判断三角形形状
判断三角形形状
判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。
注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。
专题61 化边为角法判断三角形的形状(解析版)
专题61 化边为角法判断三角形的形状一、单选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos c a B =⋅，则ABC 的形状一定为（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化边为角，整理可得in 0()s A B -=，即可判断. 【详解】由正弦定理知2sin c R C =⋅，2sin a R A =⋅，∴sin 2sin cos sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =⋅=+=⋅+⋅， ∴sin cos cos sin A B A B ⋅=⋅，即in 0()s A B -=，又0()A π∈，、0()B π∈，，∴A B =，故ABC 为等腰三角形. 故选：B.2．在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B=，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【分析】由已知条件，结合正弦定理得sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，即可知正确选项.【详解】由22sin cos cos sin a A Bb A B=知：22sin cos sin sin cos sin =A B A A B B ，即sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =，即22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2A B π+=，故选：D3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos c bA c--=，则ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】B 【分析】先由正弦定理，以及题中条件，将原式化为1sin si c 1n os BCA -=-，得出sin cos 0A C =，即可判断出结果. 【详解】 又1cos c b A c --=得1cos 1bA c-=-， 根据正弦定理，得到sin cos sin BA C=，则sin cos sin B A C =， 所以()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=， 则sin cos 0A C =，又角A ，B ，C 为三角形内角， 所以cos 0C =，因此2C π=，即ABC 为直角三角形.故选：B.4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos cC B b=，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【答案】A 【分析】 由cos cos cC B b=，利用正弦定理化边为角，再由两角差的正弦求解. 【详解】 由cos cos cC B b=， 利用正弦定理可得：sin cos cos sin 0B C B C -=， 则sin()0B C -=，B C ππ-<-<，0B C ∴-=，即B C =.ABC ∴一定是等腰三角形.故选：A5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B 【分析】利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，cos cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.6．在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若cos cos a b A B =且()223sin 2cos sin 2A CB -=-，则这个三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【答案】C 【分析】利用正弦定理和题中所给的条件，得到tan tan A B =，于是2C A π=-，代入题中所给的式子，化简可求得角C ，从而判断出三角形的形状. 【详解】因为cos cos a b A B =，sin sin a bA B=，所以tan tan A B =，所以A B =， 所以2C A π=-， 因为()223sin 2cos sin 2A CB -=-， 所以()223sin 2cos 2sin 2A A A +=- 所以()221(1cos )2cos 2cos 2A A A -+=+， 即()2221(1cos )32cos cos 2A A A --=+ 整理得424cos 12cos 50A A -+=，即22(2cos 5)(2cos 1)0A A --=， 因为22cos 50A -≠，所以22cos 10A -=，因为A 为等腰三角形的底角，所以cos A =4A π=，22C A ππ=-=， 所以这个三角形为等腰直角三角形， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角形的形状判断的问题，在解题的过程中，思路如下： （1）利用正弦定理，将角化成边，结合题中所给的条件，得到角之间的关系； （2）利用三角恒等变换，解出角的大小，进一步判断三角形的形状，得到结果.7．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且sin 2a C π⎛⎫-⎪⎝⎭，()cos 4b B π-，()cos 3c A π-成等差数列，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C 【分析】利用诱导公式、和角的正弦公式和正弦定理化简已知得23B π=，即得解. 【详解】sin cos 2a C a C π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c A π-=-，依题意得2cos cos cos b B a C c A =--，根据正弦定理可得()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+， 即()2sin cos sin sin B B A C B =-+=-，又sin 0B ≠，则1cos 2B =-， 又()0,B π∈，所以23B π=， 故ABC 的形状是钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，一般有两种方法：（1）利用正弦余弦定理边化角；（2）利用正弦余弦定理角化边.8．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 22A c b c+=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】 由已知可得2cos 11cos,22222A c b A b c c++==+， 即cos ,cos bA b c A c==． 法一：由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，则2222b c a b c bc +-=⋅，所以222c a b =+，由此知ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理得：sin sin cos B C A =． 在ABC 中，sin sin()B A C =+，从而有sin cos cos sin sin cos A C A C C A +=，即sin cos 0A C =．在ABC 中，sin 0A ≠，所以cos 0C =． 由此得2C π=，故ABC 为直角三角形.故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角形形状判断的问题，在解题的过程中，可以利用勾股定理，也可以在三角形中利用三角恒等变换得到结果.9．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222(2cos 1)(cos sin )222A B Ba b -=-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D 【分析】先由降幂公式得cos cos a A b B =，再由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，众而得sin 2sin 2A B =，于是有A B =或2A B π+=，从而可得结论【详解】 解：因为222(2cos1)(cos sin )222A B Ba b -=-， 所以cos cos a A b B =，所以由正弦定理得，sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 因为2,2(0,2)A B π∈所以22A B =或22A B π+=， 所以A B =或2A B π+=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形 故选：D 【点睛】此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题10．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin a b A =，则ABC 的形状一定为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】B 【分析】先由正弦定理化简得到sin 1B =，再求出π2B =，最后判断三角形形状. 【详解】解：因为sin a b A =，所以由正弦定理有sin sin sin (sin 0)A A B A =>， 整理得sin 1B =，又因为0B π<<，所以π2B =， 故ABC 为直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.11．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知30B =︒，15c =，b =个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【分析】由正弦定理求出sin C 的值，可得60C =︒或120︒，再根据三角形的内角和公式求出A 的值，由此即可判断三角形的形状.【详解】∴ABC 中，已知30B =︒，15c =，b =由正弦定理sin sin b c B C=，可得：151sin 2C =，解得：sin C =，可得：60C =︒或120︒. 当60C =︒时，∴30B =︒， ∴90A =︒，ABC 是直角三角形. 当120C =︒时，∴30B =︒， ∴30A =︒，ABC 是等腰三角形. 故ABC 是直角三角形或等腰三角形， 故选：D. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足cos cos c B b C ⋅=⋅，则三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A 【分析】根据条件cos cos c B b C ⋅=⋅，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.【详解】cos cos c B b C ⋅=⋅， sin cos sin cos C B B C ∴=，()sin 0B C -=∴,0,0B C ππ<<<<，B C ππ∴-<-<，0B C ∴-=，即B C =，所以三角形的形状为等腰三角形， 故选：A 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.13．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，满足2cos b c A =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【分析】利用余弦定理表示出cos A ,代入已知等式变形后得到a c =,即可结论. 【详解】222cos 2b c a A bc +-=,2222cos b c a b c A b+-∴=⋅=,即2222b b c a =+-,整理得:()()0c a c a +-=,即a c =,则ABC 为等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦定理以及等腰三角形的判定,熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题. 14．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A 【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.15．在ABC 中，a ，b 是A ∠，B 所对的边，已知 a cosB bcos A =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B 【分析】由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =，化简得in 0()s A B -=,即得解. 【详解】由正弦定理得sin sin A cosB Bcos A =， 所以sin sin 0A cosB cos A B -=， 所以in 0()s A B -=, 因为,(0,)A B π∈, 所以0,A B A B -=∴=. 所以三角形是等腰三角形. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．在ΔABC 中,2sin 2A =(,,2c b a b c c-分别为角,,A B C 的对应边),则ΔABC 的形状为 A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】B 【解析】由题可得21sin22A cosA -==1222c b b c c -=-，所以b cosA c=. 由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C 为直角.本题选择B 选项.17．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【分析】根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】因为cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.18．∴ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c b ＝1，∴B ＝6π，则∴ABC 的形状为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】试题分析：在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin 6sin 12c BC bπ===，因为0C π<<，所以3C π=或23π，所以2A π=或6π，所以ABC ∆的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D ． 考点：正弦定理．19．在ABC 中，2cos 0a c B -=则此三角形的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A 【分析】已知等式利用正弦定理化简，将sin sin()A B C =+代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin()0B C -=，确定出B C =，即可得出三角形的形状.【详解】解：由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=， 所以sin sin()A B C =+．即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=， 整理得sin cos sin cos 0B C C B -=， 所以sin()0B C -=，又因为B 和C ∠是三角形的内角， 所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．故选：A.本题主要考查利用正余弦定理和三角恒等变换来判断三角形的形状，属于中档题. 20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若()222tan 2sin a c b A ac B +-=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A 【分析】由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，代入化简得tan tan A B =，故可得答案.【详解】由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以()222tan 2sin a c b A ac B +-=，所以tan tan A B =，得A B =，故ABC 是等腰三角形． 故选：A 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos a A B c +=，则ABC 的形状一定为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：因为()cos cos a A B c +=，所以()()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A A B C A B A B A B +==+=+， 整理得()cos sin sin 0A A B -=，即cos 0A =或sin sin 0A B -=，则2A π=或A B =，故ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用，属于基础题.二、多选题22．对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】对于A ，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B ，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C ，利用余弦定理求解即可；对于D ，利用三角函数恒等变换公式判断 【详解】对于A ，因为sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，所以由正弦定理得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，所以C为钝角，所以三角形ABC 是钝角三角形，所以A 正确；对于B ，因为A ＞B ，所以a b >，所以由正弦定理得sin A ＞sin B ∴所以B 正确；对于C ，由余弦定理得，22212cos 641002810842b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以b =，所以符合条件的三角形ABC 有一个，所以C 错误； 对于D ，因为tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+- 因为tan()tan()tan B C A A π+=-=-，所以tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan tan B C B C B C A B C A +=+-=-， 所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确， 故选：ABD23．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【分析】在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解. 【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a=， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.24．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC是等边三角形D ．若ABC 的面积是4 【答案】AC 【分析】对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==； 对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，故sin C =因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc ===， 因为(0,)B π∈，则1cos 7B ===±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B ， 因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-，1sin 2B B B +=，即1sin 2B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c =设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．25．已知∴ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若2cos c a B =，则ABC 一定是等腰三角形 B ．若()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，则ABC 是等腰或直角三角形C ．若22tan tan a A b B=，则ABC 一定是等腰三角形D ．若2b a c =+，且2cos28cos 50B B -+=，则ABC 是等边三角形 【答案】ABD 【分析】A ．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B ．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C ．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D ．根据条件先求解出B ，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出,A C 的值，从而判断出结果. 【详解】A ．因为2cos c aB =，所以()sin 2sin cos sinC A B A B ==+，所以sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故正确； B ．因为()()2222sin()sin()a bA B ab A B +-=-+，所以()()()()2222sin cos sin cos sin cos sin cos ab A B B A a b A B B A +-=-+，所以()()()()22222222sin cos sin cos a bab B A a b a b A B ⎡⎤⎡⎤-++=+--⎣⎦⎣⎦， 所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =，所以222sin sin cos 2sin sin cos A B A B A B =， 所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故正确；C ．因为22tan tan a A b B =，所以22sin cos sin cos a A B b B A=，所以22sin cos sin cos a B A b A B =，所以22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =，所以sin 2sin 2B A =，所以2A B π+=或A B =，所以ABC 为等腰或直角三角形，故错误；D ．因为2cos28cos 50B B -+=，所以24cos 8cos 30B B -+=，所以1cos 2B =或3cos 2B =（舍），所以3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+且23A C π+=，所以2sin sin 3A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭所以3sin 2A A +=1cos 12A A +=，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“A B C π++=”.26．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ）． A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若4a =，5b =，6c =，则ABC 为钝角三角形 C ．若5a =，10b =，π4A =，则符合条件的三角形不存在 D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正余弦定理逐一判断即可. 【详解】若A B >，则a b >，所以由正弦定理可得sin sin A B >，故A 正确；若4a =，5b =，6c =，则222c a b <+，所以角C 为锐角，即ABC 为锐角三角形，故B 错误；若5a =，10b =，π4A =，根据正弦定理可得sin 10sin 15b A B a ===>所以符合条件的三角形不存在，即C 正确若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=， 所以2sin sin A A =，所以sin 1A =，即2A π=，故D 正确故选：ACD 【点睛】本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.三、解答题27．ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC 的形状；（2）若3a =，2c =，B 的平分线交AC 于D ，求BCD △的面积.【答案】（1）等腰三角形；（2）625BCDS. 【分析】（1）利用正弦定理化简sin 2sin A Ca b=得A B =，即得解； （2）求出ABCS =35BCDABC SS ，即得解.【详解】（1）由sin 2sin A C a b =及正弦定理得2sin cos sin sin sin A ACA B， 即2sin cos sin sin cos cos sin B A C A B A B ，所以sin cos sin cos =B A A B ，即tan tan A B = 所以A B =，所以ABC 为等腰三角形. （2）因为A B =且3a =，所以3b a ==.由余弦定理得1cos3B =，所以sin 3B=1sin 2ABCSac B == 1sin 32212sin 22BCD ABDB BC BD S BCB SABAB BD ，所以36255BCDABCSS . 【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的有两种方法：（1） 正弦定理余弦定理边化角；（2）正弦定理余弦定理角化边.28．在∴sin A ，sin B ，sin C 成等差数列；∴sin A ，sin B ，sin C 成等比数列；∴2cos 2b C a =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S .若______，且)2224S b c a =+-，试判断ABC 的形状.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】根据题设条件，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得222a b c bc =+-， 选∴，由正弦定理得2b a c =+，联立求得b c =，进而得到ABC 为等边三角形；选∴，由正弦定理得2a bc =，联立求得()20b c -=，得到b c =，进而得到ABC 为等边三角形；选∴，由2cos 2b C a =，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得cos B =，求得6B π=，进而得到以ABC 为直角三角形. 【详解】由题意知)2224S b c a=+-，可得2csin cos b A A =，所以tan A =，又因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理可得222222cos3a b c bc b c bc π=+-=+-，若选∴，由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，得2sin sin sin B A C =+， 则由正弦定理得2b a c =+，则有()2222b c b c bc -=+-，可得b c =，又因为3A π=，所以ABC 为等边三角形.若选∴，由sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以2sin sin sin A B C =， 则由正弦定理得2a bc =，所以22bc b c bc =+-，即()20b c -=，可得b c =，又因为3A π=，所以ABC 为等边三角形.若选∴，由2cos 2b C a =-，得2sin cos 2sin B C A C =，即()2sin cos 2sin B C B C C =+，整理得(2cos sin 0B C =，因为sin 0C ≠，所以cos B =， 又因为()0,B π∈，所以6B π=，所以2C π=，所以ABC 为直角三角形.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.29．在∴22cos b c a C +=；∴ABC 的面积为)2224a b c --；∴3sin csinA a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且a =，1c =，______？若三角形存在，求ABC 的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选∴：22cos b c a C +=，利用正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=，结合()sin sin B A C =+可得23A π=，利用sin A B =，即可求得6B π=，由正弦定理即可求出边a 和c ，从而求得周长；选∴：)2221sin 24ABCa b c Sbc A --==，利用余弦定理可得tan A =即可求得23A π=，后同∴中的过程；选∴3sin csinA a B =，利用正弦定理得3ac ab =，即可求得13b =，由a =可求3a =13a b c +=<，所以三角形不存在.【详解】选∴：因为22cos b c a C +=，所以由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C ++=，整理得()2cos 1sin 0A C +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-.又()0,A π∈，所以23A π=.又因为a =，所以sin A B =，即1sin 2B =. 由0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得:6B π=，所以6C π=.由正弦定理sin sin sin a c b A C B==，得12sin sin sin 366a bπππ==，解得a =1b =，所以ABC 的周长为2+.选∴：因为)2221sin 24ABCa b c Sbc A --==，所以由余弦定理得)2cos 1sin 24bc A bc A =-，即sin A A =，所以tan A =()0,A π∈，所以23A π=，下同选∴. 选∴：因为3sin csinA a B =，所以由正弦定理得3ac ab =，即133c b ==，又因为a =，所以a =a b c +=<，所以问题中的三角形不存在.【点睛】关键点点睛：选∴：三角形面积公式与已知条件结合可得)2221sin 24ABCa b c Sbc A --==，再利用余弦定理即可求出sin A A =，即可求出23A π=，选∴求出13b =，a =13a b c +=<，问题中的三角形不存在. 30．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++.（1）求b 的值；（2）若满足cos cos a A b B =，c ＝3，求ABC 的面积.【答案】（1）2b =；（2）4【分析】（1）利用余弦定理以及已知条件可得24b =，即可得出结果；（2）利用正弦定理以及正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =，进一步得到22A B =或者22πA B +=，分两种情况讨论，利用余弦定理求角，利用三角形面积公式求解即可得出结果. 【详解】（1）由余弦定理可得2cos 2cos 2cos ab C ac B bc A ++ 222222222222a b c a c b b c a a b c =+-++-++-=++，又()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++，所以可得24b =. 由于0b >， 所以2b =.（2）已知cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =， 由正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =， ∴2(02π)A ∈，，2(02π)B ∈，， (0π)A B +∈，，22(02π)A B +∈，， 所以22A B =或者22πA B +=， 当22A B =时，A B =，2a b ==，2221cos 28a b c C ab +-==-，sin 8C =，1sin 2ABC S ab C ==△； 当22πA B +=时，π2A B +=，π2C =，a ==12ABC S ab ==△.综上：ABC 31．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （∴）求角A 的大小；（∴）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状． 【答案】（∴）60A =︒；（∴）等边三角形. 【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状． 【详解】（∴）∴22(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==，∴60A =︒．（∴）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，∴sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=， ∴sin()0,A C A C -==，∴60A B C ===︒，∴ABC 为等边三角形．【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.32．在∴ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2cos b a C =．（1）判断∴ABC 的形状；（2）若2b =，∴ABC 的面积为，BC 的中点为D ，求AD 的长．【答案】（1）∴ABC 为等腰三角形；（2）2【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合三角形内角和性质及两角差正弦公式可得()sin 0A C -=，即可判断∴ABC 的形状；(2)由等腰三角形、三角形面积公式可用参数a 表示sin C 、cos C ，根据同角三角函数关系求a ，由余弦定理即可求AD 的长【详解】（1）由正弦定理：2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =，又()B A C π=-+∴()sin 2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=sin cos cos sin 0A C A C -=，即()sin 0A C -=又0A π<<，0C π<<，有A C ππ-<-<∴0A C -=，有A C =，即∴ABC 为等腰三角形（2）由（1）知a c =，在∴ABC 中，取AC 的中点E ，连接BE ，则BE AC ⊥，即1cos C a=又∴ABC 的面积为1sin 2ab C =sin C a= 根据22sin cos 1C C +=，得22181a a += ∴3a =，1cos 3C =（解法一）在∴ABC 中，由余弦定理，得2931174222234AD =+-⨯⨯⨯=，AD = （解法二）在∴ABC 中，有()12AD AB AC =+，所以()22112cos 22AD AB AC AD AB AC AB AC A =+=++⋅⋅，== 【点睛】本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式，根据正弦定理及两角差正弦公式化简并判断三角形形状，结合三角形面积公式得到同角的正余弦值进而求参，最后由余弦定理得到对应线段长度，考查学生的运算求解能力．33．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan a A b B=. （1）证明：ABC ∆是等腰三角形；（2）若::1::a b c x y =，且ABC ∆，求y 的值.【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）对tan tan a A b B=切化弦，再根据角度的范围，即可得到结论； （2）根据（1）中所求，可以求得x ，再根据面积公式，即可求得,sinC cosC ，再结合余弦定理，即可求得y .【详解】（1）由正弦定理及tan tan a A b B=， 得sin sin cos sin sin cos AA A BB B=，即cos cos A B =. 因为(),0,A B π∈，所以A B =，所以ABC ∆是等腰三角形.（2）由（1）知a b =，所以1x =.因为1sin 26ABC S ab C ab ∆==，所以sin C =. 又()0,C π∈，所以2cos 3C ==±. 若2cos 3C =，则222223a b c ab +-=， 即22223y -=，解得3y =；若2cos 3C =-，则222223a b c ab +-=-，即22223y -=-，解得3y =.所以y =y = 【点睛】本题考查三角形形状的判断，以及余弦定理的应用，属综合基础题.34．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-. （1）求角A 的大小；（2）若2cos a b C =，试判断ABC 的形状并给出证明.【答案】（1）3π；（2）ABC 为等边三角形，证明见解析. 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即可得到B C =，从而得到三角形的形状；【详解】解：（1）()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-，∴由正弦定理得()()()a c a c b c b -+=-，222122b c a bc +-∴=，根据余弦定理知1cos 2A =.又角A 为ABC 的内角，3A π∴=.（2）ABC 为等边三角形2cos a b C =，∴由正弦定理得sin 2sin cos A B C =.由三角形内角和公式得()A B C π=-+，故()sin sin A B C =+，()sin 2sin cos B C B C ∴+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，()sin 0B C -=∴，又(),B C ππ-∈-，B C ∴=.又由（1）知3A π=，ABC ∴为等边三角形. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题.四、填空题35．，现有下列命题：∴已知(),2a λλ=，()3,2b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是43λ<-或0λ>；∴函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标是(),048k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形；∴在ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若tan tan 1A B >，则tan tan tan 1A B C >；其中正确的命题是______________（请填写相应序号）.【答案】∴∴∴【分析】∴中根据夹角要求列关系计算即可，∴中根据正切函数图像性质即得结果，∴∴∴应用正弦函数单调性，结合解三角形即判断出结果.【详解】∴中，a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>且不共线，故2340a b λλ⋅=+>，即43λ<-或0λ>，其中13λ=时a 与b 共线，故43λ<-或103λ<<或13λ>，故错误； ∴中，函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令242k x ππ-=，得48k x ππ=+，故其图像的对称中心是(),048k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故正确； ∴中，cos cos a b B A=，由正弦定理知，sin sin cos cos A B B A =，故sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，则ABC 中，有22A B =或222A B π+=，即A B =或2A B π+=，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误； ∴中，在ABC 中，0sin cos sin 2A B B π⎛⎫<<=- ⎪⎝⎭，故()0,A π∈，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 若02A π<≤时，根据sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增可知2A B π<-，即2A B π+<，则C 为钝角，ABC 为钝角三角形；若2A ππ<<时，sin cos A B <即()sin sin 2A B ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，故2A B ππ-<-，即2A B π>+，符合题意，此时ABC 为钝角三角形，故正确；∴中，由tan tan 1A B >可知tan ,tan A B 同号，且ABC 中tan ,tan A B 同正，即,A B 都是锐角，又()tan tan tan tan 0tan tan 1A B C A B A B +=-+=>-，故C 也是锐角，ABC 为锐角三角形，故由2A B π+>知022A B ππ>>->，得sin sin cos 02A B B π⎛⎫>-=> ⎪⎝⎭，同理可知sin cos 0B C >>，sin cos 0C A >>，故sin sin sin cos cos cos A B C A B C >即tan tan tan 1A B C >，故正确.故答案为：∴∴∴.【点睛】本题考查了向量的夹角的应用和三角函数与解三角形的综合应用，属于中档题.向量夹角问题解题方法：若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>且不共线；若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且不共线.排除共线的情况是易错点.36．在ABC 中，已知2a =，cos cos cos a b c A B C==，则ABC 的面积为______.【分析】 由已知得cos cos b B c C =，再由正弦定理可得cos sin cos sin B B C C=，整理变形可得C B =，进一步可说明ABC 是等边三角形，则面积可求.【详解】 解：由已知cos cos b c B C =，即cos cos b B c C=， 又由正弦定理sin sin b B c C =， cos sin cos sin B B C C∴=，即sin cos sin cos C B B C =， ()sin 0C B ∴-=，由于是在ABC 中，C B ∴=，同理C A =，所以ABC 是等边三角形，122sin 6032ABC S ∴=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.37．已知三角形ABC 的三边长为,,a b c 满足10,18,8a b ab c +===，则此三角形为______三角形.(填写形状)【答案】直角【分析】通过计算得到222c a b =+，由此判断三角形ABC 为直角三角形.【详解】依题意()222222103664a b a b ab c +=+-=-==，所以222c a b =+，故C 为直角.所以三角形ABC 是直角三角形.故答案为：直角【点睛】本小题主要考查三角形形状的判断.38．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为_____________.【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】 cos cos sin a B b A c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
怎样判断三角形的形状
ａ ２ ＋ ｃ ２ － ｂ
ｂ‘ —
平面几何 的有关知识 找出所要判断 的三角形的边角关 系。 例 ４ 已知等腰 梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中，Ａ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ（ Ａ Ｂ＜ Ｃ Ｄ） 且 Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｃ ，Ａ Ｃ与 Ｂ Ｄ相 交 于 Ｏ， Ａ Ｏ Ｂ ＝ ６ ０ 。 ，Ｅ、Ｆ 、Ｇ分 别为Ｏ Ａ、Ｏ Ｄ、Ｂ Ｃ的 中 点 ，试 判 Ａ Ｅ Ｆ Ｇ的形状。（ 如图）
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怎样 判断三角形的形状
李 伟
（ 贵 州百里杜鹃仁和 中学 ，贵州 毕节 ５ ５ ０ ０ ２ ５ ）
【 摘
要】 判断三 角形 的形状 ，可分为判断几种特殊 的类 型：等￣ － ｓ － ＿ 角形、等边三 角形和直 角三 角形 。文章从 勾股 定理
逆定理的运用、三角法、韦达定理及判别式的运用 以及 利用平面几何知识 四个方面进行判断。
・
．
‘
Ｇ是 Ｂ Ｃ的 中点
Ｅ Ｇ＝ ＢＣ Ｇ Ｆ＝ ＢＣ
’ ． ．
Ａ Ａ Ｂ Ｃ为等腰三角形 （ ｂ ＝ ｃ ）或直角三角形 （ Ａ ＝ ９ ０ 。 ） 方法 ２：由正 弦定理 ｂ ＝ ２ Ｒ ｓ ｉ ｎ Ｂ ｃ ＝ ２ Ｒ ｓ ｉ ｎ Ｃ代人式 中得 ：
去分母得 ： ｂ （ ａ ＋ ｃ － ｂ ）＝ Ｃ （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＿ ｃ ）
即 ： ａ ２ ｂ ２ ＿ ｂ ４ ＿ ａ ２ ｃ ２ ＋ ｃ ４ ＝ ０
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角形
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判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。
在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。
本文将介绍十种常用的方法。
方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。
如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。
方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。
1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。
方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。
1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。
1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。
3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。
方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。
1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。
方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。
1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
高中数学：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【条件探究1】 将典例中的条件变为：若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B.等腰三角形 C ．等边三角形 D.钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．【条件探究2】 将典例中的条件改为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状为等腰三角形__．解析：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .所以△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．【条件探究3】 将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解：由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)．∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是直角三角形__．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求角A 的大小；②若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.②∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°.∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．。
如何判断三角形的形状
利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。
判断三角形形状PPT课件
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. 2019/10/21
例题节选
例1 在∆ABC中，已知 acos A bcos B 判断三角形形状
例2 在∆ABC中，已知 a cos B bcos A 判断三角形形状
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. 2019/10/21
例题节选
例3 在∆ABC中，已知 a2 tan B b2 tan A 试判断三角 形的形状
（1）在∆ABC中， ccooss
A B
b a
4 3
（2）在∆ABC中，
sin A cos B
2 sin C
（3）在∆ABC中， acos A bcos B ccosC
Hale Waihona Puke 例4 在∆ABC中，已知(a b c)(b c a) 3bc 且 sin A 2sin BcosC 试确定∆ABC的形状
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. 2019/10/21
巩固练习
1 在∆ABC中，若 sin A sin B sin C(cos A cos B) 判断三角形形状
2根据下列条件判断三角形形状
正余弦定理的综合应用之
2019/10/20
判断三角形形状
2
. 2019/10/21
知识回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
正弦定理应用 a 2Rsin A
b 2Rsin B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
判定三角形形状的常用方法
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。
解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。
【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。
判断三角形形状的程序
判断三角形形状的程序
判断三角形形状的程序可以根据三个边长来判断。
首先，可以使用三角形的性质：任意两边之和大于第三边，来判断这三个边长是否可以组成一个三角形。
如果不能满足这个条件，则不是三角形。
接下来，可以根据三个边长的相等情况来判断三角形的形状：
1. 如果三个边长都相等，则是等边三角形。
2. 如果有两个边长相等，则是等腰三角形。
3. 如果三个边长都不相等，则是一般三角形。
下面是一个示例的Python代码实现：
```python
# 输入三个边长
a = float(input("请输入第一条边的长度: "))
b = float(input("请输入第二条边的长度: "))
c = float(input("请输入第三条边的长度: "))
# 判断是否是三角形
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
# 判断三角形的形状
if a == b and b == c:
print("这是一个等边三角形")
elif a == b or b == c or a == c:
print("这是一个等腰三角形")
else:
print("这是一个一般三角形")
else:
print("这不是一个三角形")
```
这个程序会提示用户输入三个边长，然后根据输入的边长判断三角形的形状，并输出结果。
如何正确判断三角形的形状
如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。
利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。
1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。
分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。
解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。
点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。
1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。
分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。
解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。
点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。
2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。
专题：判断三角形的形状
专题：解三角形之形状判断例1：【常规判断】在△ABC 中，角C B A ,,对应的边为c b a ,,，则△ABC 的形状（1）acos B=bcos A（2）acos A=bcos B（3）C c B b sin sin =（4）sin 2A +sin 2B =sin 2C（5）sinA=2cosBsinC（5）sin B ·sin C ＝cos 22A （6）cos 2A 2 = b+c 2c （7）a 2tan B=b 2tan A（8）a cos A 2 =b cos B 2 =c cos C 2（9）a cosA =b cosB =c cosC（10）22tan tan ba B A = （11）sinA=CB C B cos cos sin sin ++思考：【2013陕西】在△ABC 中，若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形(D) 不确定例2：（1）在△ABC 中，B=60°，b 2=ac , 则△ABC 的形状？（2）在△ABC 中，B=60°，2b=a +c ，△ABC 的形状？例3：在△ABC 中，a 2+b 2=c 2+ab ，且43sin sin =B A ，求证：△ABC 为等边三角形.思考：【2013全国】在△ABC 中，ac c b a c b a =+-++))(( （1）求角B ； （2）若413sin sin -=C A ，求角C思考：在△ABC 中，已知ab c b a c b a 3))((=-+++，且C B A sin sin cos 2=，则△ABC 的形状？例4：△ABC 的三个内角为A,B,C 满足C B A sin 3sin 4sin 6==，则△ABC （ ）A 、一定是直角三角形B 、一定是锐角三角形C 、一定是钝角三角形D 、可能是锐角三角形也可能是钝角三角形思考：已知△ABC 中，54cos =A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状．例5：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则△ABC 是什么三角形 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.等腰直角三角形例6：在△ABC 中，点P 满足AP CP AP BP t AB AC t AP ⋅=⋅≠+=),0)((，则△ABC 一定是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、钝角三角形思考：（1）以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是（ ）A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形（2）若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=，则△ABC 的形 状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C. 等边三角形D.等腰直角三角形（3）若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状 为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C. 等边三角形D.等腰直角三角形（4）已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C. 等边三角形D.等腰直角三角形（5）在△ABC 中，若BC a =，CA b =，AB c =，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则△ABC 的形状是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C. 等边三角形D.等腰直角三角形例7：【07浙江】已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ． A ．12 B ．2 C ．12- D ．2- 【13浙江】已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α=（ ） A ．43B ．34C ．−34D ．−43 例8：【13浙江】在△ABC ，∠C =90︒，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM =13，则sin ∠BAC = ．思考：在等腰直角三角形△OPQ 中， 90=∠POQ ，22=OP ，点M 在线段PQ 上（1）若5=OM ，求PM 的长（2）若点N 在MQ 上，且 30=∠MON ，当POM ∠时，OMN ∆的面积最小？求出面积最小值。
专题02 解三角形之判断三角形形状(原卷版)
试卷第1页，总2页 解三角形之判断三角形形状一、单选题1．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222(2cos 1)(cos sin )222A B B a b -=-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形2．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形3．在ABC 中，若22sin cos cos sin a A B b A B=，则ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若角A ，C ，B 成等差数列，且2sin sin sin C A B =，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2sin 22a b C a -=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b <，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos22A c b c+=，则ABC 的形状为（ ）试卷第2页，总2页 A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形二、解答题9．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．（1）若c =45A =，2a =，求C ；（2）若22242a b c bc =++，2sin sin sin A B C =，试判断ABC 的形状． 10．已知()21cos cos 2f x x x x =--，()R x ∈，若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若2c =，()0f C =，且ABC ∆a ，b 的值.（2）若()sin sin sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状.11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状.12．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且12a b c ++=. （1）若2a =，5b =，求cos A 的值；（2）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A BC +=，且ABC 的面积为10sin C ，试判断ABC 的形状并说明理由.。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。
下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。
1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。
-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。
2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。
-若三个角均为90度，则为直角三角形。
-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。
-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。
3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。
-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。
-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。
4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。
-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。
-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。
5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。
-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。
6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。
-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。
若两个角相等，则为等腰三角形。
7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。
-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。
9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。
通过角度和可以进一步判断其形状。
-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。
判定三角形的形状的三种方法
Ａ Ａ Ｂ Ｃ为钝 角三 角形 。
， ’ ０ ＋ ｂ 一ｃ
ｃｏ 乩 — 一 。
例３ ： 已知 Ａ 、 Ｂ 、 ｃ为 ＡＡ Ｂ Ｃ的 内角 ， 函数 ） 在（ 一 １ ， １ ） 单 调
递增 ， 且， （ ｓ ｉ ｎ Ａ ） ＞ ｃ ｏ ｓ Ｂ ） ｓ ｉ ｎ Ｂ ）＞ ｃ ｏ ｓ Ｃ ） ｓ ｉ ｎ Ｃ ） ＞ ， （ ｃ ｏ ｓ Ａ ） ，
文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５ — ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ４— ０ ０ ２ ９－ ０ １
关 键词 ： 三 角形 ； 形状 ； 判 定方 法
中图分 类号 ： Ｃ ， ６ ３ ３
一
、
根据 三角 形的 “ 三 边” 关 系去判 定三 角形 的形状
。
角三 角形 的三边 满 足 的条件 为 ： ｂ ＋ ｃ 一ａ ＞０且 ａ ＋ｃ 一ｂ ＞ ０ 成立） 。 且ａ ＋ ｂ 。 一 ｃ ＞ ０ 。而边长 为 １ ， ２ ， ２的三角 形满 足 以上 不 等关 系 ，
（ ２ ） 若ｔ ａ ｎ Ａ ｔ ａ ｎ Ｂ＞１ 或ｔ ａ ｎ Ａ ｔ ａ ｎ Ｃ＞１ 或ｔ ａ ｎ Ｂ ｔ ａ ｎ Ｃ＞１ ， （ 或
综 合 以上分 析 ， 同时满 足 只 能 Ａ Ｂ ９ ｏ 。 且Ｂ ｃ ９ ０ 。 且Ａ
＋ Ｃ ＞９ ０。 。 ｄ
，
－
，
例１ ： ＡＡ Ｂ Ｃ三 边分 别 为 ： （ １ ） １ ， ２ ， ； （ ２ ） １ ， ２ ， ２ ； （ ３ ） １ ， ２ ， ２ ． ５ ，
从 中可 以得到 ：
（ １ ） 若 誊ｂ ＋ Ｃ ２ 一 ａ ２ ： ０ 或ａ ２ ＋ ｃ ２ 一 ｂ ： ０ 或ａ ２ ＋ ｂ 一 ｃ ： ０
三角形形状的判断
已知两角求第三角问题
01
直角三角形
在直角三角形中，已知两个锐角，可直接利用互余关系求出第三个角
（直角）。
02
等腰三角形
在等腰三角形中，若已知两角相等，则第三个角即为顶角，可通过三角
形内角和定理求解。
03
一般三角形
对于一般三角形，若已知两角及其夹边，可利用正弦定理求出第三个角；
或者已知两角及其非夹边，可利用三角形内角和定理直接计算第三个角。
三角形形状的判断
目录
• 三角形基本概念及性质 • 直角三角形判断方法 • 锐角三角形判断方法 • 钝角三角形判断方法 • 等腰和等边三角形特殊性质 • 综合实例分析与讨论
01 三角形基本概念及性质
三角形定义与分类
定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三 角形。
分类
根据三角形的边长和角度，可以 将其分为不同类型，如等腰三角 形、等边三角形、直角三角形、 锐角三角形和钝角三角形等。
特殊三角形在几何中应用
在解决与角度、边长有关的问题时，常常需要 利用等腰或等边三角形的性质进行转化；
在实际生活中，等腰或等边三角形的应用也非常广泛 ，如建筑设计、工程绘图等领域。
利用等腰或等边三角形的性质进行证明和计算 ；
在几何图形中，等腰或等边三角形常常作为基本 图形出现，通过对其性质的研究，可以推导出其 他几何图形的性质；
角度和性质判断直角
三角形中有一个角为 90度，则该三角形为 直角三角形。
若已知三角形两边垂 直，则该三角形为直 角三角形。
直角三角形的两个锐 角互余，即和为90度。
直角三角形特点总结
直角三角形具有一个直角，两 个锐角。
直角三角形的斜边（最长边） 对应于直角。
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判断三角形形状
解三角形是高考考察的重要内容，借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。
而判断三角形形状也是高考命题的重点．
一、运用三角函数的公式判断三角形形状
例1．在△ABC中，sinBsinC＝cos2 ，则此三角形是（）．
A.等边三角形
B.三边不等的三角形
C.等腰三角形
D.以上答案都不对
解析：利用倍角公式和两角和（差）公式化简判断．
解：选C．∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝，
∴2sinBsinC＝1+cosA，∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴2＝1-cos（B+C），∴2sinBsinC＝1- cosB cosC+ sinBsinC，∴sinBsinC +cosB cosC=1，∴cos（B-C）=1，∴在△ABC中，B-C=0，∴B=C，∴△ABC是等腰三角形．
2.设A、B、C是△ABC的三个内角，且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，那么△ABC是
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断．
解：选A. ∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，∴，∵tan（A+B）= = = ，∴tanC=- tan（A+B）=-，∴△ABC是钝角三角形．
点评：1．运用三角函数公式进行化简，其中往往用三角形内角和定理A＋B＋C＝π通过诱导公式转化为一个角．然后通过这个角的值判断三角形的形状．
2．而三角形内角和定理A＋B＋C＝π一方面可转化角，
如sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin =cos ，cos =sin ，另一方面可判断三个内角的范围不能超出（0，）。
二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状
例2．已知，判断ΔABC的形状．
解析：将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断。
解：方法一：∵
①
∵
∴①式等价于
∴
∴
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：设，（显然k 0）则
∵
∴
∴
∵
∴
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
点评：（1）已知某条件，要判断三角形形状，一般将条件转换成只含边或只含角的式子．
（2）由于三角形各边和它所对角的正弦比相等，故可设比值为一个值k，这时可使解题过程简化．实际上，这一比
值为三角形的外接圆直径2R，即，故正弦定理的形式也可写为：它在解决某些问题时可使解题过程简单化．然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C
＝π。
利用，，，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的
关系，然后充分利用代数知识来解决问题用．
三、运用向量知识判断三角形形状
例3．1．在△ABC中，且，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
解析：利用向量数量积的性质判断．
解：选B．因为，所以⊥，，则△ABC是直角三角形．
2．三角形ABC中，设= ，= ，= ，若·（+），则三角形
AB是（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法确定其形状
解析：利用向量的加法法则和向量数量积公式判断．
解：选C．因为·（+），所以·<0，所以cosA<0，即cosA<0，所以△ABC是钝角三角形．
3．平面上不共线的4个点A、B、C、D，若
（）·（- ）=0，则△ABC是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形
解析：利用向量的加减法则和向量数量积公式判断．
解：选B．因为（）·（- ）=0，（）·（- ）=0，
（+ ）·（- ）=0，=，所以，所以△ABC是等腰三角形．
点评：1．由向量的数量积公式可以将向量转化为三角形的边及夹角，利用角余弦值的符号判断角是锐角、直角、钝角，即而判断出三角形的形状．
2．当时，夹角为直角；时，夹角为钝角，时，夹角为锐角．。