翻杯子问题

公务员考试行测数量关系中翻硬币问题核心解题公式

公务员录用考试行政职业能力测验考试数量关系中的数学运算部分的翻硬币问题、转身问题、拉灯问题、翻杯子问题等问题的核心解题公式进行了阐述，并通过2009年山西省公务员录用考试行政职业能力测验真题进行了实例说明。

翻硬币问题核心公式：

N（N必须为偶数）枚硬币，每次同时翻转其中N-1枚，至少需要N次才能使其完全改变状态。

当N为奇数时，每次同时翻转其中N-1枚，无论如何翻转都不能使其完全改变状态。

此公式同样适用于转身问题、拉灯问题、翻杯子问题等。

注：上述为华图名师魏华刚老师2009年山西省公务员考试冲刺讲义内容

实例：有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？【2 009年山西省公务员录用考试107题】

A.3次

B.4次

C.5次

D.几次也不能

【解析】7个杯子，即是奇数，每次翻转其中4个，则无论如何翻转也无法使其完全改变状态。

翻硬币问题新解

翻硬币问题坛上有人专门讨论过，其实主要考察逆向思维和整除的思想。结论通常是问完全改变状态的次数，所以共六枚每次翻转五枚就是翻转一枚（剩下的一枚）。

例一：有8个房间，有7个房间关着灯，如果每次同时拨动4个房间的开关，经过几次拨动，灯全部关上？

A.3次

B.4次

C.5次

D.几次也不能

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与房间数无关

7/(7-4)

不能整除，故几次也不行

例二：有6个学生都面向南站成一行，每次只能有5个学生向后转，则最少要做------次能使6个学生都面向北。

A.5

B.6

C.7

D.8

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6/(6-5)=5

例三：现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？

A.5次

B. 6次

C.7次 D8次

————————————————————————

6/(6-5)=5

例四：有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？

A.3次

B.4次

C.5次

D.几次也不能

————————————————————————

7/(7-4)

不能整除，故几次也不行

坛中原有总结，个人觉得不太对，但从中学习很多。不会链接，摘录部分，供参考！

翻硬币问题核心公式：

1. N（N必须为偶数）枚硬币，每次同时翻转其中N-1枚，至少需要N次才能使其完全改变状态。

2. 当N为奇数时，每次同时翻转其中N-1枚，无论如何翻转都不能使其完全改变状态。

3. 此公式同样适用于转身问题、拉灯问题、翻杯子问题等。

例子1：

49.现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？

A.5次

B. 6次

C.7次 D8次

【答案】B

【解析】注意解题思路，老施历来强调归纳法，此类题应避免枚举（100枚怎么办？）：

（1）每个硬币肯定都翻了奇数次；

（2）每次不动的那枚硬币肯定不同，否则原样翻回去会产生重复；（这意味机会均等，每枚硬币所翻次数必然相等）

所以，6个奇数则总次数为偶数，先排除A（25次）、C（35次）。B项6次×5＝30次，平均每个5次，符合条件。D项40次不能被6整除，排除。

例子2：

有7个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？

A.3次

B.4次

C.5次

D.几次也不能

【解析】假设每个杯子向上表示1，向下表示-1，则翻转前乘机是1，而题干每次翻转4个，乘机并不改变符号，所以无论如何也不会是-1。Ok！

所以，凡是杯子数是奇数，翻转数量是偶数的，是无论如何不会翻转成功的。

可是这也只是判断对于每次翻动的个数是总个数减一的情况使用的方案，那么对于偶数个杯子每次翻动偶数个(或奇数个)或者杯子数与每次翻动的个数都是奇数又该怎么办呢？我又

热火朝天地做起了试验。十枚硬币，我是足足摆弄了半天。下面我就把这类题的解题方法介绍给大家，以便共同探讨。

遇到翻杯子这类题目，首先要判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。如果是倍数关系，那么一定能把杯子口都翻过来，只要每次翻动不同的杯子就可以了；如果不是倍数关系（下

面只讨论杯子数[设为C]大于每次翻的个数[设为n]而小于两倍于每次翻的个数的情况），就要看总个数是偶数还是奇数。

当总个数是偶数，而且每次翻的个数又是总数减一，只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻……的方法就可以成功。但如果每次翻动奇数个，每次翻动的个数与总个数又不呈相差一的关系，那么第一步应该按照题目要求先翻动应翻动的个数n，然后第二步将剩下的(c-n)只翻下，再将第一步翻下的杯子中(2n-c)只再翻过来。第三步将（2n-c）/2只杯口与原来方向相同的杯子翻下，将[n-（2n-c）/2]即c/2只杯口与原来方向相反的杯子再翻过来。第四步将所有杯口与原来方向相同的杯子（刚好是n只）翻下即可完成。(其实，对于每次翻的个数是总数减一的问题也可以用此方法解决)。例如要将八只杯口朝上的杯子每次翻动五只，翻动几次后，使得杯口全部朝下的步骤如下：[（2n-c）/2=1，c/2=4]

对于总数和要翻的个数都是奇数或都是偶数时也只需要翻动三次即可把杯子全部翻过来。第一次按要求将要翻动的个数翻下。第二步先算出总个数与每次翻动个数的差再除以二的商，然后将与原来杯口方向相同的杯子翻动商个，方向相反的杯子翻动的个数是每次要翻动的个数与商的差个。第三步将所有杯口与原来方向相同的杯子（刚好是n只）翻下即可完成。例如将九只杯口朝上的杯子每次翻动五只，翻动几次后，使得杯口全部朝下的步骤如下：[（C-n）/2=2，n-2=3]