2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，将 , 代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
9．已知曲线 的一条对称轴方程为 ，曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线 的一个对称中心的坐标为 ，则 的最小值是（）
柱组合而成，其体积为 .
故答案为：20 .
【点睛】
本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.
14． 的展开式中 的系数为________.
【答案】80.
【解析】只需找到 展开式中的 项的系数即可.
【详解】
展开式的通项为 ，令 ，
则 ，故 的展开式中 的系数为80.
2．设复数 满足 为虚数单位)，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易得 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知， ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（）
A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
【答案】D
【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的
【详解】
先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，
如图所示，当 时，对称后的图象不可能与 在 的图象有3个交点；
当 时，要使函数 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
二、填空题
13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.
【答案】20
【解析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【详解】
∵直线 是曲线 的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线 为 .
曲线 的一个对称中心为 .
.
，注意到
故 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模
数学试题
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， .则集合 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先算出集合 ，再与集合B求交集即可.
【详解】
因为 或 .所以 ，又因为 .
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
∵ 平面 .
.
平面 ；
（2）如图，取 中点 ，连 ，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点 ，
设平面 的法向量为 ，
，
有 ，令 ，
得
又 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
附：多项式因式分解公式：
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由 得 令 可得 ，进而得到 ，同理 ，利用数量积坐标计算 即可；
（2） ，分 ， 两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点 的坐标为 .
联立方程 ，消去 后整理为
有 ，可得 ， ， .
可得点 的坐标为 .
当 时，可求得点 的坐标为 ，
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
5．已知 为锐角，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，再利用 计算即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 .
乙公司旅游总收入在 中的有2人，故 的可能取值为1，2，3，易知：
， ;
.
所以 的分布列为：
1
2
3
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
19．已知数列 ， 满足 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）分别求数列 ， 的前 项和 ， .
18．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可：
（2）取 中点 ，连 ，以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求出 与平面 的法向量 ，再利用 计算即可.
【详解】
（1）∵底面 为菱形，
∵直棱柱 平面 .
【答案】（1） （2） ；
【解析】（1） ， ，可得 为公比为2的等比数列， 可得 为公差为1的等差数列，再算出 ， 的通项公式，解方程组即可；
（2）利用分组求和法解决.
【详解】
（1）依题意有
又 .
可得数列 为公比为2的等比数列， 为公差为1的等差数列，
由 ，得
解得
故数列 ， 的通项公式分别为 .
（2） ，
故答案为：80.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.
15．已知 ，则 ________. (填“>”或“=”或“<”).
【答案】
【解析】注意到 ，故只需比较 与1的大小即可.
【详解】
由已知， ，故有 .又由 ，
故有 .
故答案为： .
【点睛】
【点睛】
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时， 且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
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【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.
20．已知椭圆 的右焦点为 ，直线 被称作为椭圆 的一条准线，点 在椭圆 上(异于椭圆左、右顶点)，过点 作直线 与椭圆 相切，且与直线 相交于点 .
（1）求证： .
（2）若点 在 轴的上方，当 的面积最小时，求直线 的斜率 .
， .
有 ,
故有 .
（2）若点 在 轴上方，因为 ，所以有 ，
由（1）知
①因为 时.由（1）知 ，
由函数 单调递增，可得此时 .
②当 时，由（1）知
令
由
，故当 时，
，此时函数 单调递增：当 时， ，此时函数 单
调递减，又由 ，故函数 的最小值 ，函数 取最小值时
，可求得 .
由①②知，若点 在 轴上方，当 的面积最小时，直线 的斜率为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
6．已知 中内角 所对应的边依次为 ，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得 ，结合 可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得 ，由 ，解得 ，
所以， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，所以 ，由 为定义在 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知 在 上单调递增，注意到 ，再利用函数单调性即可解决.
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．已知点 为双曲线 的右焦点， 两点在双曲线上，且 关于原点对称，若 ，设 ，且 ，则该双曲线 的焦距的取值范围是________.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，由于 .所以四边形 为矩形，故 ，由双曲线定义 可得 ，再求 的值域即可.
【答案】A
【解析】过 作 与准线垂直，垂足为 ，利用抛物线的定义可得 ，要使 最大，则 应最大，此时 与抛物线 相切，再用判别式或导数计算即可.
【详解】
过 作 与准线垂直，垂足为 ， ，
则当 取得最大值时， 最大，此时 与抛物线 相切，
易知此时直线 的斜率存在，设切线方程为 ，
则 .则 ，
则直线 的方程为 .
【详解】
如图，
设双曲线的左焦点为 ，连接 ，由于 .所以四边形 为矩形，
故 .
在 中 ，
由双曲线的定义可得
，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
三、解答题
17．如图，在直棱柱 中，底面 为菱形， ， ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为 .∴这3个实数都小于1的概率为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
4．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）
（1）求 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在 (单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ，乙公司影响度高；（2）见解析，
【解析】（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在 中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知， ，解得 ，
由频数分布表中知： ，解得 .
所以，甲公司的导游优秀率为： ，
乙公司的导游优秀率为： ，
由于 ，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在 中的有 人，
10．半径为2的球 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，利用 ，可得 ，进一步得到侧面积 ，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，则 ，
【详解】
因为 在 上是奇函数.所以 ，解得 ，所以当 时，
，且 时， 单调递增，所以
在 上单调递增，因为 ，
故有 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
8．如图，在 中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 为线段 上靠近点 的三等分点，则 （）
在 中， ，化为 ，
，
，
当且仅当 时取等号，此时 .
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
11．已知焦点为 的抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，则当 取得最大值时，直线 的方程为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D．