排列组合与二项式定理说课讲解

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第十章排列组合和二项式定理教案 (1)

第十章排列组合和二项式定理教材分析一、内容分析：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n mn-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m n m n m n mA A A组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m n m n m n C C C在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n n C n A n C n A C A组合数派生性质：k n n k n n k k k C C C C C -+-++=++++1221101121++++=++++k n k n k k k k k k C C C C C（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定. ②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n n C C C C 2210=++++④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即+++=+++531420n n n n n n C C C C C C =12-n注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、mn C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.。

高中高三年级数学教案：排列、组合、二项式定理案例分析

高中高三年级数学教案：排列、组合、二项式定理案例分析一、教学目标1.理解排列、组合的基本概念和区别，掌握排列数和组合数的计算公式。

2.学会运用排列、组合解决实际问题。

3.理解二项式定理的内容，能够运用二项式定理计算二项展开式的系数。

二、教学重点与难点1.教学重点：排列数和组合数的计算，二项式定理的应用。

2.教学难点：排列、组合在实际问题中的灵活运用，二项式定理的证明。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾初中阶段学习的排列、组合知识，复习排列数和组合数的计算公式。

（2）提出问题：排列和组合在实际问题中有哪些应用？如何运用排列、组合解决实际问题？2.授课内容（1）案例分析一：排列、组合在实际问题中的应用案例1：某班级有10名学生，其中甲必须参加，从剩余的9名学生中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

案例分析：这是一个排列问题，因为参赛人员的选择顺序是有关的。

根据排列数公式，可得A_9^3=9×8×7=504。

案例2：某班级有10名学生，从中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

案例分析：这是一个组合问题，因为参赛人员的选择顺序无关。

根据组合数公式，可得C_10^3=10×9×8/(3×2×1)=120。

（2）案例分析二：二项式定理的应用案例1：求（x+y）^5的展开式。

案例分析：根据二项式定理，展开式为x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5。

案例2：求（a+b）^10展开式中含a^5b^5的项。

案例分析：根据二项式定理，含a^5b^5的项为C_10^5a^5b^5=252a^5b^5。

3.练习与讨论1.某班级有10名学生，其中甲必须参加，从剩余的9名学生中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

2.某班级有10名学生，从中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

3.求（x+y）^6的展开式。

排列组合二项式定理的精品教案

排列组合二项式定理的精品教案一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．一是从名人、问题引入课题。

采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。

二是从特殊到一般。

观察发现二项式定理的基本内容．遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．三是采用小组合作、探究的方式。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于普通班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要．本节课，学生通过对=1，2，3，4，…时二项展开式的观察，归纳、猜想到为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。

这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．二、学生情况分析学生为普通班学生，有一定的数学基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．学生有过探究、交流的课堂教学的尝试．三、教学诊断分析在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，即项数：项；指数：字母，的指数和为，字母的指数由递减至0，同时，字母的指数由0递增至；二项式系数：下标为，上标由递增至；容易产生误解的内容是：通项指的是第r+1项；通项的二项式系数是，与该项的系数是不同的概念。

排列、组合、二项式定理讲解

排列、组合、二项式定理1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种（2）48×50×52＝124800种（3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个，故选D 。

专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析

专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。

排列、组合、二项式定理教案

排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

排列、组合和概率二项式定理说课第一课

排列、组合和概率：课题：二项式定理（第一课）————说课设计今天我说课的内容是高二排列、组合和概率（人教版）第十章第四章节《二项式定理》的第一课时：《二项式定理》.下面我就从教材分析、教学目标、教法和学法、教学过程四个方面对本课的教学设计进行说明.一、说教材：1、知识内容：二项式定理及简单的应用.2、地位及重要性：二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容,其形成过程是组合知识的应用,同时也是自成体系的知识块,为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计,作知识上的铺垫.二项展开式与多项式乘法有密切的联系,本节知识的学习,必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识.运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题,例如近似计算、整除问题、不等式的证明等.3 、重点难点分析：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程,掌握二项式,系数,字母的幂次,展开式项数的规律.（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开.难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程.二、说教学目标：A.知识目标：（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程,掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律.（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.B.能力目标：（1）通过二项式定理的推导过程,培养学生观察,猜想,归纳的能力以及分类讨论的能力.（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.C. 德育渗透目标 : （1）培养学生“理论源于实践,用于实践”的观点 .（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,培养学生解决数学问题的兴趣和信心.（3）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,使学生体会到数学内在的和谐对称美.三、说教法和学法：1、教法为了完成本节课的教学目标,掌握并能正确运用二项式定理,让学生主动探索展开式的由来是关键.“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之深固也”.本节课的教法贯穿启发式教学原则,采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体,以“引导思考”为核心,设计课件展示,并引导学生沿着积极的思维方向,逐步达到即定的教学目标,发展学生的逻辑思维能力；同时,考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节进行分层施教,实现“有差异”的发展.另外根据“最近发展区”的教学理论,精心设计问题,调控问题的解决过程,培养这节课内容最佳的“知识增长点”.2、学法根据学生思维的特点,遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念,让每一个学生自主参与整堂课的知识构建.在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移,对照学习.学生在教师营造的“可探索”的环境里,积极参与,生动活泼地获取知识,掌握规律、主动发现、主动发展.3、教学手段利用电脑,投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程,激发学生的的兴趣,增大教学容量,提高课堂效率.四、教学过程：本节课教学过程总体指导思想是体现教学的阶段序进原则和学生主动性原则,在教学中注意发挥教师的主导作用和学生学习的主体作用.根据班级学生的情况,进行分组合作探究二项式定理.[复习引入新课]思考：如果今天是星期六,那么再经过 68天后是星期几？?)17(866=+=我们知道 ()2222b ab a b a ++=+根据多项式乘法,又可得()=+3b a 322333b ab b a a +++,()=+4b a 432234464b ab b a b a a ++++.问题：按上述方法展开()100b a +、()nb a +实际可行吗？可见应探讨新方法. 引出问题1：将))()((332211b a b a b a +++展开由乘法原理可以得到有8项,由学生写出展开式为：321321321321321321321321b b b a b b b a b a a b b b a a b a b a a a a a +++++++教师提问：问：（1）展开式有多少项？为什么？（2）项是怎样构成的？有规律吗？学生在思考上述问题和观察展开可发现规律,老师引导总结：（1）从每一个括号任取且只能取一个数；（2）把取出的数乘在一起,将所有乘式加在一起就得到展开式.引申设疑：引出问题2：在上式中：如果b b b b a a a a ======321321,则展开式又是什么？学生答：是bbb bba bab baa abb aba aab aaa +++++++,仍然有8项,但有同类项,合并同类项得：3223333)(b ab b a a b a +++=+紧接着提出问题3：4)(b a +的展开式是什么？依照规律,展开式应有1624=项,但是有多少同类项？要想知道这个问题,还得从3)(b a +的展开式研究.思考,为什么a b 2的系数是3？除了从一般展开式中数出来,可以从什么角度出发呢？学生根据排列组合的知识,可以发现))()((b a b a b a +++这三个括号中任意两个取b ,剩下的一个括号取a ；利用组合知识得a b 2的系数是31123=C C . 实验猜想：学生对4)(b a +进行分类：四个括号中全取a 得：444a C四个括号中有3个取a ,剩下的1个取b 得：b C a C 11334四个括号中有2个取a ,剩下的2个取b 得： 222224b C a C四个括号中有1个取a ,剩下的3个取b 得：333114b C a C 四个括号中有全取b ,得：444b C其实只要抓住一个字母进行分类即可,可以按a 分类,也可以按b 分类,根据教材提示按b 分类得：在上面四个括号中：每个都不取b 的情况有1种,即04C 种,所以4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种,所以b a 3的系数是14C ；恰有2个取b 的情况有24C 种,所以22b a 的系数是24C ；恰有3个取b 的情况有34C 种,所以22b a 的系数是34C ； 4个都取b 的情况有44C 种,所以4b 的系数是44C ；因此,.)(44433422243144044b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+归纳推广：教师提出问题4：()nb a +的展开式又是如何？归纳猜想：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+-- —————— 二项式定理公式特征：（1）项数：共有1+n 项.（2）指数：a 的指数从n 逐项递减到0,是降幂排列；b 的指数从0逐项递增到n,是升幂排列, r r n b a -指数和为n.(3) 二项展开式的通项公式: 式中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项.用1+r T 表示,即通项为展开式的第1+r 项: 1+r T =r r n r n b a C -(4) 二项式系数:依次为,,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ••••••这里),,1,0(n r C r n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+--问=-nb a )(?令x b a ==,1,则=+n x )1(? 令x b a -==,1,则=-n x )1(?则,=-4)13(xx ? , =-6)11(x ? [例题分析] 例题1：展开6)12(x x -并求展开式中的常数项？（解答略）例题2:求12)(a x +的展开式中的倒数第4项.（解答略）例题3：求7)21(x +的展开式的第4项的二项式系数和第4项的系数.（解答略）[课堂练习]1.分别求66)23(,)32(a b b a ++的第3项.(解答略)2.写出433)21(x x -的展开式的第3项. (解答略)（把学生的练习进行投影,与同学们一起点评）[课堂小结]（1）二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+•••++•••++=+--（2）二项展开式的通项公式：1+r T =r r n r n b a C -（3）应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项的二项式系数和系数.（4）科学态度：养成善于观察、归纳、大胆猜想,利用从特殊到一般从而得出结论的学习态度.[课后作业]A. 必做题：1．P 110习题10.4 T 2 、T 3 、T 4(1)(2).B. 选做题：在n xx )12(23+ 展开式中,若存在常数项,则n 的最小值. 研究性问题：某市在描绘未来五年的蓝图中指出：年人均收入在今后五年都要以10%的速度增长,使每个家庭开开心心奔小康.若今年人均收入为8000元,则5年后人均收入是多少万元？（精确到0.01万元）.课后探究：（1）二项式系数nn n n n C C C C ,,,,210•••有何性质？（2）如何求52)21(x x -+展开式中5x 项的系数？准备这节课,我主要考虑下面几个问题：（1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要,还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌,听取了备课组老师们的意见,认为后者重要.于是,我这节课花了大部分时间是来引导学生探究.（2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的,还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道,问而得,不如求而得之深固也”.我还是要求学生自主的去探索二项式定理.这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念.（3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学,通过例题加深学生对二项式定理的理解和对通项公式的掌握,区分系数和二项式系数.（4）根据学生的差异,布置选做题和课后探究题,因材施教.教学设计的说明：许多老师上课的着眼点是放在如何“讲”好一堂课,如何把知识“讲”明白上,而我根据我校推行的“以人为本,以学定教”的教学理念,把着眼点放在如何“引导”学生自主探究知识,获取知识上.所以,本节课的教学,我从学生已有的认识基础出发,以学生自主探索,合作交流为为主线,让学生经历数学知识的形成和应用过程,加深对所学知识的理解,从而突破重难点.教师是整个教学活动的组织者.策划者,学生是学习的主人.由于学生的层次不一,教师要全程关注每一位学生的学习状态,进行分层施教,对学有余力并对数学有浓厚兴趣的同学,通过布置选做题去发展他们的数学才能.总之,在整个教学过程中,我始终将“教学反应”型评价和“教学反馈”评价相结合,促进学生的自主评价,努力推行成功教育,愉快教育的理念,把握评价的时机和尺度,实现评价主体和形式的多样化,从而激发学生的学习兴趣,激活课堂气氛,使课堂教学达到最佳状态.。

排列组合二项式定理解读

排列组合二项式定理解读本章主要内容是排列、组合、二项式定理。

这部分内容，不论其思考方法和解题都有特殊性，概念性强、抽象性强、灵活性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且数目较大，无法一一检验，因此给学生带来一定困难。

解决这些问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，因此必须注重本章节的知识点，并加以整理，使之系统化和条理化及其内涵的数学思想和数学方法。

一、知识要点1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理。

它们是推导排列数公式和组合数公式的基础，其应用贯穿本章始终。

（1）分类计数原理完成一件事可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同办法，在第二类办法中有2m 种不同办法，……，在第n 类办法中有 n m 种不同办法，，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同方法。

（2）分步计数原理完成一件事可以有n 步办法，在第一步办法中有1m 种不同办法，在第二步办法中有2m 种不同办法，……，在第n 步办法中有n m 种不同办法，那么完成这件事共有 12n N m m m =⋅⋅⋅ 种不同方法。

（3）区别：分类计数原理与分类有关，分步计数原理与分步有关。

2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全体元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。

（1）排列从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素（被取出的元素各不相同），按照一定顺序排成一列，叫从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数从n 个不同元素中，任取m 个元素所有排列的个数，叫从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号m nA表示，排列数公式为(1)(2)(1)m nn n n n m A=---+ . 自然数1到n 的连乘积，叫n 的阶乘，用n! 表示，规定0!=1，排列数公式还可写成!()!m nn n m A=-，当n=m 时，!n nn A= 即全排列数公式。

高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理

高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理排列、组合、二项式定理-基本原理教学目的（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简略的应用问习题，提高学生理解和运用两个原理的能力；（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心剖析的良好习惯。

教学建议一、知识构造二、重点难点剖析本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是精确区分加法原理与乘法原理。

加法原理、乘法原理自身是容易理解的，甚至是不言自明的。

这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯通整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；另一方面它的结论与其思想在方法自身又在解习题时有许多直接应用。

两个原理答复的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问习题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是，做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是互相独立的；运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是互相依存的。

简略的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问习题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是属于分步的问习题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。

三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个条理：第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下题（建议利用两课时）：①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；③用0，1，2，……，9可以组成多少个无反复数字的4位整数；④用0，1，2，……，9可以组成多少个有反复数字的4位整数；⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无反复数字的4位奇数；⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个反复数字的4位整数等等．第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问习题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．老师要引导学生仔细地剖析习题意，得当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．教学教案示例加法原理和乘法原理教学目的正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能精确地应用它们剖析和解决一些简略的问习题，从而开展学生的思维能力，培养学生剖析问习题和解决问习题的能力．教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理．难点：加法原理和乘法原理的精确应用．教学用具投影仪．教学过程设计（一）引入新课从本节课开始，我们将要学习实验中学代数内容中一个独特的局部——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问习题的方法不同一般．尽管份量不多，但是与旧知识的联络很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要波及安排调配的问习题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．（二）讲授新课1．介绍两个基本原理先考虑下面的问习题：问习题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．这个问习题可以总结归纳为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：加法原理：做一件事，完成它可以有几类规定，在第一类规定中有m1种不同的方法，在第二类规定中有m2种不同的方法，……，在第n类规定中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有Ｎ=m1+m2+…+mn种不同的方法．请大家再来考虑下面的问习题（打出片子——问习题2）：问习题2：由Ａ村去Ｂ村的道路有3条，由Ｂ村去Ｃ村的道路有2条（见下图），从Ａ村经Ｂ村去Ｃ村，共有多少种不同的走法？这里，从Ａ村到Ｂ村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法达到Ｂ村后，再从Ｂ村到Ｃ村又各有2种不同的走法，因此，从Ａ村经Ｂ村去Ｃ村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有Ｎ＝m1×m2×…×mn种不同的方法．2．浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．看下面的剖析是否正确（打出片子——习题1，习题2）：习题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类规定是找含因数2的合数，共有4个；第二类规定是找含因数3的合数，共有2个；第三类规定是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有Ｎ=4＋2＋1=7个合数．习题2：在前面的问习题2中，步行从Ａ村到Ｂ村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，Ｂ村到Ｃ村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从Ａ村到Ｃ村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从Ａ村到Ｂ村有3种走法，第二步从Ｂ村到Ｃ村有2种走法，共有Ｎ=3×2=6种不同走法．习题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．习题中的剖析是错误的．从Ａ村到Ｃ村总时数不超过12时的走法共有5种．习题2中从Ａ村走北路到Ｂ村后再到Ｃ村，只有南路这一种走法．（此时给出习题1和习题2的目标是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类规定彼此之间是互相排挤的，不管哪一类规定中的哪一种方法，都能独自完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求互相独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．也就是说：类类互斥，步步独立．（在学生对问习题的剖析不是很分明时，老师及时地汇总小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简略地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不论是否互相联络就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简略问习题了．例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目标书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问习题的答案及理由，老师巡视指导，并适时口述解法）（1）从书架上任取一本书，可以有3类规定：第一类规定是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类规定是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类规定是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是Ｎ＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是Ｎ=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．（3）从书架上任取不同科目标书两本，可以有3类规定：第一类规定是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类规定是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类规定是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是Ｎ=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目标书两本的不同取法有63种．例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许反复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许反复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是Ｎ=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．老师的连续提问、启发、引导，帮助学生找到正确的解习题思路和计算方法，使学生的剖析问习题能力有所提高．老师在第二个例习题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，精确的表达、标准的书写，对于学生周密思考、精确表达、标准书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合习题打下基础. （四）汇总小结汇总什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理．应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类规定彼此之间互相排挤；分步时要求各步是互相独立的．（五）课堂练习Ｐ222：练习1～4．（对于习题4，老师有须要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业Ｐ222：练习5，6，7．补充习题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2．XXXX学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）3．在所有的三位数中，有且只有两个数字雷同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字雷同的三位数）4．XXXX小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．（1）Ｎ=5＋2＋3；（2）Ｎ=5×2＋5×3＋2×3）。

高中数学新课排列、组合和二项式定理教案 (1)

课题： 10．2排列 (四)教学目的：1切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题； 2．会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题；3．进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解教学重点：“捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法教学难点：“捆绑法”和“插入法”应用的条件和方法授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）6 阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅；把正整数1到n 的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n ，即n n A =n 规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 二、讲解范例：例1 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）1360805919=A A ；解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ，则共有56995136080A A ⋅+=种；解法三：（间接法）65109136080A A -= 例2． 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法．（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例3．7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种．说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例4．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列解：（1）先将男生排好，有55A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有552A 种排法故本题的排法有5555228800N A A =⋅=（种）；（2）方法1：10510105530240A N A A ===；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A 种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法故本题的结论为510130240N A =⨯=（种）三、课堂练习：1．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（）55A2．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（）24种3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的分法有（）33332A A ⋅ 4．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）D ．20种5．设*,x y N ∈且4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点(,)M x y 共有个66．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有种7．一部电影在相邻5个城市轮流放映，每个城市都有3个放映点，如果规定必须在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有种（只列式，不计算）．()55353A A8．一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有种9．某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？10．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？11．在上题中，含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7.8. 72, 144 9. 53253222880A A A = 10.⑴30； ⑵15011. 66种四、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元素要求连排（即必须相邻）；③某些元素要求分离（即不能相邻）．2．基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rn nn n n n C C C C C =++++++【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。

（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.（4）,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】：间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种（7）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合与二项式定理(教师版)

(3)组合数公式 n＝ Cm n Am Am ＝ nn－1n－2…n－m＋1 n！＝ m！ m！n－m！
n＝1. (n，m∈N*，且 m n )．特别地 C0 (4)组合数的性质：① C n =C n 一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” ．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式 n＝ (1)排列数公式 Am n＝ (2)组合数公式 Cm 的组合数． ①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有
(1)甲不站在两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰有两人； (5)甲不站在左端，乙不站在右端； (6)甲、乙、丙三人顺序已定． [审题视点] 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等． 5A4＝480；解 (1)A2 (2)A2A5＝240； 5＝480； (3)A4A2 4A3＝144； (4)A2A2 (5)A6－2A5＋A4＝504； 6＝120. (6)A3 有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
每天进步一点点
第 27 讲：排列组合与二项式定理
一、基础知识
1．排列 (1)排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m ( m n) 个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m ( m n) 个元素的所有排列的个数叫做从 n n 表示．个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A m