时，一般首先按自然二
进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同
取值组合，再确定其对应的函数值。
45
例2-1 列出逻辑函数 F AB BC C A 的真值表
解：逐个将变量A、B、C的各个取值组合代入
逻辑函数中，求出相应的函数值。 ABC 取 0 0 0 时 ， F 为 0 ； ABC 取 0 0 1 时 ， F 为 1；… …；ABC取110时，F为1；ABC取111时， F为0。 按自然二进制码的顺序列出变量A、B、C的所 有不同取值组合，再根据以上的分析结果，
例 F D A D BC
F D A D (B C )
36
3. 对偶规则
对于一个逻辑函数式F,若将其中的
0 1, ,
1 0,
则得到的结果就是F的对偶式。 F F’
F A( B C )
F ' A BC
37
若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。
2.真值表
用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格， 称为真值表。
例如，对于三变量的判断奇数的电路中，当A、
B、C三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则，
输出F为0。
41
表2-12 三变量判断奇数电路的真值表
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 1 1 0 1 0 0 1