大学物理-第二章连续体的运动
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0 ：
2 150 5rad s1 60
2
2
2 o
75 37.5r 2 2 1 t 5 6 4 rad s 0 （2）在t=6s时，飞轮的角速度为 6 t=6s时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 ： r 0.2 4 2.5m s1
在此时间内飞轮所转的圈数为 N
0 (5) 75rad 2 ( ) 6
2
t
30
6
a n r2 0.2 (4)2 31.6m s2 a r 0.2 ( ) 0.105m s2 6 返回本章首页 2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(4) —攀枝花学院数理教学部制作
授课学时（建议）：4学时 作业（建议）：
P63
—攀枝花学院数理教学部制作
2－6、2－8、2－10、 1－15、2－16、2－18
返回本章首页 第二章－教学要求(1)
2.1 预备知识
一、中学物理知识要点
（1）力臂（d）：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫做力臂。 （2）力矩（M）：力和力臂的乘积。 （3）动能： Ek =
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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2.2.3－刚体绕定轴转动的动力学方程(2)
2.2.3.2刚体绕定轴转动的定律
设有一刚体如图2-16的示。 把刚体看成是由许多质点所组成的，任 一质量为Δmi的质点所受的力矩为： 刚体的力矩为刚体内所有质点的力矩之和，即：
Mi＝mi ri2
Mi＝ mi ri2
考虑到同一刚体上各点的β相同，则上式可写成：
图2-16
M Mi＝ mi ri 2 ( mi ri 2 )
定义转动惯量： J＝
M J 或 β =
m r
2
i i
Μ ---(2-4) J
表示，刚体绕定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受的合外力矩成正比， 与刚体的转动惯量成反比。这个关系 叫做定轴转动时刚体的转动定律，简 称转动定律。
多媒体课件
任课教师 郑再明
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第二章 连续体的运动
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教学要求
（1）理解刚体概念和刚体运动的基本类型； （2）理解描述刚体定轴转动的物理量，掌握它们和线量的关系及其刚 体定轴转动的运动学规律； （3）理解转动惯量的意义； （4）掌握刚体绕定轴转动的转动定律来分析、计算简单的连续体的力 学问题； 重点：刚体绕定轴转动的转动定律及其应用. 难点：应用刚体定轴转动的动力学规律分析求解有关连续体的力学问题。
解法二:如例2-10图示。从图中可知
rA = 1 1 l cos i + l sin j 2 2
1 2
= k
由 = ? r ，有
A = k ? ( l cos i
= 1 l cos (k ? i ) 2 1 = l ?( sin i + cos j) 2 1 l sin j ) 2 1 l sin (k ? j) 2
的作用线的垂直距离d叫做力对转轴
的力臂。 d
r sin
图2-11
图2-12
力矩 ：力F的大小和力臂d的乘积，就叫做力F对转轴的力矩，用M表示。
M＝Fr sin
M r F ---(2-2)
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2.2.3－刚体绕定轴转动的动力学方程(1)
注：对“力矩”概念的说明
—攀枝花学院数理教学部制作
例2.2.2-1图
1 即υA的大小为 A = l ，方向与棒垂直。 2
又由题可知ω＝恒量， =
a = a n = rA 2 = 1 2 l 2
d =0 dt
，a = r = 0 ，故：
方向由A指向为O。
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(3)
—攀枝花学院数理教学部制作
（1）刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平 方的乘积之和； （2）对于质量连续分布的刚体，转动惯量可用积分式表示为
3.转动惯量：反映刚体转动惯性大小的物理量。 由的定义 J＝ m r 2 可以看出： ii
J r 2 dm ---(2-5)
（3）影响刚体转动惯量的因素 r为刚体质元dm到 ①刚体的总质量； 转轴的垂直距离 ②刚体的质量分布； ③转轴位置。 （4）组合定理：当一个刚体由几部分组成时，可以分别计算各个部分对 转轴的转动惯量，然后把结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量，即
2 600 3002
rad s 1 75
于是，式（1）变为
2 t rad s1 150
由角速度的定义及上式得
解：由题意知，转子的角加 速度为 ct 由角加速度的 定义及该式有
d ct dt
t 0
0
t 2 d t dt 0 150
d 2 t rad s1 dt 150
解法一:直接应用角量与线量的关系,得
υA 的大小为 A =
1 l ，方向与棒垂直。 2
d =0 dt
又由题可知ω＝恒量， =
a = a n = rA 2 = 1 2 l 2
，a = r = 0 ，故：
方向由A指向为O。
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(2)
1 m 2 2
m （4）密度 ： v
二、相关知识
（1）多重积分，微分；（附录 Ⅲ 积分运算） （2）矢量运算；（附录 Ⅱ 矢量的运算） （3）右手螺旋法则（矢积方向的判定）。
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第二章－预备知识(1)
2.2.1 刚体的运动
1.刚体：在任何情况下，其形状和大小都保持不变的物体。 注 •“刚体”和质点一样是一个理想化的力学模型； •任何两点之间的距离在运动过程中保持不变。 研究方法： 把刚体视为无数质点组成的质点系，从质点运动规律出 发，先讨论每个质点的运动规律，然后把构成刚体的全部质 点的运动加以综合，就可得到刚体的运动规律。
—攀枝花学院数理教学部制作
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2.2.1－刚体的运动(1)
2.刚体的运动类型
1)平动： 刚体内任一直线方位不变，如下图所示。
图2-1
图2-2
特点：各点运动状态一样，如：速度 、加速度a 等都相同。 故可用一个点来代表刚体运动。
—攀枝花学院数理教学部制作 返回本章首页 2.2.1－刚体的运动(2)
切向加速度和法向加速度为分别为
例[2-3]在高速旋转的微型电动机 里，有一圆柱形转子可绕垂直其横 截面并通过中心的轴转动。开始时， 它的角速度 0，经 0 300s后，其 18000r.已知转子的 min 1 转速达到 角加速度与时间成正比，问在这段 时间内，转子转过多少转？
c
2 t2
dt
dt dt
三类：已知刚体绕定轴转动的角加速度 = (t)与运动初始条件 （t=0时刻的0、 0 值），求定轴转动规律。 解题方法：用定积分或不定积分求解。
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(2)
例[2-1] 有一长为l的均匀细棒绕垂直通过其一端O 的垂直轴匀角速转动，角速度为ω。求此捧中点A任意时刻 aA 的速度 与加速度 。 A
注：对转动定律的说明
①转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中的 牛顿第二定律相当；
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2.2.3－刚体绕定轴转动的动力学方程(3)
②（2-4）式中的合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； ③瞬时性：同一时刻对同一刚体，同一转轴而言，β随M的变化而变化。
3）定轴转动（本章仅讨论此情况）
定义：转轴固定时称为定轴转动。
特点：
（1）各质点都作圆周运动；
（2）刚体上各点的角位移 相同 ,各点的 、 相同；
an ( r (3)刚体上各点的 ( r ) 、a ( r ) 、
下不同。 说明：⑴ 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。 (2) v r
2)转动 （1）绕点转动
（2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直 线作圆周运动。如图所示。
瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴：转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
图2-4
图2-5
图2-6
图2-7
说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如： 乒乓球飞行等）
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图2-9
(t )
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(1)
d dt
2.描述刚体绕定轴转动的物理量与运动学规律
描述转动的物理量: 描述刚体绕定轴转动的物理量与质点作圆周运动的物理量相同；
1)角位置θ ；
2)角位移 ， 运动学规律: 刚体绕定轴转动的运动学规律和质点作圆周运动的运动规律相同 （详见1.2.2节p19）
例[2-2] 一飞轮半径为0.2m、转速为150r min 1， 因受到制动而均 匀减速，经30s停止转动，试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转 的圈数；（2）制动开始后时，飞轮的角速度、飞轮边缘上一点的线速 度与切向加速度以及法向加速度。
t 30s 时， 0 ， 解 由题意可知 ， 飞轮作匀减速运动。 设t=0时，θ0＝0。由匀变速转动的公 式得： 0 0 5 rad s2 （1）在此时间内飞轮的角加速度
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2
) 一般情况
返回本章首页 2.2.1－刚体的运动(3)
2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程
1.角坐标 转动方程 1）角坐标：动平面与定平面 的夹角θ(称为二面角)，逆时针为 正，反之，为负。见图2-9 2）转动方程：角坐标与时 间的函数关系，称为刚体绕定轴 转动的运动方程，又叫转动方程。
2 2 0
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0
2
应用刚体定轴转动理论解题的方法（大致可以分为三类） 一类：已知角量求线量或已知线量求角量。 a = βr ， r ， 解题方法：运用线量与角量的关系（ a n = 2） r 和刚体绕定轴转动的运动学方程。 二类：已知刚体定轴转动的角坐标与时间的关系 (t) ，求 刚体的角速度和角加速度。 d d d 2 2 解题方法：将已知的 (t) 对时间t求导，即 和
d ctdt
0
d c tdt
1 ct 2 ---(1) 2
3 t rad 450
在t=300s时
18000
在300s内，转子转过的转数为
2 600rad s1 60 代入式（1）得
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(5)
①角速度 ②角加速度
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d dt
d d 2 2 dt dt
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(1)
③匀速率定轴转动
0 t
1 2 = 0 + 0 t + t 2
④匀变速率定轴转动
= 0 + t
2 ( 0 )
①力矩为矢量，其大小为 M＝Fr sin ，方向由右手螺旋法则判断； ②（2-2）式中的F是作用在垂直于转轴的平面内的外力；
特例：质点作圆周运动时的力矩
如图2-14所示。
M M ＝Fτ r = mr β 或 β = 2 ---(2-3) mr
2
图2-14
图2-15
③对于定轴转动，力矩方向的规定； ④当有几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都 在与转轴相垂直的平面内，则合力矩等于每个分力的力矩之和，M＝ Mi。 M F 如图2-15所示， 1r 1 sin 1 F 2 r2 sin 2 F 3 r3 sin 3 ⑤在SI制中，力矩的单位为牛顿米（N m ）。
—攀枝花学院数理教学部制作
作业p63 6,7,8
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2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程
1.力矩 1)引入: 外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有
关。 •力通过转轴：转动状态不改变； •力离转轴远：容易改变； •力离转轴近：不易改变。
2)力矩的定义 力臂：从转轴与截面的交点0到力F
2 150 5rad s1 60
2
2
2 o
75 37.5r 2 2 1 t 5 6 4 rad s 0 （2）在t=6s时，飞轮的角速度为 6 t=6s时，飞轮边缘上一点的线速度的大小为 ： r 0.2 4 2.5m s1
在此时间内飞轮所转的圈数为 N
0 (5) 75rad 2 ( ) 6
2
t
30
6
a n r2 0.2 (4)2 31.6m s2 a r 0.2 ( ) 0.105m s2 6 返回本章首页 2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(4) —攀枝花学院数理教学部制作
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2.1 预备知识
一、中学物理知识要点
（1）力臂（d）：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫做力臂。 （2）力矩（M）：力和力臂的乘积。 （3）动能： Ek =
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2.2.3－刚体绕定轴转动的动力学方程(2)
2.2.3.2刚体绕定轴转动的定律
设有一刚体如图2-16的示。 把刚体看成是由许多质点所组成的，任 一质量为Δmi的质点所受的力矩为： 刚体的力矩为刚体内所有质点的力矩之和，即：
Mi＝mi ri2
Mi＝ mi ri2
考虑到同一刚体上各点的β相同，则上式可写成：
图2-16
M Mi＝ mi ri 2 ( mi ri 2 )
定义转动惯量： J＝
M J 或 β =
m r
2
i i
Μ ---(2-4) J
表示，刚体绕定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受的合外力矩成正比， 与刚体的转动惯量成反比。这个关系 叫做定轴转动时刚体的转动定律，简 称转动定律。
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第二章 连续体的运动
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教学要求
（1）理解刚体概念和刚体运动的基本类型； （2）理解描述刚体定轴转动的物理量，掌握它们和线量的关系及其刚 体定轴转动的运动学规律； （3）理解转动惯量的意义； （4）掌握刚体绕定轴转动的转动定律来分析、计算简单的连续体的力 学问题； 重点：刚体绕定轴转动的转动定律及其应用. 难点：应用刚体定轴转动的动力学规律分析求解有关连续体的力学问题。
解法二:如例2-10图示。从图中可知
rA = 1 1 l cos i + l sin j 2 2
1 2
= k
由 = ? r ，有
A = k ? ( l cos i
= 1 l cos (k ? i ) 2 1 = l ?( sin i + cos j) 2 1 l sin j ) 2 1 l sin (k ? j) 2
的作用线的垂直距离d叫做力对转轴
的力臂。 d
r sin
图2-11
图2-12
力矩 ：力F的大小和力臂d的乘积，就叫做力F对转轴的力矩，用M表示。
M＝Fr sin
M r F ---(2-2)
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注：对“力矩”概念的说明
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例2.2.2-1图
1 即υA的大小为 A = l ，方向与棒垂直。 2
又由题可知ω＝恒量， =
a = a n = rA 2 = 1 2 l 2
d =0 dt
，a = r = 0 ，故：
方向由A指向为O。
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（1）刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平 方的乘积之和； （2）对于质量连续分布的刚体，转动惯量可用积分式表示为
3.转动惯量：反映刚体转动惯性大小的物理量。 由的定义 J＝ m r 2 可以看出： ii
J r 2 dm ---(2-5)
（3）影响刚体转动惯量的因素 r为刚体质元dm到 ①刚体的总质量； 转轴的垂直距离 ②刚体的质量分布； ③转轴位置。 （4）组合定理：当一个刚体由几部分组成时，可以分别计算各个部分对 转轴的转动惯量，然后把结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量，即
2 600 3002
rad s 1 75
于是，式（1）变为
2 t rad s1 150
由角速度的定义及上式得
解：由题意知，转子的角加 速度为 ct 由角加速度的 定义及该式有
d ct dt
t 0
0
t 2 d t dt 0 150
d 2 t rad s1 dt 150
解法一:直接应用角量与线量的关系,得
υA 的大小为 A =
1 l ，方向与棒垂直。 2
d =0 dt
又由题可知ω＝恒量， =
a = a n = rA 2 = 1 2 l 2
，a = r = 0 ，故：
方向由A指向为O。
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(2)
1 m 2 2
m （4）密度 ： v
二、相关知识
（1）多重积分，微分；（附录 Ⅲ 积分运算） （2）矢量运算；（附录 Ⅱ 矢量的运算） （3）右手螺旋法则（矢积方向的判定）。
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第二章－预备知识(1)
2.2.1 刚体的运动
1.刚体：在任何情况下，其形状和大小都保持不变的物体。 注 •“刚体”和质点一样是一个理想化的力学模型； •任何两点之间的距离在运动过程中保持不变。 研究方法： 把刚体视为无数质点组成的质点系，从质点运动规律出 发，先讨论每个质点的运动规律，然后把构成刚体的全部质 点的运动加以综合，就可得到刚体的运动规律。
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2.刚体的运动类型
1)平动： 刚体内任一直线方位不变，如下图所示。
图2-1
图2-2
特点：各点运动状态一样，如：速度 、加速度a 等都相同。 故可用一个点来代表刚体运动。
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切向加速度和法向加速度为分别为
例[2-3]在高速旋转的微型电动机 里，有一圆柱形转子可绕垂直其横 截面并通过中心的轴转动。开始时， 它的角速度 0，经 0 300s后，其 18000r.已知转子的 min 1 转速达到 角加速度与时间成正比，问在这段 时间内，转子转过多少转？
c
2 t2
dt
dt dt
三类：已知刚体绕定轴转动的角加速度 = (t)与运动初始条件 （t=0时刻的0、 0 值），求定轴转动规律。 解题方法：用定积分或不定积分求解。
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(2)
例[2-1] 有一长为l的均匀细棒绕垂直通过其一端O 的垂直轴匀角速转动，角速度为ω。求此捧中点A任意时刻 aA 的速度 与加速度 。 A
注：对转动定律的说明
①转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律，它的地位与质点动力学中的 牛顿第二定律相当；
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2.2.3－刚体绕定轴转动的动力学方程(3)
②（2-4）式中的合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； ③瞬时性：同一时刻对同一刚体，同一转轴而言，β随M的变化而变化。
3）定轴转动（本章仅讨论此情况）
定义：转轴固定时称为定轴转动。
特点：
（1）各质点都作圆周运动；
（2）刚体上各点的角位移 相同 ,各点的 、 相同；
an ( r (3)刚体上各点的 ( r ) 、a ( r ) 、
下不同。 说明：⑴ 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。 (2) v r
2)转动 （1）绕点转动
（2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直 线作圆周运动。如图所示。
瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴：转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
图2-4
图2-5
图2-6
图2-7
说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如： 乒乓球飞行等）
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图2-9
(t )
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d dt
2.描述刚体绕定轴转动的物理量与运动学规律
描述转动的物理量: 描述刚体绕定轴转动的物理量与质点作圆周运动的物理量相同；
1)角位置θ ；
2)角位移 ， 运动学规律: 刚体绕定轴转动的运动学规律和质点作圆周运动的运动规律相同 （详见1.2.2节p19）
例[2-2] 一飞轮半径为0.2m、转速为150r min 1， 因受到制动而均 匀减速，经30s停止转动，试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转 的圈数；（2）制动开始后时，飞轮的角速度、飞轮边缘上一点的线速 度与切向加速度以及法向加速度。
t 30s 时， 0 ， 解 由题意可知 ， 飞轮作匀减速运动。 设t=0时，θ0＝0。由匀变速转动的公 式得： 0 0 5 rad s2 （1）在此时间内飞轮的角加速度
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2
) 一般情况
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2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程
1.角坐标 转动方程 1）角坐标：动平面与定平面 的夹角θ(称为二面角)，逆时针为 正，反之，为负。见图2-9 2）转动方程：角坐标与时 间的函数关系，称为刚体绕定轴 转动的运动方程，又叫转动方程。
2 2 0
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应用刚体定轴转动理论解题的方法（大致可以分为三类） 一类：已知角量求线量或已知线量求角量。 a = βr ， r ， 解题方法：运用线量与角量的关系（ a n = 2） r 和刚体绕定轴转动的运动学方程。 二类：已知刚体定轴转动的角坐标与时间的关系 (t) ，求 刚体的角速度和角加速度。 d d d 2 2 解题方法：将已知的 (t) 对时间t求导，即 和
d ctdt
0
d c tdt
1 ct 2 ---(1) 2
3 t rad 450
在t=300s时
18000
在300s内，转子转过的转数为
2 600rad s1 60 代入式（1）得
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①角速度 ②角加速度
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d dt
d d 2 2 dt dt
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2.2.2－刚体绕定轴转动的运动学方程(1)
③匀速率定轴转动
0 t
1 2 = 0 + 0 t + t 2
④匀变速率定轴转动
= 0 + t
2 ( 0 )
①力矩为矢量，其大小为 M＝Fr sin ，方向由右手螺旋法则判断； ②（2-2）式中的F是作用在垂直于转轴的平面内的外力；
特例：质点作圆周运动时的力矩
如图2-14所示。
M M ＝Fτ r = mr β 或 β = 2 ---(2-3) mr
2
图2-14
图2-15
③对于定轴转动，力矩方向的规定； ④当有几个外力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上，且这几个外力都 在与转轴相垂直的平面内，则合力矩等于每个分力的力矩之和，M＝ Mi。 M F 如图2-15所示， 1r 1 sin 1 F 2 r2 sin 2 F 3 r3 sin 3 ⑤在SI制中，力矩的单位为牛顿米（N m ）。
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2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程
1.力矩 1)引入: 外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有
关。 •力通过转轴：转动状态不改变； •力离转轴远：容易改变； •力离转轴近：不易改变。
2)力矩的定义 力臂：从转轴与截面的交点0到力F