平面及其基本性质 ppt课件
§14.1 平面及其基本性质
一、 平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线 是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点， 则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、 平面的基本性质
3.公理3： 不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质 例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一 直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1： 如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质： 公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用： （1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)
一、平面的基本性质
平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。
1_平面基本性质第三课时
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
平面基本性质.ppt
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
a__lP, b__l_P
例题讲解
例２、求证：两两相交且不过同一个点的三条 直线必在同一平面内。
A C
B
已知 :如图 ,直线 AB、BC、CA两两相交 交 变 直线式点 ”：，如分 果命题条A别 还件、成改B为 、 立为C 吗“。 ？交于同一点的三条 求证：A直B、 线 BC、CA共面。
思考探究
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/92020/11/9November 9, 2020
P
l
P
P 且 P l且 P l
作用：用来判定两个平面相交或点在直线上。
例题讲解
B
A
l
a （1）
பைடு நூலகம்
b
lP
a
（2）
例1、如上图，用符号表示图形中点、直线、 平面之间的位置关系。
平面及其基本性质
向量数量积运算规则
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
数量积运算规则
数量积满足交换律、分配律和结合律，且数量积的结果与两向量的夹角有关，当两向量垂直时数量积为零。
平面上标系建立与特点
直角坐标系的建立
在平面上选定两条互相垂直的数轴，分别作为x轴和y轴，两轴的交点O为坐标原点。对于平面上的任 意一点P，其位置可以用从O点到P点的有向线段的数量来表示，该数量即为点P的坐标。
VS
极坐标系的特点
极坐标系在处理某些问题时具有独特的优 势，如描述圆的方程、研究点的轨迹等。 在极坐标系中，点的位置由其到极点的距 离和与极轴的夹角确定，这种表示方式在 某些情况下比直角坐标系更为简便。
坐标变换公式及应用
坐标变换公式
在平面上的不同坐标系之间，可以通过一定 的数学公式进行坐标的转换。例如，在直角 坐标系和极坐标系之间，点的坐标可以通过 以下公式进行转换：x = rcosθ, y = rsinθ, r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)。
向量表示方法
在平面直角坐标系中，向量可以用坐 标形式表示，起点为坐标原点，终点 坐标即为向量坐标。
向量加减法运算规则
向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果向量以两 个加向量为邻边作平行四边形，其对角线即为和向量。
向量减法
向量减法可以转化为向量加法来处理，即减去一个向量相当 于加上这个向量的相反向量。
圆及其性质
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形。
圆的性质
圆的任意一条直径所在的直线都是圆 的对称轴；圆的周长与直径的比值是 一个常数，称为圆周率；圆内接四边 形的对角互补，外角等于它的内对角 。
14.1平面及其基本性质
a b
14.1平面及其基本性质（1）
例1、正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
14.1平面及其基本性质（1）
❖ （二）平面的表示方法：
❖ 1、几何表示：
①
水平放置①：
③
正视垂直放置②： ② 侧视垂直放置③：
❖ 2、符号表示：
（1）直线AB，直线l，直线a
（2）平面ABCD（顶点字母），
平面αβγ（小写的希腊字母），平面M、N
❖ 3、点、线、面的位置关系（借用集合符号）
14.1平面及其基本性质（1）
❖ 例4、空间三个点能确定几个平面？ 空间四个点能确定几个平面？
❖ 例5、 空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
❖ 例6、两个平面可以把空间分成________部分， 三个平面呢?_________________。
三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
m
（3） l
P
（4）P l,P ,Q l,Q
Q
14.1平面及其基本性质（1）
例3、如图，正方体 ABCDA1B1C1D 1，E,F分别是
B1C1, BB1的中点，问：直线EF和BC是否相交；
如果相交，交点在哪几个平面内？
D1
C1
A1
B1 E
DF C
A
B
14.1平面及其基本性质（1）
(4)_____A _1B_ 1 ______B_1B
3平面及其基本性质
平面及其基本性质教学目标：掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.重点1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.基础扫描1．分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 2．下列命题中真命题的序号为（1）四边形是平面图形（2）有三个公共点的两个平面重合（3）两两相交的三条直线必在同一平面内（4）三角形必是平面图形3．角α与β的两边分别平行，当α70=︒时， β=4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l.A 平行 .B 相交 .C 垂直 .D 互为异面直线 解题平台例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ：GC =DH ：HC =1：2 （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面。
（2）设EG 与HF 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线。
A CD BEF GH例2若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则下列正确的是.A 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 .B 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 .C 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 .D 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面例3正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是小结A BCD1A1B1C1D PQ R课后练习1．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 个。
2．在正方体ABCD A B C D -''''中，过对角线BD '的一个平面交AA '于E ，交CC '于F ，则① 四边形BFD E '一定是平行四边形; ② 四边形BFD E '有可能是正方形③ 四边形BFD E '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E '有可能垂直于平面BB D '以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号） 3．对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得.A αα⊂⊂b a , .B b a ,α⊂∥α .C αα⊥⊥b a ,.D αα⊥⊂b a ,4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 条件5．空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，E 、F 为AB 、BC 的中点，G 、H 分别在CD 、DA 上，且CG ：GD=AH ：HD=λ（λ>0） (1)求证:点E 、F 、G 、H 共面；（2）若λ=2，求证：直线FG 、EH 、BD 相交于一点6．已知△ABC 在平面α外，三边AB 、BC 、CA 分别与平面α交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线.7．三个平面两两相交，得到三条交线，求证：（1）若其中两条交于一点P ，则P 也在第三条交线上； （2）若其中两条平行，则这三条交线两两平行。
14.1-平面及其基本性质
点--- 组成集合的基本元素; Explanation 线--- 由基本元素点组成的集合. 面---由基本元素点组成的集合. ①点与直线的位置关系：The positional relationship of the points 说明
with straight lines
点A在直线l上--记作 ：
新课讲解
③直线与平面的位置关系：The position *当直线l上的所有点都在平面α 上时,可把直线l看作是平面α的 子集,称直线l在平面α上,或平 面α经过直线l---记作: When all
relationship between straight line and plane
l
.
of the points on the straight line l in the plane alpha, can be regarded as a straight line l is a subset of the plane alpha, said straight line l in the plane l alpha
②数学中的平面概念可与平几中直线的概念相类比.
新课讲解
二.数学中表示平面的一般方法: a general method said
plane
·· ①大写的英文字母—— 平面M;平面N;···Plane M;
Uppercase letters -Plane N; ...
②小写的希腊字母— —Lowercase Greek letter --
α∩β=Ø 或α∥β.
总结说明Summary ①点、线、面之间的位置关系的语言叙述具有多变性;
Point, line, plane positional relationship between the language Designation
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：8.4.1 平面
答案 B
[微思考] 1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形. 2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 两部分. 3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面. 4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内. 5.基本事实3有什么作用？
点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有 推论2
一个平面 经过两条平行直线，有且只有 推论3 一个平面
图形
作用 定平面的依据
[微判断]
拓展深化
1.一个平面的面积是16 cm2.( × ) 2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( × ) 3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( × ) 4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × ) 5.空间不同三点确定一个平面.( × )
证明 如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内， 然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a⊄α，则A∉α；
②若A∈α，a⊂α，则A∈a；
③若A∉a，a⊂α，则A∉α；
④若A∈a，a⊂α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
平面的基本性质：三个公理,三个推论.
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
平面的基本性质课件
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义 勾股定理 特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。 直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两 个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点 的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图 形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计 算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图 形。
正方形
四条边相等，四个角 都是90度。
矩形
有四个角都是90度的 四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四 边形。
圆及其性质
14.1 平面及其基本性质
二、典型习题
（一）概念的辨析 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm。（ ）
(2)一条直线把它所在的平面分成两部分， 一个平面把空间分成两部分．
（）
(3)一个平面的面积为20 cm2．
（）
(4) 一条直线和任意一点确定一个平面
（）
2、在下列命题正确的是（
• 2、习题14.1A组1 习题14.1B组1，2
• 3、画一个正方体
2．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(2)l , m A
(3) l
思考题：
几位同学一次野炊活动，带去一张折叠方桌， 不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的 木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），
类比思考：
如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？
如图，把三角板的一个角立 在课桌面上，三角板所在的 平面与桌面所在的平面是否 只相交于一点B？为什么？
BB
两相交平面的公共部分的特点：有无穷多点， 而且是直线。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条经过这个点的公共直线．
P l, Pl
同理,P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.
题型： 证明多线共面
【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交 于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直 线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.
第1讲平面及其基本性质讲义
平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）。
平面的表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。
一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：符号语言：P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.（证明见课本）指出：推论1的符号语言：A a ∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习：一、选择题：1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a3.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABＣ.αα∉⇒∈⊄A A ,Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定5. 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）Ａ. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7．下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）A. 1B.１或３C. １或２或3D.１或 4二、填空题：9．水平放置的平面用平行四边形表示时，通常把横边画成邻边的___________倍.10．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上.三、解答题：13．判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线.14．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线.15．证明梯形是平面图形。
全国第八届青年数学教师优质课展示课件与教学设计—平面及其基本性质(华东师大二附中 戴中元) 课件
• 知道现实平面与抽象平面概念的联系与 区别；能够用文字语言、图形语言和符 号语言表述平面以及空间的点、直线和 平面及其位置关系. • 发现和理解平面的三条公理，并会在简 单情形下应用它们作为推理的依据. • 从身边的实例中发现平面的三条公理， 体会数学在生活中的价值.了解公理体系 的发展历史.
学习绘图 • 不同放置的平面 • 直线在平面上 • 两个相交平面
公理化发展简介 • 公理的概念 • 希尔伯特及《几何基础》 • 公理体系的三个特征
• • • • • •
平面概念引入 学生操作讨论 分析位置关系 平面三条公理 三公理的应用 公理体系简介
• 平面概念引入
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• 平面三条公理
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• 三公理的应用
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华东师大二附中
戴中元
教学内容：
• 平面的概念
• 平面的表示（文字、图形、符号）
• 点面关系、线面关系、面面关系
• 平面三公理及其应用
思想方法：
• 类比方法
• 数形结合
• 降维方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 公理化方法
• 已经掌握平面几何的基本知识，具备了 一定的演绎推理能力. • 已经了解欧几里得公理体系. • 已经接触长方体,球体等立体图形. • 尚未具有良好的空间想象能力.
• 教学重点： 发现和理解平面的三条公理.
• 教学难点： 通过公共点个数分析直线与平面、平面 与平面位置关系.
利用教具（硬纸板和竹签） • 呈现立体图形 • 实践操作，验证正确 • 类比平面几何 • 培养学生协作能力
公共点个数与位置关系为线索 • 直线在平面上时有无穷多个公共点 • 两平面相交时有无穷多个公共点 • 两平面重合时有无穷多个公共点 以上结果均不适合作为判定位置关系 的依据,能否将点数减少？ 引出平面三公理.
平面2
α ∩ β = l P ∈α ∩ β P ∈ l
公理2应用 公理 应用 (1)确定两个平面的交线 确定两个平面的交线; 确定两个平面的交线
α
β
P l
(2)证明点在直线上 如证三点共线或三线共点 证明点在直线上(如证三点共线或三线共点 证明点在直线上 如证三点共线或三线共点); (3)确定直线与平面交点的位置 确定直线与平面交点的位置. 确定直线与平面交点的位置
平 面
第二课时
目标
1.理解平面的基本性质 公理 、2、3及其推论 理解平面的基本性质(公理 及其推论); 理解平面的基本性质 公理1、 、 及其推论 2.能利用图形语言理解公理及其推论; 2.能利用图形语言理解公理及其推论; 能利用图形语言理解公理及其推论 3.能用符号语言准确描述公理及推论 能用符号语言准确描述公理及推论; 能用符号语言准确描述公理及推论 4.掌握公理及其推论的应用 掌握公理及其推论的应用. 掌握公理及其推论的应用
公理3 公理
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 公理3应用 公理 应用 (1)确定平面的个数 确定平面的个数; 确定平面的个数 (2)作辅助平面 作辅助平面; 作辅助平面 (3)证明有关点、线共面. 证明有关点、线共面 证明有关点 实际应用 1.为什么照相机支架只用三条腿就够了 为什么照相机支架只用三条腿就够了? 为什么照相机支架只用三条腿就够了 2.为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚? 为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚
公理3推论 公理 推论2 推论
经过两条相交直线,有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面
a ∩ b = P 有且只有一个平面 α 使 a α,b α
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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问题2
（1）把书的一角放在桌面上，问书所在平 面与桌面所在平面有几个公共点？
（2）把教室的门及其所在的墙看成两平 面，当门开着时，它们的公共点的分布如 何？
公理2 如果两个平面有一个 公共点，那么它们还有其他 公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点 的直线。
9.1 平面及其基本性质
一、平面的概念和表示法
D
C
A
B
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
B• •A
二、如何理解平面？
平面是一个描述而不是定义的原始概念。
（1）平面是绝对平的； （2）平面没有厚度； （3）平面是无限延展的； （4）平面和点、线一样是今后研究空间图 形的基础，也是空间图形的一个重要组成 部分；
（5）平面可以看作是空间的一些特殊点组 成的集合，它是一个无限集；
区别：（1）平面图形的点都在同一个平面内， 立体图形的点不全在同一个平面内；
（2 ）平面图形由点、线构成，立体图形 由点、线、面构成；
（3）考虑问题要着眼于整个空间而不能 局限与一个平面
（4）立体图形中有些点在同一平面内，对平面 图形的研究是立体图形的基础，立体图形常常转 化为平面图形来研究.
（5）过去所学的平面图形中的结论在立体图形 中是否正确？要经过验证
A
B
C
证法二: 因为A直线BC上， 所以过点A和直线BC确定平面α.(推论1) 因为A∈α，B∈BC，所以B∈α. 故AB α， 同理AC α， 所以AB，AC，BC共面.
A
B
C
证法三: 因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面.(公理3) 因为A∈α，B∈α，所以AB .(公理1) 同理BC ，AC ，
和一个平面，
（1）若尺的两个端点都在桌面上，问尺 所在直线上各点会不会都在桌面所在平面 内？
（2）若尺的一个端点不在桌面上，问尺 所在直线与桌面所在平面的关系如何？
公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在这个平 面内。
确定直线在不在平面内的依 据
注意：直线有两点在平面内，则直线上
所以AB，BC，CA三直线共面.
A
B
C
课堂小结: （1）平面的概念及如何理解？ （2）平面的表示法； （3）平面的基本性质：
3个公理、3个推论；应用； （4）3种语言的相互表示、相互转化；
立体几何
问题1 你能过任意一点引三条互相垂直的
直线吗？
如图
问题2 你能用六根火柴在桌面上搭出四个
三角形吗？
如图
问题3 你能画出一个四边形，使它的两条
对角线所在的直线不相交吗？ 总结
C
O B
A 返回
C
O A
B 返回
空间图形分为：平面图形 立体图形
立体图形与平面图形的区别与联系：
联系：从集合论角度，二者都是点的集合；
（6）无限的平面----将它所在的无限的空 间分成两部分，如果想从平面的一侧到另 一侧，必须穿过这个平面；
（7）有限的图形-----平行四边形，用它表 示平面，只是一种表示法，绝不能认为平 行四边形就是平面；
（8）画线原则-----“看得见的画实线，看 不见的画虚线”；
三、平面的基本性质
问题1 如果把尺和桌面分别看成一条直线
判断两平面相交的依据，也 是证明三点共线的依据。
注意：两个不重合的平面有公共点，则
两平面有一条过公共点的直线。两平面的 公共点一定不可能是孤立的点；
问题3
（1）把门销插上，门便不动，为什么？ （2）测量仪的支架为什么只需三支脚？
公理3 经过不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面
确定平面的依据
A
B
C
推论1: 经过一条直线和这条直 线外一点，有且只有一个平面。
A
B
C
已知:点A，直线a，Aa. 求证:过点A和直线a可以确定一个平面.
A a
推论2: 经过两条相交直线， 有且只有一个平面。
推论3: 经过两条平行直线， 有且只有一个平面
确定平面的依据
例1：两两相交且不过同一点的三条直线 必在同一个平面内。(如图) 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面