自回归模型

xt 0at 1at 1 2at 2
上式中：
( 0 , 1 , 2 ,)
总称为记忆函数，其中 j为at-j对xt 的影响 程度，输入与输出是由记忆函数联结起 来的。 由于系统具有记忆性，我们可以用过去的 数据预测未来。
一、自回归模型(Auto regressive model,AR）
• (一).一阶自回归模型，AR(1) • 1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合 适模型为：
xt 1 xt 1 at
其中：(1)at是白噪声序列（Eat=0,Var(at)=σ2, cov(at,at+k)=0 ,k≠0） (2)假定：E(xt,as)=0 (t<s)， 那么我们就说Xt遵循一个一阶自回归或AR(1) 随机过程。
• 2.AR(2)模型的等价形式
xt 1 xt 1 2 xt 2 at
通过等价形式可以看出，AR(2)模型通过 将xt中依赖于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使数 据转化成了独立数据at。
（三）一般自回归模型，AR(p)
• 1.如果关于xt的合适模型为:
xt 1 xt 1 2 xt 2 p xt p at
（二）二阶自回归模型，AR(2) • 1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于 xt的合适模型为
xt 1 xt 1 2 xt 2 at
其中：(1)at是白噪声序列,(2)假定：E(xt,as)=0 (t<s)，那么我们就说xt遵循一个二阶自回归或 AR(2)随机过程。上述模型就是AR(2)模型。
3.2 自回归模型
建立线性时序模型的原理 ——动态性
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动态性：就是指时间序列各观测值之间 的相关性。 从系统的观点看：动态性即指系统的记 忆性，也就是某一时刻进入系统的输入 对系统后继行为的影响，图示如下：
输入 系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，如果当天的反应 是疼痛 0 ，而以后没有其它反应，那么系统 的输入、输出如下：
我们得到一个AR(p)模型后，要检验 它是否符合实际 主要就是通过检验模型的有关假设是 否成立来进行的. 例如，如果检验出残差序列at不是白 噪声序列，那么该模型就不是合适的模 型。
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可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于 两部分， 一部分依赖于它的前一期的值xt-1； 另一部分是依赖于与xt-1不相关的部分at
• 2.可将AR(1)模型写成另一种形式：
xt 1 xt 1 at
通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过 消除xt中依赖于xt-1的部分，而使相关数据 转化成了独立数据。
时间 输入 输出 t ：1 at: 0 xt：0 2 1 3 0 0 4 0 0 5 0 0
0
这种状况可用模型概括为： xt 0 at
（2）如果此人在打针后当天没有什么感觉， 而第二天出现了红肿 1 ，那么系统的输入、 输出如下：
时间 输入 输出 t ：1 at: 0 xt：0 2 1 0 3 0 1 4 0 0 5 0 0
那么，就称xt满足p阶自回归模型，记作 AR(p)。（假设条件同前）
• 2. AR(p)模型的等价形式
xt 1 xt 1 2 xt 2 p xt p at
通过等价形式可以看出，AR(p)模型通过 将xt中依赖于xt-1、xt-2……xt-p的部分剔除掉， 而使数据转化成了独立数据at。
3.随机游走模型 如果一个时间序列xt的合适的模型为 如下的形式：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xt xt 1 at
其中：at为白噪声序列，那么就称该模型 为随机游走模型 ，这样的时间序列称随机 游走过程。
注意：随机游走过程是非平稳时间序列。
证明：
对于yt yt 1 at 设 : y0 0 则 : y1 a1 y 2 a1 a2 y3 a1 a2 a3 于是有 : yt 因此 Ey t
a Ea
t
t 2
t 0 0
var( yt ) t
yt的方差随时间而改变, 因此过程是 非平稳的. 证毕
☆随机游走通常被比作一个醉汉的游走。
BAR
虽然随机游走过程是非平稳的，但是我们 看到，它的一阶差分却是平稳的：
xt xt xt 1 at
有些研究表明，许多经济时间序列呈现出 随机游走或至少有随机游走的成分，如股票 价格，这些序列虽然是非平稳的，但它们的 一阶(或高阶)差分却是平稳的。 Box—Jenkins就是利用差分这种数学工具 来使非平稳序列转化为平稳序列的。
这种状况可用模型概括为：
xt 1at 1
（3）如果当天的反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出 t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0 3 0 1 4 0 0 5 0 0
这种状况可用模型概括为：
xt 0 at 1at 1
（4）如果打针以后各个时刻都存在相应的反 应，那么，关于该刺激的总的概括为：