投资学 第三章 资产组合选择理论 均值方差方法

无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线。 每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面又互不相交的曲线簇。 同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。 不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。 无差异曲线的位置越高，其上的投资组合带来的满意程度就越高。 无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。
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规则4 相关系数。两个随机变量间的协方差等于 这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的 标准差的积。 证券A与B的相关系数为 σ AB ρ AB σ Aσ B 相关系数总落在-1与+1之间，-1的值表明完全负 相关，+1的值表明完全正相关，多数情况是介于 这两个极端值之间。
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糖凯恩公司的股票情况分析
糖生产的正常年份 异常年份 股市的牛市 股市的熊市 糖的生产 危机 0.5 0.3 0.2 概率 -5 35 糖凯恩公司 1 收益率% 10 -25 贝斯特凯迪 25 收益率%
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小结
协方差对资产组合风险的影响：正的协方差提高 了资产组合的方差，而负的协方差降低了资产组 合的方差，它稳定资产组合的收益。 管理风险的办法：套期保值——购买和现有资产 负相关的资产，这种负相关使得套期保值的资产 具有降低风险的性质。 在资产组合中加入无风险资产是一种简单的风险 管理策略，套期保值策略是取代这种策略的强有 力的方法。
30 36.67 33.37
40.00 40.00 40.00
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16 14 12
预期收益
10 8 6 4 2 0 0 10 20 标准差 30 40 50
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问题 最小方差组合的权重为多少？
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规则5 由两个资产构成的组合的回报率是构 成资产组合的每个资产的回报率的加权平 均值，资产组合的构成比例为权重。
E(rp ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 ) E(rp ) w i E(ri ) i
1
n
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第三章 资产组合选择理论： 均值-方差方法
Portfolio Selection——— Mean-Variance Methodology
任课教师：钟 腾 对外经济贸易大学 金融学院
金融决策的核心问题是什么？ 不确定条件下（风险）收益与风险的权衡 trade off between risk and return
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规则6 方差分别为 1 与 2的两个资产以w1与 w2的权重构成一个资产组合的方差 p2 为，
2 2 2 p w12 12 w2 2 2w1w2 cov(r1 , r2 )
11 1n w1 2 T p w Vw ( w1 ,...wn ) w nn n n1
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规则7 当一个风险资产与一个无风险资产相 组合时，资产组合的标准差等于风险资产 的标准差乘以该资产组合投资于这部分资 产上的比例。
P w1
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Humanex问题
休曼埃克斯(Humanex)是一个非盈利组织， 它的大部分收入来源于捐赠的收益。 多年以前，贝斯特凯迪(Best Candy)公司的创 始人将巨额的贝斯特凯迪公司股票捐赠给休 曼埃克斯，并在捐赠条款中规定休曼埃克斯 永远不能出售这些股票。 现在这些股份占休曼埃克斯得到的捐赠的 50%，休曼埃克斯可以自由决定将资产组合 中的剩余部分投在什么地方。
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贝斯特凯迪公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来， 加勒比海糖产量下降时，糖的价格便猛涨，而贝斯特凯迪 公司便会遭到巨大的损失。下表为公司的股票价值变化情 况：
糖生产的正常年份 股市的牛市 概率 收益率% 股市的熊市 异常年份 糖的生产 危机
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情况2 两个风险资产
由下列两个风险资产构成的所有资产组合 的形状如何？ 举例
证券 A B 预期收益 5% 15% 标准差 20% 40%
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2 3 4 组合 1 w1 1.00 0.83 0.67 0.5 w2 0.00 0.17 0.33 0.5
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风险忍让与资产配置
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 风险资产分配y 1 1.2
效用值
系列1
定理，给定风险厌恶水平，最优风险资产配置； E (rP ) rf y 2 0.01 A P
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研究不确定性（风险）经济问题的三种 数学方法： 1. 效用函数分析法
缺乏实际的可操作性，因为完全刻画一个人 在所有状态下的效用是几乎不可能的
2. 均值—方差分析法
避免讨论具体的效用函数，灵活且操作性强。
3. 套利分析法——方法论的里程碑
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资本配置线(Capital Allocation Line)
斜率
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结论：由无风险资产和风险资产构成的任 何一种组合都将落在连接它们的直线上； 其在直线上的确切位置将取决于投资于这 两种资产的相对比例。该直线称为资本配 置线Capital Allocation Line，斜率（回报与 波动比）表示每增加一单位标准差上升的 风险溢价，或者表示单位额外风险的额外 收益。 问题：
s
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规则3 协方差是两个随机变量相互关系的一 种统计测度，即它测度两个随机变量，如 证券A和B的收益率之间的互动性。
AB cov(rA , rB ) E (rA E (rA ))( rB E (rB ))
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无差异曲线
无差异曲线为水平线，表示风险中性者，对投资风险的大小毫不 在意，他们只关心期望收益率的大小。 无差异曲线为垂直线，表示投资者只关心风险，风险越小越好， 对期望收益率毫不在意，是完全保守的投资者。 对风险厌恶者而言，风险越大，对风险的补偿要求越高，因此， 无差异曲线表现为一条向右凸的曲线。曲线越陡，投资者对风险 增加要求的收益补偿越高，投资者对风险的厌恶程度越强烈;曲线 越平坦，投资者的风险厌恶程度越弱。
为了提高捐赠在经营预算中的作用，休曼 埃克斯的董事聘请了刚刚毕业的工商管理 硕士沙里做咨询。在调查了糖和糖果业后， 沙里发现，在加勒比海发生糖危机的这些 年里，夏威夷的一个大的糖业公司糖凯恩 (SugarKane)公司获得了可观的利润，其股 票价格也大幅上扬，该公司的股票价格如 下:
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无差异曲线
A为风险厌恶水平
U E (r ) 0.005 A
70 60 50 40 30 20 10 0 0
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A=2 A=2 A=4 A=4
期望收益
10
20
30 标准差
40
50
60
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无差异曲线-特点

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规则1 在任何情况下，资产的平均或预期收 益就是其收益的概率加权平均值。
E (r ) Pr(s)r Байду номын сангаас s)
s
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规则2 资产收益率的方差（variance）是收 益率的离差平方的预期值。
2 Pr(s)[r ( s) E (r )]2
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资产组合中的数学
价格与回报率
对于单期投资而言，假设你在时间0（今天）以价 格S0购买一种资产，在时间1（明天）卖出这种资 产，得到收益S1。那么，你的投资回报率为 r=(S1-S0)/S0 。
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投资组合理论的基本思想：通过分散化的投 资来对冲掉一部分风险。 ——“Don’t put all eggs into one basket”
“for a given level of return to minimize the risk,
and for a given level of risk level to maximize the return” ——Markowitz
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若投资者效用函数为二次形式，风险资产 的期望收益率为22%，标准差为34%，无风 险资产的收益率为5%，若A=3，投资者应该 选择风险资产进行投资吗？
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已知投资者的效用函数为二次形式，若市 场中有1个风险资产组合p与一个无风险资 产。已知：E(rp)=15%,E(rf)=7%,p=22%,问要 让投资者效用最大时需要分配多少资产给 风险资产组合？
1. 如果投资在风险资产的比例大于1如何？ 2. 若借贷利率不同如何？ 3. 若投资者在风险资产的比例为负数呢？
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一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无 风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此 时，资本配置线就变成一条折线。
5 6 7 0.33 0.17 0.00 0.67 0.83 1.00
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组合
1
2
3
4
5
6
7
预期收益
标准差 下限=-1 上限=1 =0
5
6.7
8.3
10
11.7
13.3
15
20 20 20
10 23.33 17.94
0 10 20 26.67 30.00 33.33 18.81 22.36 27.60
0.5 25
0.3 10
0.2 -25
为了降低整个资产组合的风险，有人建议可以用剩余的资 产购买国库券，稳获5%的收益。也有人建议将剩余的50% 也投入到贝斯特凯迪公司的股票中，请计算剩余50%资金 投资于国库券与购买贝斯特凯迪公司的股票的风险溢价与 风险分别为多少？
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2个资产的例子
情况1 一个风险资产与一个无风险资产 若市场中有1个风险资产组合p与一个无风险资产。 已知：E(rp)=15%,E(rf)=7%,p=22% 问题，由这两个资产构成的投资组合图形是什么？
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实现方法： 收益——证券组合的期望回报 风险——证券组合的方差 风险和收益的权衡——求解二次规划
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第一节 证券收益与风险的度量 （均值与方差）
资产组合中的数学： 价格与回报率 期望收益率与标准差 协方差与相关系数
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协方差为正值表明证券的回报率倾向于向 同一方向变动。 一个负的协方差则表明证券与另一个证券 相背变动的倾向。 一个相对小的或者0值的协方差则表明两种 证券之间只有很小的互动关系或没有任何 互动关系。
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