单变量非线性时间序列模型
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第5章 单变量非线性时间序列模型
§1 随机波动率模型
一． 乘积过程 t
t
t x U
其中t U 一个标准化过程，即0,1t t
E U V U 。
t
是一个正随机变量的序
列。这种类型的过程称之为乘积过程。
因为2
t
t
t
V x ，因此
t
是随机过程t x 的标准差。
现在看偏微分方程
log dP d P dt dW P
其中log t t x P ，W t 为标准布朗运动。它是通常的金融资产定价的扩散
过程。离散情况1dt ，所以它是一个乘积过程。
假设t
t
t
U x 服从正态分布，且独立于
t
，则
2
2
2
22
2t
t
t t t t
E x E
U E
E U E
0t t
k
t t k
t t
k
t
t k
t t
k
E x x E
U U E
U E U
但平方误差2
t t S x 却自相关：
cov ,t t
k
t t
t k t S S E S E S S E S
2
2
22222222t t k t
t t k t t k
t
t
t k
t
E S S E S E E U U E
E
E
此时
222,42t t k t
k S
t
t
E
E E
E
二． 随机波动率模型 如果定义 2011
log
t
t
t t h h
（这个模型常常代表金融市场随机和不均匀的薪信息流）其中2
0,
t
NID 且独立于t U 。
此时 exp 2t
t t x U h
此时仅当t h 弱平稳时，t x 才是弱平稳。
此时t x 的偶阶矩存在，所有的奇阶矩为零（为什么）：
2
exp
2
r
r
r t
t
t t
r
E x E S E U E h
2
2
!2
2!
exp
2
2
2
r
h
h
r
r r
r
其中：
1
1h
t
E h ；
22
21
1
h
。
峰度的矩：
4222
2
223exp
3t t h
t
t
E S E x E S
E x （意思是什么）
此时
22exp exp exp t t
k
t t k
t t
k
t t
k
E S S E
E h h E h h
221
21
exp
exp 2
1
k h
h h
h
k h
h
221
cov ,exp 21
exp 2
k t t
k
h
h h
h
S S
221
exp 2
exp 1k h
h
h
此时
21,2exp
13exp
1
k h k S
h
变化一下，利用模型
20
11
log
t t
t
t
t
t
t
x U h h 得出
2
21
log log log 1
t
t t t h
t S h U U B
此时log 1,1t S ARMA 。
当t U 服从正态分布时，2log t U 的均值为-1.27， 方差为 4.93
其自相关函数为
1
,log 21 4.93/
k
k S
h
三． 随机波动率模型的估计
采用Koopman 得准极大似然法（QML ）Quasi-maximum Likelihood 。 STAMP5.0软件提供了这个方法。
§2 ARCH 模型
波动性聚类：波动性不仅随时间变化，而且常在某一时段中连续出现偏高或偏低的现象。波动性聚类现象是金融时间序列常见的现象。 一． 自回归条件异方差模型（ARCH ）的定义 随机变量t x 服从自回归形式AR(p):
01122...t t t p t p t x x x x ββββε---=+++++
其中t ε服从独立同分布的白噪声过程，且有()()20,t t E V εεσ==。（？）
此时随机变量t x 的无条件方差
()0
11...t p
E x βββ=
---
为常数，与时间无关。