人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型知识与常见题型梳理

几何概型知识与常见题型梳理

基本知识

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

2.几何概型的概率公式 P(A)=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.

4.几何概型与古典概型的比较

一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性.

通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示.

常见题型

1.长度之比类型

例1 小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.

分析 因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.

解 设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060-=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为6

1. 例2 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方

形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率.

分析 正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6 cm 与9 cm 之间的概率.

解 记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于

6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612-=14.

小结 本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用.

2.面积、体积之比类型

例3 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成

的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 .

解 如图1所示，区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内

部(含边界)，而区域E 表示单位圆及其内部，所以有

2

14416P ππ

⨯==⨯.

小结 本题中的试验结果是区域中的部分点集，其结果是

不可数的，属于几何概型中典型的面积之比.

3.角度之比类型

例4 如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部作一条射

线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.

分析 当AM AC =时，有ACM AMC ∠=∠，故欲使A M A C <，应有ACM AMC ∠<∠，即所作的射线应落在ACM AMC ∠=∠时ACM ∠的内部.

解 在AB 上取AD AC =，连接CD ，则00

01804567.52

ACD -∠==.记“在内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM AC <”为事件A ，则0067.53()904

P A ==.故AM AC <的概率为34

. 小结 本题所求事件的本质是在ACB ∠内部作一条射线CM ，所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型.解答本题时易犯的错误是，用长度的比得

12=-这一错误结果. 4.“会面”类型的几何概型

例5 某码头接到通知，甲、乙两艘轮船都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的轮船要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才能离开.求两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.

解 设事件A 表示两艘轮船至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘轮船到的时间分别为9点到10点之间的x 分与y 分，则|x-y|≤20，0≤x ≤60，0≤y ≤60，即

2020()|060060x y A x x y ⎧-≤-≤⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤≤⎩⎩⎭

，y .以9点为原点，建立平面直角坐标系，如图3所示，则事件A 所对应的区域为图3中的阴影区域. C

A B M D

所以，其概率P(A)=阴影面积/ABCD 的面积=5/9.

小结 “会面”类型常见的载体是两人相约见面、轮船停靠泊位等，其关键是构建相遇的不等式(组)，借助于线性规划知识，将其面积之比求出，从而使问题得以顺利解决.

5.与其他知识综合的类型

例6 已知两数m n ，是某事件发生的概率取值，则关于x 的一元二次方

程20x m +=有实根的概率是 A.12 B.14 C.18 D.116

解 事件发生的概率取值为[01]，，故[01]，即为两数m n ，的取值范围.在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为(m n ，)与图4中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A

表示方程2

0x m -+=有实根，则事件40()|0101n m A m n m n ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤≤⎩⎩⎭

，所对应的区域为图4中的阴影部分，且阴影部分的面积为18.故由几何概型公式，可得1()8

S P A S ==阴影正方形，即关于x

的一元二次方程2

0x m +=有实根的概率为18. 小结 将方程的根、线性规划问题以及概率知识有机地结合在一起，注重在知识的交汇点处命题，是近几年高考的命题趋势.

对于上述几何概型题中最典型的五种类型，即长度之比类型、面积(体积)之比类型、角度之比类型、“会面”问题类型和综合类型，不管解决哪种类型的问题，其关键都要选择适当的角度，使基本事件转化为与之对应的总体区域，将所求问题转化为随机事件对应的子区域，然后代入公式进行计算求解.