单变量非线性时间序列模型
线性和非线性时间序列分析在金融领域的应用
线性和非线性时间序列分析在金融领域的应用随着金融市场的飞速发展，人们越来越需要有效的金融预测方法，以实现高效的投资和风险控制。
时间序列分析的应用在这个过程中起着至关重要的作用。
时间序列分析是一种理解和预测时间序列数据的方法，经常用于分析经济、金融、天气和其他非静态系统。
时间序列分析包括线性时间序列分析和非线性时间序列分析两种方法。
这两种方法不同的是，线性时间序列假设之间的关系是线性的，而非线性时间序列需要考虑非线性关系。
线性时间序列分析线性时间序列分析是指用统计和数学技术分析时间序列。
基于这个模型，人们可以预测未来的趋势，帮助投资者制定更合理的投资策略。
线性时间序列分析使用的技术包括自回归模型（AR模型）、移动平均模型（MA模型）、ARMA模型和ARIMA模型等等。
自回归模型（AR模型）是一种广泛使用的线性时间序列分析工具。
该模型假设未来的值基于过去的一段时间内的数据。
它的核心思想是，一个序列的值是先前值与错误项的和。
因此，AR模型的核心公式是y(t)=c+φ1y(t-1)+φ2y(t-2)+...+φpy(t-p)+e(t)，其中y（t）表示时间‘t’的观测值，c是常数，φl表示‘l’时期后的自相关系数，‘p’是阶数，而‘e(t)’是时间‘t’的预测误差。
移动平均模型（MA模型）是另一种线性时间序列模型，旨在将时间序列中的噪声过滤掉。
MA模型建立在误差方程上，表示序列中不随时间变化的部分。
其核心公式是y(t)=θ1e(t-1)+θ2e(t-2)+...+θqe(t-q)，其中θi表示第‘i’个移动平均系数，‘q’是与移动平均级别相关的参数，而‘e(t)’表示预测误差。
ARMA模型是AR和MA模型的结合体。
该模型用于具有显着自相关和波动的时间序列数据。
ARMA模型由AR(p)模型和MA(q)模型构成。
该模型假设过去的观测值和误差序列都对当前观测值有影响。
ARMA模型的核心公式为：y(t)=c+φ1y(t-1)+φ2y(t-2)+...+φpy(t-p)+θ1e(t-1)+θ2e(t-2)+...+θqe(t-q)+e(t)在此公式中，首次出现了误差（e）项。
非线性时间序列.doc
-------------精选文档 -----------------近代时间序列分析选讲:一. 非线性时间序列二. GARCH 模型三. 多元时间序列四. 协整模型-------------精选文档 -----------------非线性时间序列第一章 .非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型2.线性时间序列定义的多样性第二章 . 非线性时间序列模型1.概述2.非线性自回归模型3.带条件异方差的自回归模型4.两种可逆性5.时间序列与伪随机数第三章 . 马尔可夫链与 AR 模型1.马尔可夫链2.AR 模型所确定的马尔可夫链-------------精选文档 -----------------3.若干例子第四章 . 统计建模方法1.概论2.线性性检验3.AR 模型参数估计4.AR 模型阶数估计第五章 . 实例和展望1.实例2.展望第一章 .非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型时间序列 {x t } 是一串随机变量序列 , 它有广泛的实际背景 , 特别是在经济与金融-------------精选文档 -----------------领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线性概念 , 可从以下的例子入手作一浅释的说明.考查一阶线性自回归模型---LAR(1):x t = x t-1 +e t ,t=1,2,(1.1)其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且e t与 {x t-1 ,x t-1 ,} 独立 .反复使用 (1.1) 式的递推关系 , 就可得到x t =x t-1 +e t=e =e =e ttt+x t-1+{ e t-1 +x t-2 } +e t-1 + 2 x t-2== e t +e t-1 + 2 e t-2+ +n-1 e t-n+1+n x t-n.(1.2)如果当 n时,n xt-n 0, (1.3) {e t + e t-1 + 2 e t-2++n-1 e t-n+1}j=0j et-j .(1.4)虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是 , 对以上的简单模型 , 不难相信 , 当| |<1 时 , (1.3)(1.4) 式成立 . 于是 , 当 | |<1时,模型LAR(1)有平稳解 , 且可表达为x t =j=0j e t-j.(1.5) 通过上面叙述可见求LAR(1) 模型的解有简便之优点 , 此其一 . 还有第二点 , 容易推广到 LAR(p) 模型 . 为此考查如下的 p 阶线性自回归模型 LAR(p):x t = 1 x t-1 + 2 x t-2 +...+p x t-p +e t ,t=1,2, (1.6) 其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且 e t与{x t-1 , x t-1 ,} 独立 .虽然反复使用(1.6) 式的递推式, 仍然可得到 (1.2) 式的类似结果, 但是 ,用扩张后的一阶多元 AR 模型求解时 , 可显示出与 LAR(1) 模型求解的神奇的相似. 为此记x t 1x t 1, U= 0X t = ,x t p 1 01 2 p1 0 0(1.7)A= ,0 00于是 (1.6) 式可写成如下的等价形式:X t =A X t-1 + e t U.(1.8) 反复使用此式的递推关系, 形式上仿照 (1.2) 式可得X t =AX t-1 +e t U= e t U+ e t-1 AU+A 2 x t-2==e t U+e t-1 AU+e t-2 A 2 U++e t-n+1 A n-1 U+A n x t-n .如果矩阵 A 的谱半径 (A的特征值的最大模) (A),满足如下条件(A)<1,(1.10)由上式可猜想到 (1.8) 式有如下的解 :X t =k=0 A k Ue t-k .(1.11)其中向量X t的第一分量x t形成的序列 {x t },就是模型 (1.6) 式的解 . 由此不难看出 , 它有以下表达方式x t =k=0k e t-k .(1.11)其中系数k 由(1.6)式中的 1 ,2 , ...,p确定 , 细节从略 . 不过 , (1.11) 式给了我们重要启发 ,即考虑形如x t =k=0k e t-k ,k=0k 2,(1.12)的时间序列类( 其中系数k 能保证(1.12)式中的x t有定义 ). 在文献中 , 这样的序列-------------精选文档 -----------------{x t } 就被称为线性时间序列.虽然以上给出了线性时间序列的定义, 以下暂时不讨论什么是非线性时间序列, 代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1),以便与LAR(1) 模型进行比较分析 . 首先写出 NLAR(1)模型如下x t = (x t-1 )+e t ,t=1,2,(1.13)其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且e t与 {x t-1 ,x t-2 ,} 独立 , 这些假定与LAR(1) 模型相同 , 但是 ,(x t-1 )不再是 x t-1的线性函数 , 代之为非线性函数,比如-------------精选文档 -----------------(x t-1 )=x t-1 /{a+bx t-1 2}.此时虽然仍可反复使用(1.13) 式进行迭代, 但是所得结果是x t =(x t-1 ) +e t= e t +(x t-1 )= e t +( e t-1 +(x t-2 ))= e t +( e t-1 +( e t-2 + (x t-3 )))==e t +( e t-1 +( e t-2 ++(x t-n )) ).(1.14)根据此式 , 我们既不能轻易判断(x t-1 ) 函-------------精选文档 -----------------数满足怎样的条件时, 上式会有极限 , 也不能猜测其极限有怎样的形式.对于 p 阶非线性自回归模型x t = (x t-1 ,x t-2 ,,x t-p )+e t ,t=1,2, (1.15) 仿照 (1.6) 至 (1.9) 式的扩张的方法, 我们引入如下记号(x t 1 , x t 2 ,...,x t px t 1( x t-1 ,x t-2 , ,x t-p ),x t p 1(1.16)我们得到与 (1.15) 式等价的模型X t = (X t-1 ) +e t U, t=1,2,(1.17)但是 , 我们再也得不出(1.9) 至 (1.14) 式的结果 ,至此我们已将看出 , 从线性到非线性自回归模型有实质性差异 , 要说清楚它们 , 并不是很简单的事情 . 从数学角度而言 , 讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法 , 然而, 讨论非线性自回归模型, 则要借用马尔可夫链的理论和方法 . 这也正是本讲座要介绍的主要内容 .2.线性时间序列定义的多样性现在简单叙述一下非线性时间序列定义的复杂性 , 它与线性时间序列的定义有关.前一小节中(1.12) 式所显示的线性时间序列 , 只是一种定义方式. 如果改变对系数k 的限制条件, 就会给出不同的定义. 更为重要的是 , 在近代研究中 , 将 (1.12) 式中的 i.i.d. 序列 {e t } 放宽为平稳鞅差序列, 这在预报理论中很有意义.无论引用哪一种线性时间序列定义, 都对相应的序列的性质有所研究, 因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的特性研究 . 事实上 , 已经有丰富的成果被载入文献史册 .依上所述可知 , 由于线性时间序列定义的多样性 , 必然带来非线性时间序列定义的复杂性 . 这里需要强调指的是 , 对于非线性时间序列 , 几乎没有文章研究它们的一般性质, 这与线性时间序列情况不同 . 于是人们要问 , 我们用哪些工具来研究非线性时间序列模型解的特性呢 ? 这正是本次演讲要回答的问题 . 确切地说 , 我们将介绍马尔可夫链 , 并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题 .第二章 . 非线性时间序列模型1.概论从(1.12) 式可见，一个线性时间序列 {x t }, 被 {e t } 的分布和全部系数i 所决定. 在此有无穷多个自由参数，这对统计不方便，因此人们更关心只依赖有限个自由参数的线性时间序列，这就是线性时间序列的参数模型. 其中最常用的如 ARMA 模型 . 对于非线性时间序列而言 , 使用参数模型方法几乎是唯一的选择 . 由于非线性函数的多样性 ,带来了非线性时间序列模型的多样性 . 但是 , 迄今为止被研究得较多 , 又有应用价值的非线性时序模型 , 为数极少 , 而且主要是针对非线性自回归模型 . 在介绍此类模型之前 , 我们先对非线性时序模型的分类作一概述 .通用假定 : {t }为i.i.d.序列，且E t =0, 而且t 与{x t-1 , x t-2 ,}独立 .可加噪声模型 :x t = (x t-1 ,x t-2 , )+t ,t=1,2, (2.1)其中( ) 是自回归函数. 当它仅依赖于有限个未知参数时 , 记此参数向量为 , 其相应的(2.1) 模型常写成x t = (x t-1 ,x t-2 , ; )+t ,t=1,2, (2.2)否则 , 称(2.1) 式称为非参数模型.关于 (2.1)(2.2)的模型的平稳性,要在下一章讨论 , 但是 , 它有类似于线性A R 模型的几个简单性质, 是重要的而且容易获得的, 它们是 :E(x t |x t-1 ,x t-2 , )=E{ (x t-1 ,x t-2 , )+t |x t-1 ,x t-2 ,}= (x=(xt-1t-1 ,x,xt-2t-2 ,⋯)+E(t |x t-1 ,x t-2 ,⋯),⋯)(2.3)var{x t |x t-1 , x t-2 , ⋯}E{[x t - (x t-1 ,⋯)] 2|x t-1 , x t-2 , ⋯}= E{t 2|x t-1 , x t-2, ⋯}= E t 2=2.(2.4)P{x t <x|x t-1 ,x t-2 , ⋯}= P{(x t-1 ,⋯)+t <x|x t -1 ,x t-2 , ⋯}= P{t <x-(x t-1 ,⋯)|x t-1 ,x t-2 , ⋯}=F (x-(x t-1 ,⋯)).(2.5)其中 F 是t 的分布函数.带条件异方差的模型:x t = (x t-1 ,x t-2 , )+S(x t-1 ,x t-2 , )t ,t=1,2, (2.6)其中( ) 和 S() 也有限参数与非参数型之分 , 这都是不言自明的 . 另外 , (2.6) 式显然不属于可加噪声模型. 但是 , 它比下面的更一般的非可加噪声模型要简单得多. 这可通过推广 (2.3)(2.4)(2.5)式看出,即有,E(x t |x t-1 ,x t-2 , )-------------精选文档 -----------------=E{ (x t-1 ,x t-2 ,⋯)+S(x t-1 ,x t-2 ,⋯)t |x t-1 ,x t-2 ,⋯}=(x t-1 ,x t-2 ,⋯)+S(x t-1 ,x t-2 ,⋯)E{t |x t-1 ,x t-2 ,⋯}= (x t-1 ,x t-2 ,⋯).(2.3) ’var{x t |x t-1 , x t-2 , ⋯}E{[x t - (x t-1 ,⋯)] 2 |x t-1 , x t-2 , ⋯}=E{S 2 (x t-1 ,x t-2 ,⋯)t 2|x t-1 , x t-2, ⋯}=S 2 (x t-1 ,x t-2 ,⋯)E{t 2|x t-1 , x t-2, ⋯}=S 2 (x t-1 ,x t-2 ,⋯) 2 .(2.4) ’P{x t <x|x t-1 ,x t-2 , ⋯}=P{(x t-1 ,⋯)+S(x t-1 ,⋯)t <x|x t-1 , x t-2, ⋯} = P{t <[x-(x t-1 ,⋯)]/S(x t-1 ,⋯)}=F ([x-(x t-1 ,⋯)]/S(x t-1 ,⋯)).(2.5) ’一般非性序模型:x t = (x t-1 ,x t-2 ,⋯;t ,t-1 ,⋯)t=1,2, ⋯(2.7) 其中( ⋯) 也有参数与非参数型之区, 也是不言自明的 . 然 , (2.7) 式既不是可加噪声模型 , 也不属于 (2.6) 式的条件异方差的模型 . 然 , 它可能具有条件异方差性. 相反 , 后两者都是(2.7) 式的特殊型 .虽说 (2.7) 式是更广的模型形式, 在文献中却很少被研究 . 只有双线性模型作为它的一种特殊情况 , 在文献中有些应用和研究结果出现 . 现写出其模型于后, 可供理解其双线性模型的含义x t =j=1 p j x t-j +j=1 q j t-j+i=1 P j=1 Q ij t-i x t-j .2.非线性自回归模型在前一小节中的 (2.1) 和 (2.2) 式就是非线性自回归模型 , 而且属于可加噪声模型类 . 在这一小节里 , 我们将介绍几种 (2.2) 式的常见的模型 .函数后的线性自回归模型:-------------精选文档 -----------------f(x t )= 1 f(x t-1 )+2f(x t-2 )+...+p f(x t- p )+t ,t=1,2, (2.8) 其中 f(.) 是一元函数 , 它有已知和未知的不同情况 , 不过总考虑单调增函数的情况, =( 1 , 2 ,,p )是未知参数. 在实际应用中 , {x t } 是可获得量测的序列.当 f(.) 是已知函数时 , {f(x t )} 也是可获得量测的序列 , 于是只需考虑 y t =f(x t ) 所满足的线性 AR 模型y t = 1 y t-1 + 2 y t-2 +...+p y t-p +t ,t=1,2, (2.9)-------------精选文档 -----------------此时可不涉及非线性自回归模型概念 . 在宏观计量经济分析中 , 常常对原始数据先取对数后 , 再作线性自回归模型统计分析 , 就属于此种情况 . 这种先取对数的方法 , 不仅简单 , 而且有经济背景的合理解释 ,它反应了经济增长幅度的量化规律 . 虽然在统计学中还有更多的变换可使用 , 比如 Box-Cox 变换 , 但是 , 由于缺少经济背景的合理解释,很少被使用 . 由此看来 , 当 f(.) 有实际背景依据时 , 可以考虑使用 (2.7) 式的模型 .当 f(.) 是未知函数时 , {f(x t )} 不是可量测的序列 , 于是只能考虑 (2.8) 模型 . 注意 f(.)是单调函数 , 可记它的逆变换函数为 f -1 (.), 于是由 (2.8) 模型可得-------------精选文档 -----------------x t = f -1 ( 1 f(x t-1 )+ 2 f(x t-2 )+...+p f(x t-p )+t ),t=1,2, (2.9) ’此式属于 (2.7) 式的特殊情况, 此类模型很少被使用 . 取而代之是考虑如下的模型x t = 1 f(x t-1 )+ 2 f(x t-2 )+...+p f(x t-p )+t ,t=1,2, (2.10) 其中 f(.) 是一元函数 , 也有已知和未知之分, 可不限于单调增函数. 此式属于 (2.1) 式的特殊情况 , 有一定的使用价值.当 (2.10) 式中的 f(.) 函数是已知时 , 此式还有更进一步的推广模型 ,-------------精选文档 -----------------x t = 1 f 1 (x t-1 ,⋯,x t-s )+ 2 f 2 (x t-1 ,⋯,x t-s )+...+p f p (x t-1 ,⋯,x t-s )+t ,t=1,2, ⋯(2.11) 其中 f k (⋯)(k=1,2,⋯,p)是已知的s元函数.例如 , 以后将要多次提到的如下的模型:x t = 1 I(x t-1 <0)x t-1 + 2 I(x t-10)x t-1 +t,t=1,2, ⋯(2.12) 其中 I(.) 是示性函数 . 此模型是分段性的, 是著名的TAR模型的特殊情况. 了有助于理解它 , 我写出它的分段形式:-------------精选文档 -----------------1 x1 t , x1 0,x t =, x t 1 t=1,2,2 x t 1 t0.请注意 , (2.8)(2.10) 和(2.11) 式具有一个共同的特征 , 就是未知参数都以线性形式出现在模型中 . 这一特点在统计建模时带来极大的方便 . 此类模型便于实际应用 . 但是 , 对于 {x t } 而言不具有线性特性 , 所以 , 讨论它们的平稳解的问题 , 讨论它们的建模理论依据问题 ,都需要借助于马尔可夫链的工具 .已知非线性自回归函数的模型:x t = (x t-1 ,x t-2 , ,x t-p ; )+t ,t=1,2,(2.13)-------------精选文档 -----------------其中( ) 是 p 元已知函数 , 但是其中含有未知参数=( 1 , 2 ,,p ). 一般说来, 在一定范围内取值.例如 ,x t = 1 x t 1t , t=1,2,1 2 x t2 1其中=( 1 , 2 )是未知参数, 它们的取值范围是:- < < ,0< .这里需要指出 , 使用上式的模型, 不仅要借助于马尔可夫链的工具, 而且在统计建模时遇到两种麻烦, 其一是参数估计的计算麻烦 , 二是确定( ) 函数的麻烦 . 一般来说 , 只有根据应用背景能确定() 函数时, 才会考虑使用此类模型.-------------精选文档 -----------------广义线性模型 (神经网络模型 ):x t = ( 1 x t-1 + 2 x t-2 ++p x t-p )+ t,t=1,2, (2.14)其中 (.) 是一元已知或未知函数, 参数=( 1 , 2 ,,p )总是未知的. 为保证模型的唯一确定性, 或者说是可识别性, 要对作些约定,其一,|| ||=1,其二,=( 1 , 2 ,,p )中第一个非零分量为正的 . 不难理解 , 若不加这两条约定,模型(2.14) 不能被唯一确定 .当 (.) 是一元已知函数时 , 与神经网络模型相通 .-------------精选文档 -----------------当 (.) 是一元未知函数时 , 与回归模型中的 PP 方法相通 .除了以上两类模型外, 还有 (2.1) 式的非参数自回归模型, 以及从统计学中引入的半参数自回归模型. 对它们的统计建模更困难 . 本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具, 描述非线性自回归模型的基本特性问题 , 对这类模型不再仔细讨论 .。
经济统计学中的统计建模方法
经济统计学中的统计建模方法统计建模是经济统计学中的重要方法之一，它通过对经济数据的分析和建模，帮助我们理解经济现象、预测未来趋势以及制定政策。
本文将介绍几种常见的经济统计学中的统计建模方法，并探讨其应用和局限性。
一、线性回归模型线性回归模型是经济统计学中最常用的建模方法之一。
它假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法来估计模型参数。
线性回归模型可以用来研究变量之间的因果关系，例如GDP与消费之间的关系、利率与投资之间的关系等。
然而，线性回归模型的一个局限是它对数据的线性关系假设过于简单，无法捕捉到非线性关系和复杂的相互作用。
二、时间序列模型时间序列模型是研究时间上连续观测数据的统计方法。
它假设数据的观测值之间存在某种时间依赖关系，可以用来预测未来的趋势和周期性。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARCH）等。
时间序列模型在经济学中的应用广泛，例如预测股票价格、通货膨胀率等。
然而，时间序列模型的一个局限是它对数据的平稳性假设较为严格，无法处理非平稳时间序列数据。
三、面板数据模型面板数据模型是同时考虑时间和个体（如国家、企业）维度的统计方法。
它可以用来研究个体间的异质性以及时间上的变化趋势。
面板数据模型常用的方法有固定效应模型和随机效应模型。
固定效应模型假设个体间存在固定的差异，而随机效应模型则假设个体间的差异是随机的。
面板数据模型在经济学中的应用广泛，例如研究教育对收入的影响、贸易对经济增长的影响等。
然而，面板数据模型的一个局限是它对数据的异质性和相关性的假设较为严格，可能存在内生性问题。
四、计量经济学方法计量经济学是经济学与数理统计学的交叉领域，主要研究经济理论的实证检验和政策评估。
计量经济学方法包括工具变量法、差分法、倾向得分匹配法等。
这些方法通过解决内生性和选择性偏误等问题，提高了经济统计建模的可靠性。
计量经济学方法在经济学研究中的应用广泛，例如评估教育政策的效果、估计劳动力市场的供需关系等。
非线性模型-TAR
8.
9.
10.
根据第4步的检验结果，定出d的取值； 确定门限的可能取值； 对第6步中每个可能的门限值，做门限自回归模型 的估计； 选取使得AIC获得最小的门限值； 对所估计的模型进行检验、评价，看看模型是否是 充分的。所用的方法是对残差进行分析，看一下残 差是否是独立同分布的或者是不相关的。对残差分 析，我们可以借助于残差的自相关、偏向关函数， 或者是L-B-P统计量； 如果必要的话，用AIC或SC准则对估计好的模型进 行改进，得出最符合实际的AR的阶数、延迟参数、 门限变量。
i 1 j 1 i 1 j 1
上式比ARMA( p, q)模型多了一个双线性项,因此可以 看作ARMA模型的推广。当x(.)固定时，变成关于a(.) 的线性模型；当a (.)固定时，变成x(.)的线性模型，因 此称之为双线性模型。由于它是非线性模型，模型的 定阶、判别准则、稳定性等远比ARMA模型复杂和困 难得多。
其中Z t d 为门限变量，在Ft 1上可测，参数d被称为延迟变量， 为正整数；初始值( x0 , x1 ,..., x p j 1 )已知， j , j 1, 2,..., k}为门限 {r 值，满足- r0 r1 ... rk 1 rk , k 取正整数，为TAR模型 的段数， jt }是独立同分布随机白噪声序列。满足上述条件的 { 模型通常记为:TAR (d,k,p1 , p2 ,..., pk )。当p1 p2 ... pk p时， 即模型满足在各段阶数相等时记为：TAR (d,k,p )。
双线性模型
双线性模型是由Granger和Anderson(1978) 提出，并得到广泛研究。Subba Rao和 Gabr(1984)讨论了这个模型的一些性质和 应用，Liu和Brockwell(1988)研究了一般的 双线性模型。
非线性时间序列
近代时间序列分析选讲:一. 非线性时间序列二. GARCH模型三. 多元时间序列四. 协整模型非线性时间序列第一章.非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型2.线性时间序列定义的多样性第二章. 非线性时间序列模型1. 概述2. 非线性自回归模型3.带条件异方差的自回归模型4.两种可逆性5.时间序列与伪随机数第三章.马尔可夫链与AR模型1. 马尔可夫链2. AR模型所确定的马尔可夫链3. 若干例子第四章. 统计建模方法1. 概论2. 线性性检验3.AR模型参数估计4.AR模型阶数估计第五章. 实例和展望1. 实例2.展望第一章.非线性时间序列浅释1. 从线性到非线性自回归模型时间序列{x t}是一串随机变量序列, 它有广泛的实际背景, 特别是在经济与金融领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线性概念, 可从以下的例子入手作一浅释的说明.考查一阶线性自回归模型---LAR(1):x t=αx t-1+e t, t=1,2,…(1.1)其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=2<, 而且e t与{x t-1,x t-1,…}独立. 反复使用(1.1)式的递推关系, 就可得到x t=αx t-1+e t= e t + αx t-1= e t + α{ e t-1 + αx t-2}= e t + αe t-1 + α2 x t-2=…= e t + αe t-1 + α2e t-2+…+ αn-1e t-n+1 +αn x t-n. (1.2)如果当n时,αn x t-n0, (1.3){e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1}αj e t-j . (1.4)虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是, 对以上的简单模型, 不难相信, 当|α|<1时, (1.3)(1.4)式成立. 于是, 当|α|<1时, 模型LAR(1)有平稳解, 且可表达为x t=j=0αj e t-j . (1.5)通过上面叙述可见求LAR(1)模型的解有简便之优点, 此其一. 还有第二点, 容易推广到LAR(p)模型. 为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):x t =α1x t-1+α2x t-2+...+αp x t-p +e t ,t=1,2,… (1.6)其中{e t }为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t =2<, 而且e t 与{x t-1, x t-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式, 仍然可得到(1.2)式的类似结果, 但是,用扩张后的一阶多元AR 模型求解时, 可显示出与LAR(1)模型求解的神奇的相似. 为此记X t =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--11p t t t x x x , U=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 , A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000121 pααα, (1.7)于是(1.6)式可写成如下的等价形式:X t=A X t-1+ e t U. (1.8)反复使用此式的递推关系, 形式上仿照(1.2)式可得X t=AX t-1+e t U= e t U+e t-1AU+A2x t-2==e t U+e t-1AU+e t-2A2U+…+e t-n+1A n-1U+A n x t-n.如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模) (A), 满足如下条件(A)<1, (1.10)由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:X t=k=0A k Ue t-k. (1.11)其中向量X t的第一分量x t形成的序列{x t}, 就是模型(1.6)式的解. 由此不难看出, 它有以下表达方式x t=k=0k e t-k. (1.11)其中系数k由(1.6)式中的α1,α2, ... ,αp确定, 细节从略. 不过, (1.11)式给了我们重要启发, 即考虑形如=k=0k e t-k, k=0k2,x(1.12)的时间序列类(其中系数k能保证(1.12)式中的x t有定义). 在文献中, 这样的序列{x t}就被称为线性时间序列.虽然以上给出了线性时间序列的定义, 以下暂时不讨论什么是非线性时间序列, 代之先讨论一阶非线性自回归模型---NLAR(1), 以便与LAR(1)模型进行比较分析. 首先写出NLAR(1)模型如下x t=(x t-1)+e t,t=1,2,…(1.13)其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=2<, 而且e t与{x t-1,x t-2,…}独立, 这些假定与LAR(1)模型相同, 但是, (x t-1)不再是x t-1的线性函数, 代之为非线性函数, 比如(x t-1)=x t-1/{a+bx t-12}.此时虽然仍可反复使用(1.13)式进行迭代, 但是所得结果是x t=(x t-1) +e t= e t+ (x t-1)= e t+ ( e t-1+ (x t-2))= e t+ ( e t-1+ ( e t-2+ (x t-3)))=…=e t+( e t-1+ ( e t-2+ …+(x t-n))…).(1.14)根据此式, 我们既不能轻易判断(x t-1)函数满足怎样的条件时, 上式会有极限, 也不能猜测其极限有怎样的形式.对于p 阶非线性自回归模型x t =(x t-1,x t-2,…,x t-p )+e t ,t=1,2,… (1.15)仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法, 我们引入如下记号( x t-1,x t-2,…,x t-p )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----1121,...,,(p t t p t t t x x x x x ϕ, (1.16)我们得到与(1.15)式等价的模型X t =(X t-1) +e t U, t=1,2,… (1.17)但是, 我们再也得不出(1.9)至(1.14)式的结果,至此我们已将看出, 从线性到非线性自回归模型有实质性差异, 要说清楚它们,并不是很简单的事情. 从数学角度而言, 讨论线性自回归模型可借用泛函分析方法, 然而, 讨论非线性自回归模型, 则要借用马尔可夫链的理论和方法. 这也正是本讲座要介绍的主要内容.2. 线性时间序列定义的多样性现在简单叙述一下非线性时间序列定义的复杂性, 它与线性时间序列的定义有关. 前一小节中(1.12)式所显示的线性时间序列, 只是一种定义方式. 如果改变对系数k的限制条件, 就会给出不同的定义. 更为重要的是, 在近代研究中, 将(1.12)式中的i.i.d.序列{e t}放宽为平稳鞅差序列, 这在预报理论中很有意义.无论引用哪一种线性时间序列定义, 都对相应的序列的性质有所研究, 因为其研究成果可用于有关的线性时间序列模型解的特性研究. 事实上, 已经有丰富的成果被载入文献史册.依上所述可知, 由于线性时间序列定义的多样性, 必然带来非线性时间序列定义的复杂性. 这里需要强调指的是, 对于非线性时间序列, 几乎没有文章研究它们的一般性质, 这与线性时间序列情况不同. 于是人们要问, 我们用哪些工具来研究非线性时间序列模型解的特性呢? 这正是本次演讲要回答的问题. 确切地说, 我们将介绍马尔可夫链, 并借助于此来讨论非线性自回归模型解的问题.第二章. 非线性时间序列模型1. 概论从(1.12)式可见，一个线性时间序列{x t}, 被{e t}的分布和全部系数i 所决定. 在此有无穷多个自由参数，这对统计不方便，因此人们更关心只依赖有限个自由参数的线性时间序列，这就是线性时间序列的参数模型. 其中最常用的如ARMA模型. 对于非线性时间序列而言, 使用参数模型方法几乎是唯一的选择. 由于非线性函数的多样性, 带来了非线性时间序列模型的多样性. 但是,迄今为止被研究得较多, 又有应用价值的非线性时序模型, 为数极少, 而且主要是针对非线性自回归模型. 在介绍此类模型之前, 我们先对非线性时序模型的分类作一概述.通用假定: {t}为i.i.d.序列，且E t=0, 而且t与{x t-1, x t-2,…}独立.可加噪声模型:x t=(x t-1,x t-2,…)+t,t=1,2,…(2.1)其中(…)是自回归函数. 当它仅依赖于有限个未知参数时, 记此参数向量为, 其相应的(2.1)模型常写成x t=(x t-1,x t-2,…;)+t,t=1,2,…(2.2)否则, 称(2.1)式称为非参数模型.关于(2.1)(2.2)的模型的平稳性, 要在下一章讨论, 但是, 它有类似于线性AR模型的几个简单性质, 是重要的而且容易获得的, 它们是:E(x t|x t-1,x t-2,…)=E{(x t-1,x t-2,…)+t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…)+E(t|x t-1,x t-2,…)=(x t-1,x t-2,…) (2.3)var{x t|x t-1, x t-2 , …}E{[x t-(x t-1,…)]2|x t-1, x t-2 , …} = E{t2|x t-1, x t-2 , …}= E t2=2. (2.4)P{x t<x|x t-1,x t-2, …}= P{(x t-1,…)+t<x|x t-1,x t-2, …}= P{t<x-(x t-1,…)|x t-1,x t-2, …}=F(x-(x t-1,…)). (2.5)其中F是t的分布函数.带条件异方差的模型:x t=(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)t,t=1,2,…(2.6)其中(…)和S(…)也有限参数与非参数型之分, 这都是不言自明的. 另外, (2.6)式显然不属于可加噪声模型. 但是, 它比下面的更一般的非可加噪声模型要简单得多. 这可通过推广(2.3)(2.4)(2.5)式看出, 即有,E(x t|x t-1,x t-2,…)=E{(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…)+S(x t-1,x t-2,…)E{t|x t-1,x t-2,…}=(x t-1,x t-2,…) . (2.3)’var{x t|x t-1, x t-2 , …}E{[x t-(x t-1,…)]2|x t-1, x t-2 , …} =E{S2(x t-1,x t-2,…)t2|x t-1, x t-2 , …}=S2(x t-1,x t-2,…)E{t2|x t-1, x t-2 , …}=S2(x t-1,x t-2,…)2. (2.4)’P{x t<x|x t-1,x t-2, …}=P{(x t-1,…)+S(x t-1,…)t<x|x t-1, x t-2 , …}= P{t<[x-(x t-1,…)]/S(x t-1,…)}=F([x-(x t-1,…)]/S(x t-1,…)).(2.5)’一般非线性时序模型:x t=(x t-1,x t-2,…; t, t-1,…)t=1,2,…(2.7)其中(…)也有参数与非参数型之区别, 这也是不言自明的. 显然, (2.7)式既不是可加噪声模型, 也不属于(2.6)式的带条件异方差的模型. 虽然, 它可能具有条件异方差性质. 相反, 后两者都是(2.7)式的特殊类型. 虽说(2.7)式是更广的模型形式, 在文献中却很少被研究. 只有双线性模型作为它的一种特殊情况, 在文献中有些应用和研究结果出现. 现写出其模型于后, 可供理解其双线性模型的含义x t=j=1p j x t-j+j=1q j t-j+i=1P j=1Q ij t-i x t-j.2. 非线性自回归模型在前一小节中的(2.1)和(2.2)式就是非线性自回归模型, 而且属于可加噪声模型类. 在这一小节里, 我们将介绍几种(2.2)式的常见的模型.函数后的线性自回归模型:f(x t)=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt,t=1,2,…(2.8)其中f(.)是一元函数, 它有已知和未知的不同情况, 不过总考虑单调增函数的情况, α=(α1,α2,…,αp)是未知参数. 在实际应用中, {x t}是可获得量测的序列.当f(.)是已知函数时, {f(x t)}也是可获得量测的序列, 于是只需考虑y t=f(x t)所满足的线性AR模型y t=α1y t-1+α2y t-2+...+αp y t-p+εt,t=1,2,…(2.9)此时可不涉及非线性自回归模型概念. 在宏观计量经济分析中, 常常对原始数据先取对数后, 再作线性自回归模型统计分析, 就属于此种情况. 这种先取对数的方法, 不仅简单, 而且有经济背景的合理解释,它反应了经济增长幅度的量化规律. 虽然在统计学中还有更多的变换可使用, 比如Box-Cox变换, 但是, 由于缺少经济背景的合理解释, 很少被使用. 由此看来, 当f(.)有实际背景依据时, 可以考虑使用(2.7)式的模型.当f(.)是未知函数时, {f(x t)}不是可量测的序列, 于是只能考虑(2.8)模型. 注意f(.)是单调函数, 可记它的逆变换函数为f-1(.), 于是由(2.8)模型可得x t= f-1(α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt),t=1,2,…(2.9)’此式属于(2.7)式的特殊情况, 此类模型很少被使用. 取而代之是考虑如下的模型x t=α1f(x t-1)+α2f(x t-2)+...+αp f(x t-p)+εt,t=1,2,…(2.10)其中f(.)是一元函数, 也有已知和未知之分, 可不限于单调增函数. 此式属于(2.1)式的特殊情况, 有一定的使用价值.当(2.10)式中的f(.)函数是已知时, 此式还有更进一步的推广模型,x t=α1f1(x t-1,…,x t-s)+α2f2(x t-1,…,x t-s)+...+αp f p(x t-1,…,x t-s)+εt,t=1,2,…(2.11)其中f k(…)(k=1,2,…,p)是已知的s元函数. 例如, 以后将要多次提到的如下的模型:x t =α1I(x t-1<0)x t-1+α2I(x t-1≥0)x t-1+εt ,t=1,2,… (2.12)其中I(.)是示性函数. 此模型是分段线性的, 是著名的TAR 模型的特殊情况. 为了有助于理解它, 我们写出它的分段形式:x t =.0,0,,111211≥<⎩⎨⎧++--t t t t x x x x εαεα t=1,2,…请注意, (2.8)(2.10)和(2.11)式具有一个共同的特征, 就是未知参数都以线性形式出现在模型中. 这一特点在统计建模时带来极大的方便. 此类模型便于实际应用. 但是, 对于{x t }而言不具有线性特性, 所以, 讨论它们的平稳解的问题, 讨论它们的建模理论依据问题,都需要借助于马尔可夫链的工具.已知非线性自回归函数的模型:x t =(x t-1,x t-2,…,x t-p ;)+t ,t=1,2,… (2.13)其中(…)是p 元已知函数, 但是其中含有未知参数=(1,2,…,p ).一般说来, 在一定范围内取值.例如,x t =tt t x x εαα++--212111, t=1,2,… 其中=(1,2)是未知参数, 它们的取值范围是: -<<, 0<.这里需要指出, 使用上式的模型, 不仅要借助于马尔可夫链的工具, 而且在统计建模时遇到两种麻烦, 其一是参数估计的计算麻烦, 二是确定(…)函数的麻烦. 一般来说, 只有根据应用背景能确定(…)函数时, 才会考虑使用此类模型.广义线性模型(神经网络模型):x t=(1x t-1+2x t-2+…+p x t-p)+t,t=1,2,…(2.14)其中(.)是一元已知或未知函数, 参数=(1,2,…,p)总是未知的. 为保证模型的唯一确定性, 或者说是可识别性, 要对作些约定, 其一, ||||=1, 其二, =(,,…,p)中第一个非零分量为正的. 不难2理解, 若不加这两条约定, 模型(2.14)不能被唯一确定.当(.)是一元已知函数时, 与神经网络模型相通.当(.)是一元未知函数时, 与回归模型中的PP方法相通.除了以上两类模型外, 还有(2.1)式的非参数自回归模型, 以及从统计学中引入的半参数自回归模型. 对它们的统计建模更困难. 本讲座主旨在于介绍如何用马尔可夫链的工具, 描述非线性自回归模型的基本特性问题, 对这类模型不再仔细讨论.。
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科研热词 推荐指数 神经网络 6 相空间重构 5 预测 4 非线性 4 混沌 4 时间序列 4 混沌时间序列 3 支持向量机 3 lyapunov指数 3荡模式 2 小波分析 2 风险叠加 1 风险价值 1 风力发电 1 预测模型 1 预测数学模型 1 预泵浦条件 1 非线性集成 1 非线性模型预测控制 1 非线性模型 1 非线性时间序列模型 1 非线性影响度 1 非线性单整 1 非线性动力学 1 非线性、非平稳时间序列 1 非稳定周期轨道 1 非平稳性 1 非对称 1 需求预测 1 需水预测 1 集成学习 1 随机矩阵 1 随机环境 1 门限自回归模型(tar) 1 门限 1 金川镍矿 1 遗传编程 1 选择性集成 1 过程神经元 1 转子 1 轨迹特征根 1 趋势预测 1 起飞排序 1 负荷预测 1 误差修正模型 1 被动调q激光器 1 自我激励阈值自回归模型 1 脉冲特性 1 缺陷 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
非线性时间序列数据建模研究
非线性时间序列数据建模研究时间序列数据是指按照时间顺序排列的数据，这些数据在时间维度上具有自相关性和趋势性，它们是很多实际问题的基础，例如经济、股票价格、天气预报和信号分析等。
在这些数据中，许多都具有非线性的特性，这增加了它们的复杂性和预测难度，因此非线性时间序列数据建模是一个重要的研究方向。
非线性时间序列建模的主要方法有两大类：基于统计学的方法和基于机器学习的方法。
前者通常采用时间序列的滞后值、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归滑动平均模型（ARMA）以及ARIMA模型等，这些方法可以考虑到时间序列数据的不同性质，例如平稳性、白噪声等，并且适用于样本量较小的情况。
但是，一些非线性时间序列可能存在非平稳性，这也限制了这些方法的应用。
相比之下，基于机器学习的方法更加灵活，不需要过多地考虑数据分布的假设，它可以通过拟合复杂的非线性函数来预测未来值。
常用的机器学习方法包括支持向量机回归（SVR）、神经网络、决策树、随机森林等。
这些方法的性能非常受到所选取的算法参数和数据预处理方法的影响，因此在实际应用中需要进行充分的优化。
在机器学习方法方面，神经网络是非线性时间序列建模中的一种有力工具。
神经网络可以学习非线性模型，利用神经元之间的权值来实现非线性函数的拟合，这种方法的优点在于模型具有极大的灵活性和精度，同时能够适应不同数据的特性。
例如，递归神经网络（RNN）就是一种非线性时间序列建模的经典算法，它可以通过自反馈来学习和记忆过去的数据，并且在一定程度上可以考虑到序列中的连续性信息。
除了神经网络外，随机森林是另一种广泛应用于非线性时间序列建模的机器学习方法。
随机森林是一种集成学习算法，它可以采用多棵树对数据进行学习和预测，每棵树都是通过数据的随机抽样和特征的随机选择来构建的。
随机森林在非线性建模方面具有较高的鲁棒性和可解释性，同时还能够通过特征重要性评估来确定重要的影响因素，方便实际分析。
总之，非线性时间序列建模是实际问题中必不可少的一个环节，不同的方法各具优缺点。
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
经济时间序列分各种模型分析
经济时间序列分各种模型分析经济时间序列分析是经济学中非常重要的一个研究领域。
对于经济时间序列，我们可以使用多种模型进行分析，以揭示其中的规律和趋势。
本文将介绍几种常见的经济时间序列模型。
首先，最常用的模型是自回归移动平均模型（ARMA）。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两个部分，用于描述时间序列数据中的自相关性和滞后平均性。
通过对历史数据进行分析，我们可以建立ARMA模型，并预测未来的经济变化。
其次，自回归条件异方差模型（ARCH）是一种考虑时间序列数据波动性变化的模型。
在经济领域，波动性是一个非常重要的指标，因为它涉及到风险和不确定性。
ARCH模型基于时间序列数据内在的波动性特征，可以更好地描述经济变动过程中的波动性变化。
另外，向量自回归模型（VAR）是一种多变量时间序列模型。
与单变量时间序列模型不同，VAR模型可以同时考虑多个经济变量之间的相互关系和影响。
通过建立VAR模型，我们可以分析各个经济变量之间的因果关系，并进行经济政策的预测。
此外，状态空间模型是一种广义的时间序列模型，可以包含各种经济数据。
状态空间模型可以用来描述许多复杂的现象，例如经济周期、金融市场波动等。
通过建立状态空间模型，我们可以更全面地分析经济系统的结构和运行机制。
最后，非线性时间序列模型是一类适用于非线性数据的经济时间序列模型。
在现实经济中，很多经济变量的关系不能简单地用线性模型来描述。
非线性时间序列模型可以更准确地捕捉经济系统中的非线性关系，从而提供更精确的预测结果。
总之，经济时间序列分析可以使用多种模型进行分析。
从基本的ARMA模型到更复杂的VAR模型、ARCH模型、状态空间模型和非线性时间序列模型，每种模型都有其适用的领域和优势。
经济学家通过对时间序列数据的建模和分析，可以更好地理解经济变动的规律和趋势，并对未来经济发展进行预测和决策。
经济时间序列分析作为经济学中的一个重要分支，对于理解和预测经济变动具有极大的意义。
非线性时间序列模型在金融风险预测中的应用研究
非线性时间序列模型在金融风险预测中的应用研究在现代金融市场中，风险控制是非常重要的一个问题，特别是随着金融交易的复杂化和全球化，风险控制成为金融机构必须重视的问题。
非线性时间序列模型作为一种常见的计量经济学方法，被广泛应用于金融风险预测中。
本文将深入探讨非线性时间序列模型在金融风险预测中的应用，并分析其优缺点。
一、非线性时间序列模型的基本概念非线性时间序列模型的基本概念是指在时间序列数据中，不同时间点的采样值是非线性相关的。
该模型通常是建立在一些经济学理论的基础上，比如市场效率假说、理性预期假说等。
通常来说，非线性时间序列模型分为两大类：单变量模型和多变量模型。
其中，单变量模型只考虑一个时间序列变量，主要包括ARCH/GARCH模型、非线性AR模型等；而多变量模型则考虑多个时间序列变量的相互作用，主要包括VAR模型、VECM模型等。
二、非线性时间序列模型在金融风险预测中的应用1. ARCH/GARCH模型ARCH/GARCH模型是用来对金融市场波动进行模拟和预测的经典模型之一，是建立在时间序列波动预测的基础上的。
该模型假设金融市场中的波动是随机的，波动的大小受到过去一定时间范围内的波动大小的影响，并且波动的大小也可以受到其他因素的影响，如市场情绪等。
2. 非线性AR模型非线性AR模型可以很好地解决数据呈现非线性相关的情况。
该模型假设预测值不仅与历史数据有关，还与当前数据有关。
对于这种模型，需要使用递归最小二乘法或粒子滤波法对模型进行估计。
3. VAR模型VAR模型是通常用于建立多个时间序列变量之间的相互关系的模型。
该模型可以很好地描述变量之间的联动关系，因此被应用于金融市场分析和预测中。
其优点是可以同时估计和预测多个变量的未来走势，缺点是如果变量之间存在高度相关性，则模型可能无法达到很好的预测效果。
4. VECM模型VECM模型是一种多元非线性时间序列模型，相对于VAR模型而言，VECM 模型更加复杂。
时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型(2019.11)
时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving averagemodels)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models) 的识别、估计、检验、应用。
一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列t y ，对于任何时间t ，都满足下列条件： Ⅰ）均值()t E y μ=∞；Ⅱ）方差22()()t t Var y E y μσ=-=，是与时间t 无关的常数； Ⅲ）自协方差{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）,是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列： t y =t εt ε~2(0,)iid σ该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
由于t y 具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：1t t t y y ε-=+t ε~2(0,)iid σ，是一个白噪声。
11种计量模型
– 非线性模型理论方法
经典非线性单方程模型
• 一般描述
h( yi , ) g ( xi , ) ui
xi x1i x 2i
i 1,, n
xki
现代时间序列分析模型
• 在宏观经济分析中，一般以时间序列数据作为 模型样本观测值：
– 时间序列数据非平稳→伪回归。 –数据的时间序列性破坏了随机抽样假定，取消了样 本点之间的独立性，样本点将发生序列相关。 – 如何统计确定具有恒常关系的非平稳随机变量之间 的模型？
–如何处理非平稳随机过程，为适用统计方法建立模 型创造条件？
计数数据模型
• 70年代末以来，许多学者在计数数据模型的处 理方法方面作出了较大贡献，包括：
– Gilbert（1979）提出了泊松回归模型， – Hausman,Hall和Griliches（1984）提出了负二项 回归模型和Panel方法， – Gourier，Monfort和Trogonon（1984）提出了仿 最大似然法。
离散选择模型
• 模型的被解释变量不是连续变量，而是表示选 择结果的离散变量：
– 例如：一种方案的取舍、两种方案的选择、多种无 优劣之分的方案的选择、多种有优劣之分的方案的 选择、嵌套选择。 – 被解释变量取值为0、1或者0、1、2、……。 – 二元离散选择模型、一般多元离散选择模型、排序 多元离散选择模型、嵌套离散选择模型。 – 模型解释变量的选取和模型估计方法构成其主要内 容。
离散选择模型
• D.L.Mcfadden的基础性贡献：
– “Conditional Logit Analysis of Qualitative Chioce Behavior”, Frontiers of Econometrics, Academic Press.1974—经济理论与计量经济方法 的结合
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
计量经济学实验四非线性模型的估计要点
目录一、预测解释变量的回顾 (1)二、增长模型的估计 (3)三、科布-道格拉斯生产函数的估计 (5)实验四非线性模型的估计实验目的：掌握一元和多元非线性模型的估计方法。
实验要求：估计增长模型，估计科布-道格拉斯生产函数。
实验原理：非线性最小二乘法（NLS）。
实验步骤：一、预测解释变量的回顾在实验二的一元线性回归模型的预测中，用于预测解释变量的时间序列模型GDPS=a+bT是线性的，实际上GDPS和T的关系是非线性的，看它们的散点图（图3-6）。
在散点图看它们显然是非线性的关系，一般的非线性模型是变量取对数，我们有双对数模型、对数-线性模型和线性-对数模型三种。
就图3-6看应该使用什么模型呢？给出一个实用的规则：哪个变量变化快哪个取对数。
图3-6显然GDPS变化快，所以GDPS取对数，即使用对数-线性模型。
看GDPS的自然对数lgdps与T的散点图（图3-7）。
可以看出lgdps与T却是是线性关系。
建立对数-线性模型lgdps=a+bT进行一元非线性回归（实际上进行的是lgdps对T的线性回归）如下：图3-6图3-7得到回归方程：lgdps = 0.1885795351 * T + 4.95074562823 显然，比下面的GDP对T的线性回归有很大的改善。
用这个一元非线性回归方程重新预测GDPS，预测值放在序列GDPSFF中，打开可以看见，也列出原预测值加以比较。
从预测数据（表3-1）可以看出预测结果也有很大的改善。
表3-1二、增长模型的估计根据广东数据，如果仅知财政收入CS的数据，又要预测CS，可用CS对趋势变量T进行回归分析。
看CS和T的散点图（图3-8）。
图3-8根据上面给出的规则，应该CS取对数建立对数-线性模型，为了估计CS的增长率，建立增长模型为CS t=a(1+r)t e t u,这里的参数r就是CS的增长率。
令b0=Ina，b1=In(1+r)；模型可表示为：In CS t= b0+ b1t+u t对此模型进行非线性回归分析如下：得到回归方程lcs = 0.1591151106282 * T + 3.06161080381根据b0= Ina = 3.061611，b1= In(1+r) = 0.159151解出a = 21.36，r = 0.1725。
非线性经济学模型在金融市场中的应用研究
非线性经济学模型在金融市场中的应用研究第一章绪论随着社会经济的不断发展和金融市场的不断变化，人们对金融市场进行更多的关注和研究。
在金融市场中，非线性经济学模型被广泛应用，成为了金融市场分析的重要工具之一。
本文将探讨非线性经济学模型在金融市场中的应用研究。
第二章非线性经济学模型非线性经济学是对传统线性经济学模型的补充和完善。
线性经济学模型是基于线性函数建立的，而非线性经济学模型则包含了不同的非线性函数形式。
非线性经济学模型具有更广泛的适用性和更强的预测精度，因此在金融市场中得到更为广泛的应用。
非线性经济学模型主要包括非线性回归模型、非参数模型、大系统模型等。
其中，非线性回归模型是一个广泛应用的模型，它不仅可以克服线性模型的局限性，还可以反映出变量之间的非线性关系。
第三章非线性经济学模型在金融市场中的应用1. 非线性时间序列模型非线性时间序列模型是时间序列分析中的一种方法，它主要通过一个非线性方程来描述数据的动态过程。
在金融市场中，非线性时间序列模型被广泛应用于股票价格的预测、波动性建模、金融市场的风险度量等方面。
2. 神经网络模型神经网络模型是一种通过模拟人脑神经元间的交互关系来解决问题的算法。
在金融市场中，神经网络模型可以用于预测股票价格、分析市场情况、管理风险等方面。
3. 非线性回归模型非线性回归模型是非线性经济学中的一个重要模型，它主要用于解决线性回归模型无法解决的问题。
在金融市场中，非线性回归模型被广泛应用于分析股票价格、波动性建模、金融市场风险等方面。
第四章非线性经济学模型的优劣非线性经济学模型具有更广泛的适用性和更强的预测精度，因此在金融市场中得到更为广泛的应用。
但是，非线性经济学模型也存在一些缺陷，比如数据需要更多的前期处理、参数的计算更加困难、学习曲线较高等。
第五章结论非线性经济学模型作为金融市场分析的重要工具，具有更广泛的适用性和更强的预测精度，但是也存在一些缺陷。
因此，在具体应用时需要根据实际情况进行选择，合理运用非线性经济学模型，为金融市场的发展和投资决策提供更多的参考。
计量模型汇总
计量模型汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：计量模型是经济学和统计学领域中常用的方法，用于解释变量之间的关系、预测未来发展趋势、制定政策方针等。
计量模型可以分为线性模型、非线性模型、结构方程模型等多种类型，每种模型都有其独特的特点和适用范围。
在这篇文章中，我们将对常见的计量模型进行汇总和介绍，帮助读者更好地理解和运用这些模型。
线性模型是最常见的计量模型之一。
线性模型假设自变量与因变量之间的关系是线性的，即因变量的变化可以通过自变量的比例关系来解释。
简单线性回归是线性模型中最基本的形式，通常用来分析一个自变量对因变量的影响。
多元线性回归则是将多个自变量纳入模型中，用来解释因变量的变化。
非线性模型是对线性模型的一种扩展。
非线性模型假设自变量与因变量之间的关系不是简单的比例关系，可以是曲线的、指数的、对数的等形式。
多项式回归是非线性模型中常见的一种形式，可以通过对数据拟合二次、三次、四次等多项式方程来探讨变量之间的复杂关系。
结构方程模型是一种综合了因果关系和测量模型的统计方法。
结构方程模型同时考虑了隐变量和测量变量之间的关系以及测量变量之间的相关性，可以用来检验理论模型的合理性和拟合数据的程度。
结构方程模型在心理学、社会学等领域中得到广泛应用，可以帮助研究者理解复杂的概念和关系。
时间序列模型是用来分析时间序列数据的一种特殊模型。
时间序列数据是按照时间顺序排列的数据，包括季节性、趋势性和周期性等特点。
自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）、自回归滑动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）等都是常用的时间序列模型，可以帮助分析数据的走势和预测未来的发展趋势。
面板数据模型是一种考虑了个体和时间维度的计量模型。
面板数据模型同时考虑了个体之间和时间之间的相关性，可以有效控制个体特征和时间特征的混淆效应，提高模型的准确性。
固定效应模型、随机效应模型、混合效应模型等都是面板数据模型中常见的形式，适用于处理长期趋势和个体差异的问题。
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第5章 单变量非线性时间序列模型§1 随机波动率模型一． 乘积过程 ttt x U其中t U 一个标准化过程，即0,1t tE U V U 。
t是一个正随机变量的序列。
这种类型的过程称之为乘积过程。
因为2tttV x ，因此t是随机过程t x 的标准差。
现在看偏微分方程log dP d P dt dW P其中log t t x P ，W t 为标准布朗运动。
它是通常的金融资产定价的扩散过程。
离散情况1dt ，所以它是一个乘积过程。
假设tttU x 服从正态分布，且独立于t，则222222ttt t t tE x EU EE U E0t tkt t kt tktt kt tkE x x EU U EU E U但平方误差2t t S x 却自相关：cov ,t tkt tt k t S S E S E S S E S2222222222t t k tt t k t t kttt ktE S S E S E E U U EEE此时222,42t t k tk SttEE EE二． 随机波动率模型 如果定义 2011logttt t h h（这个模型常常代表金融市场随机和不均匀的薪信息流）其中20,tNID 且独立于t U 。
此时 exp 2tt t x U h此时仅当t h 弱平稳时，t x 才是弱平稳。
此时t x 的偶阶矩存在，所有的奇阶矩为零（为什么）：2exp2rrr ttt trE x E S E U E h22!22!exp222rhhrr rr其中：11htE h ；22211h。
峰度的矩：42222223exp3t t httE S E x E SE x （意思是什么）此时22exp exp exp t tkt t kt tkt tkE S S EE h h E h h22121expexp 21k hh hhk hh221cov ,exp 21exp 2k t tkhh hhS S221exp 2exp 1k hhh此时21,2exp13exp1k h k Sh变化一下，利用模型2011logt ttttttx U h h 得出221log log log 1tt t t ht S h U U B此时log 1,1t S ARMA 。
当t U 服从正态分布时，2log t U 的均值为-1.27， 方差为 4.93其自相关函数为1,log 21 4.93/kk Sh三． 随机波动率模型的估计采用Koopman 得准极大似然法（QML ）Quasi-maximum Likelihood 。
STAMP5.0软件提供了这个方法。
§2 ARCH 模型波动性聚类：波动性不仅随时间变化，而且常在某一时段中连续出现偏高或偏低的现象。
波动性聚类现象是金融时间序列常见的现象。
一． 自回归条件异方差模型（ARCH ）的定义 随机变量t x 服从自回归形式AR(p):01122...t t t p t p t x x x x ββββε---=+++++其中t ε服从独立同分布的白噪声过程，且有()()20,t t E V εεσ==。
（？）此时随机变量t x 的无条件方差()011...t pE x βββ=---为常数，与时间无关。
如果固定变量12,,...t t t p x x x ---的值，则随机变量t x 的条件期望为()1011,...,.....t t t p t p t p E x x x x x βββ----=+++意义：说明t x 的条件方差是时间的函数。
如随机过程{}t ε，它的平方服从AR(q)过程222011...t t q t q t εααεαεη--=++++ （1）其中t η独立同分布，且有()()20,t t E V εελ==。
1,2,...t =，其平稳性条件为 则称随机过程{}t ε服从q 阶的ARCH 过程，记为()ARCH q 。
此时随机过程{}t ε的无条件方差()22011...t qE αεσαα==---为常数。
ARCH 模型的一个重要特点是给出了计算时间序列条件方差的方法。
在每一时刻t ，ARCH 过程的条件方差是过去随机干扰的函数。
以2t σ表示ARCH 过程t ε在时刻t 的条件方差，给定随机变量22212,,...,t t t q εεε---的值，则()2222221011,...,...t t t t q t q t q E σεεεααεαε----==+++所以只要知道参数01,,...,q ααα的值，就可以在时刻1t -，预测时刻t 时的条件方差2t σ。
二． ARCH 效应检验对于序列是否存在ARCH 效应，最常用的检验方法是拉格朗日乘数法LM 检验。
对于模型22201122...t t t q t q h ααεαεαε---=++++检验就是检验所有回归系数是否同时为0。
原假设0121:...:qiHH检验的统计量22LM nR q 。
（如何判断是否显著，单边）。
四．模型的估计采用最大似然估计ML§3 衍生GARCH 模型一． Garch 模型模型形式为：t u ε=2011qpt i t ii t i i i h uh ααβ--===++∑∑即当前的条件方差等于过去冲击的加权和加上自身的自回归。
其中21εσ=且00α>、0i α≥以及0i β≥，,p q 分别为条件方差中自回归项与滑动平均项的阶。
由于{}t ε是白噪声过程且与t i u -的过去值独立，因此t u 的条件和无条件均值均为零，并且()212,,...t t t t E u u u h --=。
这一特性与ARCH 模型相同。
Garch 模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而且还是滞后条件方差的函数。
Garch 模型能体现条件异方差的长期传导过程，即t h 依赖于t h 过去的所有值。
如果收益率序列服从一个(),GARCH p q 过程，那么在一定条件下，可以用具有合理滞后结构的ARCH 过程来代替。
对于一个高阶ARCH 过程，可以写成比较简洁的GARCH 模型来代替。
二．衍生ARCH 模型 1．ARCH M -过程ARCH 和GARCH 模型假设扰动项的条件方差与被解释变量的期望无关。
现在考虑条件方差影响期望的情况。
一个例子是：投资者投资时，投资者依据当前信息持有证券，当风险（条件方差）增大时，投资者需要的风险溢价增大。
ARCH M -模型的一般形式为：()'22001t t t t t qt i t i t i i y X h u u h u B u βγεαααα--=⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+=+⎪⎩∑ 其中21εσ=且00α>、0i α≥以及0i β≥。
此模型称为ARCH M -模型。
如果2011qpt i t ii t i i i h uh ααβ--===++∑∑，则模型称为GARCH M -模型。
2．EGARCH 模型 GARCH 模型的缺陷：1）模型系数的非负约束；2）外部冲击对条件方差的影响程度只取决于外部冲击的绝对值大小，而与冲击的影响无关。
在现时金融市场中，尤其是股票市场中，价格波动受负外部冲击的影响比同登幅度的郑外部冲击要大，正负冲击具有非对称性，即所谓的杠杆效应。
因此引入EGARCH 模型。
EGARCH 模型的形式为t u ε=()011ln log pqt j t j i i j i h h αθαφ-==⎛⎫ =+++ ⎝∑∑ 在模型中引入了不对称因子i φ，0φ≠，表示信息非对称，0φ>正的外部冲击影响大于负的外部冲击；0φ<表示负的外部冲击的影响大于正的外部冲击。
3．TGARCH 模型 模型形式为：2201111qpt i t it t j t j i j h dh ααεγεθ----===+++∑∑其中t d 为虚拟变量1 00 other t t d ε<⎧=⎨⎩γ为不对称参数，当0t ε>表示股票价格上涨时，此时股票价格的影响和下跌0t ε<的影响不同。
参考教材：1．《数据分析与Eviews 应用》 易丹辉主编 中国统计出版社 2．《高等时间序列经济计量学》陆懋祖著 上海人民出版社 3．《经济计量学手册》第49章 ARCH 模型 Engle 等著。