几个常用函数的导数(老师版)

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1.2.1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

[ 小组合作型]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数： 1 5 3 (1)y＝x ；(2)y＝x4；(3)y＝ x ；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
12
【精彩点拨】
首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将
函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
【自主解答】
(1)y′＝(x12)′＝12x11.
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝在(1,1)处的导数； 3 x (2)求函数 f(x)＝cos x
π 在 4，
2 处的导数． 2
1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－， 3 4 x 3 x 1 1 ∴f′(1)＝－＝－3. 3 3 1 (2)∵f′(x)＝－sin x， π π 2 ∴f′ 4 ＝－sin 4＝－ 2 .
原函数 f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
【答案】 0 αxα－1 cos x
导函数 f′(x)＝____________ f′(x)＝__________ 1 f′(x)＝xln a 1 f′(x)＝x
－sin x axln a ex
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′|x＝3＝－27； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
π t，∴v3＝cos
π 1 3＝2.
∴加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2 ．求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．

1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)

变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a

几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式

'
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ）（）
( )
方法总结：方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（）自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积）结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1）例1、求导数：（） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ）） x
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式

求导公式大全

求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。

2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件

【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应该如何处理？【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二导数的几何意义的应用【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就

新人教A版：1.2导数公式及运算法则

授课主题导数公式及运算法则教学目标1．掌握各基本初等函数的求导公式．2．能根据导数定义，求几个常用函数cy=，xy=，2xy=，xy1=的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学内容1.几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝12x2.基本初等函数的导数公式.原函数导函数y＝c y′＝0y＝x n(n∈R)y′＝nx n－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xy＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln ay＝e x y′＝e xy＝log a x(a>0，a≠1，x>0)y′＝1x ln ay＝ln x y′＝1x3.导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x )数乘的导数 [c f (x )] ′＝c f ′(x )（c 为常数）举例：(3x 2)′＝6x 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 举例：(x 3＋x 2)′＝3x 2＋2x 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 举例：(x 3－x 2)′＝3x 2－2x 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 举例：(x e x )′＝e x ＋x e x 两个函数的商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 举例：⎝⎛⎭⎫e xx ′＝x e x－exx 2题型一直接用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝1x 3； (2)y ＝3x 4；(3)y ＝2sin x 2cos x 2； (4)y ＝4ln x ＋ln 1x 3.解析：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4＝－3x 4. (2)y ′＝3x 4′＝x 43＝43x 13＝43x3.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x2′＝(sin x )′＝cos x . (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4ln x ＋ln 1x 3′＝⎣⎡⎦⎤ln ⎝⎛⎭⎫x 4·1x 3′＝(ln x )′＝1x. 点评：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝3x 2＝23x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导；y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，这样就可以直接使用余弦函数的求导公式求导．巩固求下列函数的导数：(1)y ＝x 12； (2)y ＝1x 4； (3)y ＝5x 3.解析：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5；(3)y ′＝5x 3′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.巩固设f (x )＝10x ，则f ′(1)＝__________.答案：10ln 10题型二利用所求导数解决简单几何问题例2 求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．解析：因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×138-＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13. 所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.点评：解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数为此点处的切线的斜率．巩固若曲线y ＝12x-在点12(,)a a-处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．解析：y ′＝3212x --，∴k ＝3212a --，切线方程是y －12a -＝ 3212a -- (x －a )．令x ＝0得y ＝1232a -；令y ＝0得x＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·1232a -＝18.解得a ＝64.故选A.答案：A题型三利用导数公式及运算法则求函数的导数例3 求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝(x 2＋3)(e x ＋ln x )； (3)y ＝xe xsin .解析：(1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x ＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x (3) y ′＝⎝⎛⎭⎫e xsin x ′＝(e x)′sin x －e x(sin x )′sin 2x ＝e xsin x －e xcos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 点评：(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f (x )的结构特征，若直接求导很繁琐，可以先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简整理，然后再套用公式求导．巩固求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－4x ＋5； (2)y ＝x 2tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：通过分析各函数解析式的结构特征，联系基本初等函数求导公式求解．解析：(1)y ′＝(x 4－3x 2－4x ＋5)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(4x )′＋5′＝4x 3－6x －4. (2)y ′＝(x 2tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x 2sin x cos x ′＝(x 2sin x )′cos x －x 2sin x (cos x )′cos 2x ＝(2x sin x ＋x 2cos x )cos x ＋x 2sin 2x cos 2x ＝x sin 2x ＋x 2cos 2x. (3)解法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋[(x ＋1)(x ＋2)](x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. (4)解法一 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2；解法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.题型四求曲线的切线方程例4 已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解析：(1)∵y ′＝2x ＋1，∴y ′|x ＝1＝3. ∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)，∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴的交点分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. ∴所求三角形面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎫1＋223＝12512. 巩固曲线y ＝3sin x 上的一点P 的横坐标为π3，则过P 点的曲线的切线方程为________．解析：因为y ′＝3cos x ，所以曲线过点P 的切线的斜率为k ＝3cos π3＝32，又切点的纵坐标为y ＝3sin π3＝332，所以切线方程为y －332＝32⎝⎛⎭⎫x －π3，即3x －2y ＋33－π＝0.答案：3x －2y ＋33－π＝0（导数公式）A 组1．下列各式正确的是( )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3x ln 3 答案：D2．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x答案：A3．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝0； ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于y ＝ln 2，y ′＝0，所以①错；对于y ＝1x 2，y ′＝(x －2)′＝－2x －3，所以y ′|x ＝3＝－233＝－227，所以②正确；对于y ＝2x ，y ′＝(2x )′＝2x ln 2，所以③正确；对于y ＝log 2x ，y ′＝1x ln 2，所以④正确．故选D.答案：DB 组一、选择题1．下列函数满足f (x )＝f ′(x )的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝0D ．f (x )＝1 答案：C2．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为3π4的点是( )A.⎝⎛⎭⎫π8，π28 B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫12，14 D.⎝⎛⎭⎫－12，14 答案：D 3．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：B4．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 答案：B 5．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3′＝34x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝7434x --，所以y ′|x ＝1＝－34，即曲线在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为－34.故选C.答案：C 二、填空题6．如果f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________.答案：17．求下列函数的导数：(1) (3x )′＝________；答案：2313x -(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 2′＝____________.答案：7525x --8．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1.所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .答案：1e三、解答题9．(1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数；(2)求函数y ＝ln x 在点Q (5，ln 5)处的导数．分析：先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值．解析：(1)∵y ＝a x ，∴y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a . (2)∵y ＝ln x ，∴y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.10. 已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解析：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，所以切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.（运算法则）A 组1．函数y ＝e x ln x 的导数是( )A.e xx B ．e x ln x C ．e xln x ＋e x x D.e x ln xx答案：C2．若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝______.解析：y ′＝αx α－1，则k ＝α，故切线方程y ＝αx 过点(1,2)解得α＝2. 答案：23．求下列函数的导数：(x ＋x 2)′＝________；(x ·sin x )′＝________；⎝⎛⎭⎫x 5＋sin x x ′＝________.答案：1＋2x ； sin x ＋x cos x ； 4x 5＋x cos x －sin xx 2B 组一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案：B2. 对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则( )A ．f (x )＝x 4－2B ．f (x )＝x 4＋2C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝－x 4 答案：A3．函数y ＝x 2ln x 的导数为( )A ．y ′＝2x ＋ln(e x )B ．y ′＝x ＋ln(e x 2)C ．y ′＝x ln(e x 2)D ．y ′＝2x ln(e x ) 解析：由导数的计算公式得y ′＝(x 2)′ln x ＋x 2(ln x )′＝2x ln x ＋x 2x＝x (2ln x ＋1)＝x (ln x 2＋1)＝x ln(e x 2)．故选C. 答案：C4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：设切点的横坐标为x 0，因为曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，所以y ′＝x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3(x 0＝－2舍去)，即切点的横坐标为3.故选A.答案：A5．下列求导式正确的是( )①(2x 3－cos x )′＝6x 2＋sin x ；②⎝⎛⎭⎫2－1x ′＝1x 2； ③[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)； ④⎝⎛⎭⎫1＋cos x x 2′＝2x (1＋cos x )＋x 2sin x x 4；⑤⎝⎛⎭⎫x 3sin x ′＝3x 2sin x －x 3cos xsin 2x；⑥(t an x )′＝1cos 2x.A ．①②③⑤B ．②④⑤⑥C ．①②⑤⑥D ．①②③④⑤⑥ 答案：C 二、填空题6．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)＝________________.答案：10ln 10＋1ln 107．若曲线y ＝a x 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析：依题意y ′＝2ax －1x ，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12.答案：128．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x －sin x ，令x ＝π3，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－2sin π3＝－3，所以f (x )＝－3sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝－3sin π6＋cos π6＝0. 答案：0 三、解答题9. 已知曲线y ＝x 3－2x －3在点P 处的切线与y ＝x ＋4平行，求切点的坐标．解析：设切点的横坐标为x 0，因为曲线y ＝x 3－2x －3在点P 处的切线斜率为1，所以y ′＝3x 20－2＝1，解得x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－4；当x 0＝－1时，y 0＝－2，所以切点坐标的(1，－4)或(－1，－2)． 10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ＋cos x ； (2)y ＝ln xx ＋1； (3)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (4)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x. 分析：对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．解析：(1)y ′＝(x 2sin x ＋cos x )′＝(x 2sin x )′＋(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －sin x .＝(2x －1)sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ＋1′＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＝1－ln x ＋1x (x ＋1)2＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2.(3)∵f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5，∴f ′(x )＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(4)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2(1＋x )1－x ＝41－x －2，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.。

高等数学导数公式大全

高等数学导数公式大全在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它反映了函数在某一点处的变化率。

导数公式则是求解导数的基本工具，熟练掌握这些公式对于学习和应用高等数学具有至关重要的意义。

下面，我们将详细介绍常见的导数公式。

一、基本函数的导数公式1、常数函数的导数若＼（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），则＼（f'（x) ＝ 0\）。

这意味着常数函数的图像是一条水平直线，其斜率始终为零，即变化率为零。

2、幂函数的导数对于＼（f(x) ＝ x^n\）（＼（n\）为实数），其导数为＼（f'（x) ＝ nx^｛n 1}＼）。

例如，＼（f(x) ＝ x^2\）的导数为＼（f'（x) ＝ 2x\）；＼（f(x) ＝x^3\）的导数为＼（f'（x) ＝ 3x^2\）。

3、指数函数的导数若＼（f(x) ＝ e^x\），则＼（f'（x) ＝ e^x\）。

＼（e\）是一个常数，约等于＼（271828\），＼（e^x\）的导数等于其本身，这是指数函数的一个重要特性。

若＼（f(x) ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝ a^x ＼ln a\）。

4、对数函数的导数若＼（f(x) ＝＼ln x\），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x}＼）。

若＼（f(x) ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）。

二、三角函数的导数公式1、＼（f(x) ＝＼sin x\），则＼（f'（x) ＝＼cos x\）。

2、＼（f(x) ＝＼cos x\），则＼（f'（x) ＝＼sin x\）。

3、＼（f(x) ＝＼tan x\），则＼（f'（x) ＝＼sec^2 x\）。

4、＼（f(x) ＝＼cot x\），则＼（f'（x) ＝＼csc^2 x\）。

16个基本导数公式详解

16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。

它描述了函数在给定点的变化率。

了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。

在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。

1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。

求导法则：常数的导数是0。

例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。

2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。

求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。

3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。

求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。

4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。

求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。

5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。

求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。

例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。

6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。

常用导数公式16个

常用导数公式16个导数可是数学里的一个很重要的工具，它能帮我们解决好多复杂的问题。

今天咱就来聊聊常用的 16 个导数公式。

先来说说最简单的常数函数的导数。

比如说，函数 f(x) = 5 ，这是个常数函数，它的导数是 0 。

你想啊，一个固定不变的数，它的变化率不就是 0 嘛。

再看看幂函数的导数。

比如 f(x) = x^n （n 为实数），它的导数就是n * x^(n - 1) 。

就拿 f(x) = x^2 来说，它的导数就是 2x 。

这就好像你跑步，速度就是位移对时间的导数，当你的位移和时间的关系是x^2 时，速度就是 2x ，是不是还挺好理解的。

还有指数函数的导数。

像 f(x) = e^x ，它的导数还是它本身 e^x 。

这就很神奇啦，e 这个数就是这么特别。

然后是对数函数的导数。

比如 f(x) = ln x ，它的导数就是 1 / x 。

给大家讲个我之前遇到的事儿。

有一次我给学生们讲这些导数公式，有个学生特别较真儿，一直问我为啥会是这样。

我就拿一个实际的例子给他解释。

比如说我们有个函数 f(x) = x^3 ，我们来看看它的导数。

想象一下一个立方体，它的体积 V = x^3 ，当 x 稍微变化一点，比如变成x + Δx ，体积的变化量ΔV 就可以通过计算(x + Δx)^3 - x^3 得到。

然后把ΔV 除以Δx ，再让Δx 趋近于 0 ，就能得到导数 3x^2 。

这个学生听完恍然大悟，我也特别有成就感。

接着说，正弦函数 f(x) = sin x 的导数是 cos x ，余弦函数 f(x) = cosx 的导数是 -sin x 。

还有一些复合函数的导数，这就得用到链式法则啦。

比如说 f(x) = sin(x^2) ，我们先把 x^2 看成一个整体 u ，那么 f(u) = sin u ，先对 sin u 求导得到 cos u ，再对 u = x^2 求导得到 2x ，最后相乘就是 2x cos(x^2) 。

高数常用求导公式24个

高数常用求导公式24个
摘要：
一、导数的基本概念与性质
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.导数的四则运算
二、常见函数的导数公式
1.幂函数
2.三角函数
3.指数函数与对数函数
4.反三角函数
5.复合函数
6.隐函数
7.参数方程
三、导数的应用
1.求极值
2.求最值
3.求曲率
4.求拐点
正文：
高等数学中的导数是微积分的基础，掌握导数的求解方法是解决高等数学
问题的关键。

本文将介绍24 个常用的高数求导公式，帮助大家更好地理解和掌握导数的相关知识。

首先，我们需要了解导数的基本概念和性质。

导数是描述一条曲线（即函数）在某一点处斜率的概念，它可以表示为函数在某一点的瞬时变化率。

导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。

导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算规则在求导过程中非常实用。

其次，我们要熟悉常见函数的导数公式。

这些公式包括幂函数、三角函数、指数函数与对数函数、反三角函数、复合函数、隐函数和参数方程等。

熟练掌握这些公式，可以帮助我们在求导过程中更加迅速地找到规律，简化计算过程。

最后，导数在实际问题中的应用也非常重要。

导数可以用来求解函数的极值、最值、曲率和拐点等问题。

通过求导，我们可以了解函数的局部最优点、临界点等信息，从而对函数的图形有更深入的理解。

总之，掌握这24 个常用的高数求导公式，能够帮助我们更好地理解导数的性质和应用，从而提高解决高等数学问题的能力。

人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二导数公式的应用命题角度1 求切线方程例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答

常见函数的导数表与归纳

常见函数的导数表与归纳在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。

对于常见的函数，它们的导数可以通过一些基本规则和公式进行求导。

本文将介绍常见函数的导数表，并对其中的规律进行归纳总结。

一、常数函数的导数常数函数表示为f(x) = C，其中C为常数。

对于常数函数，它的导数始终为0，即f'(x) = 0。

这是因为常数函数的斜率恒为0，没有变化。

二、幂函数的导数2.1 常数幂函数常数幂函数表示为f(x) = x^n，其中n为正整数。

对于常数幂函数的导数，可以通过幂函数的导数公式进行求导：f'(x) = n * x^(n-1)通过这个公式，我们可以推导出常见常数幂函数的导数：2.1.1 正整数幂数函数当n为正整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，它的导数为f'(x) = 2x。

类似地，对于f(x) =x^3，它的导数为f'(x) = 3x^2。

2.1.2 负整数幂数函数当n为负整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)但由于负整数的倒数是无限大，因此导数在定义域上并不连续。

例如，对于f(x) = x^(-1)，它的导数f'(x) = -x^(-2)，在x = 0处未定义。

2.2 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。

对于指数函数的导数，我们需要使用自然对数e以及指数函数的链式法则进行计算。

f'(x) = ln(a) * a^x例如，对于f(x) = 2^x，它的导数f'(x) = ln(2) * 2^x。

三、对数函数的导数对数函数可以分为自然对数函数和常用对数函数两种。

3.1 自然对数函数自然对数函数表示为f(x) = ln(x)，其中x>0。

对于自然对数函数的导数，可以直接使用导数的定义进行计算：f'(x) = 1/x例如，对于f(x) = ln(x)，它的导数f'(x) = 1/x。

1.2 导数的计算导学案(教师版)

§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一利用导数定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二利用导数公式求函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3；选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________．解析设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。

14个导数公式

14个导数公式导数是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点处的变化率。

在微积分中，导数有许多重要的公式和性质。

本文将介绍14个常用的导数公式，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、常数的导数公式对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，则其导数恒为0。

这是因为常数函数在任意一点的变化率为0，即斜率为0。

二、幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n为实数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

这个公式可以用来求解多项式函数的导数。

三、指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，则其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。

这个公式是指数函数求导的基本规律。

四、对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，则其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

这个公式是对数函数求导的基本规律。

五、三角函数的导数公式对于三角函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。

对于f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

这是三角函数求导的基本规律。

六、反三角函数的导数公式对于反三角函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)。

对于f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1 / √(1 - x^2)。

这些公式是反三角函数求导的基本规律。

七、双曲函数的导数公式对于双曲函数f(x) = sinh(x)，其导数为f'(x) = cosh(x)。

对于f(x) = cosh(x)，其导数为f'(x) = sinh(x)。

这是双曲函数求导的基本规律。

八、反双曲函数的导数公式对于反双曲函数f(x) = arcsinh(x)，其导数为f'(x) = 1 / √(x^2 + 1)。

人教版高中数学选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数

旧知回顾函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.00()();f x x f xyx x+∆-∆=∆∆lim.xyyx∆→∆'=∆（1）求增量（2）算比值（3）求极限新课导入我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.3.2 导数的计算导数的计算常见函数导数基本初等函数的导数公式导数运算法则3.2.1 几个常见函数的导数教学目标知识与能力（1）深刻理解导数的几何意义.（2）根据导数定义求基本函数的导数.过程与方法（1）通过分析实例，了解求导数的方法. （2）掌握几个基本函数的导数.情感态度与价值观根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式，更好的学习导数等概念.教学重难点重点难点根据导数定义求解导数方法.21y =c,y =x,y =x ,y =,y =x x 会根据导数的定义求五个函数的导数.知识要点根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c的导数.0lim .x ∆→''= y =f(x)=C,ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=C -C,=0ΔxΔy ∴f (x)=C =0Δx证明:概念理解若 y=c （如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.知识拓展公式1: C=0(C为常数)2. 函数y=f(x)=x 的导数 00lim lim 111x x δδ→→==='证明：Δyf(x +Δx)-f(x)∵==Δx Δx Δy ∴y Δx概念理解若 y=x（如图1.2–2）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究2,3,4y x y x y x===在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并根据导数定义，求它们的导数.2040608010012345678910111213141516171819202122xy=2x y=3x y=4x（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？2,3,4y x y x y x === 从图像上看，函数的导数分别表示这些直线的斜率.（2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢.（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？解：函数增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢.3. 函数y=f(x)= 的导数 2x 00lim lim x x δδ→→==22222'证明：Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x∵==Δx Δx Δxx +2x Δx +(Δx)-x =Δx=2x +ΔxΔy ∴y (2x +Δx)=2x.Δx ×概念理解 0510152025301234567891011系列2 若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x 的瞬时速度为2x. 2y x ='2y x =4. 函数y=f(x)= 的导数 1x证2'22δx→0δx→0明：Δy f(x +Δ'x)-f(x)x -(Δx)∵==Δx Δx x(x +Δx)Δx 1=-x +xΔxΔy11∴y =lim =lim (-)=-Δx x +xΔx x探究1画出函数y=的图像，x根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数图像及其导数发现，当x<0时，随着x 的增加，函数减少的越来越快；当x>0时，函数减少的越来越慢.'21y x =-1y x='x=1' 点（1，1）处的切线的斜率就是y |=-1,故斜率为-1，过点(1,1)的切线方程y =-x +2.5. 函数y=f(x)= 的导数x 'δx →0δx →0证明：Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x∵==Δx Δx Δx1=x +Δx +xΔy 11∴y =lim =lim =Δx x +Δx +x 2x知识拓展公式2: . )()(1Q n nx x n n ∈='- 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数. n Q ∈*n N ∈例 13(1) (x ) 2(2) 3x 3'21(x )=3x 解：（）2' (2)3x )=6x（课堂小结1.根据定义求常用函数的导数.21 ,,,, y c y x y x yx ====课堂小结2. 根据定义求导数的具体步骤（1）计算，并化简. y x ∆∆（2）观察当△x 趋近于0时，趋近于哪个定值.y x ∆∆（3）趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数.y x ∆∆3.认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换.(2007浙江文)32曲线y =x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是 .520x y +-=高考链接(2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导函数，则函数曲线在x=5处的切线的斜率为（）B1A. -B. 051C. D. 55随堂练习1..3'1f'(x)f(x)=x+2x+12f(-1)是的导函数，则的值是311,,111.y x x y y x ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解：联立方程组解得故交点为（，）求双曲线与抛物线交点处切线的夹角. 1y x =y x =2.211111,,1|1,(1,1)1;x y y x xk y y xk ='==-'∴==-==-双曲线故双曲线在交点处的切线斜率为121121,,21|,(1,1)21;2x y x y x k y y x k -='=='∴==== 抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为1212112tan |||| 3.111(1)2k k k k θ---===++-⋅arctan 3.θ∴=夹角由夹角公式：0||,()0,,1lim 1;x y x y x x xx y x x xy x ∆→=∆+∆-∴>===∆∆∆∴=∆当时则3.解：利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数.00()(),1,lim 1;x x y x x x y x x xy x∆→<∆-+∆--=-==-∆∆∆∴=-∆当时10.10x y x >⎧'∴=⎨-<⎩。

人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式

则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)．得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a，则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3，那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝－13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数．

常见函数的导数公式

1．常见函数的导数公式：10'=C C 为常数； 21)'(-=n n nxx Q n ∈； 3x x cos )'(sin =；4x x sin )'(cos -=； 5a a a x x ln )'(=；6x x e e =)'(； 7e x x a a log 1)'(log =； 8xx 1)'(ln =． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕx 在点x 处有导数u ′x =ϕ′x ,函数y =fu 在点x 的对应点u处有导数y ′u =f ′u ,则复合函数y =f ϕ x 在点x 处也有导数,且x u x u y y '''⋅= 或f ′x ϕ x =f ′u ϕ′x ．例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数.2： y =x x sin2．函数y =x 2cos x 的导数为 ;函数y =tanx 的导数为 ;2：求下列复合函数的导数：⑴32)2(x y -=；⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．32c bx ax y ++=4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线A ．不存在B ．存在,有且仅有一条C ．存在,有且恰有两条D ．存在,但条数不确定5．曲线3()2f x x x 在0P 处的切线平行于直线41y x ,则0P 点的坐标为A 、 1 , 0B 、 2 , 8C 、 1 , 0 和－1, －4D 、 2 , 8 和－1, －46．fx =ax 3+3x 2+2,若f ′－1=4,则a 的值等于 A.319 B.316 C.313 D.310 7．曲线22x y =在点1,2处的瞬时变化率为A 2B 4C 5D 68．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4,则点M 的坐标是A 1,3B -4,33C -1,3D 不确定9．物体按照st =3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 .10．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点1,－1处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y =31x 3+x 的切线中,倾斜角最小的切线,则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =31x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛38,2 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--328,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛320,313．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点0,1,且在x =1处的切线方程是y=x －2.求)(x f y =的解析式.14．求过点2,0且与曲线y =x 1相切的直线的方程.。

函数的导数和积分的基本公式

xa ' axa1
ax ' ax ln aa 0, a 1
ex ' ex
log a
x'
1 x ln
a
a
0, a
1
ln x' 1
x
sin x' cos x cos x' sin x
tan x' sec2 x
cot x' csc2 x
sec x' sec x tan x
反三角函数
sec x tan xdx sec x C
cscx cot xdx cscx C
（5） 1 dx arcsin x C
1 x2
（6）
x
1
dx a
ln
x
a
C
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
函数分类常量函数
幂函数指数函数对数函数
三角函数
基本初等函数求导公式导数公式（C）'=0（其中 C 为常数）
x
（3） axdx ax Ca 0, a 1 ，特别 exdx ex C ln a
（4） sin xdx cosx C
cosxdx sin x C
tan xdx ln cosx C sec2xdx tan x C
cot xdx ln sin x C csc2xdx cot x C
csc x' csc x cot x arcsin x' 1 1 x 1
1 x2
arccos x' 1 1 x 1
1 x2
arc
tan
x
'
1
1 x