微积分基本定理 课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本公式优秀课件
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
高二数学选修课件第章微积分基本定理
例题1
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
求函数$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$在$x=2$处的导数。
分析
本题主要考察导数的定义和求导法则。首先根据导数的定 义，求出函数在指定点的极限值，然后根据求导法则，求 出函数的导数表达式。
解答
首先求出函数在$x=2$处的极限值，然后根据求导法则， 求出函数的导数表达式为$f'(x) = 3x^2 - 4x$，将$x=2$ 代入得到$f'(2) = 4$。
综合运用典型例题分析
例题1
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$在$x = -1$处取得极值，且在$x = -2, -1, 0$处 的函数值分别为$-4, -2, 0$，求$a, b$的值及函数的单调区间。
分析
本题主要考察导数的应用、极值的判断和函数的单调性。首先根据极值的判断条件，求出 参数的值；然后根据导数的正负判断函数的单调性。
揭示了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即定 积分的值等于原函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理意义
为求解定积分提供了一种有效的方法，即通过求原函数 在积分区间上的增量来计算定积分的值。同时，该定理 也建立了微分学与积分学之间的桥梁，使得两者可以相 互转化和应用。
定理证明过程
01 构造辅助函数
的面积。两者在概念和计算上有所不同，但微积分基本定理将它们联系
在一起。
02
原函数与导函数
原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而导函数则是
一个函数的变化率。在微积分基本定理中，原函数与导函数的关系对于
理解和应用定理至关重要。
03
微分学与积分学
微分学主要研究函数的局部性质，如切线斜率、极值等；而积分学则研
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
微积分基本定理(说课课件)
教学活动
教学意图
启发学生观 察思考，激 起学生求知 欲
4、归纳总结，提高认识：微积分基本定理揭示了定积分和不 归纳总结，提高认识： 定积分之间的内在联系，把“ 定积分之间的内在联系，把“新问 题——定积分计算”转化为通过 ——定积分计算” “已 经熟悉的不定积分计算” 经熟悉的不定积分计算”来实现， 而且形式特别简洁明快，充分展示 了数学之美!向学生推荐文章《 了数学之美!向学生推荐文章《飞 5、布置作业 檐走壁之电影实现——微积分基本 檐走壁之电影实现——微积分基本 任务驱动 定理》 定理》 分为必做题和选做题
五、教法和学法
本次课教学采用多媒体教学和传统教学交叉进行的模式， 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展” 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展”的教学原则， 教学 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 教有 设计、学有方法、做有目标” 设计、学有方法、做有目标”。
四、教学设想
教学程序
一、复习提问： 复习提问： 1、定积分的定义
教学活动
教学意图
启发学生观察思 考，激起学生求 知欲
学生回答问题，引导学生 观察，利用定积分的定义，计 算积分值是很困难的，必须寻 n b ∫a f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi 求计算定积分的简便而有效的 λ→0 i=1 方法，为引入新课做准备。 为学习积分上限函数埋下伏笔
学法： 学法：
(1)观察分析： (1)观察分析：通过引导学生观察思考，化旧知为新知。如引 观察分析 入新课、积分上限函数定义的引入等。 (2)联想转化： (2)联想转化：学生通过类比、联想转化，体会知识间的联系 联想转化 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 (3)练习巩固： (3)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应 练习巩固 用情况，找出未掌握的内容及其差距。
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
第四章 定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
人教B版高中数学选修2-2第三章6《微积分基本定理》ppt课件
4) (cos x )' sin x
b sin xdx
a
-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x
b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ，由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)， 那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示 为
x3
'
3x2 ,
1
'
x
1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分学基本定理与定积分的计算课件
(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据
精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且
是 的一个原函数这一基本结论.
为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学
基本定理.
定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限
积分,故
证明:
（iiii) Newtom—leibnize公式（微积分基本公式）证明
令
令
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
则
微积分基本公式表明：
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.
例 求
解
分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11
2) 推论
证明:
因此证得
问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
二 换元积分法与分部积分法
定义
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念
2 变限上积分的性质
1) 连续性
定理9.9
证明:
证
定理9.10
2) 原函数存在定理(微积分学基本定理)
由积分中值定理得
注
（1）
（2）
(i) 解决了原函数的存在性问题
(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系
定理9.12
1 定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution)
则有定积分换元公式
证明：
说明
（1）
（2）
精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且
是 的一个原函数这一基本结论.
为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学
基本定理.
定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限
积分,故
证明:
（iiii) Newtom—leibnize公式（微积分基本公式）证明
令
令
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
则
微积分基本公式表明：
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.
例 求
解
分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11
2) 推论
证明:
因此证得
问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
二 换元积分法与分部积分法
定义
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念
2 变限上积分的性质
1) 连续性
定理9.9
证明:
证
定理9.10
2) 原函数存在定理(微积分学基本定理)
由积分中值定理得
注
（1）
（2）
(i) 解决了原函数的存在性问题
(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系
定理9.12
1 定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution)
则有定积分换元公式
证明：
说明
（1）
（2）
2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt
1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分 积分再求导 先 不定积分再求导 =本身 本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性 （可加性） ∫ g ( x )dx ， 可加性）
f ( x )dx ， （齐次性） 齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ． 线性性质） （线性性质 （线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值 推广的积分中值 Thm
上可积， 若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，
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∴当a=-1时，F(a)取得最小值1.
【想一想】(1)解答题1用到的思想方法是什么？ (2)解答题2的关键点是什么？ 提示：(1)解答题1是利用待定系数法求函数的解析式，其实质 是方程思想的应用. (2)关键是通过求定积分构造出关于a的函数F(a).
分类讨论思想在分段函数积分中的应用
【典例】(12分)已知f(x)=
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)
在解答过程中，若忽视积分下限k≤3这一隐含条件，即
①
漏掉①处对两种情况的讨论，而直接得到第(2)种情况， 虽然结果正确，但是解析不完整，实际考试中最多给5分，
失 是考试中常出现的失分点.
分 在解答过程中，虽然分①的两种情况讨论，但求被积函
2
∴
2 1
x
2
dx
(
1 2
x
2
2x)
|12
=( 1×22+2×2)-( ×1 12+2×1)= .7
2
2
2
(2)∵(x2)′=2x,( )′=1 - ， 1
x
x2
∴
3 1
(2x
1 x2
)dx
3
2xdx
1
31 1 x2 dx
=x2
3 1
1 x
3 1
9 1 .(1
3
1)
22 3
(3)∵[ 1 x]′=1(6x-1)5，
2.
2
1
cosx
dx
=_______.
2
【解析】∵(x+sinx)′=1+cosx,
∴
2
1
co=sx
dx
2
答案：π+2
=xπ+sin2x.
2
2
b
a
f
x
dx
3.
1
0
x
2
x
dx
=______.
【解析】∵ (1 x3 =1xx22-)x ,
32
∴
1 0
x2 x
dx
(1=x3
3
.
1 2
x2
)
4
a 2
a
25 2
,
3＜a＜4,
7a
7 2
,
a
3.
(2) 2 1 sin2xdx 0
= 2 sinx cosx2 dx 0
=
2 sinx cosx dx
0
=
4 cosx sinx dx
0
2
sinx
cosx
dx
=sinx cosx
4
4 0
cosx
sinx
2
4
=2 2-2.
【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点. 提示：(1)求分段函数的定积分的关键是利用定积分的性质将 其表示为几段积分和的形式. (2)对于含绝对值的解析式，注意先根据绝对值的意义找到分 界点，去掉绝对值符号，化为分段函数；含有字母参数的绝对 值问题，要注意分类讨论.
1
0
f
x
dx
1 0
kx
b
dx
=
(1 2
kx 2
=bx)k|10+b12 =5，
1xf xdx 0
1 0
kx2 bx
dx
=(1kk+x3
3
b1=bx
2
2，) |10
1 3
1 17 26
解方程组
1 2
k
1 3
k
b
1 2
5，
得k=4,b=3，
b 17， 6
∴f(x)=4x+3.
答案：f(x)=4x+3
微积分基本定理
微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
(1)条件：函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且_F_′__(_x_)_=_f_(_x_).
(2)结论：ab f xdx =_F_(_b_)_-_F_(_a_)_. (3)符号表示：ab f xdx Fx |ab =_F_(_b_)_-_F_(_a_).
∴ 1 x3 ax =3a b dx 1 x3 ax dx 1 3a bdx
1
1
1
=0 3a b= x0+|1(13a-b)[1-(-1)]
=6a-2b，……………………………………………………4分
∴6a-2b=2a+6，即2a-b=3.①…………………………… 6分
警 ② 数的原函数出错，即不能正确地得到②处的式子，实际
示 考试中，此种情况最多给4分,这是最可惜的失分现象.
在解答过程中，若漏掉③处的总结，则虽然不是错误， ③ 但解析过程不完整，实际考试中此种情况一般给10分，
这是考试中最不该失分的地方.
解 (1)解题时切记分类讨论思想的应用. 题 (2)求被积函数的原函数是解题的关键步骤，对于基本初
可用a,b表示，进而得到关于a,b的两个方程.
(2)利用微积分基本定理求两个定积分时，应注意什么？
1
注意到g(x)=x3+ax为奇函数，进而求1
x3
ax 3a时 b，d结x 合定
积分的性质可以很容易求出.
【规范答题】∵g(x)=x3+ax为奇函数，
∴
1
1
x3 =ax0，dx…………………………………………2分
2.正确认识
b
a
f
x
dx
， b a
f
x
dx
与
|
b
a
f
x
dx
|
不同的几何意义
b
a
f
x
dx
表示x轴，直线x=a,x=b及曲线y=f(x)所围成 图形面积的代数和，可正、可负、可零.
b
a
f
x
dx
表示区间[a,b]上以|f(x)|为曲边的曲边 梯形的面积.
|
b
a
f
x
dx
|
表示
b
a
f
x
dx的绝对值.
【典例训练】（建议教师以第3题为例重点讲解）
(2)利用微积分基本定理求定积分ab f xdx的关键是找出被积函
数f(x)的一个原函数F(x)，通常我们运用基本初等函数的求导 公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)，因此可见 求导运算与求原函数运算互为逆运算.(关键词：互逆运算)
求简单函数的定积分 【技法点拨】
利用微积分基本定理求简单函数的定积分的注意点和步骤 (1)注意点：当被积函数的原函数不易求解时，可将被积函数 适当变形后再求解.具体的方法是能化简的化简，不能化简的 变为指数函数、对数函数、幂函数、正余弦函数的和或差的形 式.(关键点：适当变形)
(2)步骤： 第一步：求出f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算F(b)-F(a).
【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）
1. 2 2x2 x 1dx的值为(
1
x
(A)1+ln2
) (B)2+ln2
(C)3+ln2
(D)4+ln2
2.计算下列定积分：
(1)
2x 1
2dx；
(2)
x3
)
3 2
=(22+2)-(k2+k)+(31+ ×33)-(2+1 ×23)
3
3
= 40 k2 k， …40…………………………………… 8分
3
3
∴k2+k=0，
解得k=0或k=-1， ………………………………………… 10
分
综上所述，k=0或k=-1③. ………………………………… 12
分
定积分的综合应用 【技法点拨】
定积分综合应用的认识 利用定积分求平面区域面积的方法广泛应用于求不规则图形的 面积，这种题型往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识 相结合.应用时要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这 两类问题区分开.定积分是一种和的极限，可以为正，也可以 为负或零，而平面图形的面积总为正.(关键词：定积分计算与 平面图形的面积)
3 1
(2x
1 x2
)dx；
(3)
2x 15 dx ； 1
(4)
2 sin2
x
dx .
0
2
【解析】1.选D.∵f(x)= 2x2 x 1 ，2x取F1(x1)=x2+x+lnx，则
x
x
F′(x)=2x+1+ ，
1
x
∴
2 2x2 x 1dx
1
x
=x 24+xln 2ln.x
|12
2.(1)∵[ 1+x22 x]′=x+2，
2
3x
F2
, x
1 2
x2
3x
则F1＇(x)=-x-3,F2＇(x)=x+3，
0 x =3 dx 4
(
1 2
x2
3x)|34
（ 1 2
x2
3x）|03
=
1 2
9
2=5.
3.(1)①当-a≤-4即a≥4时，
3 x a dx
4
3 x
4
a dx
( x2 2
ax) |34
= 7a ;7
2
②当-4＜-a＜3即-3＜a＜4时，
0
0
12
= ( x2
2
x)
1 0
x3 6
2
1 2
1.
23 6