非参数统计讲义三--两样本检验
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i 1
T
X Y
~ t(n m 2)
1 n
1 m
Sw
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
T 150.1149.9 (8 9 2) 0.2 1080 0.1702 66.88 20.89 1/ 8 1/ 9 87.77 17
对 0.05 查表得
t (n1 n2 2) t0.025(15) 2.1315 2
H0 : 1 2 H1 : 1 2 H0 :1 2 H1 :1 2
Brown-Mood 中位数检验
Mann-Whitney 秩和检验。
Mood检验
Moses方法
两个样本检验
两个独立样本
两个成对相关样本
MINITAB非参数统计界面与功能
两个独立样本检验
Brown-Mood中位数检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
X Y
U
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U u
2
U u
U u
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
N(0,1)
mnt(m n t) /(m n)3
另外可求得 Mx My 置信区间：
[Xtc'1 Yc' , Xtc Yc1]
其中c和c’满足： Phyper (A c) Phyper (A c ')
大样本卡方分布近似
2 (2a m)2 (m n) , df 1
mn
2 (ad cb)2 (m n 1) , df 1
统计思想：用于检验两个总体抽取的样本的中位数 是否相同。
Brown-Mood中位数检验
样本来自两个相互独立总体。
假设(X1, X2, … ,Xn)~i.i.d.F(x ) ， (Y1, Y2, … ,Yn)~i.i.d.F(x - )
H0 : medx medy H1 : medx medy
检验基本内容
H0
Mx My
Mx My Mx My
H1
Mx My Mx My Mx My
检验统计量
P-值
A
PH0 (A a)
PH0 (A a)
A
A
2 min(PH0 (A a), PH0 (A a))
对于水平 ，如果p-值小于
，那么拒绝零假设
P（A
2）＝
C C1 8-1 9 16-9 C186
原理：在零假设成立时，如果数据有相同中位数，那么 混合样本的中位数应该和混合前的项等。
计算和例子
首先将两个样本混合，找出混合样本中位数M xy ，将X和 Y按照在 M xy 两侧分类计数，即：
XY
总和
Mxy A B
t
Mxy C D (m n) (A B)
总和 m n m n A B C D
两个正态总体的假设检验
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两总体X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
关于均值差 1 – 2 的检验
在给定m，n和t的时候，在零假设成立时,A的分布服从超
几何分布：
mn
( )( )
P(A k)
k tk mn
,k m
()
t
当A值太大时，考虑拒绝零假设。
HYPGEOMDIST(a,m,a+b,m+n)
例：全国30个省人均GDP，中位数4690，检验 沿海省X与非沿海省Y的中位数是否有差异？
观测值大于ME 观测值大于ME 总和
拒绝域为 W {| T | t /2 (15)} {| T | 2.1315}
T 0.1702W
所以应接受H 0.
两样本位置和尺度检验
假设样本： (X1, X2, … ,Xn)~i.i.d.F1
x
1
1
(Y1, Y2, … ,Yn)~i.i.d.F2
x
2
2
样本之间相互独立，1, 2 为位置参数，1, 2 称为尺 度参数。
甲：150， 145， 152， 155， 148， 151， 152， 148
乙：152， 150， 148， 152， 150， 150， 148， 151， 148
假定甲、乙两机床截下的长度方差相等，问 长度的期望值是否一样？
解 设甲床截下的长度为X；乙床截下
的长度为Y，由假定知21=22=2 检验假设 H0 1 2 v.s.H1 1 2
+
C C2 8-2 9 16-9 C186
＝0.02028
HYPGEOMDIST(2,9,8,16)=0.01958
HYPGEOMDIST(1,9,8,16)=0.00699 拒绝H0，认为两品牌的价格有显著差异
大样本检验
对于大样本情况下，可以使用超几何分布 的正态近似进行检验：
Z
A mt /(m n)
x 1 (150 145 L 148) 150.125 150.1 8
8
( Xi X )2 (150 150.1)2 (145 150.1)2 L (148 150.1)2
i 1
66.88
Y 1 (152 150 148) 149.889 149.9 9
9
(Yi Y )2 (152 149 .9)2 (150 149 .9)2 (148 149 .9)2 20.89
X样本 A=11 1 M=12
Y样本 B=4 14 N=18
总和 A+B=15
15 M+N=30
从M+N=30个中抽出A+B=15个，成功A=11个,M=12,N=18
P（A
1）＝
C112C1184 C15
30
＝
C1121C148 C15
30
P(A=11)=0.000236724 拒绝H0，认为沿海省与非沿海省的中位数有显著差异。
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
wk.baidu.com
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
例8－8 从两台切断机所截下的坯料（长度 按正态分布）中，分别抽取８个和９个产品， 测得长度如下（单位：mm）：
T
X Y
~ t(n m 2)
1 n
1 m
Sw
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
T 150.1149.9 (8 9 2) 0.2 1080 0.1702 66.88 20.89 1/ 8 1/ 9 87.77 17
对 0.05 查表得
t (n1 n2 2) t0.025(15) 2.1315 2
H0 : 1 2 H1 : 1 2 H0 :1 2 H1 :1 2
Brown-Mood 中位数检验
Mann-Whitney 秩和检验。
Mood检验
Moses方法
两个样本检验
两个独立样本
两个成对相关样本
MINITAB非参数统计界面与功能
两个独立样本检验
Brown-Mood中位数检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 < 1 – 2 1 – 2 >
X Y
U
2 1
2 2
nm
~ N (0,1)
( 12，22 已知)
U u
2
U u
U u
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
N(0,1)
mnt(m n t) /(m n)3
另外可求得 Mx My 置信区间：
[Xtc'1 Yc' , Xtc Yc1]
其中c和c’满足： Phyper (A c) Phyper (A c ')
大样本卡方分布近似
2 (2a m)2 (m n) , df 1
mn
2 (ad cb)2 (m n 1) , df 1
统计思想：用于检验两个总体抽取的样本的中位数 是否相同。
Brown-Mood中位数检验
样本来自两个相互独立总体。
假设(X1, X2, … ,Xn)~i.i.d.F(x ) ， (Y1, Y2, … ,Yn)~i.i.d.F(x - )
H0 : medx medy H1 : medx medy
检验基本内容
H0
Mx My
Mx My Mx My
H1
Mx My Mx My Mx My
检验统计量
P-值
A
PH0 (A a)
PH0 (A a)
A
A
2 min(PH0 (A a), PH0 (A a))
对于水平 ，如果p-值小于
，那么拒绝零假设
P（A
2）＝
C C1 8-1 9 16-9 C186
原理：在零假设成立时，如果数据有相同中位数，那么 混合样本的中位数应该和混合前的项等。
计算和例子
首先将两个样本混合，找出混合样本中位数M xy ，将X和 Y按照在 M xy 两侧分类计数，即：
XY
总和
Mxy A B
t
Mxy C D (m n) (A B)
总和 m n m n A B C D
两个正态总体的假设检验
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 )
两总体X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
关于均值差 1 – 2 的检验
在给定m，n和t的时候，在零假设成立时,A的分布服从超
几何分布：
mn
( )( )
P(A k)
k tk mn
,k m
()
t
当A值太大时，考虑拒绝零假设。
HYPGEOMDIST(a,m,a+b,m+n)
例：全国30个省人均GDP，中位数4690，检验 沿海省X与非沿海省Y的中位数是否有差异？
观测值大于ME 观测值大于ME 总和
拒绝域为 W {| T | t /2 (15)} {| T | 2.1315}
T 0.1702W
所以应接受H 0.
两样本位置和尺度检验
假设样本： (X1, X2, … ,Xn)~i.i.d.F1
x
1
1
(Y1, Y2, … ,Yn)~i.i.d.F2
x
2
2
样本之间相互独立，1, 2 为位置参数，1, 2 称为尺 度参数。
甲：150， 145， 152， 155， 148， 151， 152， 148
乙：152， 150， 148， 152， 150， 150， 148， 151， 148
假定甲、乙两机床截下的长度方差相等，问 长度的期望值是否一样？
解 设甲床截下的长度为X；乙床截下
的长度为Y，由假定知21=22=2 检验假设 H0 1 2 v.s.H1 1 2
+
C C2 8-2 9 16-9 C186
＝0.02028
HYPGEOMDIST(2,9,8,16)=0.01958
HYPGEOMDIST(1,9,8,16)=0.00699 拒绝H0，认为两品牌的价格有显著差异
大样本检验
对于大样本情况下，可以使用超几何分布 的正态近似进行检验：
Z
A mt /(m n)
x 1 (150 145 L 148) 150.125 150.1 8
8
( Xi X )2 (150 150.1)2 (145 150.1)2 L (148 150.1)2
i 1
66.88
Y 1 (152 150 148) 149.889 149.9 9
9
(Yi Y )2 (152 149 .9)2 (150 149 .9)2 (148 149 .9)2 20.89
X样本 A=11 1 M=12
Y样本 B=4 14 N=18
总和 A+B=15
15 M+N=30
从M+N=30个中抽出A+B=15个，成功A=11个,M=12,N=18
P（A
1）＝
C112C1184 C15
30
＝
C1121C148 C15
30
P(A=11)=0.000236724 拒绝H0，认为沿海省与非沿海省的中位数有显著差异。
H0为真时的分布
1 – 2 = 1 – 2 1 – 2 1 – 2 <
T X Y
1 n
1S m
w
~ T (n m 2)
wk.baidu.com
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >
12, 22未知
12
=
2 2
T t
其中
Sw
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
例8－8 从两台切断机所截下的坯料（长度 按正态分布）中，分别抽取８个和９个产品， 测得长度如下（单位：mm）：