高等传热学导热理论

高等传热学导热理论

参考书：高等传热学 贾力 方肇洪 钱兴华

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•G .E .M y e r s , A n a l y t i c a l M e t h o d s i n C o n d u c t i o n H e a t

T r a n s f e r ,1971,T K 124/Y M 1

•M .N .O z i s i k ,H e a t C o n d u c t i o n ,1980,(中译本)O 551.3/A 2

•俞昌铭，热传导及数值分析，1981，清华大学出版社， O 551.3/Y 2

•J .E .P a r r o t t ,A .D .S t u c k e s ,T h e r m a l C o n d u c t i o n o f S o l i d s ,1975, O 551.3/Y P 1 •U .G r i g u l l ,H .S a n d n e r , ,H e a t C o n d u c t i o n ,1984,Y K 124/Y G 3

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•V .C .A r p a c i ,C o n d u c t i o n H e a t T r a n s f e r ,1966,

•钱壬章等，传热分析与计算，高教出版社

•林瑞泰，热传导理论与方法，天津大学出版社

•屠传经等，热传导，浙江大学出版社

第一讲 导热规律及其数学描述

导热可发生在物体的各种状态：气态、固态和液态。描述传热规律最基本的规律是傅里叶导热定律：

1. F o u r i e r L a w :

dx

dt q λ-=

傅里叶定律适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题，但其表现形式上为已知热流方向的一维问题。用起来不方便。在已知温度场的情况，我们把傅里叶定律推广成向量形式：

n n t t q ∂∂-=∇-=λλ 其中∇叫n a b l a 算子，作用于温度叫温度梯度。n 为温度梯度单位方向向量。在

不同的坐标系中，∇有不同的表现形式，在直角坐标系中：

k z

j y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 傅里叶定律向量形式说明，热流密度方向与温度梯度方向相反。它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。

2．各向异性材料，导热系数张量；

许多物体的导热能力与方向有关，如木材。正确描述物体中一点的导热系数需采用二阶张量形式：

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ

在直角坐标系中各向异性物体的傅里叶定律表示为：

[]⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∇-=k z t j y t i x t t q z zy zx yz y yx xz xy x λλλλλλλλλλ

采用爱因斯坦求和约定，简记为：3,2,1,=∂∂-=j i e x t q i j

ij λ 由热力学第二定律可以证明：0)(,

2≥≠>=ii ij jj ii ji ij j i λλλλλλ,导热系

数张量是对称张量。 由张量理论知，必存在一个坐标系),,(ζηξ，使得导热系数张量可以表示成：

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=ζηξλλλλ000000

称坐标系),,(ζηξ的三个方向为导热系数张量主方向，),,(ζηξλλλ为主导热系数。导热系数张量主方向和主导热系数可以利用线性代数中的相似变换求出。 当我们采用导热系数张量主方向作为坐标系时，傅里叶定律表示成：

)(ζζηηξξζληλξλe t e t e t q ∂∂+∂∂+∂∂-=

从而简化计算。

当三个主导热系数相等时（叫球张量），傅里叶定律就转化为各向同性的形式。当导热系数张量确定后，主导热系数是唯一的，但导热系数张量主方向不一定唯一。如球张量对任一正交坐标系都是导热系数主方向。

傅里叶定律各向异性形式说明，热流密度方向与温度梯度方向不一定相反，可以有一个角度，这个角度受热力学第二定律的限制，热流密度方向必须朝向温度降低方向。它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向异或同性，多维空间，连续光滑介质，气、液、固三相的导热问题。

3．有限热传播速度下的傅里叶定律修正：

傅里叶定律暗含了热传播速度无穷大的假设，这是违反物理规律的。所以我们认为傅里叶定律仅仅是导热规律的一个近似。根据统计热力学，物体对热扰动表现出惯性和阻尼作用，使得热只能以有限的速度“C ”传播。称C 为第二声速。

02/τa C =。0τ有时间量纲，称为物体的弛豫时间，它反映导热系统趋于新的平衡状态的快慢程度。其数量级与物体粒子二次碰撞平均时间间隔相同。考虑了有限热传播速度下的傅里叶定律修正为： t q q C a ∇-=+∂∂λτ

2 热传播项 热流 热扩散

对稳态导热，热传播项消失，该式转化为原来的傅里叶定律。 )/(p C a ρλ=叫热扩散系数。

非稳态，一般a <

在深冷领域，温度接近绝对零度，物体性质发生很大的变化。有时传播项的影响不可忽略。如在1.4K 液氦中，C 约为19m /s ,此时需考虑传播项的影响，负责会造成较大误差。

在短时间高热负荷情况下，如强激光照射，热流变化非常剧烈，也此时需考虑热传播速度效应，才能得到正确的预测。

人们还从传热的微观机理出发对傅里叶定律进行种种修正，对理解物体的微观运动和物性预测很有帮助。这里就不再介绍。

4．导热微分方程：

对连续体，各向同性静止物体，在具有内热源Φ

（核反应，电加热或化学反应等）时，利用热力学第一定律和傅里叶定律，不考虑系统对外做功，不可压缩物体，无相变的情况下，可以得到如下导热微分方程：

()Φ+∇∙∇=∂∂ t t C p λτ

ρ 1－4－1 非稳态项 扩散项 源项

当λ为常数，式1－4－1变成：

p

C t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2 1－4－2 更一般地，考虑粘性流体流动状态下发生的传热有：

ηφττρ++++∙-∇=D DP q q q D Dh s r 1－4－3 h=e+P/ρ 1－4－4

ηφ叫耗散函数。

不同的坐标系，上面的公式有不同的表达。见贾书P 8－11。

虽然导热微分方程适用情况很广，有时使用并不方便，大家在应用时体会。

5．初值条件与边界条件