3-3二维随机向量

合集下载

第三章 2二维随机向量数字特征

例3 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)， ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机
变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望解:因为X，Y，Z独立，2X+3Y和 4Z-1 也相互独立 E (U ) E(2 X 3Y ) E(4 Z 1) 3 E (2 X 3Y ) 2 EX 3 EY 2 E (4 Z 1) 4 EZ 1 9
a b 2
(b a ) 2 12
E( )
0

1
2
1
N(, 2)
2 1 ( ) x f ( x) exp( ) 2 2 2 , 0

2
3.2 随机向量的数字特征一、定义3.8 设（Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ）是 n维的随机向量，而且每一个随机变量Xi 的数学期望都存在，i=1,2, …,则称
(2)如果随机变量Y是X的线性函数，即
Y aX b, 当a>0时， =1，
当a<0时， =－1 (3) X 和Y 独立 = 0; 但其逆不真
无关未必独立!
若 X， Y 1 ，存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，即X与Y的之间以概率1存在线性关系
P( )
k P ( X k) e
0 , k 0, 1,
k!

分布
U( a , b )
分布列或分布密度
1 , a x b ; f ( x ) b a 其它 0,
e x , x0 f ( x) 0, x0
期望方差
解 EX x f X ( x ) dx 0 x 2 f ( x ) (2 x y ) dy

3-3 两个变量的独立性与函数分布

例８设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
于是
,两电阻 R1 和 R2 串联联接, 例11 在一简单电路中设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, p( x ) 50 0, 其它. 求电阻 R R1 R2 的概率密度.
的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
y
[

z y

z
p( x, y) d x] d y
p(u y, y) d u] d y
x y z
O
x u y
z
[

[ p(u y, y) d y] d u.
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
y0 其它
例5 设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从 N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y )
0，其它
因此 X、Y 相互独立

概率论与数理统计第3章随机向量

解（1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布

研究生数学基础课程之应用数理统计3-3

一维随机变量X 一维随机变量连续型 X的密度函数的密度函数
f (x, y) P{( x, y) ∈A } = ∫∫ f (x, y)dxdy
A
P{a ≤ X ≤ b}
A⊂ℜ 2
= ∫ f (x)dx
a
b
f (x, y) ≥ 0
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1
∫
∞
f (x) ≥ 0
则(X,Y)称服从D上的均匀分布. (X,Y)称服从D上的均匀分布. (X,Y)落在中某一区域A 落在D (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)∈A},与的面积成正比而与A P{(X,Y)∈A},与A的面积成正比而与A的位置和形状无关. 和形状无关.
P{(X,Y)∈ A的面积的面积/d P{(X,Y)∈A}= A的面积/d
σ1 > 0,σ2 > 0, | ρ |<1
性质二维正态分布(X,Y)的概率密度函数维正态分布(X,Y) (X,Y)的概率密度函数
f(x,y)满足: f(x,y)满足: 满足
(1) (2)
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1
∞ −∞
令1(x) := ∫ f f1(x) =
f (x, y)d y e
其中A是常数.(1)求常数A. 其中A是常数.(1)求常数A. .(1)求常数 (2)求(X,Y)的分布函数的分布函数； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)计算计算P{0<X<4,0<Y<5}. (3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.
解: (1)
A Q∫ ∫ dxdy =1 2 2 2 −∞ −∞ π ( 16+ x )(25+ y )

二维随机变量及其分布

5
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的一个二维随机变量。

第三章二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。

例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。

例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。

例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。

大学概率论第三章----随机向量

大学概率论第三章----随机向量第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

《概率论与数理统计》第3章二维随机变量及其分布

23 April 2012
第三章多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是：任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)

第三节二维随机变量函数的分布

*第三节二维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z =, 现希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Y X Z +=;(ii) },max{Y X Z =和},min{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n 个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.内容分布图示★ 引言★ 离散型随机向量的函数的分布★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3内容要点：一、离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量, ),(y x g 是一个二元函数, 则),(Y X g 作为),(Y X 的函数是一个随机变量, 如果),(Y X 的概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为,},{}),({}{),(∑=======kj i z y x g jik k y Y x X P z Y X g P z Z P ,,2,1 =k二、连续型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为),(y x f , 令),(y x g 为一个二元函数, 则),(Y X g 是),(Y X 的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求),(Y X g Z =的分布.a) 求分布函数),(z F Z.),(}),{(}),({}{)(⎰⎰=∈=≤=≤=ZD Z Z dxdy y x f D Y X P z Y X g P z Z P z F其中, }.),(|),{(z y x g y x D Z ≤=b) 求其概率密度函数)(z f Z , 对几乎所有的z , 有).()(z F z f ZZ '= 定理1 设),(21X X 是具有密度函数),(21x x f 的连续型随机向量.(1) 设),(),,(21222111x x g y x x g y ==是2R 到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换:);,(),,(21222111y y h x y y h x ==(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数)2,1,2,1(==∂∂j i y hi i 存在且连续;(4) 假设逆变换的雅可比行列式0),(2212211121≠∂∂∂∂∂∂∂∂=y h y h y h yh y y J , 即),(21y y J 对于在变换的值域中的),(21y y 是不为0的. 则21,Y Y 具有联合密度)).,(),,((||),(21221121y y h y y h f J y y w =定理2 设Y X ,相互独立，且),,(~211σμN X ).,(~222σμN Y 则Y X Z +=仍然服从正态分布，且).,(~222121σσμμ++N Z更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3 若),,,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ且它们相互独立，则对任意不全为零的常数n a a a ,,,21 ，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i i n i i i ni i i a a N X a 1211,~σμ.三、 ),max(Y X M =及),min(Y X N =的分布设随机变量Y X ,相互独立,其分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y , 由于),max(Y X M =不大于z 等价于X 和Y 都不大于z , 故有);()(}{}{},{}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z M P z F Y X M =≤≤=≤≤=≤=类似地, 可得),min(Y X N =的分布函数)].(1)][(1[1}{}{1},{1}{1}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z N P z N P z F Y X N ---=>>-=>>-=>-=≤=例题选讲：离散型随机变量的函数的分布例1 (讲义例1) 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表解由),(Y X 的概率分布可得与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把Z 值相同项对应的概率值合并可得: Y X Z +=)1(的概率分布为XY Z =)2(.例2 设X 和Y 相互独立, ,),(~),,(~21p n b Y p n b X 求Y X Z +=的分布. 解这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若),,(~1p n b X 则X 是在1n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率都为.p同样, Y 是在2n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 故Y X Z +=是在1n 2n +次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 于是Z 是以),(21p n n +为参数的二项随机变量, 即).,(~21p n n b Z +例 3 (讲义例2) 若X 和Y 相互独立, 它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布, 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.解 !}{11i e i X P iλλ-==;,1,0 =i !}{22j e j Y P j λλ-== ,1,0=j由离散型卷积公式得 ∑=-====ri i r Y i X P r Z P 0},{}{)!(!2121i r ei ei r iri -⋅=--=-∑λλλλir i ri i r i r r e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ,)(!21)(21r r e λλλλ+=+- ,1,0=r即Z 服从参数为21λλ+的泊松分布.连续型随机变量的函数的分布例 4 (讲义例3) 设随机变量X 与Y 相互独立, 且同服从]1,0[上的均匀分布, 试求||Y X Z -=的分布函数与密度函数.解先求Z 的分布函数}|{|)(z Y X P x F Z ≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤-≤-≤=1,110},{0,0z z z Y X z P z ,1,110,)1(10,02⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=z z z z 于是||Y X Z -=的概率密度为 ⎩⎨⎧<<-='=.,010),1(2)()(其它x z z F z f Z Z例5 设),(21X X 的密度函数为).,(21x x f 令212211,X X Y X X Y -=+=试用f 表示1Y 和2Y 的联合密度函数.和的分布：设X 和Y 的联合密度为),(y x f , 求Y X Z +=的密度.卷积公式: 当X 和Y 独立时, 设),(Y X 关于Y X ,的边缘密度分别为),(),(y f x f Y X 则上述两式化为⎰⎰∞∞-∞∞--=-=dxx z f x f z f dyy f y z f z f Y X Z Y X Z )()()()()()(以上两个公式称为卷积公式.解令,211x x y +=,212x x y -= 则逆变换为,2211y y x +=,2212y y x -= ,02/12/12/12/12/1),(21≠-=-=y y J故由定理1知, 1Y 和2Y 的联合密度函数为.2,221),(212121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y y f y y w例6 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量. 它们都服从)1,0(N 分布, 其概率密度为.,21)(,,21)(2/2/22∞<<∞-=∞<<∞-=--y ey f x e x f y Y x X ππ.的概率密度求Y X Z +=解由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎰∞+∞----⋅=dxe e x z x 2)(22221π⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z x z 222421πdt e ez x t tz ⎰∞+∞----=224212/π,21214422z z e e --==πππ 即).2,0(~N Z例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,)(其它时当x xe x f x如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.解分别用X 和Y 表示第一、二周的需求量则,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它x xe x f x X ,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它y ye y f y Y从而两周需求量,Y X Z += 利用卷积公式计算.当0≤z 时, 若,0>x 则,0<-x z ;0)(=-x z f Y 若,0≤x 则,0)(=x f X 从而;0)(=z f Z 当0>z 时, 若,0≤x 则;0)(=x f X 若,0≤-x z 即,x z ≤ 则,0)(=-x z f Y 故⎰⎰---+∞∞--=-zx z x Y X dx e x z xe dx x z f x f 0)()()()(,63z e z -= 从而⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,00,6)(3其它z e z z f z Z例8 设X 与Y 相互独立, 均服从标准正态分布, 求Y X Z +=的概率密度函数. 解由卷积公式,对,+∞<<-∞z 有 dx eez f x z x Z 2)(2222121)(---∞+∞-⎰=ππ,212)(22⎰∞+∞--+-=dx ex z x π因为,422)(2222z z x x z x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ 所以⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z f z x z Z 222421)(π作变量代换, 令),2/(2z x t -= 则,212121)(424222z t z Z edt ee zf -∞+∞---==⎰ππ它表明).2,0(~N Z注: 进一步可以证明, 设),,(~211σμN X ),,(~222σμN X 且X 和Y 相互独立, 则).,(~222121σσμμ+++=N Y X Z例9 设21,X X 相互独立且分别服从参数为βαβα,;,21的Γ分布(分别记成212211,),,(~),,(~X X X X βαβαΓΓ的概率密度分别为⎪⎩⎪⎨⎧>=--Γ其它,00,1)(/1)(1111x ex x f x X βαααβ⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其它,00,)(1)(/12222y e y y f y X βαααβ试证明21X X +服从参数为βαα,21+的Γ分布.证明由卷积公式, 知当0≤z 时, 21X X Z +=的概率密度.0)(=z f Z 当0>z 时, 21X X Z +=的概率密度⎰+∞∞--=dx x z f x f z f X X Z )()()(21)(1)(12/101211αβαβαβααΓΓ=--⎰x ze x dx e x z x z βα/)(12)(----⋅ ⎰-+-ΓΓ=zz dx xe 0121/221)()(αααβααβ⎰--+--+-ΓΓ=11121/1212121)1()()(dt t t e z zt x z ααααβααααβ记为 ,/121βααz e Az --+ 其中,)1()()(11011212121⎰--+-ΓΓ=dt t t A ααααααβ 再来计算.A 由概率密度性质, 有⎰+∞=)(1dz z f Z )/()/(/012121ββββααααz d e z A x -+∞-++⎰=),(2121ααβαα+Γ=+A即有.)(12121ααβαα+Γ=+A 于是,,00,)(1)(/1212121⎪⎩⎪⎨⎧>+Γ=--++其它z e z z f z Z βααααααβ 亦即21X X Z +=服从参数为,21αα+β的Γ分布, 即).,(~2121βαα+Γ+X X例10 在一简单电路中, 两电阻1R 和2R 串联连接, 设21,R R 相互独立,它们的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0100,5010)(其它x x x f求总电阻21R R R +=的概率密度.解R 的概率密度为.)()()(⎰+∞∞--=dx x z f x f z f R易知仅当,100100⎩⎨⎧<-<<<x z x 即⎩⎨⎧<<-<<zx z x 10100时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得,,02010,)()(100,)()()(10100⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=⎰⎰-其它z dx x z f x f z dx x z f x f z f z zR 将)(x f 的表达式代入上式得.,02010,15000/)20(100,15000/)60600()(332⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤+-=其它z z z z z z z f R商的分布：设二维随机向量),(Y X 的密度函数为),(y x f , 求YXZ =的密度函数. 例11 设X 与Y 相互独立, 它们都服从参数为λ的指数分布. 求Y XZ =的密度函数.解依题意, 知,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-x x e x f x X λλ,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-y y e y f y Y λλ 因X 与Y 相互独立, 故).()(),(y f x f y x f Y X = 由商的分布, 知,)()(||)(⎰+∞∞-=dy y f yz f y z f Y X Z 当0≤z 时, ;0)(=z f Z 当0>z 时,,)1/(1)(2)1(2z ydy ez f z y Z +==⎰+∞+-λλ故Z 的密度函数为.0,00,)1/(1)(2⎩⎨⎧≤>+=z z z z f Z积的分布：设),(21X X 具有密度函数),(21x x f , 则21X X Y =的概率密度为.||1,)(⎰∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=dz z z y z f y f Y例12 设二维随机向量),(Y X 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布, 试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的密度函数)(s f .解法1二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 令)(s F 为S 的分布函数, 则}{)(s S P s F ≤=,),(⎰⎰≤=sxy dxdy y x f显然0≤s 时, ;0)(=s F 2≥s 时, ;1)(=s F 而当20<<s 时(如图), 有⎰⎰≤sxy dxdy y x f ),(⎰⎰-=1/2211xs sdy dx ),ln 2ln 1(2s s-+=于是,2,120,2/)ln 2ln 1(0,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+≤=s s s s s s F从而.,020,2/)ln 2(ln )()(⎩⎨⎧<<-='=其它s s s F s f 解法2二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 于是⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=.||1,)(dz z z s z f s f S 因为仅当,20≤<z 10≤≤z s 时, ,0,≠⎪⎭⎫⎝⎛z s z f 所以 dz z dz z s z f s f s S ⎰⎰∞+∞-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=2121,)(),ln 2(ln 21s -=20<<s其它情形, .0)(=s f S例13 (讲义例6) 设随机变量21,X X 相互独立, 并且有相同的几何分布:2,1,,2,1,}{1====-i k pq k X P k i ，p q -=1求),max(21X X Y =的分布.解一 }},{max{}{21n X X P n Y P ===},{},{1221n X n X P n X n X P <=+≤== ∑∑-=--=--+=1111111n k k n nk k n pqpqpqpqqqqp qqqp n n nn --+--=---111111212).2(11----=n n n q q pq解二 }1{}{}{-≤-≤==n Y P n Y P n Y P }1},{max{}},{max{2121-≤-≤=n X X P n X X P}1,1{},{2121-≤-≤-≤≤=n X n X P n X n X P 2111211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∑∑-=-=-n k k n k k pq pq212221111⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-q q p q q p n n 212)1()1(----=n n q q ).2(11----=n n n q q pq例14 设系统L 由两个相互独立的子系统21,L L 联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统1L 损坏时，系统2L 开始工作），如图3—3—6所示. 设21,L L 的寿命分别为Y X ,,已知它们的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x X αα ⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(y y e y f y Y ββ其中0,0>>βα且.βα≠ 试分别就以上三种联接方式写出L 寿命Z 的概率密度.解 (1)串联的情况由于当21,L L 中有一个损坏时, 系统L 就停止工作, 所以这时L 的寿命为},min{Y X Z =由题设知Y X ,的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(x x e x F x X α⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(y y e y F x Y β 于是},min{Y X Z =的分布函数为)](1)][(1[1)(min y F x F z F Y X ---=⎩⎨⎧≤>-=+-,0,00,1)(z z e z βα},min{Y X Z =的概率密度为.0,00)()()(min ⎩⎨⎧≤>+=+-z z e z f z βαβα(2) 并联的情况由于当且仅当21,L L 都损坏时, 系统L 才停止工作, 所以这时L 的寿命.},max{Y X Z =于是},max{Y X Z =的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =,0,00),1)(1(⎩⎨⎧≤>--=--z z e e z z βα于是},max{Y X Z =的概率密度为.0,00,)()()(max ⎩⎨⎧≤>+-+=+---z z e e e z f z z z βαβαβαβα(3) 备用的情况由于这时系统1L 损坏时系统2L 才开始工作, 故整个系统L 的寿命Z 是21,L L 两者寿命之和, 即,Y X Z += 故当0>z 时, Y X Z +=的概率密度为⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎰---=zy y z dy e e 0)(βαβα⎰---=z y z dy e e 0)(αβααβ.][z z e e βααβαβ----=而当0≤z 时, ,0)(=z f Z 于是Y X Z +=的概率密度为.0,00],[)(⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--z z e e z f z z Z βααβαβ课堂练习1. 已知),(Y X 的分布律为求: （1）Z = （2）;XY Z = （3）();2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=Y X Z π （4）},max{Y X Z =的分布律.2. 若X 和Y 独立, 具有共同的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f求Y X Z +=的概率密度.。

概率论第三章二维随机变量

取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布分布律２. 边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布可列的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法求联合分布的步骤与方法分布先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.

第三章03二维随机变量数字特征

解方法一：求出边缘密度，再求期望
7 方法二： EX xf ( x, y )dxdy x( x y )dxdy 0 0 12 1 1 7 EY yf ( x, y )dxdy y( x y )dxdy 0 0 12
E 则： [a1 X 1 a 2 X 2 ... a n X n ] a1 E[ X 1 ] a 2 E[ X 2 ] ... a n E[ X n ]
注:一般情况下，E[ g( X ,Y )] g( E[ X ], E[Y ]) (3)、 X和Y的期望
EX
例: E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
1、二维离散型随机变量函数的期望
(1)设(X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布列为 pij P ( X x i ,Y y j )
二元函数Z=g(X,Y)可以确定一个新的随机变量，期望为：
E[ Z ] E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) P ( X x i , Y y j ) g( x i , y j ) pij

Y X 0 1
0 0.3 0.1 0.4
1 0.2 0.1 0.3
2 0 0.3 0.3
PX
0.5 0.5 1
PY
x y ,0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 例设(X,Y)的密度函数为 0 , 其他
求Cov(X,Y).
7 解 EX 0 0 12 1 1 7 EY yf ( x, y )dxdy y( x y )dxdy 0 0 12 1 1 1 E(XY) xyf ( x, y )dxdy xy( x y )dxdy 0 0 3 1 7 7 1 ∴Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY= 3 12 12 144

概率论第3章随机向量及其分布

例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y

P X xi , (Y y j )

j 1

P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi

i 1

定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，

第三章02二维随机向量函数的分布

i! j 2 2 P(Y j ) e j! 由X和Y相互独立知 P( X i )

i 1
e
1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i）P（Y r i )
i 0
r
e-1
i 0
r
i 1
i!
r
e-2
例5 设( X , Y )服从区域D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 1} 0 上的均匀分布，Z 1
1 f ( x, y ) 2 0
X Y X Y
, 求Z的概率分布。
解 ( X , Y )的密度函数为 ( x, y )D 1 其他

f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx

这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例8 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ N 0， 1，Y ~ N 0， 1，
令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
2
P{Z 0} P{ X Y }

x y

f ( x, y )dxdy (
0
1
1
x
1 1 dy )dx 2 4
3 P{Z 1} 1 P{Z 0} 4
可知Z 服从0 1分布。
1 2
若(X,Y)为连续型二维随机变量，并且Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量，则需要由(X,Y)的密度函数f(x,y)求随机变量Z的密度函数，通常采用分布函数法。一般步骤为：
证：由二项分布知
i pi q n1 i , i 0,1, 2, , n P{ X i} C 1 n1

3-1.二维随机变量ppt

X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3; Y的可能取值为 3 的可能取值为1, 的可能取值为解: 的可能取值为
P {X = 0, Y = 1} = 0
P {X = 3, Y = 1} = 0
3 P {X = 1, Y = 1} = 8 3 P {X = 2, Y = 1} = 8
1 P {X = 0, Y = 3} = 8
( X 1, X 2, , X n ) = ( X1(e), X2 (e),, Xn (e)) ( e ∈ S )
为样本空间S上的维随机变量为样本空间上的n维随机变量上的维随机变量.
10
二维随机变量
n维随机变量的分布函数维随机变量的分布函数是一个n维随机变量设(X1,X2,…,Xn)是一个维随机变量则对于任意一组是一个维随机变量.则对于任意一组实数(x 实数 1,x2,…,xn),恒有恒有
则其联合分布函数
利用几何图形进行解释
F ( x , y ) = P {X ≤ x;Y ≤ y}
=
xi ≤ x y j ≤ y
∑∑p
ij
14
二维随机变量
设有10件产品中有件是次品, 件产品中有2件是次品例 1 设有件产品中有件是次品,从中依次随表示取到正品, "0"表示取到正品,"1"表示取到次表示取到正品表示取到次机地不放回地取两件,若以X,Y分别表示第一次, 分别表示第一次, 机地不放回地取两件,若以分别表示第一次品. 第二次的次品数, 第二次的次品数,求(X,Y)的联合分布率. )的联合分布率.
F( x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}
= P({X ≤ x} ∩{Y ≤ y})

第三章随机向量

第三章随机向量在有些随机现象中，每次试验的结果需同时用多个指标来描述，如炮弹的弹着点的平面坐标，飞机的重心在空中的位置需三个坐标来确定，等等。

我们称由n 个随机变量1ξ,2ξ,n ξ, 构成的向量ξ=()n ξξξ,,,21 为n 维随机向量。

为简单起见，本节着重研究二维随机向量。

§1 二维随机向量及其分布函数定义设()ηξ,是二维随机变量，对任意实数y x ,，称二元函数()()y x P y x F ≤≤=ηξ,,为二维随机变量()ηξ,的联合分布函数。

由定义可以知道，对于任意b a <,d c <，有()d c b a P ≤<≤<ηξ,()()()()c a F c b F d a F d b F ,,,,+--=与一维随机变量的分布函数相类似，二维随机变量()ηξ,的联合分布函数),(y x F 有以下几个性质：（1）()1,0≤≤y x F（2）()y x F ,关于变量x 或y 单调增加；（3）()y x F ,关于变量x 或y 都是右连续的；（4）()0,=∞-y F ,()0,=-∞x F ,()0,=-∞∞-F ,()1,=+∞∞+F ；由于二维随机变量的每一个分量都是一维随机变量，从而它们有各自的分布函数()()x P x F ≤=ξξ和()()y P x F ≤=ηη，称为分量ξ和η的边缘分布函数。

由定义可以得到()()x P x F ≤=ξξ()()y x F x P y ,lim ,+∞→=+∞<≤=ηξ()+∞=,x F ，R x ∈类似，()y F η()y F ,∞+=，R y ∈例设二维随机变量()ηξ,的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>+--=-----其它00,01,y x e e e y x F xy y x y x λ 称这分布为二维指数分布，其中参数0≥λ。

利用上面所给公式，容易求得关于随机变量ξ和η的边缘分布函数分别为：()=x F ξ()+∞,x F ⎩⎨⎧≤>-=-001x x e x ()=y F η()y F ,∞+⎩⎨⎧≤>-=-0001y y e y 它们都是一维指数分布函数，且与参数λ无关。

第三章二维随机变量及其分布

y
x 0, y 0 y x
0
3 2 dy 1 5 5
x

0
3e
3 y
dy
0
3e
5 y
例2 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
1 (6 x y ), 0 x 2, 2 y 4 f ( x, y ) 8 其他 0,
解 ( X , Y ) 的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3) × (2/2)＝1/3，
Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，ＹＸ１２１２
０ 1/3
1/3 1/3
P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2) =P(|Y|≥2) =1-P(|Y|<2) =2-2Φ(2)=0.0455 P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2) =P(1≤|Y|<2) =P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2) =2P(1≤Y<2) =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719
第三章二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性
两个随机变量的函数的分布
前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。
例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。
A （x，y）
二维随机变量的联合分布函数
定义
若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.

3-3随机向量函数的分布与期望

一、随机变量函数的分布
1、离散型
D.r.v（. X ,Y），g( x, y)是一个二元函数，
则g( X ,Y )作为( X ,Y )的函数是一个离散型随机变量，
( X ,Y ) ~ P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, , 设Z g( X ,Y )的所有可能取值为zk (k 1, 2, )，则Z的概率分布为
Possion分布的可加性
证：
P(X
i)
e1 i 1
，
i=0,1,2,…
i!
P(Y j) e2 2j ， j=0,1,2,…
j!
P(Z X Y k) k=0,1,2…
k
P(X i,Y k i)
i0
k
P{ X i}P{Y k i}
i0
k
i
e-1 1 e-2
k-i 2
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
2zez , z 0
0, z 0
注：指数分布不具有可加性。
z0 z0
例2 P114 29 ( X ,Y ) ~ U (G),G {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1}
求 X , M max{ X ,Y }, S XY的分布。

3-3二维随机向量

第三章 2二维随机向量数字特征

3-3 两个变量的独立性与函数分布

概率论与数理统计第3章随机向量

研究生数学基础课程之应用数理统计3-3

二维随机变量及其分布

第三章 二维随机变量及其分布

大学概率论第三章----随机向量

《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布

第三节 二维随机变量函数的分布

概率论第三章二维随机变量

第三章03二维随机变量数字特征

概率论第3章 随机向量及其分布

第三章02二维随机向量函数的分布

3-1.二维随机变量ppt

第三章 随机向量

第三章二维随机变量及其分布

3-3随机向量函数的分布与期望

第三章二维随机变量及其分布

《概率论与数理统计》第3章二维随机变量及其分布

第三节二维随机变量函数的分布

概率论第3章随机向量及其分布

第三章随机向量