高中数学选修1-1《抛物线及其标准方程》课件
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2.3.1抛物线及其标准方程 课件(人教A版选修1-1)
寻找：区别与联系
二、四种形式标准方程的区别
y 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py p 0 p 0 p 0 p 0
2
1、一次项(X或Y)定焦点 2、一次项系数符号定开口方向. 正号朝正向，负号朝负向。
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
三、抛物线的标准方程
▲抛物线标准方程的四种形式的识别方法
抛物线：看一次项 椭 圆：看分母大小 双曲线：看符号
6.p（p>0)的几何意义：
焦点到准线的距离｜KF｜.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
P 由题意得 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) y 2 20x;
1 ( 2) x y ; 2
2
F(5,0),x=-5
(3)2 y 5x 0;
2
(4) x 2 8 y 0;
2 . 解：因为点（－8,8）在第二象限，所以 抛物线开口向上或者开口向左，设抛 物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时， y=8得：P1＝4，P2＝4， 所以：所求抛物线方程为： y2= - 8x 或
课前探究学习
x2= 8y
课堂讲练互动 活页规范训练
1 . 抛物线的定义 :
平面内与一个定点F和一条定直线L的 距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 ．点F叫
活页规范训练
人教版高中数学选修1-1《抛物线及其标准方程》课件
（3）焦点到准线的距离为2
（4）焦点在直线3x-4y-12=0上
拓展提升
（）点 1 M 与点 F （4， 0）的距离比它到直线 l ：x 5 0 的距离小1，求点M的轨迹方程.
变式1 ：点 M 到点 F （， 1 0）的距离比它到y轴的距离大1，求点M的轨迹方程.
变式2：求与y轴相切并且和圆C : ( x -1)2 y 2 1外切的动圆圆心M的轨迹方程.
2.3.1 抛物线及其标准方程
自主学习任务单反馈
1.你能举出生活中与抛物线有关的物体或现象吗？ 2.分析“折纸试验”蕴含的数学原理，并归纳抛物线的定义。 3.如何理解抛物线的定义？定义中有哪些需要注意的地方？
抛物线的定义
H
M
·
在平面内与一个定点F和 一条定直线 l (l不经过点F) 准线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线.开口向上:源自上下 型标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:
x2 = -2py (y≤0)
·
F
焦 点
MH MF
点F叫抛物线的焦点
直线l 叫抛物线的准线
在抛物线定义中，若去掉条件“L不经过点F ”， 点的轨迹还是抛物线吗？
合作交流
小组合作交流，求出抛物线标准方程
1.探讨建立平面直角坐标系的方案 2.设︱KF︱= p （焦准距 p＞0） H
K
l
M
· · F
四 种 抛 物 线 的 对 比
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
高中数学 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1
Fx
B
解：如图，建立直角坐标系， 设抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0). 易知A (0.5,2.4)，代入方程得 2.42=2p×0.5 p=5.76.
o
A
Fx
B
所以，所求抛物线为y2=11.52x, 焦点坐标为(2.88,0).
例 4
点M与点F（4，0）的距离比它 到直线l：x＋5＝0的距离小1， 求点M的轨迹方程．
（2）准线方程 是 x = ； y2 =x （3）焦点到准线的距离是2。 y2 =4x 或 y2 = -4x x2 =4y 或 x2 = -4y
1 4
已知抛物线的标准方程是 练习2 (1) y2 =12x、 (2) y＝12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
（1）p＝6，焦点坐标是（3，0） 准线方程是x＝－3．
1 故焦点坐标为 (0, ) , 24
1 准线方程为 y . 24
(3)
已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2)
求它的标准方程。
解: 因焦点在y轴的负半轴上, p=4
故其标准方程为: x 2 = - 8y
根据下列条件， 练习1 写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）； y2 =12x
p 准线l上的方程为 x 2
l N
y
M
K
o
F
x
一条抛物线， 由于它在坐标平面内的位置不同，
方程也不同，
所以抛物线的标准方程还有其它形式.
l N
K
y o
F
M
标准方程
x
焦点坐标 准线方程
y2=2px (p>0)
(p/2,0)
x=-p/2
y
o
x
高中数学选修1-1：2.3.1抛物线及其标准方程 课件(共18张PPT)
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
当直线在l上表示：过N垂直于l的直线
问题讨论
平面内到定点A（2,3 ）和直线3x－4y＋6＝0 距离相等的点的轨迹是抛物线吗？为什么？
不是。 因为点A在直线l上,不满足抛物线的定义。
此时，点的轨迹是过A点且垂直于l的直线。
探究抛物线的标准方程
1.建系、设点
2.3.1抛物线及其标准方程
生活中的抛物线：
抛物线及其标准方程
画抛物线 当堂检测
抛物线的 -----定义典例分析来自课后小结课后作业
抛物线的-----方程
教学反馈
一、定义
l
平面内与一条定直线l和一个定点F（直
线外）的距离相等的点的轨迹叫做抛 N
物线。
定点F叫做抛物线的焦点.
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
变式： (1)抛物线y2=2px上一点M到焦点
的距离是a(a>p )，则点M到准线的距离是
a __________,点2M的横坐标是_a____p___. 2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
．y A
代入x2 =2py，得p= 9 4
P=｛M︱ ︳MF ︳=d｝
又因为
MF (x 2p)2 y2
d
x
p 2
所以
(x
p
2
)
y2
x
p
2
2
将上式两边平方并化简得
y2＝2px （p>0） ①
四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px
高中数学人教B版选修1-1第二章《抛物线及其标准方程》说课课件
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15
六、再现课中典型片段
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16
六、再现课中典型片段
视频片段的内容分析：
（1）通过课前学生自主学习微视频进行基 础内容的学习，课堂中就会留有充足的时间 对教学中的重难点问题展开深入的讨论与分 析，即选择不同的建系方式推导抛物线的方 程，进行举一反三.学生利用更多的课堂时间 进行深度思考与动手实践，这样的课堂学习 将会更有意义，进而达到更高层次的课堂教 学目的.
《抛物线及其标准方程》
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1
说
课一 二 三 四 五 六 七
主
要
教 学
方内
面
容 分
教 学 目 标
教 学 重 难 点
教 学 策 略 分
教再 学现 过课 程中
典
教 学 反 思
析
析
型
片
段
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2
一、教学内容分析Biblioteka 《抛物线及其标准方程》是人教B版数学 选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 第三节抛物 线 第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥 曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之 后的又一重要内容，根据抛物线定义推导出 的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛 物线的几何性质及其应用提供了必要的工具 和基础．
程的推导过程，并尝试不同建系方式举一反 三，进一步理解求动点轨迹方程的方法，培 养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、 计算能力，进而落实学生的直观想象、数学 运算和逻辑推理的数学核心素养.
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6
二、教学目标
3、情感态度与价值观：
通过本节课的学习，让学生体验用代数方 法解决平面几何的问题，进一步体会数形结 合的思想．此外，由于本节课是基于网络云 平台（学校智慧课堂云平台）进行的pad教学， 不仅可以激发学生的学习兴趣，提高学生的 学习热情，更重要地是培养学生严谨治学和 勤于动脑的学习精神.
苏教版高中数学选修1-1《抛物线的标准方程》教学课件1
设焦点F到准线l的距离为p l
MF = MN
N
探究:如何建立平面直角坐标系？
❖y
❖o
❖y=ax2
❖y=ax2+bx+c ❖y=ax2+c
❖x
M· ·F
yyyy
．
x2 2 py( p 0)
oooo
x xxx
y2 2 px( p 0)
y2 2 px( p 0)
x2 2 py( p 0)
准线方程为：y
1
6
.
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,
故其标准方程为:x = - 8y
练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程是 x 1 ；
4 （3）焦点到准线的距离是2。
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
椭圆
ellipse
双曲线
抛物线
hyperbola parabola
如何确定抛物线的标准方程？ 抛物线有哪些几何性质？
知识回顾
抛物线的定义：
l
· 平面内与一个定点F和一条定
直线 l （点F不在直线lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ）的距 N
M
离相等的点的轨迹叫做抛物线.
·F
定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线.
y2 20x
x2 1 y 2
2y2 5x 0
x2 8y 0
焦点坐标
(5, 0)
(0, 1 ) 8
( 5 , 0) 8
(0, 2)
准线方程
x 5
课件_人教版高中数学选修-抛物线及其标准方程PPT课件_优秀版
过点F垂直于l的直线.
解:(1)因为2p=6,p=3，故抛物线的焦点坐标为
1 求曲线方程的基本步骤是怎样的？
(1)焦点是F（3,0）； （2）准线方程是 x ； 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
4 二、新知探究——二次函数图像与抛物线
，准线方程为
(3)焦点到准线的距离是2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
· N
M
∟ ∟
离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，
·F
· 定直线l叫做抛物线的准线. F
探究：若直线l过定点F，动点M的轨迹是什么？
过点F垂直于l的直线.
二、新知探究——抛物线的标准方程
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
l
∟
· N
M
·F
建系 设点 列式（限） 代入 化简
二、新知探究——抛物线的标准方程
∟
∟
M (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程. N 方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.
· 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
N
M·
ly
∟
· N
M
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
∟
K o ·F x K o ·F x K 求曲线方程的基本步骤是怎样的？
y
【解题关键】
M
看出M点与F的距离与它到直线l：
-5 -4
4
x+4=0的距离相等，然后根据抛物
OF
x
线的定义求出p，写出方程即可. l
四、归纳小结
知识层面： 抛物线的定义； 抛物线的标准方程.
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-3-1抛物线及其标准方程
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
p 则 3＋ ＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x， 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 6， 2 ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是 x＝2.
人 教 B 版 数 学
(选修1-1)
[说明] 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最 短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，
连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点
在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移， 转变为(1)的情形即可.
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
向上．设所求抛物线为 y2＝－2p1x(p1>0)或 x2＝2p2y(p2>0)， 2 9 把点(－3,2)代入，得 p1＝ ，p2＝ .∴所求抛物线方程为 y2 3 4 4 9 2 ＝－ x 或 x ＝ y. 3 2
[说明] 判断抛物线的开口方向，用待定系数法求 之．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析]
如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
B 版 数 学
准线方程x＝－1.
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
p 则 3＋ ＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x， 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 6， 2 ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是 x＝2.
人 教 B 版 数 学
(选修1-1)
[说明] 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最 短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，
连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点
在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移， 转变为(1)的情形即可.
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
向上．设所求抛物线为 y2＝－2p1x(p1>0)或 x2＝2p2y(p2>0)， 2 9 把点(－3,2)代入，得 p1＝ ，p2＝ .∴所求抛物线方程为 y2 3 4 4 9 2 ＝－ x 或 x ＝ y. 3 2
[说明] 判断抛物线的开口方向，用待定系数法求 之．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析]
如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
B 版 数 学
准线方程x＝－1.
高中数学人教A版选修1-1课件2-3-1抛物线及其标准方程1
则|PF|＝x0＋p2＝x0＋3＝9， ∴x0＝6，∴y0＝±6 2.
• 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
• (1)准线方程为2y＋4＝0，________.
• (2)过点(3，－4)，________.
• (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，________.
[答案] (1)x2＝8y 或 y2＝－60x
[解析] ∵p2＝7，∴p＝14， ∵抛物线的焦点在 x 轴上的正半轴上， ∴抛物线的标准方程为 y2＝28x.
• 3．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 ________．
[答案] (6，±6 2)
[解析] 设抛物线的焦点 F(3,0)，准线 x＝－3，抛物线上 的点 P，满足|PF|＝9，设 P(x0，y0)，
• 1．平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线 距上离)_相__等_______的点的轨迹叫做抛物线定，点__F________叫做抛物线的 焦点定，直__线__l ______叫做抛物线的准线．
• 2．从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线， 而抛物线没有．
• 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨 迹是一直条线________．
• [方法规律总结] 求抛物线的焦点及准线的步骤： • (1)把解析式化为抛物线标准方程形式； • (2)明确抛物线开口方向； • (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； • (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
跟踪训练
(1)抛物线 C：y＝－x82的焦点坐标为________； (2)抛物线 x2＝－y 的准线方程为________． [答案] (1)(0，－2) (2)y＝14
• (2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于 它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．
• 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
• (1)准线方程为2y＋4＝0，________.
• (2)过点(3，－4)，________.
• (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，________.
[答案] (1)x2＝8y 或 y2＝－60x
[解析] ∵p2＝7，∴p＝14， ∵抛物线的焦点在 x 轴上的正半轴上， ∴抛物线的标准方程为 y2＝28x.
• 3．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是 ________．
[答案] (6，±6 2)
[解析] 设抛物线的焦点 F(3,0)，准线 x＝－3，抛物线上 的点 P，满足|PF|＝9，设 P(x0，y0)，
• 1．平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线 距上离)_相__等_______的点的轨迹叫做抛物线定，点__F________叫做抛物线的 焦点定，直__线__l ______叫做抛物线的准线．
• 2．从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线， 而抛物线没有．
• 对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨 迹是一直条线________．
• [方法规律总结] 求抛物线的焦点及准线的步骤： • (1)把解析式化为抛物线标准方程形式； • (2)明确抛物线开口方向； • (3)求出抛物线标准方程中参数p的值； • (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
跟踪训练
(1)抛物线 C：y＝－x82的焦点坐标为________； (2)抛物线 x2＝－y 的准线方程为________． [答案] (1)(0，－2) (2)y＝14
• (2)根据动圆过点A，且与直线l相切，可知圆心到点A的距离等于 它到直线l的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹是抛物线．
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
人教版高中数学选修1-1课件：2.3.1抛物线及其标准方程 (共36张PPT)
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，其
焦点位于x轴的正半轴上，其准线交于x轴的负
p p 半轴即右焦点F（ ，0），左准线l：x =2 2
如图2.4-3所示. y 但是，对于一条抛物线，它在
坐标平面内的位置可以不同，所以
建立的坐标系也不同，所得抛物线 的方程也不同，所以抛物线的标准 方程还有其它形式.
继续解答
解： (Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，
x2 y2 得双曲线方程为 a 2 - 4 - a 2 = 1 （0＜a2＜4） 9 7
将点（3， 7）代入上式，得 a 2 - 4 - a 2 = 1 解得a2=18（舍去）或a2＝2，
x2 y2 故所求双曲线方程为 - = 1. 2 2
(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代 入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0.
为（0，-2），准线方程y=2.
例2：
已知抛物线的焦点是F（-2，0），求 它的标准方程.
解：因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上， 且 为y2=-8x .
p =2，p=4，所以，所求抛物线的标准方程 2
课堂小结
1.抛物线：
把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线
（parabola）.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做
抛物线的准线.
2.四种形式的抛物线：
y
图 像
﹒ ﹒﹒ ﹒
y
y
o
x
o
o
y
x
o
x
x
y2=-2px x2=2py 方 y2=2px 程 （p>0） （p>0） （p>0）
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情景设置，导入新课
引导探究 获得新知
问题:复习椭圆、双曲线的第二定 义，椭圆双曲线的离心率e的取 值范围各是什么？
到定点 的距离 与Байду номын сангаас定 直线的 距离之 比为常
数e
0<e<1 e=1 e>1
椭圆
？
双曲线
请同学们设计一种方案，画出一 个满足条件e=1的点。
学生活动：前后同学组成六人学 习小组，探讨画图方 案。
小结概括，深化认识 1、参数P的几何意义？ 2、抛物线的定义是什么？ 3、抛物线的标准方程是什么？
到定点 的距离 与到定 直线的 距离之 比为常
数e
0<e<1 e=1 e>1
椭圆 抛物线 双曲线
板书设计
抛抛物物线的线标准的方程标准方程 建系方建案三系方案1
抛物线抛及物线其及其标标准方程准方程 附板书设计
1、方程的一次项决定焦点位置 2、一次项系数的符号决定开口方向 通过填表,使本节知识系统化
指导应用，鼓励创新
例1、（1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x求它的焦点坐标和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2)求它的标准方程。
例2、已知抛物线焦点到准线的距离为 2，求它的标准方程。
A• • M
k
M•
Fg
L
直尺-三角板画法的引入
同学们的设计让我们看到了 这条曲线上的一个点，下面向 同学们介绍另一种画法，看看 这条曲线的庐山真面目。
g
LFKL
学生活动：以四人小组为单位， 合作完成曲线的作图，并由学生 解释这种作法的原理。
问题：这条曲线是什么?
我们以前见过吗?
[设计意图] 引导学生求曲线的方程，复习求 曲线方程的步骤，强化解析几何“用方程 研究曲线”的思想。
的图象,为高中的学习埋下伏笔。
2、离心率 e 1的曲线，解析几
何“用方程研究曲线”思想的 强化，与初中二次函数的图象 遥相呼应。
教学目标
知识目标： （1）理解抛物线的定义，掌握抛
物线的标准方程及其推导。 （2）明确方程中P的几何意义。能
解决简单的有关抛物线标准方程 的问题。
教学目标
能力目标： （1）通过抛物线和椭圆、双曲线离
巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉 相关公式；注意图形在解题过程中的引导作 用，渗透数形结合的思想。
[命题方向] 1、已知抛物线的标准方程，求 它的焦点准线。
2、已知焦点准线，求抛物线的 标准方程。
易错题
求抛物线y=2x2的焦点坐标和准 线方程。
[设计意图] 强化抛物线的标准方 程与二次函数的区别，分清系数 a与p的不同意义。
p 0
p 0
p 0
探究结论
方案1所得方程最为简洁，确定它为
最恰当的建系方案,并把 y2 2 px
叫做该曲线的标准方程；再次明确参
数 p的几何意义。
与椭圆、双曲线的标准方程对比， 它不是椭圆、双曲线的一部分。
变换建系，深入探究
仍以KF的中点为原点，KF 所在的直线为y轴建系，求该曲 线的方程。
四、教学设计
两大部分(课外) 课前准备，实验材料
两大部分(课堂)
1、情景设置，导入新课 2、引导探究，获得新知 3、深入探索，完善体系 4、指导应用，鼓励创新 5、小结概括，深化认识
最虽近 然我 九们大的行太 星阳 中系 少发 了生 一了 位一老件朋重友大， 的但事 是件 今，天你我们知 的道 圆吗 锥？ 曲线家族却要 迎来一位新伙伴，它是谁呢？
教师活动：教师以平等的身份介入学生 的讨论中，并且关注：
1、学生在知识认知和情感发展方面的疑 惑，及时引导鼓励 。
2、关注每个人的活动情况，做到全员参 与，从学生的探究中，了解学生对知识 理解的不同程度，思考的不同方向，对 典型的方案注意收集。
3、了解学生的探究进展，把握课堂节 奏
学生可能得到的画法
抛抛物物线的线定义的定义
应应用用与小与结小结
例例题题
练习
练习
建系方建案二系方案2
建系方建案一系方案3
谢 谢！
抛物线及其标准方程
平远县平远中学 沈俊鹏
学情分析及数学思想
1、与椭圆、双曲线的知识结 构相同，研究方法学生熟悉。
2、始终贯穿了数形结合、化 归、函数与方程的思想。
说课的四个方面
1、教材分析 2、教法分析 3、学法指导 4、教学过程
一、教材分析
本节在教材中的地位和作用
1、二次函数 y ax2 bx c
y2 2 px
p 0
p 2
,
0
x p 2
y2 2 px
p 0
p 2
,
0
x p 2
x2 2 py
p 0
0,
p 2
y p 2
x2 2 py
p 0
0,
p 2
y p 2
[设计意图] 引导学生把图形的位置 特征和方程的形式结合起来记忆；
通过四种标准方程的对比，总结出：
心率的比较，体会三种圆锥曲线内 在的区别和联系。 （2）熟练掌握求曲线方程的方法， 通过四种不同形式的标准方程的对 比，培养学生分析、归纳的能力。
教学目标
德育目标：
引导学生用运动变化的观点 发现问题、探索问题、解决问 题，培养学生的创新意识，使 学生能够体会数学的简洁美、 和谐美。
重点与难点
重点：抛物线的定义及其标准方 程的推导。通过学生自主建系 和对标准方程的选择突出重点。
y
•
yKLF
图3
x2 2 py
y 1 x2 2p
F
x
K
L
y ax2
[探究结论] 该曲线是抛物线
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直 线L的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。
定点F叫做抛物线的焦点 定直线L叫做抛物线的准线 抛物线的离心率e=1
深入探索，完善体系
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
难点：抛物线概念的形成。通过 条件e=1的画法设计，曲线方程 与二次函数的对比突破难点。
二、教法分析
教学模式的选择
采用 “引导探究式”的 教学模式，贯彻“教师为主 导，学生为主体，探究为主 线”的教学思想。
三、学法指导
学法指导
本节课在实验画法的基础上，以 问题为核心，创设情景，通过教师 的适时引导，师生间，学生间的交 流互动，启迪学生的思维，学生通 过自己的分析、反思，不断完善并 形成抛物线的概念，构建自己的知 识体系，尝试合作学习的快乐，体 验成功的喜悦。
相关性实验：由四人小组合作完成如 下相关性实验:
1、增大定点F到直尺L的距离，重复 刚才的作图，比较一下曲线有什么变 化？再缩小这个距离试一下。
2、由此你得出什么结论？
参数的引入
设计意图] 学生实验有了初步结论后， 教师利用几何画板演示随距离的增大， 曲线的开口由小变大的过程。
课件
设 KF p，指出参数 p是推导曲线
方程的先决条件。
自主建系，推导方程
仍以四人小组为单位，讨论 建系方案，一段时间后，课堂 交流，本着自愿的原则，每个 同学自行选择认为适当的方案 推导曲线的方程。
对于有代表性的方案，请几个同 学上来板演方程的推导过程。
几种建系方案
y
y
y
K F•
x
K F• x
K •F
x
图3
图1
图2
L
L
L
y2 2 px y2 2 px p2 y2 2 px p2
引导探究 获得新知
问题:复习椭圆、双曲线的第二定 义，椭圆双曲线的离心率e的取 值范围各是什么？
到定点 的距离 与Байду номын сангаас定 直线的 距离之 比为常
数e
0<e<1 e=1 e>1
椭圆
？
双曲线
请同学们设计一种方案，画出一 个满足条件e=1的点。
学生活动：前后同学组成六人学 习小组，探讨画图方 案。
小结概括，深化认识 1、参数P的几何意义？ 2、抛物线的定义是什么？ 3、抛物线的标准方程是什么？
到定点 的距离 与到定 直线的 距离之 比为常
数e
0<e<1 e=1 e>1
椭圆 抛物线 双曲线
板书设计
抛抛物物线的线标准的方程标准方程 建系方建案三系方案1
抛物线抛及物线其及其标标准方程准方程 附板书设计
1、方程的一次项决定焦点位置 2、一次项系数的符号决定开口方向 通过填表,使本节知识系统化
指导应用，鼓励创新
例1、（1）已知抛物线的标准方程是 y2=6x求它的焦点坐标和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2)求它的标准方程。
例2、已知抛物线焦点到准线的距离为 2，求它的标准方程。
A• • M
k
M•
Fg
L
直尺-三角板画法的引入
同学们的设计让我们看到了 这条曲线上的一个点，下面向 同学们介绍另一种画法，看看 这条曲线的庐山真面目。
g
LFKL
学生活动：以四人小组为单位， 合作完成曲线的作图，并由学生 解释这种作法的原理。
问题：这条曲线是什么?
我们以前见过吗?
[设计意图] 引导学生求曲线的方程，复习求 曲线方程的步骤，强化解析几何“用方程 研究曲线”的思想。
的图象,为高中的学习埋下伏笔。
2、离心率 e 1的曲线，解析几
何“用方程研究曲线”思想的 强化，与初中二次函数的图象 遥相呼应。
教学目标
知识目标： （1）理解抛物线的定义，掌握抛
物线的标准方程及其推导。 （2）明确方程中P的几何意义。能
解决简单的有关抛物线标准方程 的问题。
教学目标
能力目标： （1）通过抛物线和椭圆、双曲线离
巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉 相关公式；注意图形在解题过程中的引导作 用，渗透数形结合的思想。
[命题方向] 1、已知抛物线的标准方程，求 它的焦点准线。
2、已知焦点准线，求抛物线的 标准方程。
易错题
求抛物线y=2x2的焦点坐标和准 线方程。
[设计意图] 强化抛物线的标准方 程与二次函数的区别，分清系数 a与p的不同意义。
p 0
p 0
p 0
探究结论
方案1所得方程最为简洁，确定它为
最恰当的建系方案,并把 y2 2 px
叫做该曲线的标准方程；再次明确参
数 p的几何意义。
与椭圆、双曲线的标准方程对比， 它不是椭圆、双曲线的一部分。
变换建系，深入探究
仍以KF的中点为原点，KF 所在的直线为y轴建系，求该曲 线的方程。
四、教学设计
两大部分(课外) 课前准备，实验材料
两大部分(课堂)
1、情景设置，导入新课 2、引导探究，获得新知 3、深入探索，完善体系 4、指导应用，鼓励创新 5、小结概括，深化认识
最虽近 然我 九们大的行太 星阳 中系 少发 了生 一了 位一老件朋重友大， 的但事 是件 今，天你我们知 的道 圆吗 锥？ 曲线家族却要 迎来一位新伙伴，它是谁呢？
教师活动：教师以平等的身份介入学生 的讨论中，并且关注：
1、学生在知识认知和情感发展方面的疑 惑，及时引导鼓励 。
2、关注每个人的活动情况，做到全员参 与，从学生的探究中，了解学生对知识 理解的不同程度，思考的不同方向，对 典型的方案注意收集。
3、了解学生的探究进展，把握课堂节 奏
学生可能得到的画法
抛抛物物线的线定义的定义
应应用用与小与结小结
例例题题
练习
练习
建系方建案二系方案2
建系方建案一系方案3
谢 谢！
抛物线及其标准方程
平远县平远中学 沈俊鹏
学情分析及数学思想
1、与椭圆、双曲线的知识结 构相同，研究方法学生熟悉。
2、始终贯穿了数形结合、化 归、函数与方程的思想。
说课的四个方面
1、教材分析 2、教法分析 3、学法指导 4、教学过程
一、教材分析
本节在教材中的地位和作用
1、二次函数 y ax2 bx c
y2 2 px
p 0
p 2
,
0
x p 2
y2 2 px
p 0
p 2
,
0
x p 2
x2 2 py
p 0
0,
p 2
y p 2
x2 2 py
p 0
0,
p 2
y p 2
[设计意图] 引导学生把图形的位置 特征和方程的形式结合起来记忆；
通过四种标准方程的对比，总结出：
心率的比较，体会三种圆锥曲线内 在的区别和联系。 （2）熟练掌握求曲线方程的方法， 通过四种不同形式的标准方程的对 比，培养学生分析、归纳的能力。
教学目标
德育目标：
引导学生用运动变化的观点 发现问题、探索问题、解决问 题，培养学生的创新意识，使 学生能够体会数学的简洁美、 和谐美。
重点与难点
重点：抛物线的定义及其标准方 程的推导。通过学生自主建系 和对标准方程的选择突出重点。
y
•
yKLF
图3
x2 2 py
y 1 x2 2p
F
x
K
L
y ax2
[探究结论] 该曲线是抛物线
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直 线L的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。
定点F叫做抛物线的焦点 定直线L叫做抛物线的准线 抛物线的离心率e=1
深入探索，完善体系
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
难点：抛物线概念的形成。通过 条件e=1的画法设计，曲线方程 与二次函数的对比突破难点。
二、教法分析
教学模式的选择
采用 “引导探究式”的 教学模式，贯彻“教师为主 导，学生为主体，探究为主 线”的教学思想。
三、学法指导
学法指导
本节课在实验画法的基础上，以 问题为核心，创设情景，通过教师 的适时引导，师生间，学生间的交 流互动，启迪学生的思维，学生通 过自己的分析、反思，不断完善并 形成抛物线的概念，构建自己的知 识体系，尝试合作学习的快乐，体 验成功的喜悦。
相关性实验：由四人小组合作完成如 下相关性实验:
1、增大定点F到直尺L的距离，重复 刚才的作图，比较一下曲线有什么变 化？再缩小这个距离试一下。
2、由此你得出什么结论？
参数的引入
设计意图] 学生实验有了初步结论后， 教师利用几何画板演示随距离的增大， 曲线的开口由小变大的过程。
课件
设 KF p，指出参数 p是推导曲线
方程的先决条件。
自主建系，推导方程
仍以四人小组为单位，讨论 建系方案，一段时间后，课堂 交流，本着自愿的原则，每个 同学自行选择认为适当的方案 推导曲线的方程。
对于有代表性的方案，请几个同 学上来板演方程的推导过程。
几种建系方案
y
y
y
K F•
x
K F• x
K •F
x
图3
图1
图2
L
L
L
y2 2 px y2 2 px p2 y2 2 px p2