银川市数学高三理数4月高中教学质量检测试卷(II)卷
2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)
2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。
宁夏回族自治区银川市2023届高三下学期学科教学质量检测(一模)数学试卷及答案
银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}*5A x x x =∈≤N 且，()(){}130B x x x =+->，则U A C B = （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32．在复平面内，已知复数11z i =-对应的向量为1OZ ，现将向量1OZ绕点O 逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量2OZ ，设2OZ 对应的复数为2z ，则21zz =（）A ．2iB．C ．2D．3．a b >的一个充要条件是（）A ．11a b<B ．22ac bc>C ．22log log a b >D ．1.7 1.7a b>4．已知函数2()121xf x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点，O 是AC 与BD 的交点，以下命题中正确的是（）A ．1//BC 平面AECB ．1B O ⊥平面AECC ．1DB ⊥平面AECD ．直线1A B 与直线AE 所成的角是60°6．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA = ，则CE 与BD的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°7．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，现将角α的终边绕原点O逆时针方向旋转6π与单位圆交点的纵坐标为35，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．725-B ．725C ．1825-D ．18258．已知圆锥SO ，其侧面展开图是半圆，过SO 上一点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO 的侧面积与圆锥SO 的侧面积的比为34，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比为（）A ．38B ．12C ．58D ．349．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为()(),2,!0,1k P K e k k x λλ-=== ，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中np λ=．一般地，当20n ≥而0.05p ≤时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量()~1000,0.001X B ，()2P X ≥的近似值为（）A ．11e-B ．21e-C ．14e -D ．211e -10．已知函数()2sin()(0,2f x x πωϕωϕ=+<>的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为4πB ．()g x 的图象关于直线23x π=对称C ．()g x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过原点O 作斜率为()0k k >的直线交C 于点A ，取OA 的中点B ，过点B 作斜率为k -的直线l 交x 轴于点D ，则AF OD -=（）A ．1B ．2C ．4D ．与k 值有关12．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)2f x f x ++-=，(2)(2)f x f x +=-，()f x 在[]0,1单调递减，则不等式1(1)12f x -<在区间[]8,8-所有整数解的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．点(),0F c 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与双曲线C 的一条渐近线交于A 、B ，若△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为________．14．在△ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，BC =D 为BC 边上一点，且AB AD ⊥，则△ABD 的面积等于________．15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．16．关于x 的不等式log (01)x a a x a a ≥>≠且恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨．2018年至2021年全国水产品年产量y （单位：千万吨）的数据如下表：年份2018201920202021年份代号x 1234年产量y6.466.486.556.69（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数:渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121ˆniii nii x ynxy xnx β==-=-∑∑，ˆˆy x αβ=-，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828参考数据 6.545y =4165.83i ii x y==∑18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a n -++++=⋅ ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在①2n a n n S b n =+，②1n nb S =，③1(1)2n n n b a -=-⋅这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA PC =，AB BC =．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且22AB CD ==，90ABC ∠=︒，二面角P BC D --大小为45°，点E 是线段AP 上的动点，求直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E 的位置．20．（本小题满分12分）21()ln (1)2f x ax x a x =+-+．（1）当4a =-时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0a >时，设()()f x g x x=，若()g x 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+>>=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E 过(2,1)T ，直线:l y x m =+与椭园E 交于A 、B ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线TA 、TB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：120k k +=；（3）直线l '是过点T 的椭圆E 的切线，且与直线l 交于点P ，定义PTB ∠为椭圆E 的弦切角，PAB ∠为弦TB 对应的椭圆周角，探究椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠的关系，并证明你的论．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 是以(2,)2π为圆心，且过点23M π的圆．（1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的普通方程；（2）直线l 过点(1,1)P 且与曲线C 交于A ，B 两点，求22PA PB +的值．23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()221f x x x =+--．（1）求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若(],,1a b ∈-∞且满足()()f a f b >，记c 是()f x 的最大值，证明：2122()a cb a b +≥+-．银川市2023年普通高中学科教学质量检测理科数学参考答案选择题答案123456789101112C ADCBCAABCAB填空题答案13．621415．4516．1,e e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．（1）解：由题意知：1(1234) 2.54x =+++=， 6.545y =4165.83iii x y==∑4222221123430ii x==+++=∑所以414221465.834 2.5 6.5450.076304 2.54iii ii x yxyxx β==--⨯⨯===-⨯-∑∑，6.5450.076 2.5 6.35ˆ5ˆay x β-⨯==-=故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.076 6.355yx =+．当8x =时，ˆ0.0768 6.355 6.963 6.9y=⨯+=>6分所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标．（2）列联表渔业年产量超过90万吨的地区渔业年产量不超过90万吨的地区合计有渔业科技推广人员高配比的地区41216没有渔业科技推广人员高配比的地区10616合计141832222()32(461012) 4.571 3.841()()()()16161418n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯>⨯⨯故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．12分18．解：因为211233333n n n a a a a n -++++=⋅ 当2n ≥时2211231333(1)3n n n a a a a n ---++++=-⋅ 相减得11133(1)33(21)n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+得21n a n =+3分当1n =时，13a =满足上式4分综上：21n a n =+22n S n n=+6分（2）选①2n a nn S b n=+解：由（1）可知：21n a n =+22n S n n=+∴2212122222na n n n n S n nb n n n+++=+=+=++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ ∴3(32)2(14)(5)8(41)21423n n n n n n n T ++-+-=+=+-12分选②1n nb S =解：由（1）可知：22n S n n=+∴11111((2)22n n b S n n n n ===-++∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 111111111111111111()()()(((21322423524621122n T n n n n =-+-+-+-+++-++ 111113111(()212124212n n n n =+--=-+++++12分选③1(1)2n n n b a -=-⋅解：由（1）可知：21n a n =+∴1(1)22n n n n b a n -=-⋅=⋅∵1231n n nT b b b b b -=+++++ 则1231122232(1)22n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 于是得23122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得231112(12)222222(1)2112n nn n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以1(1)21n n T n +=-⋅+．12分19．（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OP∴OP AC ⊥①同理可得，OB AC ⊥②∵平面OP OB O = ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ∴PB AC⊥5分（2）以C 为原点，以CD 为x 轴，以CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，又90ABC ∠=︒，//AB CD ，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥面PCD ，所以BC PC⊥PCD ∠二面角P BC D --的平面角，45PCD ∠=︒，22AB CD ==，所以P （2，0，2），A （2，2，0），B （0，2，0），D （1，0，0）设(),,E x y z ，()0,2,2PA =- ，()2,,2PE x y z =--，设PE PAλ= 解得()2,2,22P λλ-，所以()2,22,22PB λλ=--设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =()0,2,2PA =- ，()1,2,0PD =22020y z x y -=⎧⎨-=⎩令1y =，∴2x =，1z =()2,1,1n =直线EB 与平面PAD 所成角的正弦值sin cos ,3<>PB n θ===≥，min 2sin 3θ=，此时0λ=，E 与P 重合．12分20．解析：21()ln (1)2f x ax x a x =+-+当4a =-时，2()2ln 3f x x x x=-++所以21431(41)(1)()430x x x x f x x x x x-++---'-++==>=解得1x >所以()f x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减所以()f x 在1x =处取得极大值(1)1f =，无极小值．5分()1ln ()(1)2f x xg x ax a x x==+-+有两个极值点，所以22211ln 11ln 2()02ax xx g x a x x +--'=+==有两个不等正根所以21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．211()0ax h x ax x x-'-=>=解得x >所以()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增当0h <，即11102a a +-<，解得3a e -<10分当x ∈时，令0min x ⎧⎪=⎨⎪⎩，易知，当0x x <，()0h x >当)x ∈+∞又因为ln 1x x <-，ln 1x x ->-+所以2211()1ln 222h x ax x ax x =>+-+-令2122y ax x =+-，当140a ∆=-≤，21202y ax x =+-≥恒成立所以存在0)x ∈+∞，当0x x >，()0h x >当140a ∆=->，21202y ax x =+-=有根1114a x a =，2114a x a +=所以存在02x x >时，当0x x >，()0h x y >>由零点存在定理，21()1ln 02h x ax x =+-=有两个不等正根．综上30a e -<<12分21．解析：（1）由题意知2b c a ==所以222a b=又椭圆经过T （2，1），所以22411a b+=解得26a =，23b =，所以椭圆方程为22163x y +=2分（2）联立直线与椭圆方程得2226y x mx y =+⎧⎨+=⎩∴222()6x x m ++=，∴2234260x mx m ++-=又因为有两个交点，所以221612(26)0m m ∆=->-，解得33m -<<又1243mx x +=-，212263m x x -=121212121211112222y y x m x m k k x x x x --+-+-+=+=+----1212122121112(1)(2222x m x m m x x x x -++-++=+=+++----1212121212442(1)2(1)(2)(2)2()4x x x x m m x x x x x x +-+-=++=++---++2442(3)32(1)2(1)0264(1)(3)2()433mm m m m m m m --+=++=-+-++--+得证8分（3）椭圆E 的弦切角PTB ∠与弦TB 对应的椭圆周角TAB ∠相等设切线方程为()12y k x -=-221226y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩∴222(12)6x kx k ++-=∴222(12)4(12)2(12)60k x k k x k ++-+--=0∆=∴1k =-设切线与x 轴交点为Q ，TA 、TB 分别与x 交于C ，D12 0k k +=，所以TCD TDC ∠=∠，又TQD AMC ∠=∠，TCD TAB AMC ∠=∠+∠，TDC PTB POD ∠=∠+∠所以PTB BAT ∠=∠证毕．12分22．（1）解：∵直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）∴直线l的普通方程为10x --=由cos x ρθ=，sin y ρθ=得，C （0，2），(M ，半径2CM =∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=5分（2）由（1）可知：曲线C 的普通方程为2240x y y +-=，将直线l 的参数方程312112x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的的普通方程为2240x y y +-=整理得21)20t t +--=设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则有121212t t t t +=-=-⎧⎪⎨⎪⎩由参数t的几何意义可得：222222121212()2(12(2)8PA PB t t t t t t +=+=+-=-⨯-=-10分23．（1）解：由题意知：4,2,3,21,4, 1.x x y x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩作出函数()221f x x x =+--的图象，它与直线3y =-的交点为()1,3--和()7,3-．由图象可知：不等式()3f x ≥-的解集[]1,7-．5分（2）由（1）可知：当1x =时，()y f x =取得最大值3，即3c =∵()y f x =在(],1-∞上单调递增，且()()f a f b >∴a b >，即0a b ->∵2221112(2)2()3()()3()()()a cb a b a b a b a b a b a b +-+=-+=-+-+----30≥-=（当且仅当21()a b a b -=-时取等号）∴2122()a cb a b +≥+-即证之10分银川市2023年普通高中学科教学质量检测文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
宁夏回族自治区银川市第二中学2024届高三第三次质量预测数学试题试卷
宁夏回族自治区银川市第二中学2024届高三第三次质量预测数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞2．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±3．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-4．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23286．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)7．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．228．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]9．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．52D ．7210．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–2011．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．412．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析
宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．已知变量的几组取值如下表：x1 2 3 4 y2.4 4.3 5.37若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1343．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．34．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．1025．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ= ）A 5B 5C ．2D ．46．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．29．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．010．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 11．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4C ．2D 312．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届宁夏中卫市普通高中高三下学期高考二模考试数学(理)试卷及解析
2021届宁夏中卫市普通高中高三下学期高考二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈N|2x﹣7≤0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3} B．{0，1，2，3} C．D．{1，2，3}解：∵，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：B．2．设复数，那么在复平面内复数3z﹣1对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数＝＝＝﹣i，那么在复平面内复数3z﹣1＝﹣1﹣3i对应的点（﹣1，﹣3）位于第三象限，故选：C．3．已知a＝log32，b＝20.1，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a解：∵0＝log1＜a＝log32＜log33＝1，3＞＞20.1＝b＞1＞20＝1，∴c＞b＞a．故选：D．4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m∥n”是“α⊥β”的充分条件；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，即“m∥n”是“α⊥β”的不必要条件；所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（）A．2 B．C．D．4解：由题意几何体的直观图如图：正四棱锥P﹣ABCD，其中，PO⊥底面ABCD，ABCD是正方形，对角线长为2，PO＝2，所以PC＝PA＝PB＝PD＝＝，AB＝BC＝CD＝DA＝＝2，所以最长的棱长为．故选：C．6．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A．B．C．D．解：对于A，+++++＝＝1﹣＝；故A正确；对于B，+++…+＝+++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，故B不正确；对于C，++＝++＝，故C正确；对于D，∵1+2+3+…+n＝，∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝2（﹣）＝，故D正确．故选：B．7．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若，则抛物线的方程是（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x解：由题意如图，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），可知，∠NMF＝60°，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，所以MN＝FM，O是AF的中点，AN∥OD所以D是NF的中点，所以MD⊥NF，∠DMF＝30°，，所以|MF|＝＝4，则|MN|＝4，|DF|＝2，所以F在MN上的射影是MN是中点，所以F（1，0），可得p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x．故选：C．8．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）A．B．C．D．解：甲选两种书体共有5×4＝20种，乙选两种书体共有5×4＝20种，一共有400种选法，甲不选隶书体有4×3＝12种，乙不选草书体有4×3＝12种，共有12×12＝144种选法，共有12×12＝144种选法，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为P＝＝．故选：C．9．某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝（e x﹣e﹣x）cos x B．f（x）＝（e x﹣e﹣x）|cos x|C．f（x）＝（e x+e﹣x）cos x D．f（x）＝（e x+e﹣x）sin x解：对于B，当x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，cos x≥0，故f（x）＝（e x﹣e﹣x）|cos x|≥0，选项B 错误；对于C，由f（0）＝0可知，选项C错误；对于D，当x＝5时，f（5）＝（e5+e﹣5）•sin5＜0，不符合题意，选项D错误．综上，只有选项A符合题意．故选：A．10．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S≤恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）2A．（0，2] B．[2，+∞）C．（1，2] D．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则，，，所以，所以2a≤c，所以e≥2，故选：B．11．若lnx﹣lny＜（x＞1，y＞1），则（）A．e y﹣x＞1 B．e y﹣x＜1 C．e y﹣x﹣1＞1 D．e y﹣x﹣1＜1解：依题意，，令，则，∴函数f（t）在R上单调递增，∵，即f（lnx）＜f（lny），∴lnx＜lny，∴1＜x＜y，∴y﹣x＞0，∴e y﹣x＞e0＝1．故选：A．12．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．32﹣πB．48﹣12πC．28﹣πD．20﹣π解：由题意可知，小球球心活动的区域是棱长为2的正方体，小球活动不到的区域分为两个部分，一部分是棱长为2的正方体的外部，另一部分是球在棱长为2的正方体的顶点处的间隙，小球在容器内活动不到的体积相当于棱长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，所以其体积为V正方体﹣V球＝，球在顶点处活动不到的部分放在一起，可以看成高为2，底面积为4的正四棱柱（3个）中间挖掉底面积为π，高为2的圆柱（3个）剩下部分的体积，其体积为V正四棱柱﹣V圆柱＝3×（2×4﹣π•2）＝24﹣6π，所以小球活动不到的部分的体积为．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，则P（ξ≤0）＝0.16 ．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ≤6）＝0.84，∴P（ξ≥6）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥6）＝1﹣P（ξ≤6）＝0.16，故答案为：0.16．14．设x＝θ函数f（x）＝3cos x+sin x的一个极值点，则tanθ＝．解：f′（x）＝﹣3sin x+cos x，因为x＝θ是函数f（x）＝3cos x+sin x的一个极值点，所以f′（θ）＝﹣3sinθ+cosθ＝0，所以tanθ＝．故答案为：．15．已知是空间单位向量，，若空间向量满足（x，y∈R），||＝2，则||的最大值是．解：空间向量满足（x，y∈R），，由||＝2，整理得，即x2+y2+xy＝4，又＝，由于x2+y2≥2xy，所以由x2+y2+xy＝4，整理得3xy≤4，即，所以|x+y|2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+xy+xy＝，故，所以＝．故答案为：．16．若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝4a n+4+1，则使得a n≥20202成立的最小正整数n的值是11 ．解：∵a n+1＝4a n+4+1＞0，∴＝，∴＝2+1，∴+1＝2（+1），+1＝+1，∴数列{+1}是等比数列，首项为+1，公比为2，∴+1＝（+1）•2n﹣1，∴＝（+1）•2n﹣1﹣1，则不等式a n≥20202，化为：≥2020，∴（+1）•2n﹣1﹣1≥2020，n≤10时不成立，n＝11时，左边＝（+1）•1024﹣1＞2.4×1024＝2457.6＞2020＝右边．∴使得a n≥20202成立的最小正整数n的值是11．故答案为：11．三、解答题：（本大题共3小题，满分34分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知，如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动．（1）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置．【解答】（1）证明：连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，∴AE⊥平面PAD，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．（2）解：由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），，∴，，．设，．设平面PCD的法向量为＝（x1，y1，z1），则，令，则x1＝1，，∴．设直线AF与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝＝，当时，sinθ最大，此时F为PC的中点．18．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O到直线x+y﹣2b＝0的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆C 上任意一点M，若，求λμ的最大值．解：（1）∵，∴，∴，∵椭圆的中心O到直线x+y﹣2b＝0的距离为，∴，∴b＝5．∴b2＝25，a2＝4b2＝100，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知，由题可知直线AB的方程为，与椭圆C的方程联立，∴．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有．设M（x，y），由，得（x，y）＝λ（x1，y1）+μ（x2，y2）＝（λx1+μx2，λy1+μy2），∴又∵点M在椭圆上，∴x2+4y2＝100，∴，∴．①∵点A，B在椭圆上，∴．②∵．③将②③代入①可得，∵，∴，当且仅当λ＝μ时取“＝”．∴λμ的最大值为．19．已知函数（e＝2.71828…是自然对数的底数）．（1）若f（x）在x∈（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）a＝1时，讨论关于x的方程的根的个数．解：（1）由题意可求得，因为f（x）在x∈（0，2）内有两个极值点，所以f′（x）＝0在x∈（0，2）内有两个不相等的变号根，即e x﹣ax＝0在x∈（0，2）上有两个不相等的变号根,设g（x）＝e x﹣ax，则g′（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，x∈（0，2），g′（x）＝e x﹣a＞0，所以g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件；②当a＞0时，令g′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，当lna≥2，即a≥e2时，x∈（0，2），g′（x）＝e x﹣a＜0，所以g（x）在（0，2）上单调递减，不符合条件,当lna≤0，即0＜a≤1时，x∈（0，2），g′（x）＝e x﹣a＞0，所以g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件,当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，g（x）在（0，lna）上单调递减，（lna，2）上单调递增，若要e x﹣ax＝0在x∈（0，2）上有两个不相等的变号根，则g(0)＞0且g(2)＞0且g(lna)＜0且0＜lna＜2，解得；综上所述，a的取值范围是(e,)；（2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减, （ⅰ）当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则，所以, 因为，所以h′（x）＞0，因此h（x）在（1，+∞）上单调递增,（ⅱ）当x∈（0，1）时，lnx＜0，则，所以, 因为e2x∈（1，e2），e2x＞1＞x＞0，2x﹣1＜1，所以，因此h（x）在（0，1）上单调递减,综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当x∈（0，+∞）时，h（x）≥h（1）＝﹣e﹣2﹣b，当h（1）＝﹣e﹣2﹣b＞0，即b＜﹣e﹣2时，h（x）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当h（1）＝﹣e﹣2﹣b＝0，即b＝﹣e﹣2时，h（x）只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，当h（1）＝﹣e﹣2﹣b＜0，即b＞﹣e﹣2时，①当x∈（1，+∞）时，，要使h（x）＞0，可令lnx﹣1﹣b＞0，即x∈（e1+b，+∞）；②当x∈（0，1）时，，要使h（x）＞0，可令﹣lnx﹣1﹣b＞0，即x∈（0，e﹣1﹣b），所以当b＞﹣e﹣2时，h（x）有两个零点，故关于x的方程根的个数为2；综上所述：当b＝﹣e﹣2时，关于x的方程根的个数为0，当b＝﹣e﹣2时，关于x的方程根的个数为1，当b＞﹣e﹣2时，关于x的方程根的个数为2．（二）选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）当|AB|＝|OP|时，求a的值．解：（1）将直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），化为普通方程为．曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0（2）由，得P（）．所以|OP|＝2，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2﹣4x＝0，得由△＞0，得，设A、B两点对应的参数为t1和t2，则：|AB|＝|t1﹣t2|＝，9分）解得，a＝0或a＝4．[选修4-5：不等式选讲]21．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．解：（1）|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1；∴f（x）的最大值为1；∴m＝1；（2）由（1）可知，a+b＝1；∴（或运用柯西不等式≥[•+•）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号）＝＝（a+b）2＝；当且仅当a＝b＝时取等号；即的最小值为．。
北京一零一中2024届宁夏银川二中下学期高三年级统练三数学试题
北京一零一中2024届宁夏银川二中下学期高三年级统练三数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( )A ．132B ．299C ．68D ．992．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1203．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A 6B ．34C ．12D 35．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=- 8．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．179．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．34010．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，，D ．()3-∞，11．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．若双曲线E ：221x y m n -=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（）A ．233 B ．3 C ．2或233 D ．2或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试卷
宁夏银川市第二中学2023-2024学年高二下学期月考一数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（）A．9种B．12种C．24种D．72种2．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个3．已知随机变量X的分布列如下表，则()D X=（）7．如图，小华从图中A 处出发，先到达B 处，再前往C 处，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有（ ）A ．25条B ．48条C ．150条D ．512条8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a ，b ，m (m＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若1221818181818C 2C 2...C 2a =×+×++×，()mod10ab =，则b 的值可以是（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．202416．如图所示，在杨辉三角，3，3，6，4，(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率.20．某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为x，求x的分布列和数学期望．21．受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；(2)若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.22．新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．【详解】从A 处到B 处的最短路径有46C 15=条，从B 处到C 处的最短路径有25C 10=条，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有1510150´=条．故选：C.8．A【分析】首先利用二项式定理化简a ，再确定a 被10除的余数，结合选项，即可求解.【详解】因为()()18901891812C 31911011a =+-=-=-=--09188199999C 10C 10...C 10C 1=×-×++×--()0817899910C 10C 10...C 2=×-×++-所以a 被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.故选：A ．9．ACD【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有36C 20=种，则A 正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12212424C C C C 12416+=+=种，则B 错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有35C 10=种，则C 正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有122412C C =种，则D 正确.故选：ACD.10．ACD【分析】将0x =，2x =，1x =±代入6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++判断是22x，则()322326253C()C280y x x y-×=，系数为80.故答案为：8015．420【分析】根据题意，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】如图，用,,,,A B C D E表示5个区域，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B ，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3227+´=种选择，则不同的涂色方案有5437420´´´=种.故答案为：420.。
2023-2024学年第二学期高三质量监测一分析(数学)
2024届高三年级第二学期阶段性质量监测（一）试卷分析数学学科一、命题思路严格遵循新课程标准所提出的评价性质、功能与测量目标来进行选材和命题，在选择题、填空题及解答题的命题上总体与2023年天津市高考试题难度持平，但在引导教师在复习过程中应注意回归教材和试题的灵活度上高于上届同期。
试题设计突出了对基础知识，基本技能，基本方法的考查。
在命题中，有一部分试题是由课本中的例题、习题加工、改造、整合而成，是考生熟悉的题型，做到源于课本，重在主干。
整个试卷安排具有层次性；在难题的设计上，通过分层设问，缓解了难度。
在命题上，通过命题角度、综合程度的变化，打破考生呆板、机械的解题套路和不科学的答题方式，引导考生合理使用考试时间，提高答题效率。
二、试卷分析（一）总体分析考试情况概述总人数实考人数缺考人数最高分最低分平均分中位数众数标准差2024届4367 4102 265 149 0 76.59 79 82.5 25.92 2023届4170 3936 234 149.5 5 81.11 82 97.0 27.42第二学期阶段性质量监测（一）-数学-试卷质量分析试题满分试题总数难度试题难度比例信度区分度2023届150 20 0.51 1.7:5.9:2.4 0.85 0.432023届150 20 0.54 2.6:6.0:1.4 0.85 0.45注：数据样本为参考的所有学生从成绩统计可以看出总体上高分段人数偏少，而低分段人数较多，与2023届相比，学生的层次分化明显，而且整体水平有较大幅度下降，但仍有两所学校成绩较去年有所提升，说明教学中立足学生能力培养、抓准考试方向，教学成绩是会稳步提高的。
另外低分段学生的分布及不同层次学校学生的总体情况尤其要关注。
（二）答题情况分析单题质量分析题型题号分值平均分标准差得分率难度区分度单选题 1 5 4.94 0.53 98.8% 0.99 0.02单选题 2 5 2.74 2.49 54.8% 0.55 0.44单选题 3 5 3.92 2.06 78.4% 0.78 0.52单选题 4 5 4.14 1.88 82.8% 0.83 0.42单选题 5 5 4.27 1.77 85.4% 0.85 0.37单选题 6 5 2.07 2.46 41.4% 0.41 0.39单选题7 5 3.4 2.33 68.0% 0.68 0.54单选题8 5 3.05 2.44 61.0% 0.61 0.4单选题9 5 2.01 2.45 40.2% 0.4 0.17主观题10 5 2.81 2.48 56.2% 0.56 0.62主观题11 5 4.4 1.63 88.0% 0.88 0.29主观题12 5 2.91 2.47 58.2% 0.58 0.81主观题13 5 1.82 1.7 36.4% 0.36 0.43主观题14 5 2.29 1.81 45.8% 0.46 0.66主观题15 5 0.23 1.05 4.6% 0.05 0.16主观题16 14 9.36 3.79 66.86% 0.67 0.45主观题17 15 10.47 5.04 69.8% 0.7 0.63主观题18 15 5.88 3.97 39.2% 0.39 0.55主观题19 15 4.19 2.84 27.93% 0.28 0.36主观题20 16 1.69 2.17 10.56% 0.11 0.221．选择题平均分30.54分，填空题平均分14.46分，特别是填空题距离考查要求有较大差距，说明在基础知识、基本方法落实上仍有差距，未检测达到预期目标，如填空题（10）复数计算、（12）直线与圆的位置关系等，仍有很大上升空间。
2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第二次模拟考试 数学(理)答案
银川一中2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．【答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．【答案】D 【分析】由已知可推得2B ∈，代入即可解得2m =-，代入即可得出答案.【详解】由题意可知，2B ∈，即2220m -+=，所以2m =-，所以，{}{}2202,1B x x x =--==-.故选：D.3．【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.【详解】 命题P 的否定为特称命题，P ∴：x ∀∈R ，211x +>，当0x =时，211x +=，P ∴为假命题，ABD 错误，C 正确.故选：C.4．【答案】B【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B 5．【答案】B【分析】执行程序即可算出其输出值结果.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值，裂项求和可得：111111111122334455566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A ：函数2y x =-+的定义域为R ，值域也为R ，不符合题意；对于B：函数y =的定义域和值域都为[)0,∞+，不符合题意；对于C ：2y x =的定义域和值域都为{}0x x ≠，不符合题意；对于D ：2,02,0x x y x x -≤⎧=⎨+>⎩的定义域为R ；当0x ≤时，22y x =-≤-；当0x >时，22y x =+>；所以值域为(](),22,∞∞--⋃+，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D ．7．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为()2cos 75cos152sin 75sin152cos 15750a b ⋅=-=+=，2a = ，1b = .所以()()222280a b a b a b λλλ+⋅-=-=-= .所以8λ=.故选：A 8．【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为π,(0,)2αα∈，则另一条渐近线的倾斜角为5α，由双曲对称性可得π5π,=6ααα+=∴，则一条渐近线的斜率为πtan 6=设双曲线的长半轴长为a ，短半轴长为b，则b a =，故离心率为3e ==，故选：A 9．【答案】C 【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，①由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，②所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，大球缺的体积23214480ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.10【答案】B 【分析】由判别式可解得6k ，由根与系数关系可得121212111331x x k x x x x k k ++===++ ，由k 的范围结合不等式的性质变形可得答案．【详解】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331kk k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B 11．【答案】B 【分析】根据二倍角公式得到11tan 10γ=，代入式子得到22111061410hhD d ==++，解得答案.【详解】10sin 211cos 21γγ=+，即220sin cos 10tan 112cos γγγγ==，所以11tan 10γ=，22111061410h h D d ==++，解得66h =，故选：B.12．【答案】B【分析】结合229x y +≥可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线Γ的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧⎪⎨⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈- 时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,- .故选：B.二、填空题13．【答案】11【分析】根据题设的抽取方式，结合随机表法依次写出所得编号，即可得答案.【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：1114．【答案】2【分析】由题，利用导数及韦达定理可得37a a，后利用等比中项性质可得答案.【详解】()284f x x x '=-+，由题37a a ，是方程2840x x -+=的两个不等实根，则由韦达定理373740,80a a a a =>+=>，所以370,0a a >>又5a 是37a a ，的等比中项且5a 与37a a ，同号，则2555402a a a =>⇒=,.故答案为：2.15．【答案】60︒【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AE //DC ，从而得到∠BAE 或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角，从而可解.【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE ，BE ．由正方体可得//CE AD 且CE AD =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE //DC ．∴BAE ∠或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角．由正方体可得：AB AE BE ==，∴ABE 是等边三角形，∴60=︒∠BAE ．∴异面直线AB 与CD 所成的角是60°．故答案为：60°16．【答案】1【分析】构造函数()x f x e =，设切点为11(,)x y ，设()ln g x x =，设切点为22(,)x y ，结合条件得到12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，利用对称性得出1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而得出12e x x =，12ln x x =，然后计算出12k k ．【详解】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e x k =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x x y x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1x x =，设()ln g x x =，则1()g x x '=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x =也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e x x =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.三、解答题17．【答案】(1)21n a n =+；(2)详见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，即可求解；（2）根据{}n b 通项公式，用裂项相消法求出和n T ，即可证明结论.【详解】（1）由设数列{}n a 的公差为d ，则11393315a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =，13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由21n a n =+，可得111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++，所以12n n T b b b =+++ 1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦11111()2323646n n =-=-++,又1046n >+，故.18．【答案】(1)12(2)分布列见解析，()87E X =(3)3月3日【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7PX ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【详解】（1）令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.（2）由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X的分布列为：X 012P 174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．【答案】(1)26y x =(2)证明见解析【分析】（1）将(6,6)M -代入抛物线即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，将直线l 与抛物线进行联立可得12126,6y y m y y t +==-，结合OA OB ⊥可得6t =，即可求证【详解】（1）因为抛物线C 过点(6,6)M -，∴2(6)26p -=⨯，解得3p =，∴抛物线C 的标准方程为26y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，联立26my x ty x =-⎧⎨=⎩，化为2660y my t --=，236240m t ∆=+>，∴12126,6y y m y y t +==-，∵OA OB ⊥，∴()212121236y y OA OB x x y y ⋅=+= 12661036t y y t -⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，0t ≠，16n T <解得6t =，满足236240m t ∆=+>，∴直线l的方程为6my x =-，∴直线过定点()6,0．20．【答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；（2）根据题意结合长方体的外接球可得12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）当点D 为AB 的中点时，1O D 平面1A AC ，证明如下：取AB 的中点D ，连接OD ，∵O ，D 分别为BC ，AB 的中点，则OD AC ，OD ⊄平面1A AC ，AC ⊂平面1A AC ，∴OD 平面1A AC ，又∵1OO 1AA ，1OO ⊄平面1A AC ，1AA ⊂平面1A AC ，∴1OO 平面1A AC ，1O O OD O ⋂=，1,O O OD ⊂平面1OO D ，∴平面1OO D 平面1A AC ，由于1O D ⊂平面1OO D ，故1O D ∥平面1A AC .（2）∵BC 是O 的直径，可得90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，且2BC =，30ABC ∠=︒，故AB =1AC =，又∵1AA ⊥平面ABC ，且,AB AC 平面ABC ，∴11,AA AB AA AC ⊥⊥，即AB ，AC ，1AA 两两垂直，且点1A ，A ，B ，C 可知该球为以AB 、AC 、1AA 则(22221AB AC AA ++=，可得12AA =，以A为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，)B ，()0,1,0C ，()10,0,2A ，得)12A B =- ，()10,1,2AC=- ，设(),,n x y z =r 为平面1A BC 的一个法向量，则112020n A B z n A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x=，则y z =，可得(2,=r n ，且()0,1,0AC = 为平面1A AB 的一个法向量，设二面角1C A B A--为θ，则cos cos ,19AC n AC n AC n θ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r ，所以二面角1C A B A --的余弦值为19.21．【答案】（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明；②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221a f x x x '=+++.（1）由()01f '=，可得2202a ++=，8a =-.又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<>令：11x k =+，得11ln(111k k +<++，即：12ln()11k k k +>++∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.22．【答案】(1)C 的极坐标方程为2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，l的直角坐标方程为40x +=(2)1λ=【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l 的直角坐标方程；（2）将()π12θρ=∈R 代入C 的极坐标方程，求出,A B 的坐标，得到AB 为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.【详解】（1）将曲线C 的参数方程x ty tλ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去t ，得C 的普通方程为xy λ=，且因为0t ≠，所以0x ≠，将cos ,sin x y ρθρθ==，ππ,Z 2k k θ≠+∈，代入xy λ=，得2sin cos ρθθλ=，即2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，即为C 的极坐标方程，由直线l 的方程πsin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin cos 222ρθρθ-=，化简得40x +=，即为l 的直角坐标方程.（2）将直线π12θ=代入2sin22ρθλ=，得24ρλ=，即12ρρ==-故以AB 为直径的圆圆心为O，半径r =圆心O 到直线l的距离2d =，由已知得2=，解得1λ=.23．【答案】(1)(0,4)【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，（2）根据绝对值三角不等关系可得21a =，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()4f x <等价于|1||3|4x x -+-<，当1x ≤时，13420x x x -+-<⇒-<，则01x <≤，当13x <<时，13424x x -+-<⇒<，则13x <<，当3x ≥时，134244x x x -+-<⇒-<，则34x ≤<，综上所述，不等式()4f x <的解集为(0,4)．（2）()3(3)2f x x a x a x a x a a =+++≥+-+= ，当且仅当()(3)0x a x a ++≤等号成立，min ()|2|2f x a ∴==，即21a =，24()()a m a m n -+= ，∴22241a m n =+=，∴2222222211445()59()n n m mn m m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224()()mn mn =，即2()2mn =，即213m =，26n =时，等号成立，故221n m +的最小值为9。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．命题p ：x R ∀∈，2210x mx -+>的否定是 A ．x R ∀∈，2210x mx -+≤ B ．x R ∃∈，2210x mx -+< C ．x R ∃∈，2210x mx -+> D ．x R ∃∈，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则()()1f f -的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．3D ．03．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()ah x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为（ ） A ．(,1)(4,)-∞-+∞U B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a ,b ,c 的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题9．下列运算正确的是（ ）AB ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10．已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则（ ）A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f的值是．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为．（精确到0.01）四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==. (1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小. 16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m=>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭L ，求n a 的解析式. 17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=． (1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．已知函数()e xf x =与函数()lng x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D .(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得(2)1()mf x f x ≥-成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数.利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心.19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润．．为n a （万元），乙方案第n 年的利润．．为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三二模数学(理)试题
②设 an
1 n 1
n
1
2
n
1
n
1
n
N
* ，求证： an
ln
2
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
y
t t
（t
为参数，常数
0
），以坐标原点为极点，
（1）弦 AB 上是否存在点 D ，使得 O1D ∥平面 A1AC ，请说明理由； （2）若 BC 2 ， ABC 30 ，点 A1 ， A ， B ， C 都在半径为 2 的球面上，求二面角 C A1B A 的余
弦值. 21.（12 分）
已知函数 f x a x11 dt x 12 x 1 .
7.【答案】A【详解】因为 a b 2 cos 75 cos15 2sin 75sin15 2 cos 15 75 0 ，
a 2 ， b 1.所以
2a b
a b
2 2a
b
2
8
0 .所以
8.
8.【答案】A【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为
，
0,
2
，
则另一条渐近线的倾斜角为 5 ，由双曲对称性可得 5 ，∴ ，则一条渐近线的斜率为 6
（1）求an 的通项公式；
（2）若 bn
1 an an 1
，bn 的前 n
项和为 Tn
，证明： Tn
1 6
.
18.（12 分） 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传 3 月 1 日至 3 月 7 日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微 信记步数情况：
2024年宁夏回族自治区银川市第十中学中考数学二模试卷(含答案)
2024年宁夏回族自治区银川市第十中学中考数学二模试卷一、选择（每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（3分）在实数﹣π，﹣3，1，中，最小的数是（ ）A．﹣3B．﹣πC．1D．2．（3分）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（ ）A．a3﹣a2＝a B．a3•a2＝a5C．a3÷a2＝1D．（a3）2＝a54．（3分）在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中A、D、B共线，此时∠BEF的度数为（ ）A．90°B．100°C．110°D．120°5．（3分）下列说法不正确的是（ ）A．掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5B．打开电视机正在播新闻属于不确定事件C．想了解银川市九年级学生50米短跑的整体情况，可选择我校的九年级学生作为样本D．甲的方差大于乙的方差，说明乙更稳定6．（3分）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC＝16，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG长为（ ）A．13B．10C．12D．57．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④不等式ax2+bx+c＜0的解集是0＜x＜3．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④8．（3分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（ ）A．C12H24B．C12H25C．C12H26D．C12H28二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）因式分解：3a2﹣18a+27＝ ．10．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 ．11．（3分）一组数据2，4，x，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是 ；中位数是 ；方差是 ．12．（3分）不等式组的解集为x＞﹣1，则a的取值范围 ．13．（3分）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 ．14．（3分）如图，△ABC的两个顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点C在x轴上．已知AB平行于x轴，且△ABC的面积等于7，则k的值为 ．15．（3分）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为 ．16．（3分）如图是一个长5cm，宽4cm，高12cm的无盖的长方体的盒子，在盒子内壁离底3cm的点Q处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在盒外壁、离盒子上沿3cm与蜂蜜相对的点P处，那么蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程是 ．三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）17．（6分）计算：．18．（6分）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下．解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，第一步解得，第二步∴原分式方程的解是．第三步（1）小丽的解题过程从第 步开始出错；（2）小丽的解题过程缺少的步骤是 ；（3）请写出正确的解题过程．19．（6分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABD，交AD于点E，AB＞BC．（1）尺规作图：作∠BDC的角平分线，交BC于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形证明四边形BEDF为平行四边形．20．（6分）端午节将至，某商家预测粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种粽子400个，乙种粽子200个，需要1800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要2950元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备1400元全部用来购买甲、乙两种粽子，销售每个甲种粽子可获利1.5元，销售每个乙种粽子可获利3元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于930元，那么商家至多购进甲种粽子多少个？21．（6分）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示．（1）请求出一次函数与反比例函数表达式；（2）求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？22．（6分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座AB高为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．成绩x/分频数频率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9045b90≤x＜100600.4（1）表中a＝ ，b＝ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB 的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．（3）除原点外，在x轴上是否存在一点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）（1）发现问题：如图（1），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边BC，CD边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF ＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系．小明把△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，发现EF＝BE+DF，请你给出证明过程；（2）类比探究：如图（2），在正方形ABCD中，若点E，F分别是边CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．（3）拓展应用：在（1）中，若正方形ABCD的边长为6，，求EF的长．参考答案一、选择（每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
2021届宁夏银川一中高三上学期第一次月考数学(理)试卷及解析
2021届宁夏银川一中高三上学期第一次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14y A x yx ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A 【解析】由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个， 故选：A2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()()0,11,+∞【答案】D 【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米 C. 136.5米 D. 110.5米【答案】C 【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x x f x -=+【答案】D 【解析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxx e e f x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D. 3(1,log 4)【答案】C试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则 解得，故选Ｃ．7. 已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12- C.12D. 2【答案】C 【解析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x x e f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ，又11()()(1)(1)x xx xe ef x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.9. 若()2xf x =的反函数为()1f x -，且()()114f a f b --+=，则11a b+的最小值是（ ） A. 1 B.12C. 13D.14【答案】B 【解析】先求出()1f x -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2x y =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114f a f b --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）．A. b a c <<B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A 【解析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x xf e e ->的解集是（ ） A. (),ln2-∞ B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0x x f e e ->等价为()()2xg e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤所以11c e<≤所以()22-≤+<-a b c e .故选：B. 二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论． 【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥，当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-.【解析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z ∈，且函数()24-=m m f x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<， 所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c的值； （2）解不等式()18f x >+. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c =，得到3918c +=，求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =； （2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，， 由()18f x >+得， 当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<； 当112x ≤<时，4211x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<； 所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 19. 已知函数()21log 1ax f x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞.【解析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101x x +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1ax f x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax ax x x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >；（2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=.因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立，所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅.（1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程；（2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =，曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =.（2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e x g x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增，故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增，故()()02f x f ≥=.21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值.【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析.【解析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可；（2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，（Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增；（2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增；（3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去），当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增.（Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增.（1）当2a e -≥，即2e a ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++； （2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为133x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a . 【解析】 （1）化简得到直线方程为33y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由133x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t 得，30x -=即33y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++（1）求不等式()10f x ≥的解集；（2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f xa b ≥++min ()f x a b ≥++根据绝对值的不等式求出min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥. 综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞. （2）证明：因为,ab≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立.又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤， 12a b +≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.≥成立.。
2024学年宁夏银川市宁大附中高三下学期大联考卷Ⅱ数学试题试卷
2024学年宁夏银川市宁大附中高三下学期大联考卷Ⅱ数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．33D ．2332．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1633．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．144．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-6．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭8．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．3D ．279．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．5410．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④11．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．412．已知集合{}|124A x x =<≤，21|65B x y x x ⎧⎫==⎨⎬-+-⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年宁夏银川重点中学中考数学二模试卷(含解析)
2023年宁夏银川重点中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列运算正确的是( )A. 2a2−a2=2B. (ab2)2=ab4C. a2⋅a3=a6D. a8÷a4=a42. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元，将169200000000用科学记数法表示应为( )A. 0.1692×1012B. 1.692×1011C. 1.692×1012D. 16.92×10103. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为( )A.B.C.D.5. 据调查，某班40名学生所穿鞋子鞋号统计如表：则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是( )鞋号2021222324频数289192A. 23，22B. 22，23C. 17，23D. 23，236. 将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1=125°，则∠2的度数为( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 55°7. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为( )A. (16−x−10)(200+80x)=1440B. (16−x)(200+80x)=1440C. (16−x−10)(200−80x)=1440D. (16−x)(200−80x)=14408.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−6,10)，B(−6,0)，C(4,0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此的图象上，则k的值为( )同时顶点C恰好落在y=kxA. −12B. −10C. −8D. −6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 分解因式：4ax2−9ay2=______．10. 已知点(2,y1)，(3,y2)在反比例函数y=−6的图象上，则y1______ y2(填“>”或x“<”)．11.如图，在直径为AB的⊙O中，点C，D在圆上，AC=CD，若∠CAD=28°，则∠DAB的度数为______ ．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE、CD.若AC=6，DE=4，则CD的长为______ ．13. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类.现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是．14. 如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．15.如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB=6，BC=9，AC=11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于______ ．16. 新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即AB=20cm，平板的支撑角∠ABC=60°，小明坐在距离支架底部30cm处观看(即DB=30cm)，点E是小明眼睛的位置，ED⊥DC垂足为D. EF是小明观看平板的视线，F为AB的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80°时(即∠AFE=80°)，对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的眼睛与桌面的距离DE的长为cm.(结果精确到1cm)(参考数据：3≈1.73,t a n40°≈0.84,s i n40°≈0.64,c o s40°≈0.77)三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 解方程：2xx−2=1−12−x．18. 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日，某商家用3200元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用7200元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元．(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？(2)若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于3520元(不考虑其他因素)，那么每件纪念衫的标价至少是多少元？四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。
2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案
银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,52. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A b a c a-<+ B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <4. 已知函数()f x 及其导函数(f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())ln sin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 67. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是（ ）A [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为210. 已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增的.的B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数()cos ex xf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．的银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集结果知1B ∈，将x =1代入方程求出m ，再求集合B 即可.【详解】由{}1A B ⋂=可知：21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：x =1或3x =，即{}1,3B =．故选：B2. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】01a = ，1()3x f x a-∴=-恒过定点()1,2-，1m ∴=，2n =-，11(1)1g x x x-=++=∴，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D ．3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. b a c a -<+B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立.对于D ，(3)1(3)2-<´--´- ，因此成立. 故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='【答案】C 【解析】【分析】取()1f x x '+=，()212f x x x c =-+，逐项判断.【详解】解：因为函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，所以不妨设()1f x x '+=，则()1f x x '=-，()()21,01f f '='=-，故BD 错误；取()212f x x x c =-+，则()()()11,022f c f f c =-==，故A 错误，C 正确，故选：C5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())lnsin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=--)sin )sin ()x x x x f x =--==，故()f x 为偶函数；对于D.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=+-)sin )sin ()x x x x f x =-+=-=，故()f x 为偶函数；由图象，可知()y f x =奇函数，故排除B 、D ；对于C.当π02x <<时，由22221(1)21x x x x =+<+=++，可知01x <<，则)0x <，而cos 0x >，此时()0f x <，故排除D ；故选：A.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】为【分析】分别画出cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-【答案】A 【解析】tan α，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 11tan 1tan 21tan αααα+-=⨯-+，tan 1α<-，解得tan 3α=--或tan 3α=-+（舍)，则()222221sin 2sin cos 2sin cos 1tan 2tan 14cos 4cos 4ααααααααα-+-==-+()()2211tan 131644α----=+==故选：A.8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同；B 选项，令033x ≤≤，求出01x ≤≤，得到函数定义域；C 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D 选项，根据函数为偶函数得到f (−x )=f (x )，故()(2)f x f x -=-，得到函数周期.【详解】A 选项，()2f x x =+的定义域为R ，令20x +≥，解得2x ≥-，故()2g x =的定义域为2x ≥-，定义域不同，A 错误；B 选项，令033x ≤≤，解得01x ≤≤，故函数(3)f x 的定义域为[]0,1，B 正确；C 选项，命题p 的否定为0x ∃>，20x <，C 正确；D 选项，()f x 偶函数，故f (−x )=f (x )，又()(2)f x f x =-，故()(2)f x f x -=-，则函数()f x 的周期为2，D 正确.故选：BCD10. 已知函数()sin 2f x x ⎛= ⎝）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为()πππsin 2πsin 2244f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2是函数()f x 的周期，故A 为的正确；∵π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,4412u x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又sin sin y u u ==在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；∵函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππsin 2sin 284x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；令2π4π2k x +=，得()ππZ 48k x k =-∈，故D 正确，故选：ACD ．11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据导函数及0a 可判断单调性；选项B 根据极大值极小值可得；选项C 由三次函数对称中心可得；选项D ，先求过点P 的切线方程，将切线个数转化为()322912g x ax ax ax a =-++与y b=图象交点个数，进而可得.【详解】选项A ：由题意可得()()236=32f x ax ax ax x ='--，令()0f x '=解得0x =或2x =，因为0a >，所以令f ′(x )>0解得0x <或2x >，令f ′(x )<0解得02x <<，故()f x 在区间(),0∞-或()2,∞+上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A 错误，选项B ：要使()f x 有且仅有3个零点时，只需()()0020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，解得04b a <<，故B正确；选项C ：若直线l 与曲线y =f (x )有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则点A 是三次函数()f x 的对称中心，设()()236h x f x ax ax ==-'，则()66h x ax a '=-，令()0h x '=，得1x =，故()f x 的对称中心为(1,f (1))，123133x x x x ++==，故C 正确；选项D ：()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在点C 处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,P a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的切线条数可转化为y =g (x )与y b =图象交点个数，()()()261812612g x ax ax a a x x =-+=--'，因为0a >，所以()0g x '>得1x <或2x >，()0g x '<得12x <<，则()g x 在(),1∞-，()2,∞+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16g a =，()25g a =，()g x 图象如图所示，所以当56a b a <<时，y =g (x )与y b =图象有3个交点，即过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的3条切线，故D 正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．【答案】1-【解析】【分析】通过对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处有极小值，可知()0f x '=，解得a 的值，再验证即可求出a 的值．【详解】因为2()()f x x x a =+，所以22322()(2)2f x x x ax a x ax a x =++=++，所以22()34f x x ax a '=++，而函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，所以()10f '=，故2340a a ++=，解得11a =-或23a =-，当23a =-时，()23129f x x x =-+'，令f ′(x )<0，()1,3x ∈，令f ′(x )>0，()(),13,x ∞∞∈-⋃+，故此时()f x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递增，在()1,3上单调递减，此时()f x 在1x =处有极大值，不符合题意，排除，当11a =-时，()2341f x x x '=-+，令f ′(x )<0，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令f ′(x )>0，()1,1,3x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭，故此时()f x 在()1,,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处有极小值，符合题意，故答案为：1-.13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数()f x 最大值和最小值之和为0，则函数()21y f x =+的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用32A A A =+，再根据整体思想将()cos3cos 2A A A =+转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得2B A =，根据锐角三角形性质可得A 取值范围，从而得tan A 的取值范围，代入()14tan tan A B A +-化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin A A A A A A A =+=-()()222cos 1cos 21cos cos A A A A =---34cos 3cos A A =-，因为3cos 4cos 3cos C A A +-=，所以cos cos30C A +=.故()cos cos30cos cos3cos π3π32C A C A A C A B A +=⇒=-=-⇒=-⇒=，△ABC 为锐角三角形，故π0,2π02,2π0π3,2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64A <<，tan 1A <<，()114tan 4tan tan tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎭．故答案为：⎫⎪⎪⎭四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15 已知函数()cos e xxf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； （2）[)0,∞+【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，000cos 0e x x x λ-≤成立，构造函数()cos π0e 2x x g x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】()sin cos π0e 4x x x f x x +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭'，解得ππ4x k k =-+∈Z ，，因为x ∈(0,π)，所以3π4x =，当()3π0,04x f x ⎛⎫∈< '⎪⎝⎭，，当x ∈π，f ′(x )>0，所以()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()00000cos 00ex x f x x f x x λλ-≤⇒=-≤，当00x =时，由0cos 0ex x x λ-≤可得10≤不成立，当0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，000cos e x x x λ≥，令()()2cos πsin cos cos 00e 2ex xx x x x x xg x x g x x x ---⎛⎫=<≤=< ⎪⎝⎭'，恒成立，.故()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以()min π02g x g λ⎛⎫≥==⎪⎝⎭，所以λ的取值范围为[)0,∞+.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．【答案】（1）12π1cos 2L l l θθ=+=-+在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）S 的值域为ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据扇形弧长公式求得1l ，再得PF 长度为2l ，从而得12L l l =+，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得1S ，再得四边形PEBF 面积为2S ，从而得12S S S =+，求导确定单调性极值与最值即可12S S S =+的函数.【小问1详解】因POB θ∠=，则由题意知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得，π2COP θ∠=-，圆半径为1，所以1π2l θ=-，又21cos l PF OB OE θ==-=-，所以12ππ1cos ,022L l l θθθ=+=-+-<<，则1sin 0L θ=-'+<恒成立，所以12π1cos 2L l l θθ=+=-+-在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.【小问2详解】由题意可得211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，因为,PF BD PE AB ⊥⊥，所以四边形PEBF 为矩形，于是()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-，所以()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'，令0S '=得1cos 2θ=，即π3θ=，则可得如下表格：θ0π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π2S '-0+Sπ2极小值1由表可知当π3θ=时，min π6S S ==+极小值，max π2S =，所以S 的值域为ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．【答案】（1）所选条件见解析，()2sin2f x x =；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()2sin2f x x =；选择条件①③：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=．由条件③，得ππ(π+,Z 42k k ω⨯-=∈，解得42,Z k k ω=--∈，所以()f x 的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =-，所以ππ2()π+,Z 42k k ϕ⨯-+=∈，解得()1πk ϕ=+，又π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin2f x x =；【小问2详解】解：由题意得()π2sin22sin(23g x x x =++ππ2sin22sin 2cos2cos 2sin 33x x x =++3sin22x x=+π)6x =+，因为()2g α=，所以π6α+=，即π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π(,663α+∈，若ππ2π[,623α+∈，则πsin()6α+∈，又π3sin 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ(,)662α+∈，因为22ππsin (cos (166αα+++=，所以π4cos()65α+=±，又πππ(,662α+∈，所以π4cos(65α+=，所以ππ()2sin 2()224224f αα-=-π2sin()12α=-ππ2sin[(]64α=+-ππππ2sin()cos 2cos()sin6464αα=+-+=18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）0y =； （2）(],2∞-；（3）2a ≤时，()f x 有1个零点，2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01af x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，由均值不等式求1122x x ++最小值即可；（3）当2a ≤，由（2）中()f x 在区间(0,)+∞上单调递增可得()f x 有1个零点，当2a >，由导数法讨论()f x 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】()ln f x x a =-，()()()22222112()11x a x a f x x x x x --+'=-=++，(1)0f =，当2a =时，()214(1)01f x x '=-=+，故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01a f x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，∵111222x x ++≥=，当且仅当122x x =即1x =时成立，故实数a 的取值范围为(],2-∞；【小问3详解】由（2）得，当2a ≤，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)0f =，故()f x 有1个零点；当2a >，令()2()221g x x a x =--+，由()0g x =得，11x a =--，21x a =-，()10,1x ==，()21,x =++∞，由二次函数性质，在()10,x 上，()0g x >，()0f x '>；在()12,x x 上，()0g x <，()0f x '<；在()2,x +∞，()0g x >，()0f x '>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，又(1)0f =，∴()10f x >，()20f x <，又(e )0e 12aa a f =>+，e (e )210e 1a a a f a -⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的()()()3141252e ,,,,,e a a x x x x x x x -∈∈∈，使得()()()3450f x f x f x ===，即()f x 有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法.（2）含参函数零点个数问题，i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x =--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；（3）102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x-='-=+-，当()10,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>0；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,∞+上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 极大值为153ln2222f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．【小问2详解】()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x ∞+=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212Δ401a x x ax x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭的()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln 2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x-+-=-->==>'，所以()g x 在(1,+∞)上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．【小问3详解】由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t-=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。
2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试数学(理)试卷(解析版)
2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试理科数学试题注意事项：1. 本试卷共23小题，满分150分。
考试时间为120分钟。
2. 答案写在答题卡上的指定位置。
考试结束后，交回答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,2,4,6A =，若}70|{<<∈=⋃x x B A Ζ，{}2,4A B =，则B =（ ） A. {}2,3,4 B. {}2,3,4,5 C. {}2,4,5 D. {}2,3,4,5,72. 23i 2i 3i z =++，则z =（ ）A. 22i -+B. 22i -C. 22i --D. 22i + 3. 某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务．冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ） A ．72 种 B ．81种C ．6种D ．36种4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. m n ⊥，m n αα⇒⊥∥ B. n β∥，n βαα⊥⇒⊥ C. m α∥，n m n α⊂⇒∥D. m n ∥，m n ββ⊥⇒⊥5. 2022年北京冬奥会成功举办，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）A ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等C ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加D ．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6 %6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且14a ，32a ，5a 成等差数列，则1a =（ ）A ．525B ．525+C ．52D ．57.已知命题.1ln ,:00=∈∃x R x p 命题:q 某物理量的测量结果服从正态分布),10(2σN ，则该物理量在一次测量中落在)2.10,9.9(与落在)3.10,10(的概率相等．下列命题中的假命题是（ ） A. ()p q ∧⌝ B. p q ∨ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()()p q ⌝∨⌝ 8.已知函数x x x x x f cos )sin(3)2cos(sin )(ππ+--=，则下列结论中错误的是（ ）A ．)(x f 的最小正周期为πB ．)21,12(-π是)(x f 图象的一个对称中心C ．将函数)(x f 的图象向左平移12π个单位长度，即可得到函数212sin )(+=x x f 的图象D ．3πx =是)(x f 图象的一条对称轴 9. 已知四棱锥ABCD S -的底面ABCD 为正方形，⊥SD 平面ABCD ，SAD ∆为等腰三角形，若E ，F 分别是AB ，SC 的中点，则异面直线EC 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．1030C ．1070 D ．1010310. 若函数3cos )(+⋅+-=--x e e e e x f xx x x 在]2,2[ππ-上的最大值与最小值之和为（ ） A ．6 B ．3 C ．4 D ．811.已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,2)A x ，F 为焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B ，满足2AB FA =,则0x =（ ）A ．4±B ．42±C ．3±D ．8± 12. 若222ln 2ln 2e 1m m m n n n -+=-++，则（ ）A. e m n >B. e m n <C. e m n ->D. e m n -<二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分,共20分．13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥-+,03,02,02x y x y x 则y x z -=2的最小值为________．14.已知非零向量a ，b ，满足224b a =且(2)a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角为________． 15.若直线()1210m x my m ++--=与圆223x y +=交于M 、N 两点，则弦长||MN 的最小值为___． 16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用k S 表示，由题意知221R S π=，4322R S π=，则=4S _______；如果对折n 次，则=∑=n k k S 1________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若).sin sin (sin 23sin sin sin 22C B A C B A 2-+=（1）求；C （2）若,3=c 求ABC ∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，为拉动春节全民消费，宁夏某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310．使用过政府消费券没使用过政府消费券总计 45岁及以下 90 45岁以上 总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？ （2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈．用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立．记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为X ，以样本频率作为概率，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19.（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，O ，M ，N 分别为线段BC ，1AA ，1BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，116AA =，8AC =. （1）若12AO BC =，试证1C N CM ⊥； （2）在（1）的条件下，当6AB =时，试确定动点P 的位置，使线段MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值为53.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且点)22,1(M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积为22ab -，证明：四边形ABCD 的面积为定值． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x mx x x =+，0m ≠. （1）若2m =-，求函数()f x 的单调区间；0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024()20P K k ≥（2）若()()120f x f x ==，且12x x ≠，证明：12ln ln 2x x +>.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos 4sin x y θθ=-⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 通过伸缩变换1232x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到曲线2C ． （1）求2C 的普通方程；（2）过点(0,0)O 作直线l 交曲线2C 于,M N 两点，||1MN =，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 的极坐标方程．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()2f x >的解集；（2）已知函数()f x 的最小值为t ，正实数a ，b ，c 满足42a c t b +=-，证明：1123a b b c +≥++．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合,A B 后可求A B . 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}32B x x =-<<， 所以{}22A B x x ⋂=-<<. 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解 【详解】由题意，()()2232i 1i 32i 15i 1526||1i 2222----⎛⎫⎛⎫===+-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：B 3．D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到tan α，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】解：由2cos sin 6παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2cos cos 2sin sin sin 66ππααα-=3cos sin sin ααα-=，则3tan α=，所以222sin cos tan 23sin cos sin cos tan 1αααααααα===++故选：D 4．A 【解析】 【分析】由已知条件求得221b a =，然后利用公式221b e a=+.【详解】由题设1b b a a -⨯=-，所以，221b a =，则222222212c c a b be a a a a+==+故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及渐近线的问题时，利用公式221b e a =+力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】设出底面半径，利用侧面积求出半径，进而利用圆锥体积公式进行所求解. 【详解】设该圆锥体交通锥的底面半径为r ，则2π14465πr r +=，解得：=5r ，所以该圆锥体交通锥的体积为2125π100π3⨯= 故选：C 6．D 【解析】 【分析】依题意根据奇函数的性质得到()00f =，即可得到()3e f =-，代入函数解析求出a ，最后根据()()11f f -=-计算可得； 【详解】解：依题意得()00f =，()()f x f x -=-，由()()0e 3f f +=-，即()ln 3e e e2af =+=-，得8e a =-，所以当0x >时()4n e l f x x x =-，所以()()411ln e 1e 14f f ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭.故选：D 7．B 【解析】【分析】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，利用对立事件，即可得到答案； 【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳全都不成功”的有659，845，共2个， 所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有1轮成功”的概率为210.810-=. 故选：B 8．C 【解析】 【分析】模拟执行程序，即可得到输出结果； 【详解】解：模拟执行程序可知：第1循环，1n =，1S =，不满足40?S >， 第2次循环，2n =，123S =+=，不满足40?S >， 第3次循环，3n =，336S =+=，不满足40?S >， 第4次循环，4n =，6410S =+=，不满足40?S >， 第5次循环，5n =，10515S =+=，不满足40?S >， 第6次循环，6n =，15621S =+=，不满足40?S >， 第7次循环，7n =，21728S =+=，不满足40?S >， 第8次循环，8n =，28836S =+=，不满足40?S >，第9次循环，9n =，36945S =+=，满足40?S >，故输出的n 值是9. 故选：C 9．C 【解析】 【分析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q 的等比数列，利用等比数列求和公式，结合lg20.3010≈，即可得到答案；【详解】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C 10．B 【解析】 【分析】依题意可得//GH BD 且23HG BD =，//EF BD 且12EF BD =，即可得到//BD 平面EGHF ，再判断FH 与AC 为相交直线，即可判断②③，由四边形EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ，即可得到M AC ∈，从而判断④；【详解】解：因为::BG GC DH HC =，所以//GH BD 且23HG BD =，又,E F 分别为,AB AD 的中点，所以//EF BD 且12EF BD =，则//EF GH ，又BD ⊄平面EGHF ，GH ⊂平面EGHF ，所以//BD 平面EGHF ， 因为F 为AD 的中点，H 为CD 的一个三等分点，所以FH 与AC 为相交直线，故FH 与平面ABC 必不平行，AC 也不平行平面EGHF ，因为EFHG 为梯形，所以EG 与FH 必相交，设交点为M ， 又EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， 则M 是平面ABC 与平面ACD 的一个交点， 所以M AC ∈，即直线,,GE HF AC 交于一点， 故选：B. 11．B 【解析】 【分析】根据题意得到2cos 6b A a +=，利用余弦定理和面积公式，化简得到()222226144a Sbc -=-，结合222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，得到42232416a a S -+≤，即可求解. 【详解】由26AB AC a ⋅+=，可得2cos 6b A a +=， 由余弦定理可得22212a b c ++=.因为ABC 的面积1sin 2S bc A =，所以()()222222222222611611cos 14444a a S b c A b c b c bc ⎡⎤-⎛⎫-=-=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为222222b c b c ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以()()()()222222222422612632416416416b c a a a a a S +----+≤-=-=，故当24a =时，2S 取得最大值3，此时3S =故选：B. 12．A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的单调区间，根据题意得出参数ω的范围，设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，由172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，得出函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点情况出答案.【详解】 由22262k x k ππππωπ-+++≤≤，k ∈Z ，得22233k k x ππππωωωω-++≤≤，k ∈Z ， 取0k =，可得233x ππωω-≤≤.若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单词递增，则23634ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩， 解得403ω<≤.若()0,2x π∈，则,2666x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.设6t x πω=+，则,266t ππωπ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，因为172,666πππωπ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦所以函数sin y t =在,266ππωπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的零点最多有2个.所以()f x 在()0,2π上的零点最多有2个. 故选：A 13．6 【解析】 【分析】依题意画出可行域，数形结合，即可求出z 的最大值；【详解】解：画出可行域如下所示：由200x y x -+=⎧⎨=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2B ，由32z y x =-，则2133y x z =+，平移23y x =，由图可知当21:33l y x z =+经过点()0,2B 时，z 取得最大值，即max 32206z =⨯-⨯=，即z 最大值为6. 故答案为：6 14．1 【解析】 【分析】根据题意，由()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立求解. 【详解】因为函数()cos f x mx x =-在R 上单调递增， 所以()sin 0f x m x '=+≥在R 上恒成立， 即sin m x ≥-在R 上恒成立， 所以1m ≥. 故答案为：1 15．[]21,119- 【解析】 【分析】由题意可得到P 到AB 中点距离的最大值和最小值，然后根据数量积的运算，可得到答案. 【详解】设C 为AB 的中点，如图示：由题意可知：2||12PC ≤≤ ,则()()22225PA PB PC CA PC CB PC CB PC ⋅=+⋅+=-=-，又因为[]2,12PC ∈，所以PA PB ⋅的取值范围是[]21,119-, 故答案为：[]21,119- 16．[)1,0- 【解析】 【分析】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，设OMQ θ∠=，根据在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，得到45θ≥︒，然后求得当=45θ︒时的0x 即可. 【详解】过M 作C 的一条切线，切点为Q ，如图所示：设OMQ θ∠=，因为在抛物线2:4C y x =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒， 所以45θ≥︒，当=45θ︒时，直线MQ 的方程为0y x x =-，将0y x x =-代入24y x =，可得20440y y x --=，由016160x ∆=+=，解得01x =-， 所以0x 的取值范围为[)1,0-. 故答案为：[)1,0-17．(1)21n a n =- (2)22n S n = 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式得到1122n n a a dn a d ++=+-，即可求出1a 、d ，从而得到通项公式；（2）由（1）可得()21,21,n n n b n n -⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，即可得到2122k k b b -+=，利用并项求和法计算可得；(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()111n a a n d nd a d =+-=+-， 所以11224n n a a dn a d n ++=+-=，所以12420d a d =⎧⎨-=⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，则21n a n =-. (2)解：因为21n a n =-且cos n n b a n π=，所以()()21,21cos 21,n n n b n n n n π-⎧⎪=-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，所以()()21243412k k b b k k -+=--+-=， 所以()()()212342122n n n S b b b b b b n -=++++++=.18．(1)甲需要选择置换，理由见解析； (2)分布列答案见解析，数学期望：37.5. 【解析】 【分析】（1）利用条件概率即求；（2）由题可得X 的可能取值为0，100，分别求概率，即得. (1)甲需要选择置换.理由如下：若甲同学不选择置换，则获得有100元的红包的概率为14，若甲同学选择置换，若甲同学第一次抽到100元，概率为14，置换后概率为0，故为1004⨯=，若甲同学第一次没有抽到100元，概率为34，置换后概率为12，故为313428⨯=；则获得有100元的红包的概率为33088+=， 因为3184>，所以甲需要选择置换.(2)由题可知X 的可能取值为0，100. ()31008P X ==， ()350188P X ==-=，X 的分布列如下：X 0100P5838()53010037.588E X =⨯+⨯=.19．(1)证明见解析 5 【解析】 【分析】（1）连接AC ，通过证明PA AE ⊥和AE AD ⊥可得答案；（2）以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出面AEF 和面ABCD 的法向量，利用夹角公式求解即可. (1)证明：连接AC .因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AE ⊥ 又因为AB AD =，且ABCD 为平行四边形，3ABC π∠=，所以ABC 为等边三角形.又因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥ 又因为AD BC ∥，所以AE AD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PAD . (2)解：以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭F ，()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以()0,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量. 设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，由0m AE ⋅=，0m AF ⋅=，可得30,310,2x x y z ⎧=++= 令1z =，则0x =，2y =- 即()0,2,1m =-.15cos ,5n m n m n m⋅=== 又二面角F AE D --的平面角为锐角，所以二面角F AE D --5. 20．(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意得到2c a =，再由圆1F 与圆2F 相交，结合椭圆的定义得到213a =+，进而求得,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）当AB 垂直于x 轴时，得到6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，求得36ABC S =△AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组得到1212,x x x x +，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得2216622ABCm SAB d m m ===. (1)解：由椭圆E 22c e a ==又由圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=， 可得圆心分别为12(,0),(,0)F c F c -，半径分别为121,3r r ==，因为圆()221:1F x c y ++=与圆()222:9F x c y -+=相交，两圆的交点在椭圆E 上， 可得12213a r r =+=+，解得2a =，则2c =可得222b a c -E 的方程为22142x y+=. (2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，当AB 垂直于x 轴时，12x x =，因为O 为△ABC 的重心，所以()2,0C 或()2,0C -. 根据椭圆的对称性，不妨令()2,0C -，此时6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，可得36ABCS =当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的直线方程为y kx m =+，联立方程组22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222124220k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，()21222221m x x k -=+， 设()33,C x y ，则()3122421km x x x k =-+=+，()3122221my y y k -=-+=+. 代入22142x y +=，得22122k m +=， 又由2121AB k x =+-，原点O 到AB 的距离21m d k=+所以()2222221144221212ABCm km SAB d k k -⎛⎫==-⋅ ⎪++⎝⎭2222264826122m m k m m k m =+-=+所以363ABC OAB S S ==△△，即ABC 的面积为定值. 21．(1)答案见解析 (2)[]0,e 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号变化进行求解；（2）分三种情况进行讨论：当0a <时，适当放缩进行证明；当0a =时，证明()0f x >恒成立；当0a >时，根据函数()f x 的单调性确定最小值，再讨论e a >、0e a <≤进行求解. (1)解：()()()()11x x a a f x x a x x+-=+--='，()0,x ∈+∞， 当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. (2)解：若0a <，因为()()()22e ln 22x f x x ax a x ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，取71min 1,e a x a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，则222e e 36222x x +++<<，()11ax a a ⎛⎫-≤-⋅-= ⎪⎝⎭， ()7ln ln e 7aa x a -≤-⋅=-，此时()()6170f x <++-=，故此时()0f x ≥不可能恒成立. 若0a =，此时()22e 022x f x x =++>恒成立.若0a >，则()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 故()f x 的最小值在x a =处取到，即()0f a ≥， 而()()2222e e ln 1ln 222a a f a a a a a a -=-+-+=+-. 显然当0e a <≤时，22e 02a -≥，()1ln 0a a -≥，此时()0f a ≥. 当e a >时，22e 02a-<，()1ln 0a a -<，此时()0f a <，故0e a <≤. 综上所述[]0,e a ∈.22．(1)()2211x y x +=≠-53【解析】 【分析】（1）平方相加进行消参即可；（2）由P 在圆上，设cos x θ=，sin y θ=，表示出33y x x y +后借助三角恒等变换化简得2sin 2sin 2-θθ，再结合单调性求出最小值. (1)由题可知242241212t t x t t-+=++，2224412t y t t =++， 所以221x y +=．因为222121111t x t t-==-+≠-++，所以C 的直角坐标方程为()2211x y x +=≠-． (2)点(),P x y 3x ⎛⎫⎡⎫∈ ⎪⎪⎢⎪ ⎪⎣⎭⎝⎭是曲线C 上在第一象限内的一动点，令cos x θ=，sin y θ=，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则3333sin cos cos sin y x x y +=+θθθθ()2222244sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos +-⋅+==θθθθθθθθθθ211sin 222sin 21sin 2sin 22-==-θθθθ， 因为上式在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故当6πθ=53．23．(1){}13x x x 或 (2)(),3-∞ 【解析】 【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围. (1)()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或． (2)当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈． 当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x-++>， 因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。
宁夏银川市2024年数学(高考)部编版能力评测(培优卷)模拟试卷
宁夏银川市2024年数学（高考）部编版能力评测(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．第(3)题在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（）A．B．C．D．第(4)题已知在数列中，，则（）A．B．C．1D．2第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．第(7)题设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（）A．B．C．D．第(8)题已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为（）A．0B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题若，则的值可能为（）A．2B．3C．D．第(2)题设椭圆的左､右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（）A．的最大值为8B．椭圆的离心率C．面积的最大值等于12D．以线段为直径的圆与圆相切第(3)题在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（）A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为B．的面积最大值为1C．若原点始终在动弦上，则不是定值D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题如图，A,B是直线l上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC,CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是_____第(2)题求值：__________.第(3)题若满足，则目标函数的最大值为___________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案
银川一中2024届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}1A x x =≤，{}20B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞2．已知复数z 满足i zz =+-112，则复数z 的虚部是A.-1B.iC.1D.-i3．如图，可以表示函数()f x 的图象的是A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个充分不必要条件为A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．33a b >D 11a b ->-5．函数()214log 2y x x =--的单调递增区间为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞6．的大小关系为则，，设c b a c b a ,,,21(31log 2log 3.02131===A ．b c a <<B ．cb a <<C ．ca b <<D ．ac b <<7．已知函数ay x=，xy b=，log cy x=的图象如图所示，则A．e e ea c b<<B．e e eb a c<<C．e e ea b c<<D．e e eb c a<<8．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a∃∈---+-<”为假命题，则实数x的取值范围为A．[]1,4-B．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦9．已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxx⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩，则函数()g x的图象大致是A．B．C．D．10．已知函数()()()314(1)1a x a xf x axx⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数1x，2x且12x x≠，都有[]1212()()()0f x f x x x--<，则实数a的取值范围为A．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递减，且()2f x+为偶函数，则不等式()()12f x f x->的解集为A．()5,6,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．()5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭C．5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()ln1af x xx=++.若对任意1x，(]20,2x∈，且12x x≠，都有()()21211f x f xx x->--，则实数a的取值范围是A．27,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．(],2-∞C．27,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．(],8∞-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．14．已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是．15．若函数()21x mf x x +=+在区间[]0,1上的最大值为3，则实数=m _______.16．已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为____________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
宁夏银川市(新版)2024高考数学部编版摸底(提分卷)完整试卷
宁夏银川市（新版）2024高考数学部编版摸底(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（）A．B．C．15D．40第(2)题若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（）A．2B．C．3D．4第(3)题已知，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象B．在上的值域为C．若，则D．的图象关于点中心对称第(8)题已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（）A．86B．87C．88D．90二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（）A．为上的单调递增函数B．为奇函数C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值D．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点第(2)题如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（）A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为C．若保持，则点的运动轨迹长度为D．当在点时，三棱锥的外接球表面积为第(3)题已知直线与圆，则（）A．直线必过定点B．当时，被圆截得的弦长为C．直线与圆可能相切D．直线与圆不可能相离三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，于点D，点D的坐标为，则______．第(2)题函数的定义域是______．第(3)题若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在数列中，，，.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求的最大值.第(2)题数列对任意，且，均存在正整数，满足.(1)求可能值；(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：(3)若成立，求数列的通项公式.第(3)题在凸四边形中，，，，．(1)若，求；(2)若的角平分线交对角线于点，求的最大值．第(4)题已知抛物线C：的焦点为F，直线被抛物线C截得的弦长为5．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点A，B是抛物线C上异于原点O的不同动点，且直线OA和直线OB的斜率之和为，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，是否存在定点P，使得线段PH的长度为定值？若存在，求出点P的坐标及线段PH的长；若不存在，请说明理由．第(5)题如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）．(1)求证：平面平面PBC；(2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
银川市数学高三理数4月高中教学质量检测试卷（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合则（）
A . [1,2)
B . (1,2]
C . [1,2]
D . (1,2)
2. （2分）已知，则=
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高二下·河池月考) 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2017·渝中模拟) 实数x，y满足且z=2x﹣y，则z的最大值为（）
A . ﹣7
B . ﹣1
C . 5
D . 7
5. （2分）某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）
A . 55人，80人，45人
B . 40人，100人，40人
C . 60人，60人，60人
D . 50人，100人，30人
6. （2分）一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2016·南平模拟) 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（）
A . y2=4x
B . y2=8x
C . y2=16x
D .
8. （2分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（）
A . i=i-1
B . i=i+1
C . i=i-2
D . i=i+2
9. （2分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是（）
A . 直角三角形
B . 等腰三角形
C . 等边三角形
D . 等腰直角三角形
11. （2分）(2018·台州模拟) “ ”是“函数在区间上为增函数”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
12. （2分） (2017高二上·南阳月考) 满足的恰有一个，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D . 或
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高一上·海淀期中) 能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为________．
14. （1分） (2017高二上·襄阳期末) 在的展开式中，x6的系数是________．
15. （1分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为________
16. （1分）函数的单调递增区间是________
三、解答题 (共7题；共65分)
17. （5分） (2018高三上·昭通期末) 数列的前n项和为Sn ，且Sn=n2+1
(I)求的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和
18. （5分） (2016高二上·河北期中) 若两集合A=[0，3]，B=[0，3]，分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记为（m，n），
（Ⅰ）若m∈Z，n∈Z，写出所有的（m，n）的取值情况，并求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆”的概率；
（Ⅱ）求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．
19. （10分） (2017高三下·上高开学考) 如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F 分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，
且AP= ，
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．
20. （15分） (2016高二上·陕西期中) 求满足下列条件的椭圆方程：
（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；
（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；
（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．
21. （10分） (2017高二上·衡阳期末) 已知函数f（x）=ex（x2+x+a）在（0，f（0））处的切线与直线2x ﹣y﹣3=0平行，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
22. （10分）(2020·定远模拟) 在中，角 , ,的对边分别为 , ,．
（1）若，且为锐角三角形， ,，求的值；
（2）若 ,，求的取值范围．
23. （10分） (2016高三上·焦作期中) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|3x﹣ |．
（1）求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c= ．求证： + + ≥ ．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、
18-1、19-1、
19-2、20-1、20-2、
20-3、21-1、
21-2、22-1、22-2、
23-1、23-2、。