3.1.3 概率的几个基本性质+相互独立事件

思考：
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率，会等于
事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？
概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P( A B) P( A) P( B)
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件，则
P( A) 1 P( B)
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（事件A）的概率是1/4，取到方块（事件B）的概率 是1/4。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
事件的关系和运算：
（1）包含关系: 若事件A发生，事件B就一定发生，则 B
（2）相等关系: 若B
A
A 且A B ， 则A=B
（3）并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生, 则 I A B （4）交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则 I A B （5）互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生解法２ “２人都未击中目标”

的概率是 :
的概率是 :
P( A B) P( A) P( B)
(1 0.6) (1 0.6) 0.4 0.4 0.16
因此，至少有１人击中目标的概率是 :
P 1 P( A B) 1 0.16 0.84
答：至少有 1 人击中目标的概率是 0.８４ ．
是，再判断它们是不是对立事件：
（1）恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品； （2）至少有 1 件次品和全是次品；
（3）至少有 1 件正品和至少有 1件次品；
（4）至少有 1 件次品和全是正品。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：
（1）因为 C A B ，且A与B不会同时发生，所以A与B是互 斥事件，根据概率的加法公式，得
1 P(C ) P( A) P( B) 2
（2）因为C与D是互斥事件，又由于 C D为必然事件，所以 C与D互为对立事件，所以
1 P( D) 1 P(C ) 2
，从乙坛子里摸出一个球，得 A
．问 B 与
A 是互斥事件呢？ B
还是对立事件？还是其他什么关系？
甲
乙
1．独立事件的定义 把 “从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球” 叫
做事件A
，把 “从乙坛子里摸出 1个球，得到白
．很明显，从一个坛子里摸出的是
球”叫做事件 B 有影响．
白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没
思考： 1.上述事件中C1至C6这6个事件之间是什么关系？它们各自发生的概 率是多少？
2. 事件D1 和事件D2 之间是什么关系？ 它们各自发生的概率是多少？
3. 事件D1 可以看成哪些事件的并事件？ 这些事件发生的概率和D1发 生的概率有什么联系？ 4.事件D3 和事件D4各自发生的概率是多少？它们的并事件的概率又 是多少？
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在上面 5×4 种结果中，同时摸出白球的结果有
3×2 种．因此，从两个坛子里分别摸出 1个球，都 是白球的概率:
3 2 P A B 5 4
另一方面，从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球
的概率：
3 P A 5
2 P B 4 3 2 3 2 5 4 5 4
事件 事件
A
： “从甲坛子里摸出 1 个球，得到黑球”
B ：“从乙坛子里摸出 1 个球，得到黑球”
性质： 一般地，如果事件 那么 与A ， B 与 A 相互独立的． 必然事件与任何事件相互独立 不可能事件与任何事件相互独立
A
， B
与
B 相互独立，
与 A 也都是 B
2．独立事件同时发生的概率 事件 A ·B:（事件的积)
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3.1.3 概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={出现1点}； C2 ={出现2点}； C3 ={出现3点}； C4 ={出现4点}； C5 ={出现5点}； C6 ={出现6点}； D1 ={出现的点数小于3}；D2={出现的点数大于4}； D3 ={出现的点数小于5}；D4={出现的点数大于3}； E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
答： ２人都击中目标的概率是 0.36．
解: ( ２)
“其中恰有１人击中目标”
包括： 和
事件 A B ：“甲击中、乙未击中”
事件 A B ：“乙击中、甲未击中” 这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即 A B 与 A B 是互斥事件
P ( A B) P ( A B) P( A) P( B) P( A) P( B)
3.已知，在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04
求至多2个人排队的概率。 解：设事件Ak={恰好有k人排队}，事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是互斥事件， 所以，P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
从乙坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率：
3．例题 例如： 在上面问题中，“从两个坛子里分别摸出 1 个球，甲坛子里摸出黑球” 率. 与 “从两个坛子里分 同时发生的概 别摸出 1 个球，乙坛子里摸出白球”
2 1 1 P A B P A P B 5 2 5


例1:甲、乙２人各进行１次射击，如果２人击中 目标的概率都是 0.6 ,计算： （1）２人都击中目标的概率； （２）其中恰有１人击中目标的概率； （３）至少有１人击中目标的概率；
A· B表示什么意思
事件A,B至少有一个发生
事件A,B同时发生
P A B P A PB
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积．
2．独立事件同时发生的概率 一般地，如果事件 生的概率的积，即：
A1 , A2 , , An 相互独
立，那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发
（6）互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
练习：
1.在画图形的试验中，判断下列事件的关系. （1）A1={四边形}，A2={平行四边形}； （2）B1={三角形}，B2={直角三角形}，B3={非直角三角形}；
（3）C1={直角三角形}，C2={等腰三角形}，C3={等腰直角三角形}。 2. 从一堆产品（其中正品和次品都多于 2件）中任取 2件，观察 正品件数和次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，若
I
A B
A B A∩B
A B
A B
解: ( 1)记 “甲、乙２人各射击１次，甲击中目标”
为事件 A; “甲、乙２人各射击１次，乙击中目
标”为事件 B. 由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中 的概率是没有影响的 因此A与B是相互对立事件 因此, “２人都击中目标” 就是事件 A· . B
P A B P A PB =0.6×0.6 =0.36
同时发生的概率
从甲坛子里摸出 1个球，有 5 种等可能的结果； 从乙坛子里摸出 1个球，有 4种等可能的结果，于是
从两个坛子里各摸出1个球，共有 5×4 种等可能的结
果，表示如下： （白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）
（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）
（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 ．
解: ( 3)
“其中至少有１人击中目标”
P P ( A B) P ( A B) P ( A B)
0.36 0.48 0.84
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”
是一个事件，它的发生，就是事件 发生，记作
A
、
B
同时
A B．
I
A A· B B
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球” 是一个事件，它的发生，就是事件
A
、
B
同时
发生，记作
A B .
P A B 是多少？
于是需要研究，上面两个相互独立事件
A ，B
这就是说，事件 （或 做相互独立事件．
（或 B ）是否发生对事件 B A
A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
由 3 2 3 2 ，我们看到: 5 4 5 4
P A B P A PB
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积．
A+B表示什么意思
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
课本P138小字部分
概率的和与积互补公式 一般情况下，对n个随机事件 A1 , A2 ,, An ,有
P ( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An )
4.要从 3名男生和 2名女生中任选 2人参加演讲比赛， （1）抽选的结果总共有几种？ （2）刚好选到1名男生，一名女生的概率是多少？