2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案

2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案

一．选择题: CBBDC ACBAC 二．填空题：11 18 ； 12 2

5

； 13 )6

2sin(2π

+=x y ； 14

3

5

； 15 ②④ 三．解答题： 16、【解析】

(1)}3x 1|x {A ≤≤= }

4x 2|x {B <<= ……4分 }2x 1|x {B C A D U

≤≤=⋂= ……6分 (2)}

4x 1|x {B A <≤=⋃ ……7分 当a a 4

≥-，即2a ≤时，A=φ,满足题意 ……9分 当a a 4<-，即2a >时，⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥->4a 1a 42

a ，解得：3a 2≤<

∴实数a 的取值范围是3a ≤ ……12分

17.(1)证明：由 (a ＋b )·(a －b )＝|a |2

－|b |2

＝(cos 2

α＋sin 2

α)－(14＋34)＝0…4分

故a ＋b 与a -b 垂直． ……5分

(2)由|3a ＋b |＝|a -3b |，平方得3|a |2

＋23a ·b ＋|b |2

＝|a |2

－23a ·b ＋3|b |2

,所以2(|a |2

－|b |2

)＋43a ·b ＝0， …… 6分 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， ……8分 则(－12)×cos α＋3)2×sin α＝0，即cos α=3sina ……10分

,3

3

tan =

α又0°

≤α<180°，则α＝30°. ……12分 18.(1)解：设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知 f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋

1， ……4分

又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.

故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1 .……6分 (2)证明：设0

……8分

……10分

∴f (x 2)－f (x 1)<0.

即f (x 2)

故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ……1分

[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈+∴∈37,332,,0ππππx x ……2分 当

≤2π2x ＋π3时，23π≤即时，12

712ππ≤≤x

f (x )＝sin(2x ＋π3)＋3)2单调递减， ……5分

故函数在[]上的单调递减区，区间π

0.127,12⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ππ， ……6分 (2)由题意g (x )＝f (x －π4)＋3)2

∴g (x )＝sin[2(x －π4)＋π3]＋3＝sin(2x －π6)＋3， ……8分

当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )是增函数， ……10分

∴g (x )max ＝g (π4)＝3)2. ……12分

20.解：（1）]14,0(∈t 时，设2

()(12)82p f t c t ==-+(0

将)81,14(代入得41

-=c

]14,0(∈t 时 ，2

1()(12)824

p f t t ==--+ ……3分

]40,14[∈t 时，将)81,14(代入()835log +-=x y a ，得31=a ……5分

∴(),(,]()l o g (),(,]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨

-+∈⎪⎩2

131********

5831440． ……6分

（2）当时(]14

,12∈t ，显然符合题意， ,

当]40,14[∈

t 时，8083)5(

log 3

1≥+-t 解得325≤

t …10分 ∴]32,12(∈t ， ………12分 老师在(]32,12∈t 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． …13分 注：t ∈[12,32]不扣分。

21．解：（Ⅰ）(1,1)x ∈- ，定义域关于原点对称 ………1分

令0x y ==得(0)0f =， ………2分 再令y x =-得()()(0)0f xf x f +-==

， ()()

f x fx ∴-=- ………3分 ()y f x ∴=为(1,1)-上的奇函数. ………4分

（Ⅱ） 1()ln

1x

h x x -=+，10(1,1)1x x x

-∴>⇒∈-+ ………5分 对于任意的,(1,1)xy ∈-有11(1)(1)()()l n l n

l n

11(1)(1)x y x y

h xh y x y x y

----+=+=++++ 11()1l n l n

1()11x y

x y x y x y x y x y x y x y

+-

+-++==++++++ 即()()1

x y hx hy h x y ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭（可以证明(1,1)1x y

xy +∈-+） ………7分 当10

x -<<时，12

111x x x

-=-+

++在()1,0-为减函数， ∴121111x x x -=-+>++，∴1()l n l n 101x hx x

-=>=+， ∴()h x 同时满足三个条件，∴()h x M ∈. ………9分

（Ⅲ）由()f x M ∈，令任意的12,(1,1)x x ∈-且12x x <， 再令上式中的12

,x x y x ==-可得： 12

1212()()()1x x f x f x f x x -+-=-1212

12

()()()1x x f x f x f x x -⇔-=-