【高中数学】坐标系与参数方程复习课

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高考数学第一轮章节复习课件第十四章坐标系与参数方程

2．求曲线的极坐标方程的基本步骤第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．
设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过点P且与极轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程．
所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式； (2)联立两圆方程求交点或两圆方程相减均可求
1．解决该类问题时，要注意变换时点的坐标之间的对应关系．
2．平面坐标系中几种常见变换 (1)平移变换
在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x， y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示为
(2)伸缩变换
一般地，由
所确定的伸缩变换，是按伸
缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当
0<k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，
P′(x′，y′) 是变换后的点)．
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换
后的图形．
(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.
直线、圆和圆锥曲线的圆、椭圆的参数
参数方程
摆线在实际中的的转化.

高考数学 122 坐标系与参数方程复习课件

点，任意一点 N(x，y)为终点的有向线段M→N的数量 MN 且|t| ＝|MN|.
3．圆的参数方程 (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为
x＝rcosθ y＝rsinθ
(θ 为参数)；
(2)圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝a＋rcosθ y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
4．柱坐标系 (1)如图，空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) 来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标．则点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ， θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ， θ ， z) 叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ， θ， z) ，其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
2．由点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，直接将 x、y 的值代入可求 ρ＝ x2＋y2，求极角 θ 时，先由(x， y)所在象限得出 θ 所在象限，再由 tanθ＝xy确定角 θ 的值．
3．参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的) 消去法．要注意由参数的取值范围求出x或y的取值范围． (2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
x＝2t y＝1＋4t
(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2
2sinθ，
则直线 l 与圆 C 的位置关系为________．

高三数学二轮复习坐标系与参数方程课件(全国通用)

(θ 为参数)．
π (1)当 α＝3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
• 突破点拨 • (1)先参化普，然后联立直线与圆的方程求交点； • (2)以角为参数，利用已知条件求出 P点的横 π 解析：(1)当 α＝3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 的普通方程为 x2＋y2＝1，纵坐标，x＝φ(α)，y＝g(α)．
2．已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
π 2ρ sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径．
突破点拨将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而利用圆方程的特征配方求半径．
解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
第一部分
核心专题突破
专题八选考部分
高频考点
• 1．坐标系与参数方程部分： • 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，高考对本讲内容的考查主要是：(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化； (2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化．
• 2．不等式选讲部分： • 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想等．
题型二曲线的参数方程的有关问题
高考中常从以下角度设计考题：命题 (1)化参数方程为普通方程．规律 (2)以参数方程为背景的直线与圆的位置关系问题．一般为解答题，难度中等． (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方法方程进行变形，为消去参数创造条件．点拨 (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt

5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y，解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2，圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3，故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第一课时坐标系

第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ，将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ，得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16，即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3，则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。

高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理

2．极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
互化公式
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ__si_n_θ____
极坐标(ρ，θ)
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，
第一步且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程
要保持同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
第三步
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρ 22sin θ－ 22cos θ－4＝0，化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
由坐标变换公式，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y
－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆 C 的半径为 6.
3．[考点二]在极坐标系中，直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标．解：设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝3yx，，得到
x′＝3x， y′＝12y，
由于点 A 的坐标为13，－2，
于是 x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，所以 A′(1，－1)为所求．

2023版高考数学一轮总复习选修4：坐标系与参数方程课件文

线.
过点(a,0),与极轴垂直的
直线.
图形
极坐标方程
(1)θ=α(ρ∈R)或
θ=π+α(ρ∈R),
(2)θ=α和θ=π+α.
ρcosθ =a
.
ρsinθ=a(0<θ<π)
.
考点2
参数方程
1. 参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普
通方程需消去参数.
形如ρcosθ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换)
根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得C1,C2的直角坐标方程分别为 3x-y-2=0,x2-y2=2.
考向1
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
(2)将 3x-y-2=0和x2-y2=2联立,消去y,
得x2-2 3x+3=0,解得x= 3,∴y=1,
(1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设P是曲线C1,C2的公共点,求点P的极坐标以及|PA|-|PB|的值.
考向1
解析
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
1
3
(1)曲线C1,C2的极坐标方程可化为 ρsinθ- ρcosθ=-1和
2
2
(ρcosθ)2-(ρsinθ)2=2,(极坐标方程化为直角坐标方程时构造
考点1
坐标系
2. 极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一定点 O,叫作极点,自
极点O引一条射线 Ox,叫作极轴;再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),
这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:如图所示,设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM| 叫作点M

高三数学总复习《坐标系与参数方程》课件

极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系. 对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边,OM为终边的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫做点M的极角, 有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ). 当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.
为x=ρcosθy=ρsinθ. 将点M直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为
2 x2 y 2 y tan (x 0). x
曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成.
3.曲线的极坐标方程 (1)极坐标方程在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程

(4)圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义:与一个定点的距离和一条定直线(定点
不在定直线上)的距离的比等于常数e的点轨迹.
若以定点F为极点,过定点F作定直线l的垂线,垂足为K,FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系,其中|KF|=p,|MF|=ρ得圆
锥曲线统一的极坐标方程.
. ep 1 ecos
x OP cos rsincos y OP sin rsinsin . z rcos
(2)直线的极坐标方程若直线经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则直线l的极
坐标方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
特殊情况: ①当直线l过极点,即ρ0=0时,方程为θ=α.
②当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时,l的极坐标方程是
ρcosθ=a.
③当直线l过点M (b, 程是 sin b.
当0<e<1时,表示椭圆,定点是它的左焦点,定直线是它的左准线. 当e=1时,表示开口向右的抛物线, 当e>1时,方程只表示双曲线的右支,定点是它的右焦点,定直线是它的右准线.

坐标系与参数方程复习课件 (全国通用)

(t 为参数)代入 x2＋y2＋4x＝0，得 t2＋4(sinα＋
cosα)t＋4＝0，设点 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，因为方程的两根 π 2 2 t1，t2 满足 t1t2＝4>0，且 Δ＝4 (sinα＋cosα) －4×4>0，即 α∈0，2，所以 |PM| ＋ |PN| ＝ |t1| ＋ |t2| ＝ |t1 ＋ t2| ＝ 4|sinα ＋ cosα| ＝ 4 2 π π sinα＋，α∈0，， 4 2 π 所以当 α＝4时，|PM|＋|PN|取得最大值，且最大值为 4 2.
[方法规律] (1)曲线参数方程有很多优点： ①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处． ②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如： x＝x0＋tcosα 直线参数方程 (α 为倾斜角，t 为参数)，其中的|t|＝ y ＝ y ＋ t sin α 0 |PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点． ③把参数方程化为普通方程主要思想是消元，方法有： a．代入消元法；b.整体消元；c.三角消元． (2)极坐标问题的一般处理方法为：先把极坐标化为直角坐标，再解决问题．
＋y＋
2 2
2y＝0，即x－
22 2
2 2 所以圆心，－ . 2 2 (2)因为直线 l 的普通方程为 x－y＋4 2＝0，圆 C 的半径 R＝1， 2 2 ＋＋4 2 2 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝＝5， 2 所以 d>R. 所以直线 l 与圆 C 相离．
[变式训练 1] 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ2－4ρcosθ＋2＝0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； π 2 (2)若曲线 C 与直线 ρsinθ＋4＝ 2 相交于 A，B 两点，求 AB 的中点的直角坐标．

【原创课件】选修4-4复习课：坐标系与参数方程

[答案] 2 3
[解析] 由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，点P(4，3π)的直角坐标为P(2,2 3)， ∴|CP|＝2 3.
参数方程和极坐标方程的综合问题
已知在平面直角坐标系 xOy 内，点 M(x，y)在曲线 C：yx＝＝s1i＋nθcosθ， (θ 为参数，θ∈R)上运动．以 Ox 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ＋π4)＝0.
（2）简单曲线的极坐标方程：过极点直线的极坐标方程：θ＝θ0 圆心在极点的圆的极坐标方程：ρ＝r 圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程： ρ＝2rcosθ
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同。
[答案] [1－ 5，1＋ 5]
[解析] 消去参数得C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－1)2 ＝4.
∵C1与C2有公共点，∴|2－52a|≤2， ∴1－ 5≤a≤1＋ 5.
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
(文)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝ 2，ρ2－2 2ρcos(θ－π4)＝2.

高考数学总复习第十章第3讲坐标系与参数方程课件理

5 .
(2)(2013 年北京)在极坐标系中，点2，6π到直线 ρsinθ＝2 的距离等于____1____．
解析：将点2，π6转化成普通坐标为( 3，1)，ρsinθ＝2 转换成普通方程为 y＝2，所以所求点到直线的距离等于 1.
考点 2 参数方程与普通方程的相互转化
答案：3
【规律方法】常见的消参数法有：代入消元抛物线的参数方程、加减消元直线的参数方程、平方后再加减消元圆、椭圆的参数方程等.经常使用的公式有 sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方程与参数方程等价.
B.2，－π3
C.2，23π
D.2，2kπ＋π3(k∈Z)
2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( D )
A.x＋122＋y2＝14
B．x2＋y＋122＝14
C．x2＋y－122＝14
D.x－122＋y2＝14
4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
6．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．
7．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．
解：将极坐标方程转化为普通方程：x2＋y2＝9， ρ(cosθ＋ 3sinθ)＝2 可化为 x＋ 3y＝2. 在 x2＋y2＝9 上任取一点 A(3cosα，3sinα)，则点 A 到直线的距离为 d＝|3cosα＋3 2 3sinα－2|＝|6sinα＋230°－2|，它的最大值为 4.