吉林大学《高等数学(一)》复习资料-姜作廉第二版

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高数一总复习资料

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第一章函数及其图形例1:().A. {x | x>3}B. {x | x<-2}C. {x |-2< x ≤1}D. {x | x ≤1}注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题的解题策略与技巧》,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。

例2:函数的定义域为().解:由于对数函数lnx 的定义域为x>0,同时由分母不能为零知lnx ≠ 0,即x≠1。

由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1 与同时成立,从而其定义域为,即应选C。

例3:下列各组函数中,表示相同函数的是()解: A 中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1 时,两函数取得不同的值。

B 中的函数是相同的。

因为对一切实数x 都成立,故应选B。

C 中的两个函数是不同的。

因为的定义域为x≠-1 ,而y=x 的定义域为(- ∞,+∞)。

D 中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为(- ∞,0)∪(0,+∞)和(0,+∞)。

例4:设解:在令t=cosx-1 ,得又因为-1≤cosx≤1,所以有-2 ≤cosx-1 ≤0,即-2 ≤t ≤0,从而有f(2)没有定义。

注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中例6:函数是()。

A.偶函数B .有界函数C .单调函数D.周期函数解:由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即(A)不正确。

由函数在x=0,1,2 点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数;该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。

,可得,从而有。

可见,对事实上,对任意的x,由于任意的x,有因此,所给函数是有界的,即应选择 B例 7:若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是( )。

A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数 D.奇偶性不确定解:因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ,故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ,可知 f(0)=0 。

吉林大学考试复习试题高等数学(一)

吉林大学考试复习试题高等数学(一)

A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量高等数学(一)机考复习题8. lim 3x ?sin xA.B.0.单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符—=(D 2xC? 22 D3合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题干后的括号 .) 9.设函数f(x)1,0 x,11 , ’,、一一,在x=1处间断是因为 3x 11. --------------------------------------- 函数 y= 1 x +arccos -----------------2 A. x<1 B.-3 < x< 1 2. 下列函数中为奇函数的是( 的定义域是(B C. (-3 , 1) D ) A.f(x )在x=1 处无定义B. lim f (x)不存在x 1D.(x|x<1} n (x|-3 < x< 1}C. lim x 1f (x )不存在 D. limf(x)不存在x 1A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) xD.y=%e10.设 f(x)= 3.设 f(x+2)=x 2-2x+3,则 f[f(2)]=(A.3B.0 3x _____ ___ J 的反函数是(C 3x 3 x 3 x 2DC.1 x, ln(1x x) x,则 f(x)在 x=0 处(BD. 2 4.y= 一2 A.y= 5.设 lim u n =a ,则当 n3x2 B.y= —x~ C.y=log3 2x 1 xD.y=log 1 x3 -------------2xn^8时,u n 与a 的差是( A A.无穷小量1 sin —, x 6.设 f(x)= x . 1x sin — ,x x B.任意小的正数C.常量D.给定的正数,则 lim f (x)=( xB.0C.1 1 . -, 一7.当 x 0 时^sin xcosx 是 x 的(AD.不存在A.可导11.设 y=2 cosx ,则 y=( A.2cosx ln2B.连续,但不可导 C )B.-2 cosx sinx2 1 ,12.设 f(x )=一^ (x1 x0),则f (x)=(C.不连续D.无定义C.2cosx (ln2)sinxD.-2 cosx-1 sinxA 1A.-2(1 x)2C.- 2,x(1D. 2「x(1 , x)21, 13.曲线y=在x3x 2 1处切线方程是(DA.3y-2x=514.设 y=f(x),x=eB.-3y+2x=5C.3y+2x=5七,则气=(D )dt 2D.3y+2x=-52 _A. x f (x)B. x 2f (x) + xf (x) C.xf(x) D. xf (x) +xf(x)A.-cos w +x+c 4B.-co — x 4 c C.xsin- 1 c4D. xsin- x415.设 y=lntg Vx ,贝U dy=(23. d(1 cosx) =( CA. dxtgq c sec 2 .x , C. ------------- dxtg . xD d(tg&)A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c16.下列函数中, 微分等于 dx x ln x 的是(B ) B. ? ln 2x+c C.ln(lnx)+c 17.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 A.xlnx+cD In x +c A.y=|x|,[-1,1]18.函数 y=sinx-x八2 A.- 2 B.y= 1,[1,2] C.y= 3. x 2,[-1,1] x 在区间[0 ,兀]上的最大值是( B.0 C.- Tt D. Tt D.y= x——2,[-2,2]1 x 2a24.aA.4 x 〔f(x)+f(-x) ao xf(x)dx〕dx=(aB.2x 〔f(x)+f(-x) 〕dx C.0 D.以上都不正确19. 下列曲线有水平渐近线的是 3 B.y=x x A.y=ex 20. e x de '=( B ) C.y=x 2 D.y=lnx .1 2x A.- e2 xB. - e 2C-x1 2 e 2c21 D. — e 421. 23xdx 1 23x A.- 3ln2 B.1 (ln2)2~ +c 33xC. 1 23x +c32 3xD.—In 222. (sin41)dx =( D )乂25.设 F(x)=一x a aA.0B.aC.af(a)26.下列积分中不能直接使用牛顿xf(t)dt ,其中f(t)是连续函数,贝U lim aF(x)=( C )1 A.- 01 27.设f(x)= A.328.当 x>—时,2B.;tgxdx 1xdxD. o4ctgxdxC.12x 1 x )x0 < ,则 1 21 1f(x)dx =(B )B.O2C.1D.2x( 2 sin tt )dt: =( C )B.sin x x+c Csin x 2 xD. sin x - x2 —+c( A )1, 2,0 D.不存在莱布尼兹公式的是 D )dxx eA.耍29.下列积分中不是广义积分的是(1A 2 _d^_ 0 (1x 2)2edx B. 1 x ln xC.dx 13xD. e xdx30.下列广义积分中收敛的是A. gSinxdxB.1dx八0 dxC. -------------12.1 xD. 0e x dxA.((x,y)|0< x< 1,0< y< 1}C.((x,y)|0< x< 1,-1 < y < 1} B.((x,y)|-1 < x< 1,0V y < 1}D.((x,y)|-1 < x< 1,-1 < y< 1}31.下列级数中发散的是 __ 、r - y I" z 36.设 z=(2x+y),则一 x (0,1)A.1B.2C.3D.0A.n n 1 1 (1)n 1 1B.1)n 1 1 (-n37.设 z=xy+,则 dz=( AC.1)n D.32.下列级数中绝对收敛的是 A.n (1)n1 B.1 n 、、n 1)n11n1A.(y+ _)dx y (x乌)dy y_ xB. (x — )dx (y y 1 )dy y c 1xx 、.,1 C. (y+ —)dx (x2)dyD. (x 2)dx (y-)dy yyyyyC.n (1)n3 In nD.1)n3n 238.过点(1 , -3 , A.x-3y+2z=0 2)且与xoz 平面平行的平面方程为 B.x=1 C.y=-3(C )D.z=233.设 lim u nn1 (— Un1 一) U n 1A.必收敛于B.敛散性不能判定C.必收敛于0D. 一定发散U 134.设备级数n a n (x 0 2)n在x=-2处绝对收敛,则此藉级数在 x=5 处 (C ) A.一定发散35.设函数z=f(x,y)的定义域为 D={(x,y)|0 < x< 1,0< y< 1},贝U 函数f(x2,y 3)的定义域为(B )B.一定条件收敛C. 一定绝对收敛D.敛散性不能判定39.dxdy=( C)C.2D.-20 x 1 1 y 1A.1B.-1 40. 微分方程A 过 f\.In10 41. 设函数 y 10x 10 y In10f (x -)y的通解是(D 10xc B.In10=x ?+二,贝 U D )10yc In10 f(x)= ( B C.10x +10y=c )2A. x xB. x 2-2x C. x 2+24 x D. 一B )42.在实数围,下列函数中为有界函数的是( A. e x B. 1+sinx C. lnxD.10x +10-y =c1 2~ xD. tanxIlm — ------ : ----------- (Cxx 1 、. x 21 B.2 C.1243. A. D.44.函数 f(x)= 1xsin — ,x x 0, ,在点x=0处 (D )A.极限不存在 C.可导B.极限存在但不连续 D.连续但不可导 45 .设f(x)为可导函数, f(x 0 x) f(x °)2 x 则 f (x o )A. 1B. 0C. 2A. F(x)B. f(x)C. F(x)+CD. f(x)+C52 .设 f(x)的一个原函数是 x,贝U f (x)cosxdx = ( A )A. slnx+CB. - slnx+CC. xslnx+cosx+CD. xslnx- cosx+C53.设 F(x)= 2A. xe x1texB.54.设广义积分t 2dt ,则 F (x)=2xe xC.1 心 ——发放,则 x B. <22xe xD.xe满足条件(AC. >146 .设 F(x)=f(x)+f(-A.奇函数 C.非奇非偶的函数 x), 且f (x)存在,则F (x)是(B.偶函数 D.不能判定其奇偶性的函数 55.设 z=cos(3y -A. sln(3y- x) 56 .函数 z=x - x),则—=(A ) xB. - sln(3y- x)C. 3sln(3y- x) y 2+2y+7 在驻点(0, 1)处( C A.取极大值B.取极小值C.无极值47 .设 y= ,贝U dy= C) D. - 3sln(3y- x))D.无法判断是否取极值 1 In x A. —2~ x 48.函数 y=2 | x | A.无定义 In x ~2— dx x -1在x=0处( B.不连续 B. 1 DC 可导 C. In x 1 2 x D. In x 1 -------2— dx x 49.下列四个函数中,在[-1, D.连续但不可导 1]上满足罗尔定理条件的是( B A. y=|x|+1 B. y=4x 2+1 C. y= xD. y=|slnx|__ x 3 50 .函数y=2ln^^ 3的水平渐近线方程是( C ) x A. y=2 B. y=1 C. y=- 3 D. y=0 51 .若 F (x) =f(x),贝U F (x)dx= ( C )57 .设 D={(x,y)|x > 0 , y > 0,x+y < 1}, 110< < ,贝U ( A ) A. |1>|2 B. |1<|2 58 .级数 (1)n 1A.发散 C. |1=|2 D. |1, 1 ___7n -的收敛性结论是(5(x y) dxdy, 12 (x y) dxdy ,DD|2之间不能比较大小B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判定一.…3n ...... ..................59 .器级数 ------- x n 的收敛半径 R= ( C )n1n 3 A. - B. 4C.-4360 .微分方程xy y In y 的通解是(A. e x +CB. e -x +CC. e C x 61.下列集合中为空集的是( D )- x一一- -22_A.{x|e =1}B.{0}C.{(x, y)|x +y =0}D. -x+CeD.{x| x 2+1=0,x € R}62.函数f(x)= %:x 2与g(x)=x 表示同一函数,则它们的定义域是( A. ,0 B. 0,C.D. 0,63.函数 f(x)= Isinx |,|x | 1 r , 1E 1 ,则 f( 0,|x| 1' 'A.0B.1 2C.——22D.- 一2168.设y e 及是无穷大量,贝U x 的变化过程是( B )A. xr 0+B. xr 0-C.有 + 8D. xr - OO69. 函数在一点附近有界是函数在该点有极限的(A.必要条件 C.充分必要条件 70. 定义域为[-1 , A.存在C.存在但不唯一71. 下列函数中在 A )B.充分条件 D.无关条件 1],值域为(-8, +8)的连续函数( BB.不存在D.在一定条件下存在x=0处不连续的是( B )64.设函数f(x)在[-a, a ] (a>0)上是偶函数, A.奇函数C.非奇非偶函数则 f(-x)在[-a, a ]上是( B )B 偶函数D.可能是奇函数,也可能是偶函数sin 2x 65. lim ——x 0x(x 2) A.1 B.0 C.8 D.266.设仰0(1 1mx)x m=(A. —B.2C.-22 x 2 ,x 67.设 1, xA.2B.oo1 22,则 l^f (x)D.C.1D.4sin x- ,x 0xsin — ,xA. f(x)=| x |B. f(x)= x1,x 00,x 0 e x,x 01八x cos — , x 0C. f(x)=.f(x)= x1,x 00,x 072.设 f(x)=e 2+x,则当△ xr 0 时,f(x+ △ x)-f(x) ( D ) A.A x B.e2+ △ x C.e 2D.0e x , x 0f(x) f(0)73.设函数 f(x)= ) ,贝U ——( Cx 21,xx 0x 0A.-1B.- 8C.+ 00D.1274.设总收益函数R(Q)=40Q-Q ,则当Q=15时的边际收益是(A.0B.10C.25D.37575.设函数 f(x)=x(x-1)(x-3),贝U f, (0)= A.0 B.1C.3D.3!(C )B)x 76.设 y=sin 3 3,贝U y 7 2 x 2 xA. 3sin —B.sin — 3 3 77.设 y=lnx ,则;、=( C A.(-1)n n!x -n C.(-1)n-1(n-1)!x -n C.3sin2 x x —cos —3A.cosxB.-sinx 79f (x)<0,x £ (a, b),是函数 A.充分条件C.充分必要条件80.函数 A.0 y=|x-1|+2 B.1 81.函数x y=2ln ----- x B. y=1 C. y=-3 2x x D.sin —cos — 3 3B.(-1) (n-1)!xD.(-1)n-1n!x -n+1cosx D. --------2x-2nD. 土)C84.设f(x)在(-8, +oo )上有连续的导数,则下面等式成立的是( 2、.A. xf (x )dx2、.B. xf (x )dxC.(2xf(x 2)dx) f(x 2) C;f(x 2) C2f(x 2)cosx C. -------2f(x)在(a, b)单调减少的(B.必要条件 D.无关条件B ) D.3 的极小值点是( C.2 3 - ...................................-3的水平渐近线方程为( C ) D. y=0D. 一 2xf (x 2)dxf(x 2)85.Insinxd(tgx)A. tgxlnsinx-x+C dxC. tgxlnsinx- ----------cosxB. tgxlnsinx+x+Cdx cosxA. y=2 82.设f(x)在[a, b ](a<b)上连续且单调减少,贝U f (x)在[a, b ]上的最大值是( A. f(a)B. f(b)r/a b —b 2a 、C.f^—)D.f^—)2 3dy 83. ---------- --- 2 (2y 3) A —1— C A. 3 w 6(2y 3)B —1— CB.^C6(2y 3)86.2x .dx (1x 3 B)A.-1 -3ln2B.- -1+3ln2C.1-3ln287.1 02tg(-x)dx (C )A. —ln 2 B 」ln 22 21 C- ln 21 .-D. ln 288.经过变换t 云,9r■- x . / ------ d x ( x 1D )4A.9tdt41 1B. 9 徂t4 t 1D. tgxlnsinx+D.1+3ln23C. -21—dl 1D. 3212 —dl 2 1 189.11 x exdx ( A )A .2eB.-2C.2ee D.-2e2 90.1dx ( A )x 1A.2B.1C.ooD.-391. 级数(i )y 的和等于(B ) A.5 B.— 5 C.5 D.— 53 392. 下列级数中,条件收敛的是(C )A . ( i )n 1(2)nB . ( i )n 1 一nn 13n 1 寸 n 2 2 C. ( 1)n1 1 D. n 1(1)n 1 13 n5n 393扉级数(1)n 1n1(xn 1)的收敛区间是(A)A. 0,2B. 1,1C. 2,0D.,94.点(一1 , —1, 1)在卜面哪 -曲面上 (D)22A. x yz22B.x y zC.x 2 y 2 1D.xy z295.设 f(u,v)=(u+v),贝U x f(xy,— ) =( B)yA.y 2(x〕)2B.x 2(y -)2C.x(y〕)21 2D.y(x —)2xyyx96.设 f(x,y) ln(x 当 2x ,则f y (1,0) ( A )A 〕 B.1C.2D.02297.设z2x 223xy y ,z 则一 ( B)X yA.6B.3C.— 2D.298.下列函数中为微分方程y y0的解的是(C)A x A. eB.- e xC.e xx xD. e + e99.卜列微分方程中可分离变量的是( B )y x 2 xB^y y xC .亲 k(x a)(y b)1,(k 0)□亲 sin y x100.设 D: 0 < xv 1,0 < y< 2,贝U 〔 y dxdy -( DA.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.设函数f(x)=x 4 2 --- ,x x k ,x 0在点x=0处连续,贝U k 等于(B )1108.交换二次积分dyXf(x,y)dyx 1A. dx0 y ,……f(x,y)dx 的积分次序,匕等于B. A. 0 B. 1C. dxx-f(x,y)dy■:' xD.1dx 0xx 2f(x,y)dy x 21dx f(x,y)dy 0C. 1D. 22 102. 设F(x)是f(x)的一个原函数,则/ e x f(ex )dx 等于(B ) A. F(e x )+c B. - F(e x )+c _ xxC. F(e)+cD. — F(e )+c103. 下列函数中在区间]-1 , 1]上满足罗尔中值定理条件的是 (C )109.若级数U n 收敛,记3= U i ,贝U( Bn 1i nA. lim S n 0 nC. lim S n 可能不存在 nB. lim S n S 存在 nD. {S n }为单调数列A . y=1 八 2 B. y=|x| C. y=1 - x D.y=x -1104. 设 f(t)dt =a 2x — a 2,f(x)为连续函数, 0 A. 2a 2x B. a 2x lna 105. 下列式子中正确的是( 1 A. e x dx—2xC. 2xa B f(x)等于(DD. 2a 2xlna110.对于微分方程y"+3y +2y=e 是(D )A. y =ae xC. y =axe x',利用待定系数法求其特解 y 时,下面特解设确的B. y =(ax+b)e x D. y =ax 2e x二.判断题(正确的在括弧里用 R 表示,错误的在括弧里用 F1 x2 e dx 0 B.e xdxx 2dx1 x2 e dx 01 X , C. e dx106.下列广义积分收敛的是 D.以上都不对A. cosxdx 1B. sinxdx 1C. ln xdxD.14dx x107.设 f(x)= e x 21 , g(x)=x 2,当 xr0 时(C A. f(x)是g(x)的高阶无穷小C. f(x)是g(x )的同阶但非等价无穷小B. f(x)是g(x)的低阶无穷小 D. f(x)与g(x)是等价无穷小表示。

《高等数学(一)》复习大纲

《高等数学(一)》复习大纲

《高等数学一》课程复习大纲与练习题第一章函数一、内容小结1.函数的概念(1)函数的定义(2)函数的表示法:公式法(解析法)、图像法和表格法2.函数的基本性质(1)有界性(2)单调性:函数的单调性一般与区间有关(3)奇偶性:偶函数的图像关于y轴对称,而奇函数的图像则是关于原点对称(4)周期性:周期函数的图像呈周期状,即在任意形如nnT+的区间上,函数的图像有相同的形状。

+x+x[T)1](,3.常用的函数类型(1)基本初等函数:常值函数:cy=;幂函数:μμ(y=为实常数);x指数函数:)1aay x;(≠,0>=a对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ;三角函数:x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======; 反三角函数:x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ==== (2)反函数 (3)复合函数(4)初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,并能用一个解析式(公式)表示的函数(5)分段函数:如果)(x f 在其定义域的不同的子区间内,其对应法则有着不同的初等函数表达式,则称)(x f 为分段函数。

二、常见题型1.求函数的自然定义域。

2.判断函数是否相等。

3.已知(x)u ,)(f y ϕ==u ,求复合函数(x))f(ϕ。

4.已知复合函数(x))f(ϕ的表达式,求f(u)或(x)u ϕ=的表达式。

5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

6.求函数的反函数。

7.从实际问题中列函数关系式。

第二章 极限与连续一、内容小结 1.有关定义 (1)数列 (2)数列的极限(3)级数 (4)级数的部分和 (5)级数的敛散 (6)函数的极限 (7)无穷小量 (8)无穷大量 (9)无穷小量的阶 (10)函数的连续性 (11)左连续 (12)右连续(13)函数在闭区间],[b a 上连续 (14)第一类间断点 (15)第二类间断点 2.数列极限的有关性质和结论(1)唯一性:若a a n n =∞→lim ,则极限值是唯一的。

《高等数学复习资料》第一章第一次

《高等数学复习资料》第一章第一次

X
f
Y f (X )
②【复合映射】
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z
定义
f g:X Z
且Y1 Y2
称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 :g ( X ) R g D f 不可少
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如,x y a .
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
函数y f ( x )的图形.
注意:
1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素: (1)集合 X,即定义域 Df = X; (2)集合 Y,即限制值域的变化范围; (3)对应规则f, 使每个x ∈X,有惟一确定 的y=f(x)与之时应.
2.映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不 要求原像也具有惟一性.
说明:
1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形,在不同的数学分支中, 映射又有不同的惯用名称: 泛函:从非空集合X 到数集Y 的映射;
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
几个特殊的函数举例
(1)绝对值函数
y
y x
x y x x
x0 x0
o
x
(2) 符号函数
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o

吉林大学出版社高职高专《高等数学》第01章

吉林大学出版社高职高专《高等数学》第01章
习惯上常用 x 表示自变量, y 表示因变量, 故常把 y f (x) 的反函数写作 y f 1(x) .
39
注: 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
若A B,A B =A,A B =B。
9
2)区间---9种类型的区间
设实数 a b,开区间 (a,b)={x | a x b},记作 (a,b). 数轴上表示点 a 与点b 之间的线段,但不包括端点 a 及端 点b. 闭区间[a,b] ={x | a x b},记作[a,b] . 在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段,包括两个端点.. 集合{x | a x b}记作 (a,b],称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ,称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间,数 b a 称为这些区间的长度.
46
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u 1v2
v x , x (, ) 2
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
称数集{x a x a }为点a的邻域 ,
记作U(a,),称点a为该邻域的中心 ,为该邻域的半径


a
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) {x 0 x a }
12
一、函数的定义
33
【例4】 f(x)=sinx和f(x)=cosx

高数(一)理论

高数(一)理论

第一讲函数、连续与极限一、理论要求二、题型与解法极限的求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor级数法(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)1、函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)2、极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3、连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1、导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程2、微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3、会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法第三讲不定积分与定积分一、理论要求二、题型与解法第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求二、题型与解法1、向量代数理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2、多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3、多元微分应用理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值4、空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离1、不定积分掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部)2、定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题(长、面、体)会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值第五讲多元函数的积分一、理论要求二、题型与解法2011年成考高等数学复习指导汇总(一)函数1、知识范围(1)函数的概念函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数(2)函数的性质单调性、奇偶性、有界性、周期性(3)反函数反函数的定义、反函数的图像(4)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2、要求(1)理解函数的概念,会求函数的表达式、定义域及函数值,会求分段函数的定义域、函数值,会作出简单的分段函数的图像。

高等数学(数一)知识重点及复习计划

高等数学(数一)知识重点及复习计划
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.
习题2-1:6,7,9,11,14,15,16,17,18,19,20
1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.
6.3
定积分在物理学上的应用(变力沿直线所做的功,水压力,引力) 习题6-3:1-12
总复习题六:1-6
第七章 微分方程(时间1周,每天2-3小时)
7.1
微分方程的基本概念(微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解)
习题7-1:1,2,3,4,5
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
1.2
数列极限的定义,数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )注:用定义证明极限不用看
习题1-2:1,4,5,6注:记住4,5,6的结论,不用证明
1.3
函数极限的定义与基本性质(极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等)注:用定义证明极限不用看
习题1-3:1,2,4

高数一全面复习总汇

高数一全面复习总汇

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)二、题型与解法A.极限的求法(1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)(3)变量替换法(4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求(6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor级数法(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-,求 解:20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.121)12(lim ->-+x xx x x (重要极限) 4.已知a 、b 为正常数,xx x x b a 30)2(lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解:令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换)6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f(洛必达与微积分性质)7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a解:令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x (连续性的概念)三、补充习题(作业)1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x (洛必达)2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- (洛必达或Taylor ) 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x (洛必达与微积分性质)第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定,求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定,求1|0==x dxdy解:两边微分得x=0时y x y y ==cos ',将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定,则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e (),在(==处切线的直角坐标方程。

高等数学(吉林大学出版社)第2.2节

高等数学(吉林大学出版社)第2.2节
§2.2 函数的极限 要求:理解函数极限概念
函数的极限比数列极限复杂,因为x ?有六种方式
一、当x 时函数的极限
观察 1 y 2 1 x 0 x
x
不论 x 还是 x , y 2,
所以函数极限存在,且
lim
x
2
1 x
2
再看 2 f x arctan x x
lim arctan x lim arctan x
其中 x x0表示自变量 x 从 x0 的左边无限趋近于x0; x x0表示自变量 x 从 x0 的右边无限趋近于x0 . 如下图:
定义2.5 (P21)设函数 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义,当x x0
时,若 f ( x) A确定常量,则称当 x x0 时,函数 f ( x)的极限
不论 x 还是 x , y 2,
即 lim f ( x) 2 lim f ( x) 所以 lim f ( x) 2
x
x
x
例2.3 观察下列函数的极限: 见P21
1lim 2x 3
x 3x 1
2lim x
x x

1lim 2x 3
x 3x 1
2+ 3 lim x
x 3 1
2 3
x
2 x
2
所以 lim arctan x 不存在 x
y 2
O
x
2
因为 x 和 x 时,y的趋势不一致.
定义2.3 见教材P20 已知函数 f ( x)当x 时有定义,当x 时,若 f ( x) A,
则称A为当 x 时函数的极限,
记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A x x
x1
x1
x1

新版吉林大学数学考研经验考研真题考研参考书

新版吉林大学数学考研经验考研真题考研参考书

考研已落下帷幕考研虽然已经结束好长时间,而它对于我来说,就像是昨天刚发生一样,清晰且深刻。

回首考研的这段经历,我收获了很多,也成长了许多。

开始基础复习的时候,是在网上找了一下教程视频,然后跟着教材进行学习,先是对基础知识进行了了解,在5月-7月的时候在基础上加深了理解,对于第二轮的复习,自己还根据课本讲义画了知识构架图,是自己更能一目了然的掌握知识点。

8月以后一直到临近考试的状态,开始认真的刷真题,并且对那些自己不熟悉的知识点反复的加深印象,这也是一个自我提升的过程。

考研一路走来,真的很辛苦,考研帮里学长学姐们分享的宝贵经验不仅能让我打起精神背水一战,还使我的复习有条不紊地进行。

初试成绩出来的这两天,酝酿了一下,我也想为将要参加下一届考研的的学弟学妹们写一篇文章,希望你们从复习的开始就运筹帷幄,明年的这个时候旗开得胜。

文章字数很多,大家有时间可以阅读,文末有真题和资料下载分享,谢谢大家。

吉林大学数学的初试科目为:(101)思想政治理论(201)英语一(646)数学分析和(850)空间解析几何与高等代数参考书目为:1.《数学分析》第一册,严子谦、尹景学、张然编,高等教育出版社,2004年5月出版2.《数学分析》第二册,马富明、高文杰编,高等教育出版社,2005年7月出版3.《解析几何》,尤承业编著,北京大学出版社,2004年1月出版4.《空间解析几何》,谢敬然、柯媛元主编,高等教育出版社,2013年5月出版5.《高等代数》,杜现昆、徐晓伟、马晶、孙晓松编,科学出版社,2017年8月出版6.先说英语吧。

7.词汇量曾经是我的一块心病,跟我英语水平差不多的同学,词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段,词汇量的重要性胜过四六级,尤其是一些熟词僻义,往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以,一旦你准备学习考研英语,词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

8.考研到底背多少个单词足够?按照大纲的要求,大概是5500多个。

吉林大学大一高数第四章第一节 中值定理

吉林大学大一高数第四章第一节 中值定理
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y
o
x0
x
0 0
费马 目录 上页 下页
证毕
返回 结束
罗尔( Rolle )定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f (x)
o
a
b x
在一点 ( 0 , ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
提示: 由结论可知, 只需证
即 设
f ( x ) sin x x
F ( x ) f ( x ) sin x
0
验证 F (x ) 在 [ 0 , ] 上满足罗尔定理条件.
机动
目录
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
柯西定理的几何意义:
弦的斜率

吉林大学出版社高职高专《高等数学》第04章

吉林大学出版社高职高专《高等数学》第04章
其中 x 1, 2 x 3 1 x 证明 令f(x ) 2 x (3 1 ),略。
x
30
典型例题选讲
例 1 利用函数的单调性证明不等式
1 1 x 2
1 x ,其中 x 0
证明 令 f (x) 1 1 x 1 x ,则
2
f (x) 1 22
1 .当 x
故 f (x) 在 [0,1] 上单调增加,因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点,即方程只有一
个实根. 综合可得,方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
有且只有一个实根. 32
教材P80 习题4-3 1、2、3、4
33
第四节 函数的极值及其求法
一、函数极值的定义 二、函数极值的判定及求法
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点

矛盾, 故假设不真!
5
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导;
则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比,拉格朗日中值定理中缺
函数的极大值与极小值统称函数的极值,函 数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点.
35
注意:(1)极值是指函数值,而极值点是指 自变量的值,两者不能混淆.
(2)函数的极值是局部性的,只是与极值 点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小, 这并不意味着它在函数的整个定义区间上是最 大或最小.故函数的极大值不一定比极小值大.
【例6】 lim 2 x
1
1
x
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《高等数学(一)》课程第二版
期末复习资料
《高等数学(一)》课程第二版(PPT)讲稿章节目录:
第1章函数
函数概念
初等函数
第2章极限与连续
数列的极限
习题课1
函数的极限
极限的运算法则
极限的存在准则两个重要极限
无穷小的比较
函数的连续性
习题课2
第3章导数与微分
导数的概念
函数的微分法
高阶导数
隐函数及参量函数的导数
函数的微分
习题课3
第4章微分中值定理及导数的应用
微分中值定理
洛必达法则
函数的单调性与极值
函数的最大值与最小值
曲线的凹凸性与拐点
函数图形的描绘
习题课4
(PPT讲稿文件共有10个。


一、客观部分:(单项选择)
(一)、单项选择部分
1.函数arcsin
=为()。

y x
(A)偶函数;(B)周期函数;(C)无界函数;(D)有界函数
★考核知识点: 函数的性质,
参见讲稿章节:
附1.1.1(考核知识点解释及答案):
函数的基本特性:
有界性:设函数f(x)的定义域为D,如果有0
∀,都有
x∈
>
M,使得对D。

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