对偶问题的基本性质
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对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对 偶 问 题
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
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y1 y2 y3 y4 y5 y2 1 / 4 5 / 4 1 0 1 / 4 1 / 4 y 3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2 3/2 c j z j 15 / 2 0 0 7 / 2 x3 x4 x5 x1 x2
对 偶 问 题
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• （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。 • （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。 • （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX
原问题
Yb
对偶问题
CX
Y b
对偶问题的基本性质
五、互补松弛性：
对 偶 问 题
ˆ ˆ ——若 X , Y 分别是原问题（1） X 与对偶问题（2）的可行解， , Y 分别为（1）、（2）的松弛变量，则： ˆ ˆ ˆ ˆ 即： YX 0, Y X 0 X , Y 为最优解
S S
S
S
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ˆ ˆ ˆ Y X S 0 Y ( b A X ) 0 y i x si 0 ˆ ˆ ˆ y 0 x 0 A X a x b , ˆ si ˆj ˆi i ij i j 1 ˆ x si 0 A i X b i y i 0 ˆ ˆ
原问题松弛变量
原问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x 1 7 / 2 1 0 0 1 / 对偶问题/ 2 4 1 最优解 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 0 0 0 1/ 4 1/ 2 （ c j z） j y 4 y 5 y1 y2 y3
AX 证明： b Y A X Y b CX Y AX Y b
Y A C Y AX CX
从弱对偶性可得到以下重要结论：
对 偶 问 题
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• （1）极大化问题（原问题）的任一可行 解所对应的目标函数值是对偶问题最优 目标函数值的下界。 • （2）极小化问题（对偶问题）的任一可 行解所对应的目标函数值是原问题最优 目标函数值的上界。 • （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
说明：在线性规划问题的最优解中，如果对 下页 应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 返回该约束条件为严格等式；反之如果约束条 件为严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
• 互补松弛定理应用：
– （1）从已知的最优对偶解，求原问题 最优解，反之亦然。 – （2）证实原问题可行解是否为最优解。 – （3）从不同假设来进行试算，从而研 究原始、对偶问题最优解的一般性质。 上页 下页 – （4）非线性的方面的应用。
1 2
厂 家
3
s .t
收 购
1
6y y 2
2 3 2 3
5y 2y y 1 y ,y ,y 0
1 2 3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
原问题 的变量
原问题松弛变量
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 4 1/ 2 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 （c j z ） 0 0 0 1/ 4 1/ 2 j y 4 y 5 y1 y2 y3
对 偶 问 题
返回
以上性质同样适用于非对称形式。
对 偶 问 题
对偶问题的基本性质
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返回
n
A的第i行
原问题第i条约束
另一方面：
对 偶 问 题
ˆ ˆ Y X 0 (YˆA C ) X 0 (YˆP c ) x 0 ˆ
S j j j
x 0 YˆP c ˆ YˆP c x 0 ˆ
j j j j j j
对偶问题的第j条约束
上页
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
Fra Baidu bibliotek
四、对偶定理（强对偶性）： ——若原问题及其对偶问题均具有可 行解，则两者均具有最优解，且它们最 优解的目标函数值相等。
证明：
原问题与对偶问题的解一般有三种情况： 一个有有限最优解 另一个有有限最优解。 一个有无界解 另一个无可行解。 两个均无可行解。
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对 偶 问 题
三、最优性定理： ——若 X 和 Y 分别是（1）和（2） 的可行解，且有 CX Y b, 则 , Y X 分别是（1）和（2）的最优解 。
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证明：因为（1）的任一可行解
C X Y b, CX
X
均满足
Y b
则 X 为（1）的最优解， 反过来可知： 也是（2）的最优解。 Y
对 偶 问 题
设原问题（1）
max z CX s .t . AX b X 0
对偶问题（2）
min w Yb s .t . YA C Y 0
上页 下页
一、对称定理： 定理对偶问题的对偶是原问题。 返回
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
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二、弱对偶性定理： ——若 X 和 Y 分别是原问题 （1）及对偶问题（2）的可行解， 则有 CX Y b
对 偶 问 题
第二节对偶问题的基本性质
•引例 •对称性 •弱对偶性 •最优性 •对偶性（强对偶性） •互补松弛性
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返回
引例
对 偶 问 题
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max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y
对偶问题最优解（决策变量）
y1 0, y 2 1 / 4, y 3 1 / 2
原问题的松弛变量
从引例中可见：
对 偶 问 题
原问题与对偶问题在某种意义上 来说，实质上是一样的，因为第二个 问题仅仅在第一个问题的另一种表达 而已。 理论证明：
原问题与对偶问题解的关系
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对偶问题的基本性质
对偶问题 剩余变量
原问题 最优解
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题的变量
对 偶 问 题
• 两个问题作一比较:
1.两者的最优值相同 z w 8.5 2.变量的解在两个单纯形表中互相包含 原问题最优解（决策变量）
x1 7 / 2 , x 2 3 / 2
对偶问题的松弛变量
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对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对 偶 问 题
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
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y1 y2 y3 y4 y5 y2 1 / 4 5 / 4 1 0 1 / 4 1 / 4 y 3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2 3/2 c j z j 15 / 2 0 0 7 / 2 x3 x4 x5 x1 x2
对 偶 问 题
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• （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。 • （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。 • （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX
原问题
Yb
对偶问题
CX
Y b
对偶问题的基本性质
五、互补松弛性：
对 偶 问 题
ˆ ˆ ——若 X , Y 分别是原问题（1） X 与对偶问题（2）的可行解， , Y 分别为（1）、（2）的松弛变量，则： ˆ ˆ ˆ ˆ 即： YX 0, Y X 0 X , Y 为最优解
S S
S
S
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ˆ ˆ ˆ Y X S 0 Y ( b A X ) 0 y i x si 0 ˆ ˆ ˆ y 0 x 0 A X a x b , ˆ si ˆj ˆi i ij i j 1 ˆ x si 0 A i X b i y i 0 ˆ ˆ
原问题松弛变量
原问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x 1 7 / 2 1 0 0 1 / 对偶问题/ 2 4 1 最优解 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 0 0 0 1/ 4 1/ 2 （ c j z） j y 4 y 5 y1 y2 y3
AX 证明： b Y A X Y b CX Y AX Y b
Y A C Y AX CX
从弱对偶性可得到以下重要结论：
对 偶 问 题
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• （1）极大化问题（原问题）的任一可行 解所对应的目标函数值是对偶问题最优 目标函数值的下界。 • （2）极小化问题（对偶问题）的任一可 行解所对应的目标函数值是原问题最优 目标函数值的上界。 • （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
说明：在线性规划问题的最优解中，如果对 下页 应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 返回该约束条件为严格等式；反之如果约束条 件为严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
• 互补松弛定理应用：
– （1）从已知的最优对偶解，求原问题 最优解，反之亦然。 – （2）证实原问题可行解是否为最优解。 – （3）从不同假设来进行试算，从而研 究原始、对偶问题最优解的一般性质。 上页 下页 – （4）非线性的方面的应用。
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厂 家
3
s .t
收 购
1
6y y 2
2 3 2 3
5y 2y y 1 y ,y ,y 0
1 2 3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
原问题 的变量
原问题松弛变量
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 4 1/ 2 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 （c j z ） 0 0 0 1/ 4 1/ 2 j y 4 y 5 y1 y2 y3
对 偶 问 题
返回
以上性质同样适用于非对称形式。
对 偶 问 题
对偶问题的基本性质
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n
A的第i行
原问题第i条约束
另一方面：
对 偶 问 题
ˆ ˆ Y X 0 (YˆA C ) X 0 (YˆP c ) x 0 ˆ
S j j j
x 0 YˆP c ˆ YˆP c x 0 ˆ
j j j j j j
对偶问题的第j条约束
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对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
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四、对偶定理（强对偶性）： ——若原问题及其对偶问题均具有可 行解，则两者均具有最优解，且它们最 优解的目标函数值相等。
证明：
原问题与对偶问题的解一般有三种情况： 一个有有限最优解 另一个有有限最优解。 一个有无界解 另一个无可行解。 两个均无可行解。
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对 偶 问 题
三、最优性定理： ——若 X 和 Y 分别是（1）和（2） 的可行解，且有 CX Y b, 则 , Y X 分别是（1）和（2）的最优解 。
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证明：因为（1）的任一可行解
C X Y b, CX
X
均满足
Y b
则 X 为（1）的最优解， 反过来可知： 也是（2）的最优解。 Y
对 偶 问 题
设原问题（1）
max z CX s .t . AX b X 0
对偶问题（2）
min w Yb s .t . YA C Y 0
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一、对称定理： 定理对偶问题的对偶是原问题。 返回
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
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二、弱对偶性定理： ——若 X 和 Y 分别是原问题 （1）及对偶问题（2）的可行解， 则有 CX Y b
对 偶 问 题
第二节对偶问题的基本性质
•引例 •对称性 •弱对偶性 •最优性 •对偶性（强对偶性） •互补松弛性
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引例
对 偶 问 题
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max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y
对偶问题最优解（决策变量）
y1 0, y 2 1 / 4, y 3 1 / 2
原问题的松弛变量
从引例中可见：
对 偶 问 题
原问题与对偶问题在某种意义上 来说，实质上是一样的，因为第二个 问题仅仅在第一个问题的另一种表达 而已。 理论证明：
原问题与对偶问题解的关系
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对偶问题的基本性质
对偶问题 剩余变量
原问题 最优解
原问题 的变量
原问题松弛变量
对偶问题的变量
对 偶 问 题
• 两个问题作一比较:
1.两者的最优值相同 z w 8.5 2.变量的解在两个单纯形表中互相包含 原问题最优解（决策变量）
x1 7 / 2 , x 2 3 / 2
对偶问题的松弛变量
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