第二章212指数函数及其性质第二课时课时活页训练

1．设13<(13)b <(13)a <1，则( )
A ．a a <a b <b a
B ．a a <b a <a b
C ．a b <a a <b a
D ．a b <b a <a a
解析：选C.由已知条件得0<a <b <1，
∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .
2．函数y ＝ a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为( )
A ．a >0
B ．a <1
C ．0<a <1
D ．a ≠1
解析：选C.由a x －1≥0，得a x ≥a 0.
∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.
3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝
( )
A ．{－1,1}
B ．{0}
C ．{－1}
D ．{－1,0}
解析：选C.M ＝{－1,1}，
N ＝{x |12＜2x ＋1＜4，x ∈Z }＝{－1,0}，
∴M ∩N ＝{－1}．
4.若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的函数，且f (x )－g (x )＝e x ，则有( )
A ．f (0)＝g (0)
B ．f (0)>g (0)
C ．f (0)<g (0)
D ．无法比较
解析：选B.f (0)－g (0)＝e 0＝1>0，∴f (0)>g (0)．
5．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(0,1)
解析：选A.设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x 的递增区间． 6．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，则下列五个关系式：①0<b <a ；
②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .
其中不．
可能成立的有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B.如图由(12)a ＝(13)b ，得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故选
B.
7．当x ∈[－1,1]时，f (x )＝3x
－2的值域为________．
解析：x ∈[－1,1]，则13≤3x ≤3，即－53≤3x －2≤1.
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1 8．方程4x ＋2x －2＝0的解是________． 解析：设2x ＝t ，则原方程可化为t 2＋t －2＝0，
解得t ＝－2或t ＝1.由t >0，得t ＝1.故2x ＝1，即x ＝0.
答案：x ＝0
9．满足f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)的一个函数f (x )＝______.
解析：联想指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，有
f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝f (x 1＋x 2)．
可知f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)是指数函数的一个特性．所以填任何一个
指数函数均可，比如f (x )＝2x 或f (x )＝10x 或f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 都可以，答案不唯一．
答案：2x (任何一个指数函数均可)
10．求适合a 2x ＋7<a 3x －2(a >0，且a ≠1)的实数x 的取值范围． 解：①若a >1，则a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7<3x －2，
∴x >9，即不等式的解集为{x |x >9}；
②若0<a <1，
则a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7>3x －2，
∴x <9，即不等式的解集为{x |x <9}．
综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >9}；
当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <9}．
11．已知2x ≤(14)x －3，求函数y ＝(12)x 的值域．
解：由2x ≤(14)x －3，得2x ≤2－2x ＋6，
∴x ≤－2x ＋6，x ≤2.∴(12)x ≥(12)2＝14，
即y ＝(12)x 的值域为[14，＋∞)．
12．已知函数f (x )＝2x ＋2－x .
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调增区间，并证明．
解：(1)f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，且x ∈R ，∴函数f (x )＝2x ＋2－x 是偶函数．
(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]和[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．证明如下：
设0≤x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋2－x 1－2x 2－2－x 2
＝2x 1－2x 2＋12x 1－12x 2＝2x 1－2x 2＋2x 2－2x 12x 12x 2
＝(2x 2－2x 1)·1－2x 1＋x 22x 1＋x 2
. ∵0≤x 1<x 2，∴2x 2>2x 1，2x 1＋x 2>1，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
∴函数在[0，＋∞)上单调递增，
即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。