解析几何初步第1课时--直线的倾斜角与斜率

第二章 解析几何初步

§1 直线与直线的方程

第1课时 直线的倾斜角与斜率

【预习导航】

1.在直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,把x 轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角,叫做直线l 的______,当直线l 与x 轴平行时,直线的倾斜角为______,倾斜角α的取值范围为______.

2.若12x x ≠,则11(,)A x y ,22(,)B x y 两点所在直线的斜率k =______.

【基础自测】

1.若一条直线的倾斜角为30︒,则这条直线的斜率为( )

(A)12 (B)3

2

(C)33 (D)3

2.若一条直线经过(2,1)A ,(1,0)B 两点,则这条直线的倾斜角为( )

(A)45︒ (B)60︒ (C)120︒ (D)135︒ 3.若经过(4,21)A m +,(2,3)B -两点的直线的斜率为1,则m =( )

(A)3- (B)1- (C)0 (D)2 4.以下说法正确的是( )

(A)直线的倾斜角增大时,其斜率增大 (B)直线的倾斜角增大时,其斜率减小 (C)斜率为正的直线不可能经过第四象限

(D)过第一、二、三象限的直线斜率为正

【典例剖析】

题型1: 倾斜角与斜率的概念

例1 在下列四个命题中,正确的有____个. (1)在坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；

(2)直线倾斜角的取值范围为[0,180]︒︒； (3)若直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan k α=；

(4)若直线向上的方向与y 轴正方向所成角为α,则直线的倾斜角为90α︒-或90α︒+. [思路分析]根据倾斜角与斜率的定义对各个命题逐一进行判断即可.

[解]由于当直线的倾斜角为90︒时,其斜率不存在,故(1),(3)均不对；由倾斜角的定义

可知直线倾斜角的范围为[0,180

)︒︒,故(2)不对；对于(4),当=0α︒时,直线的倾斜角为90︒,符合题意；当直线向上的部分在y 轴

左侧时,直线的倾斜角为90α︒+,当直线向上的部分在y 轴左侧时,直线的倾斜角为90α︒-,符合题意；

当=90α︒时,直线的倾斜角为0︒,符合题意；故(4)正确. 综上可知,正确的命题个数为1. [规律技巧]掌握直线的倾斜角与斜率的概念是解决此类问题的关键.斜率不存在的情况更需要关注.

[变式训练]下列叙述中不正确的是( )

A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应

B.每一条直线都有且只有一个倾斜角

C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0︒或90︒

D.若直线的倾斜角为α,则这条直线的斜率为tan α；

题型2: 直线的斜率公式及其应用

例2 求证:点(11)A -，

,(27)B --，,(03)C -，共线.

[思路分析]本题要证明三点共线,而三点共线的方法也比较多,在此,我们利用斜率来进行证明.

[解]由直线AB 的斜率为

(7)(1)

2(2)1

AB k ---=

=--.

同理,直线AC 的斜率为

(3)(1)

201

AC k ---=

=-.

故AB AC k k =.即,直线AB ,AC 的倾斜角相等,且都经过点A ,故直线AB ,AC 重合,即结论成立.

[规律技巧]对于三点共线的问题,可以通过直线斜率来处理,但需要注意直线斜率不存在的情况.

[变式训练]若(2,4)(3),(1,)A B m C m --,，

三点共线,求实数m 的值.

题型3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用 例3 设点(,)P m n 在函数82y x =-的图像上,且23m ≤≤,求

n

m

的最大值和最小值. [思路分析]由消元可将原问题转化为函数求解；由

n n m m -=

-可看成点(,)P m n 与坐标原点连线的斜率来求解.在此,我们用后者. [解]在函数82y x =-的图像上2m =的点为(2,4)A ,3m =的点为(3,2)B , 又由于

00n n m m -=

-,故n

m

表示线段AB 上的点(,)P m n 与坐标原点连线的斜率,而

40220OA k -=

=-,202

303

OB k -==-, 故

n m 的最大值为2,最小值为23

. [规律技巧]本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中

的

n

m

在临界状态OA k 与OB k 之间,而有的题目可能在临界状态之外,需要注意体会. [变式训练]设点(,)P m n 在函数5y x =-的图像上,且23m -≤≤,求n

m

的取值范围.

【知能迁移】

例4 已知过坐标原点O 的直线123,,l l l 还分别经过点(3,4),(4,3),(1,)A B C k -,且OC 平分AOB ∠,求实数k 的值.

[思路分析]由斜率的定义知k 就是3l 的斜率,再结合OC 平分AOB ∠即可求解.

[解]∵点(3,4),(4,3)A B -到坐标原点O 的距离均为5,即OA OB =,

∴由OC 平分AOB ∠可知直线3l 与线段AB 的交点D 是AB 中点. ∴点D 坐标为3443(

,)22+-,即71

(,)22

D . 又由斜率定义知k 值等于直线3l 的斜率,也就是直线OD 的斜率,故10

127

702

k -==-. [规律技巧]本题给出了平分两条直线所成角的直线斜率的求法.本题中对平面几何知识的应用值得关注.

[变式训练]已知过坐标原点O 的直线12

,l l 分别经过点(1,2),(1,3)A B -,点C 在AB 上,

且OC 平分AOB ∠,求直线OC 的斜率.