2021年高中数学第三章概率.3互斥事件教学案北师大版必修3

2021年高中数学第三章概率2.3互斥事件教学案北师大版必修3预习课本P138～146，思考并完成以下问题1．互斥事件(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，A n中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[点睛] (1)如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.(2)从集合的角度看，记事件A所含结果组成的集合为集合A，事件B所含结果组成的集合为集合B，事件A与事件B互斥，则集合A与集合B的交集是空集，如图所示．2．对立事件(1)定义：在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B 称作对立事件，事件A 的对立事件记为A －.(2)性质：P (A )＋P (A －)＝1，即P (A )＝1－P (A －)．[点睛] 两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对立事件一定是互斥事件．( )(2)A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．( )(3)若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )(4)事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶 解析：选C 连续射击两次的结果有四种：①两次都中靶；②两次都不中靶；③第一次中靶，第二次没有中靶；④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.3．抽查10件产品，记事件A 为“至少有2件次品”，则A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．解析：记事件A ＝“甲胜乙”，B ＝“甲、乙战平”，C ＝“甲不输”，则C ＝A ＋B ，而A ，B 是互斥事件，故P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：1－P (C )＝1－0.55＝0.45.答案：0.45互斥事件和对立事件的判断[典例] 事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[解] (1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[活学活用]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.互斥事件与对立事件概率公式的应用[典例0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中8环以下的概率．[解] “射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解．记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)法一：P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.法二：事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．[活学活用]在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；(2)小明考试及格．解：分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.互斥、对立事件与古典概型的综合应用[中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解] 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，法一：由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二：(1)故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．[活学活用]某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝520，P(B)＝320，P(C)＝420.(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D. 则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝520＋320＋420＝35.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则E为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，∴P(E)＝1－P(E)＝1－220＝910.[层级一学业水平达标]1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )A．至多做完三套练习题B．至多做完二套练习题C．至多做完四套练习题D．至少做完三套练习题解析：选B 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上说法都不对解析：选B 因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310 C.35D.910 解析：选D 记3个红球分别为a 1，a 2，a 3,2个白球分别为b 1，b 2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用A 表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A 表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A 包含的基本事件有1个：(a 1，a 2，a 3)，所以P (A )＝110.故P (A )＝1－P (A )＝1－110＝910. 4．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 解析：因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35， 所以P (A )＝25. 答案：25[层级二 应试能力达标]1．若P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 的关系是( )A ．互斥不对立B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上说法都不对答案：C2．若事件A 和B 是互斥事件，且P (A )＝0.1，则P (B )的取值范围是( )A ．[0,0.9]B ．[0.1,0.9]C ．(0,0.9]D ．[0,1]解析：选A 由于事件A 和B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋P (B )，又0≤P (A ∪B )≤1，所以0≤0.1＋P (B )≤1，又P (B )≥0，所以0≤P (B )≤0.9，故选A.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ＋B )＝( )A.12B.23C.56 D ．1解析：选B A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ＋B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P (A ＋B )＝46＝23. 4．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A.710B.35C.45D.110 解析：选B 这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的基本事件数是18个，而基本事件共有30个，所以所求的概率为1830＝35. 5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 解析：“出现奇数点”的概率为P (A )，“出现2点”的概率为P (B )，且事件A 与B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 答案：236．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：则在同一时期内，河流在这一处的最高水位不超过12 m 的概率为________．解析：法一：记“最高水位在[8,10)内”为事件A 1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A 2，记“最高水位不超过12 m”为事件A 3，由题意知，事件A 1，A 2彼此互斥，而事件A 3包含基本事件A 1，A 2，所以P (A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.2＋0.3＝0.5.法二：记“最高水位在[12,14)内”为事件B 1，记“最高水位不超过12 m”为事件B 2，由题意知，事件B 1和B 2互为对立事件，所以P (B 2)＝1－P (B 1)＝1－0.5＝0.5.答案：0.57．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ＋B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为1735. 答案：17358．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件．则(1)P (D )＝110. (2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．∴P (A )＝327＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 的对立事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．∴P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89. 即“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。