(完整版)高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案

例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12

211

=---n n n n S S 设n

n n S b 2

= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2

3

22111===

a S

b , ∴

21

2

+=n S n

n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴⎩⎨⎧⋅+=-2

2

)32(3n n n a (1)(2)n n =≥,1

2)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11

1

-+-=n n a n n a

∵11=a ,∴312=a ,31423⨯=a ,3142534⨯⨯=a ,3

1

4253645⨯⨯⨯=a ,

∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n ΛΛ,∴122+==n n

a n S n n .

例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++=

n n n n n a n Λ∴12)111(2)111()3

1

21()211(2+=

+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=n n n n n S n Λ 例5.A

例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ΛΛ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132ΛΛ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211ΛΛ，

当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n

n n -++-=-+--=---=-++1111111111∴()()

21111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2

14321n n n S n +=++++=ΛΛ 例7.C 例8.192 例9.C

例10. 解：14582

54

54255358-=-⨯

=⋅==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-⨯=a ∴14588-=a

例11.D 例12.C

例13.解：12311=-==S a ,

当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n

例14. 解一：设首项为1a ，公差为d

则⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

=

⨯⨯+⨯⨯++=⨯+1732225662256)(635421112121

11d

a d d a d a 5=⇒d

解二：⎪⎩⎪

⎨⎧==+2732354

奇偶偶奇S S S S ⎩⎨⎧==⇒162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=⇒d

例15. 解：∵109181a a a a =，∴205

100

110918===

a a a a 例16. 解题思路分析：

法一：利用基本元素分析法

设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151

76772

151415752

S a d S a d ⨯⎧

=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩∴ 121a d =-⎧⎨=⎩

∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15

2222

n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数

∴ {n S n

}为等差数列∴ 21944n T n n =-

法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2

+Bn ∴ 2

72

157********

S A B S A B ⎧=⨯+=⎪⎨=⨯+=⎪⎩ 解之得：12

5

2

A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 21522n S n n =-，下略

注：法二利用了等差数列前n 项和的性质

例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ②

由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9

5

=a 从而5=q 或13

∴原来三个数为2,10,50或9

338

,926,92

例18.70

例19. 解题思路分析：

∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列

∴ b 1b 3=b 22,∴ b 23=81,∴ b 2=21,∴ 1312178

14

b b b b ⎧

+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴ 13218b b =⎧⎪⎨=⎪⎩或 12182b b ⎧=⎪⎨

⎪=⎩ ∴ 13212()24n n n b --== 或 1251

428n n n b --=⋅=

∵ 1

()2n a n b =,∴ 12

log n n a b =,∴ a n =2n -3 或 a n =-2n +5

例20. 2392

n n

+