反褶积

r
0
r
1
r 2
r 1
r 0
r 1
r 2
r 1
r 0
1
a
1
a 2
L 0 0
(20)
1、反褶积的目的
2、反褶积的数学基础
3、地表一致性反褶积
4、其它常用的反褶积形式
5、影响反褶积的两个因素
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2004/04/20
①Surface-consistent model
The concept that all raypaths which pass through a spatial region will be affected in the same way and that the total effect for any element can be obtained by summing up along the raypath. The contributions for the different regions can be obtained statistically from a multitude of observations. Used for determining and removing changes because of statics, amplitude effects, and waveshape changes
第反二Q滤在波逻是辑迟上至站9不0年住代脚才。出如现果的子方波法是（时H不a变le，的D，. 那没，么有19深反92部褶，反积Q-射的ad波必a的 要pti子 。ve波 既d就 然ec是 反on震 褶v源 积olu激要ti发消on的除）子子，波波上，的距就影 响反，褶就积承方认法子的波提是 出传 时播 间的 差结 不果 多，已就经不有能40不年承了认！子 波是时变的。
Trace
反褶积：
s( t )* h( t ) e( t )* h( t )* h( t ) e( t ) ⑸
Recorded s(t)
Trace
Inverse of h(t)
h(t)
Reflection e(t)
Coefficient
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将地震记录看成是反射系数序列与地震子波的褶 积，反褶积就是要消除这种褶积过程，从地震记录得 到反射系数序列。一般说来，反褶积的目的是消除某 种已知的或未知的褶积过程的运算。
h
h
(3.a) (3.b) (3.c)
将（3）式代如（2）式中：
A ( ) A ( )A ( )
s
e
h
(4.a)
( ) ( ) ( )
s
e
h
(4.b)
② DECONVOLUTION
Reflection e(t)
Coefficient
reverberation h(t)
distortions
Recorded s(t)
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①Some assumptions
地震记录上的子波往往是未知的。不能使用确定性反 褶积方法。从地震记录上消除子波的影响，是反褶积的主 要应用。在解决反褶积问题中，要消除子波而获得反射系 数序列是不可能的。反褶积作为一种处理方法得以在工业 中应用，得益于几点假设。主要有反射系数序列白色的假 设，反射系数序列随机的假设，子波时不变的假设，子波 最小相位的假设等。这几点假设非同小可，使本来不可能 解决的问题迎刃而解，从而地震数据处理得以进入一个新 的阶段。
从子波自相关的ZT计算反滤波器
地震子波自相关的ZT为：
R ( z ) H( z )H( 1/ z ) (15) H
（10）式的ZT为：
H( z )F( z ) 1
(16)
结合（15）（16）得到：
R ( z )F( z ) H( 1/ z ) H
(17)
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我们假设地震子波是最小相位的（因果的及 可实现的），因此反滤波器也是最小相位的。考 虑三点反滤波器的特殊情况，将（17）式中的各 项用ZT展开代替得到:
x
s
e
o
g
（24）
（24）式左边是模型输入道振幅谱的对数，使最 小平方误差最小化就可计算出各个滤波器。根据 最小平方误差定义有：
L
(
ln A
wk.baidu.com
ln A ˆ
2
)
x
x
i , j ,
（25）式中Â是实际振幅谱。
（25）
使L量最小,要求：
L L L L 0 （26）
(lnA ) (lnA ) (lnA ) (lnA )
ij
j
(i j)/ 2
(i j)/ 2
i
（21）
式中，xij(t)是地震记录，sj(t)是震源位置为j时的波形分 量，e(i+j)/2(t) 代表震检中心位置(i +j) / 2 时的地层脉冲响应， o(i-j)/2(t)是依赖于波形的偏移距分量，gi(t)是接收点位置为i 时 的波形分量，
假定n(t) 等于零，对（21）式作FT： X( ) S( )E( )O( )G( ) （22）
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在地表一致性反褶积形式中，地震道分解为 震源、接收器、偏移距、及地层脉冲响应的褶积影 响，这样就可以清楚地估计由于地表震源及地表接 收条件以及炮检间隔对子波形态的变化，分解后进 行反滤波以恢复地层的脉冲响应。根据地表一致性 给出的褶积模型为：
x ( t ) s ( t )* e ( t )* o ( t )* g ( t ) n( t )
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子波时不变假设
子波时不变指的是在子波在传播过程中不发生
变化但。这个一问点题显也然许是并站不特住别脚严的重。，首现先在已理经论有上 站播了不速补住度偿脚均办。与法地频。震率例波 有 如在 关 在传 ， 反播 即 褶过 子 积程 波 之在 前中传做的播反衰过减Q滤程程波中度，是、可变传 化使的地，震这记在录提基出本反 符褶 合积 子之 波前 时就 不已 变经的是假经设典。理然论而，，
分解为振幅谱及相位谱分量为：
A ( ) A ( )A ( )A ( )A ( ) （23.a）
x
s
e
o
g
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （23.b）
x
s
e
o
g
作最小相位假设，则（23）式只须估计振 幅谱，对（23.a）两边取对数使之线性化：
lnA lnA lnA lnA lnA
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① WHITENING DECONVOLUTION
谱白化反褶积的名称由设计算子的想法而得名。 就是通过设计的算子与地震道褶积后，使输出结果所 包含的所有频率成份具有相同的振幅。
谱白化反褶积是在频率域的操作，对应的时间域 相当于把一个地震波形变成一个尖脉冲，因此也叫脉 冲反褶积。
( r z 2 r z 1 r r z r z 2 )( f f z f z 2 )
2
1
0
1
2
0
1
2
h0
h z1 1
h z2 2
(18)
从（18）式中求出（f0 ，f1 ， f2 ）就可 得反滤波器f（t），（f0 ，f1 ， f2 ）通过确定 方程（18）中Z 的各阶系数来求出， Z 的各
1、反褶积的目的
2、反褶积的数学基础
3、地表一致性反褶积
4、其它常用的反褶积形式
5、影响反褶积的两个因素
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① Record Trace
期望：s( t ) e( t ) 理想记录：s( t ) e( t )* w( t )
地震记录：
s( t
) es((t )t*)w( te)*(
实窗际统资计料方表法明，，在反一射定系程数度序上列减的弱振反幅射谱系远数不
是序光列滑的的影，响如。果谱采模用拟白反色褶假积设后，（则19必96然，将赵反 射波系而数代序之列以振子幅波谱振的幅不谱光光滑滑性的转假移设到）子，波才振 幅比谱较上理，想对地反解褶决积了产这生个不问良题后。果这。时本已来经是是要 消反除褶子积波方的法影问响世，40在年这了个。假设下将反射系数 序列的一部分性质也成为消除的对象。
(10)
基于（10）式求解反滤波器的方法很多，比 如在频率域求逆、地震子波自相关的z变换、地震 子波z变换的多项式除法、最佳维纳滤波器等，这 里介绍前两种。
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频率域计算反滤波器
将（10）作FT得到：
H( )F( ) 1
(11)
将（11）式代入（3.c)式得到：
F( ) 1/{ A ( )exp[i ( )]} (12)
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子波最小相位假设
到目前为止，除非已知反射系数序列，还没 有一种方法能够有效地从地震记录得到子波。对 于未知子波，是不能保证它是最小相位的。假设 子波是最小相位是不牢靠的。很多人早就对此有 所质疑。在非最小相位子波情况下，用最小相位 算子反褶积，结果是子波的最小相位部分得到消 除，而子波的最大相位部分则与反褶积算子的相 应的最小相位部分的褶积，输出只能是混合相位 子波。
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最小相位、混合相位和最大相位子波具有相 同的自相关，因而有相同的反褶积算子。以这个 反褶积算子应用于三种子波的结果完全不同。
② INVERSE FILTER
为了将震源波形压缩为一个零延迟尖脉冲， 假定存在一个反滤波器算子 f ( t )，则：
h( t )* f ( t ) ( t )
tfs)(*t )h* (fgt( )t )*
f (t r
)*
f (t i
)*
⑴f ( t m
)
N(t
)
对（1）式两边作FT：
S( ) E( )H( )
(2)
（2）式中：
S( ) A ( )exp[i ( )]
s
s
E( ) A ( )exp[i ( )]
e
e
H( ) A ( )exp[i ( )]
s
e
o
g
根据（26）式产生一组正则方程，他们的 解提供与震源、接收点位置、偏移距及地层脉冲 响应有关的各个谱分量，因此，地表一致性反褶 积算子就是s(t)*o(t)*g(t)的最小相位逆。
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4、其它常用的反褶积形式
5、影响反褶积的两个因素
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反射系数序列是随机的
一个随机时间序列是一个不相关序列其自相关为：
r ( ) 0 , 0 e
r ( ) r 常数， 0
e
0
(7.a) (7.b)
另，由（1）通过z和1/z的变换，可产生：
r r *r
s
e
h
(8)
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据（7）和（8）式有：
r r r
(9)
s
0h
（ 9）式表明地震记录的自相关和震源子波的 自相关相似。 采用这个假设的目的是为了用地震 记录的自相关代替子波的自相关。这一点是反褶 积得以实现的关键，除此之外，目前还没有更好 的办法来描述子波。
阶系数方程写成矩阵形式为：
r
0
r
1
r 2
r 1
r 0
r 1
r 2
r 1
r 0
f 0
f 1
f 2
h0 0 0
(19)
方程（19）左边的方阵代表地震子波的自相 关，而这我们是不知道的，根据反射系数序列是随 机的假设，可以用地震记录的自相关来代替它。即 便如此，方程（19）有四个未知数和三个方程，对 f0归一化，便得到三个未知数和三个方程的（20） 式，由此可求出反滤波算子。
反褶积是一种滤波。与一般滤波的区别有两点： 一是着眼点在改变子波，而不是衰减噪声。二是方法 上是根据需要达到的目标由地震资料自动推导滤波器 ，而不是通过试验选择滤波器。
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1、反褶积的目的
2、反褶积的数学基础
3、地表一致性反褶积
4、其它常用的反褶积形式
5、影响反褶积的两个因素
h
h
又 f ( t )的FT为：
F( ) A ( )exp[i ( )]
f
f
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(13)
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比较方程（12）和（13）式，可以得到：
A ( )1/ A ( )
f
h
( ) ( )
f
h
(14.a) (14.b)
方程（14）表示，反滤波器的振幅谱是地震 子波振幅谱的逆，反滤波器的相位谱是地震子波 相位谱的负值。地震子波的相位谱是不能用确定 性算法得到的，但根据反射系数序列是白色的假 设，我们可以用地震记录的振幅谱代替地震子波 的振幅谱，从而得到反滤波器算子。
反射系数序列是白色的假设
反射系数序列是白色的，亦即它的振幅谱是平的：
A ( ) A 常数
(5)
e
0
将（5）式代入（4.a）式：
A ( ) A A ( )
(6)
s
0h
（6）式表明地震记录的振幅谱与震源 子波的振幅谱是一种线性关系。
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采用这个假设的目的是为了在这个假设 下可以为将解记决录这振个幅问谱题作，为有子人波采振用幅多谱道应多用时。