判断三角形形状

判断三角形形状

解三角形是高考考察的重要内容，借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。而判断三角形形状也是高考命题的重点．

一、运用三角函数的公式判断三角形形状

例1．在△ABC中，sinBsinC＝cos2 ，则此三角形是（）．

A.等边三角形

B.三边不等的三角形

C.等腰三角形

D.以上答案都不对

解析：利用倍角公式和两角和（差）公式化简判断．

解：选C．∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝，

∴2sinBsinC＝1+cosA，∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴2＝1-cos（B+C），∴2sinBsinC＝1- cosB cosC+ sinBsinC，∴sinBsinC +cosB cosC=1，∴cos（B-C）=1，∴在△ABC中，B-C=0，∴B=C，∴△ABC是等腰三角形．

2.设A、B、C是△ABC的三个内角，且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，那么△ABC是

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

解析：利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断．

解：选A. ∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，∴，∵tan（A+B）= = = ，∴tanC=- tan（A+B）=-，∴△ABC是钝角三角形．

点评：1．运用三角函数公式进行化简，其中往往用三角形内角和定理A＋B＋C＝π通过诱导公式转化为一个角．然后通过这个角的值判断三角形的形状．

2．而三角形内角和定理A＋B＋C＝π一方面可转化角，

如sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin =cos ，cos =sin ，另一方面可判断三个内角的范围不能超出（0，）。

二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状

例2．已知，判断ΔABC的形状．

解析：将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断。解：方法一：∵

①

∵

∴①式等价于

∴

∴

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

方法二：设，（显然k 0）则

∵

∴

∴

∵

∴

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

点评：（1）已知某条件，要判断三角形形状，一般将条件转换成只含边或只含角的式子．

（2）由于三角形各边和它所对角的正弦比相等，故可设比值为一个值k，这时可使解题过程简化．实际上，这一比

值为三角形的外接圆直径2R，即，故正弦定理的形式也可写为：它在解决某些问题时可使解题过程简单化．然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C

＝π。利用，，，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的

关系，然后充分利用代数知识来解决问题用．

三、运用向量知识判断三角形形状

例3．1．在△ABC中，且，则△ABC的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形

解析：利用向量数量积的性质判断．

解：选B．因为，所以⊥，，则△ABC是直角三角形．

2．三角形ABC中，设= ，= ，= ，若·（+），则三角形

AB是（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．无法确定其形状

解析：利用向量的加法法则和向量数量积公式判断．

解：选C．因为·（+），所以·<0，所以cosA<0，即cosA<0，所以△ABC是钝角三角形．

3．平面上不共线的4个点A、B、C、D，若

（）·（- ）=0，则△ABC是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形

解析：利用向量的加减法则和向量数量积公式判断．

解：选B．因为（）·（- ）=0，（）·（- ）=0，

（+ ）·（- ）=0，=，所以，所以△ABC是等腰三角形．

点评：1．由向量的数量积公式可以将向量转化为三角形的边及夹角，利用角余弦值的符号判断角是锐角、直角、钝角，即而判断出三角形的形状．

2．当时，夹角为直角；时，夹角为钝角，时，夹角为锐角．