高等几何3.6节

（※）
它的根就是两个对合的公共对应元素。由于这两个已知对 合互异，因此
a1 : b1 : d1 a2 : b2 : d2
Hale Waihona Puke Baidu
即方程（※）系数不全为0，所以方程（※）有且只有两 个根。即同底的两个对合有唯一的一对公共的对应元素。
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3.6 对合对应
G
三、对合的初等几何表示
E
A
B
H F B’ A’O C’
非重叠的：点列与线束，两不共底的点列，两不同心的线束
{ p q}
点列的交比 (2)交比 线束的交比
交比的定义 交比的计算 交比的性质
调和比 (交比值为-1)
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第三章 一维射影几何学
五、第三章总结
1.本章主要内容
（3）一维射影对应
①定义：
{ p q}{ p ' ' q ' }
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3.6 对合对应
三、对合的初等几何表示
2.若l与GH 相交，则k OG OH 0, 对合为椭圆型的； 若l与GH的延长线相交，则k OG OH 0, 对合为双曲型的； 过G、H分别作两圆与l相切，切点为E、F， 则E、F是对合的二重元素。 事实上，由切割线定理 OE 2 OH OG OF 2 可见 E | E , F | F .
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第三章 一维射影几何学
五、第三章总结 4.两个同类不重叠的一维几何图形的射影对应：
x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2 a11 a12 a21 a22 0,
0
成透视对应的充要条件是：
a11 a22 2a12 0 2a21 a11 a22
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高等几何（第二版 朱德祥 朱维宗编）
第三章 一维射影几何学
3.6 对合对应
云南师范大学数学学院
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提 纲
3.6 对合对应 一、本节主要内容 二、重要内容例讲 三、对合的初等几何表示 四、课堂讨论 • 第三章总结
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3.6 对合对应
本节主要讨论重叠的两个一维几何形式的特殊射影对应——对合对应
l C
1.设有通过平面上两定点G、H的圆系，以直线l截止， 得交点A、A，B、B，C、C， 记O GH l. 由圆幂定理 OA OA OB OB OC OC OG OH (定值) 再由定理3.21即知A、A，B、B，C、C是某一对合中的 对应点，O是对合中心.
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3.6 对合对应
x 2 x 5x 2 5 1 1 2 , 12 例1.求射影变换 x2 2 x1 x2 2 1
的自对应元素，并判断其类型 解：用非齐次坐标表达射影变换式，得：
2 x1 5 x2 2 x 5 x , 2 x1 x2 2x 1 即：2 xx 2 x x 5 0
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3.6 对合对应
三、对合的初等几何表示 （1）通过A、A任作一圆，再通过B、B作一圆 与前一圆交于G、H两点（因对合是重叠的一维 几何图形，故A、A、B、B在同一直线l上）； （2）过C、H、G三点作圆，交直线l=AB于点C， 则C是C的对合对应点. 注：若线段AA‘和BB’是一个在另一个内容，或是 一个在另一个外部，则对合是双曲型的，要得到 二重点E、F，只要以O为中心，以O到一圆的切线 长为半径作圆与l相交即得.若线段AA‘和BB’互相 穿插，则对合为椭圆型的。
a b c d 0(ad bc 0)
自对应元素满足方程：
as 2 (b c)s d 0
（※）
(1)当 a 0, b c 0, d 0时，方程（※）有无穷多自对应元素， 且射影对应式为

──恒同映射
(2)当 a, b c, d 中至少有一个不为零时，方程（※）有两个 自对应元素：1 , s2 s
定理3.20：(1)对合有两个二重元素，这两个二重元素 是不重合的，可能是共轭复元素；(2)这两个二重元素 调和分割任意一对对应元素。
推论：没有抛物型对合
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二.重要内容例讲
3.6 对合对应
例3.求以5，2为二重元素的对合方程。 2 7 2 7( ) 20 0, 0 7 20
0 1 1 x , 1 1 x 1 1
它的自对应元素由下式给出：
s2 s 1 0
即自对应元素为 , 2 ,因而是椭圆型射影变换。
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二.重要内容例讲 2.对合的性质与方程
3.6 对合对应
定理3.18：在成射影对应的两个重叠的一维几何形式 里，只要有一对不重合的元素交互对应，那么这个射 影对应是对合。 定理3.19：对合由两对不同的对应元素唯一确定。
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3.6 对合对应
三、对合的初等几何表示
3.由OA OA OG OH OE 2 OF 2可知 O为线段EF 之中点，再按教材P.61Ex3.7(定理3.6之逆) 有 （AA,EF）=-1,同理（BB,EF）=-1, （CC,EF）=-1, 即对合的二重元素调和分割任意一对对应元素. 4.设给定了对合的两对对应元素 A | A, B | B 作一已知点C的对合对应点的作法是：
3.6 对合对应
a1 a2 1
b1 b2 t
d1 d2 0 t2
它是t的二次方程：
a1
b1
a2 b2
t
2
a1 a2
d1 d2
t
b1 b2
d1 d2
0
（※）
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二.重要内容例讲
a1 b1 t
2
3.6 对合对应
a1 a2 d1 d2 t b1 b2 d1 d2 0
a2 b2
二.重要内容例讲 a1 xx b1 ( x x) d1 0 解方程组： a2 xx b2 ( x x) d 2 0 xx t ( x x) t 2 0 将 xx, x x,1 看作未知数，由于该齐次线性方程组有非
零解，故
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3.6 对合对应
四、课堂讨论
1. 还有什么不清楚的地方？
2. 对合与一维射影变换有何异同？
3. 你能举两个对合的具体例子吗？
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第三章 一维射影几何学
五、第三章总结 1.本章主要内容
(1)一维几何基本图形：点列或线束： 重叠的：共底的点列，共心的线束 ——特征：基底元素相同
五、第三章总结 2.射影对应间的关系：
透视
射影 对合
重叠的一维几何形式 S 2 I ( S S 1 ), S I
3.一维射影几何研究的方法
代数方法：工具是交比：两个一维几何图形成射影对应 的充要条件是：对应四元素交比相等. 几何方法：工具是射影： 将射影分解为有限个透视之积（见§3.5）.
o 2

3o. 11

1
2 . ( 2 0)
o
1 1 1 0
2 2 2 2 1
4
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二.重要内容例讲
3.6 对合对应
1.射影变换的分类 设：{ p q} { p q} ，于是参数 与 满足：
2 即（a11 a22） 4(a11a22 a 212 )
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第三章 一维射影几何学
五、第三章总结 5.一维射影对应：
a b ①a b c d 0, 0, c d
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例4.重叠的一维几何形式的射影变换，若不是对合，必是 两个对合的乘积。 2 证:(1)若射影变换T=I(恒同变换)，则T=I= S（S为任意的对合） (2)设T为射影变换，既不是对合也不是恒同变换。
又设 T ( ) , T ( )
现在作一个射影变换，使 这射影变换使元素 与 交互对应，所以是一个对合，记为 S，且 是这对合的一个自对应点，于是： ST ( ) S ( ) 可见，射影变换ST使 与 交互对应，因而是对合，记为
设一对对应元素 x x 既属于第一对合，也属于第二对合， 那么 除满足以它们为根的二次方程： x, x
xx t ( x x) t 2 0
[0 t pt q
2
p ( x x ) q xx

t 2 ( x x)t xx]
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重叠的一维几何形式：两个同底的点列或两个共心的线束：
{ p q}和{ p q}
M ( p q)
P
M ( p q)
Q
q
p
m( p q)
m( p q)
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3.6 对合对应
一.本节主要内容：
定理3.17：若 { p q} { p q} ,则它有两个自对应元素(二重元素) 分 分类：双曲型：射影变换有两个互异实元素；抛物型：射影变换有两 类 个重合实元素；椭圆型：射影变换有两个共轭复元素。 定义3.3：若 { p q} { p q}且 , ，该射影对应又 非恒同映射，则为对合，记作S，即S 为对合 S ( ) , S ( ) , 2 1 S I . 或S 为对合 S I (或S S ), S I . 对 合 性质：定理3.18（对合的判定）；定理3.19（对合的确定）；定理 3.20（无抛物型对合，对合二重元素调和分割任意一对对应元素）； 定理3.21（对合的范式） 方程：1 .a b( ) c 0(ad b 0)
a b a b c d 0, 0, c d
' '
或 , 0
'
②射影对应的代数表达式 .
③射影变换的二重元素及分类.
透视对应——应用
定义 对合 性质 代数表达式
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④射影对应的确定 .
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第三章 一维射影几何学
解：设 是对合的任意一对对应元素，于是： ( 5)( 2) 1 （52， ）= ,即 ( 5)( 2) 5)( 2)+( 5)( 2)=0. （ 展开后整理得： 2 7 2 （ ）+20=0， 7 0. 7 20
S1 ,即 S1 ST 1 1 上式以 S 左乘之，得T SS1 , (注意到S S )
即T是两个对合的乘积。
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3.6 对合对应
二.重要内容例讲
例5.同底的两个对合有唯一的一对公共的对应元素。 证：设一直线上有两个对合：
a1 b1 ( ) d1 0, a2 b2 ( ) d2 0,
求二重元素的方程为： 2s 2 3s 5 0 5 (2s 5)( s 1) 0 s1 1, s2 2 （或 (1,1), (5, 2)）射影变换为双曲型的。
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3.6 对合对应
例2.设A、B、C是互异的共线四点，且 A B, B C, C A 求证此射影变换是椭圆型的。 证明:由Hesse定理（参看习题3.15）知，该射影变换式为：
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3.6 对合对应
二.重要内容例讲
（1）射影变换的分类
(b c)2 4ad 0 双曲型射影变换 s1 s2 .s1 , s2 R
分类 抛物型射影变换 (b c)2 4ad 0
s1 s2 .s1 , s2 R s1 , s2 C
椭圆型射影变换 (b c)2 4ad 0