2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学试题(解析版)
2020届黑龙江省齐齐哈尔市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合
要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.
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【详解】
从 7 个球里取 3 个球，共有
种可能的情况，
全是红球的情况有
，全是白球的情况有
，
将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，
所以概率为 【点睛】 本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.
，
由
知
，
又
，所以 方程为
，
由内切圆圆心到直线 距离为 ，
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即
得 ，所以 方程为
.
故选 D 项
【点睛】 本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.
二、填空题 13．已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，
__________．
，
.若 ，则实数
【答案】 【解析】由 ，得 的值. 【详解】
【详解】
由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为 6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为 6，6 的等腰直角三角形，高为 2，
故该几何体的体积为
.
故选 D 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 第 4 页 共 19 页
，
，
，代入
，
，得到关于 的方程，得到
而
， ， 的夹角为
【点睛】
，.
本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题.
14．在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概
2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，则 A∩B 等于（ ）
A. {2，3，4}
B. {1，2，3}
C. {2，5}
D. {1，4}
2. 已知复数 z＝
解：∵△ABC 的面积 S= cosC，且 a= ，b= ，
∴ cosC=
∴tanC= ，
∴cosC=
=，
sinC，cosC＞0，
∴c=
=
故选：A．
10.答案：A
=2．
解析：【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是 解决本题的关键．考查学生的推理能力． 利用图象确定 A，ω 和 φ 的值，求出函数的解析式，利用辅助角公式进行化简，结合三 角函数的单调性进行求解即可． 【解答】
是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（）
A. 2i
B. ﹣2i
C. i
D. ﹣i
3. 已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双
曲线的实轴长为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知变量 满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）
A. -9
5. 函数 f（x）=
解：f（-x）= =-f（x），
即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B， 当 x＞0 时，f（x）＞0，排除 D. 故选：C．
6.答案：C
解析：解：第一次 k=m，k＞m+2 否，S=m，k=m+1， 第二次 k=m+1，k＞m+2 否，S=m+m+1=2m+1，k=m+2， 第三次 k=m+2，k＞m+2 否，S=2m+1+m+2=3m+3，k=m+3， 第四次 k=m+3，k＞m+2 是，输出 S=3m+3=30， 得 3m=27， 得 m=9， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >，综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.2．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C 【解析】 【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.3．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x yx y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时24x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.4．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =⋅，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．5．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 7．复数12i2i+=-（ ）．A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 8．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础． 10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2 B ．1C ．2D 5【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y =±B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+， 即：223a b =，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，a 1＝1，S 5＝15，且a 3+λa 9+a 15＝15，则实数λ＝ ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 8 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A （2，2）， 由z ＝x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z ＝2+3×2＝8， 故答案为：8．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为0.976．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024，则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1＝1，S5＝15，且a3+λa9+a15＝15，则实数λ＝−13．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝1，S5＝15，∴5+10d＝15，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n，代入a3+λa9+a15＝15，∴3+9λ+15＝15，解得实数λ=−1 3．故答案为：−1 3．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．【分析】（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，再利用余弦定理即可得出．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，可得4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc=45，A∈(0，π2 )，∴sin A=√1−cos2A=35，则tan A=34．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，∴4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，∵tan B＞0，tan C＞0，由均值不等式可得：4tan B+4tan C＝3tan B tan C﹣3≥2√4tanB⋅4tanC，当且仅当tan B ＝tan C＝3时取等号．解得tan B tan C≥9．∴tan B tan C的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝3）=C33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ0123P2712554125361258125∵ξ～B（3，25），∴E（ξ）＝3×25=65．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得PA∥EG，再由E为PC的中点，得G为AC的中点，则△AFG≌△BCG，得到AF＝BC=12AD＝1，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由AD⊥DC，得BF⊥AD，可得BF⊥平面PAD，进一步得到平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）连接PF，证明PF⊥底面ABCD，又BF⊥AD，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，t），由PC与底面ABCD所成的角为60°求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE与G，连接EG，∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EG，∴PA∥EG，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)． 设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77， 又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ），B 是AC 的中点，则{m =x 2n =y+22， 因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2，即x 24=2⋅2+y 2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D （2，0），设直线l ：y =12x +t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将l 的方程代入x 2＝4y 得x 2﹣2x ﹣4t ＝0（*），所以x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣4t ，△＝4+16t ＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增，综上所求：当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x −1 （x ＞0），∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e 2）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥|| 若m ≤0，则解集为∅，不合题意； 若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1 ∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=RD. A∩B=∅2.已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3.过点P（0，1）的直线l与圆（x-1）2+（y-1）2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（）A. ±1B.C.D. ±24.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B.C.D. ，5.已知cos（）=，则sin（2）=（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=e x-e-x+，若f（lg m）=3，则f（lg）=（）A. -4B. -3C. -2D. -17.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.9.双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 410.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（）A. =B. =C. =D. =11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D. 8π12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=，则f（f（-e））=______．14.（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是______．15.设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．16.以抛物线y2=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n+n2-1，数列{b n}为等比数列，公比为q，且S5=qS2+3，a2=5b1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）若AB=AC=，BC=BB1=2，在棱AC上是否存在点M，使二面角B-A1D-M的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（M、N是异于A的两个不同的点），已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ．（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．20.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量ξ的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运x（235≤x≤265，x∈N）支百合花，当x为多少时，四月后20天每天百合花销售利润T（单位：元）的期望值最大？21.已知函数f（x）=x+x lnx，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜（其中n∈N*）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|．23.（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a3+b3+c3+（）3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x＜0，或x＞2}，且；∴A∪B=R．故选：C．容易求出集合A={x|x＜0，或x＞2}，从而可判断集合A，B的关系．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．2.答案：C解析：解：∵z-2=（z+2）i，∴z（1-i）=2+2i，故z=．故选：C．先将式子化为z（1-i）=2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果．本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．3.答案：A解析：解：由题意设直线l的方程为y=kx+1，因为圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），半径为r=1，又弦长|AB|=，所以圆心到直线的距离为d===，所以有=，解得k=±1．故选：A．先由题意，设直线的方程为y=kx+1；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属中档题．4.答案：B解析：解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，则p==，“恰有1次反面朝上”的频数为7，所以f=，故选：B．事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，可以根据计数原理处理．从模拟数据中数出“恰有1次反面朝上”的个数，除以20即可得到f，本题考查了古典概型的概率计算，随机模拟，属基础题．5.答案：B解析：解：∵cos（）=，则sin（2）=-cos（2α-+）=-cos（2α+）=1-2=1-2×=，故选：B．由则sin（2）=-cos（2α-+），利用二倍角公式可得结果．本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型．6.答案：C解析：解：根据题意，f（x）=e x-e-x+，则f（-x）=e-x-e x+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．7.答案：A解析：解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB 与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.答案：B解析：解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），由GF1⊥GF2，得，即，解得x=a，所以G（a，b），又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y=-x上，所以，因此c=2a，故离心率为2．故选：B．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.答案：D解析：解：设DF=2AF=2，因此BD=AF=1，又由题意可得∠ADB=120°，所以AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB=32+12-6cos∠120°=13，因此AB=；延长AD交BC于M，记∠DAB=θ，∠AMB=α，则cos∠DAB===，所以sin∠DAB==；又由题意易知∠DAB=∠DBM，则α=120°-θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得：=，即，因此BM====BC，DM===，所以AD=AM=AM，因为=，即=（），整理得=+，所以==（+）=+．故选：D．先设DF=2AF=2，根据题意可知∠ADB=120°，求出AB的长，延长AD交BC于M，求出BM，DM的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．11.答案：C解析：解：根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的底面边长为2，高为；取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE=，EP=1，因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以有OE==，OD==，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为4πR2=．故选：C．先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．13.答案：e解析：【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由f（f（-e））=f（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=，则f（-e）=ln e=1，则f（f（-e））=f（1）=e1=e；故答案为：e．14.答案：-16解析：解：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，故答案为：-16．由二项式定理及分类讨论思想得：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，得解本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．15.答案：2解析：解：根据题意，在△ABC中，b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，则有=，解可得a=2，故答案为：2．根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，联立可得=，解可得a的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．16.答案：32解析：解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=-，所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2=p2，因为A，B两点为圆+y2=p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，由x=0得，A（0，）；所以直线AF的斜率为k AF==-，因此直线AF的方程为y=-x+，由得C（-，p）；由得D（，），所以|FD|=+=，|CD|==p，|AD|==p，又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|PD|•|CD|=p2≤32，当且仅当p=6时，取等号．故答案为：32．由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D 两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．17.答案：解：（I）∵S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，∴a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，∴a n=2n+1．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．∵5b1=a2=5，解得b1=1．∵S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q=4．∴b n=4n-1．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．∴T n=3+5×4+7×42+……+（2n+1）•4n-1．4T n=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）•4n-1+（2n+1）•4n．∴-3T n=3+2（4+42+……+4n-1）-（2n+1）•4n=3+2×-（2n+1）•4n，∴T n=-+•4n．解析：（I）S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，可得a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，化简即可得出．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．解得b1=1．利用S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q．可得b n．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1中点，连接OD，又D是棱B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．解：（Ⅱ）由已知AB⊥AC，则AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则B（），A1（0，0，2），D（，2），C（0，，0），设M（0，a，0），（0），则=（-），=（，0），=（0，a，-2），设平面BA1D的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1）．设平面A1DM的法向量为=（x，y，z），则，x=-2，得=（-2，2，a）．∵二面角B-A1D-M的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|===，∴3a2+16-24=0，解得a=-6或a=，∵0，∴a=，∴存在点M，此时=，使二面角B-A1D-M的大小为45°．解析：（Ⅰ）先连接AB1，交A1B于点O，再由线面平行的判定定理，即可证明AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）先由题意得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（0，a，0），（0），求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a，进而可得出结果．本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型．19.答案：（Ⅰ）解：不妨设M（-2，m），N（2，m），k1=，k2=，∴k1k2=-=，∴λ=．（Ⅱ）证明：联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，=16（4k2+1-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∵k1k2=•==-，∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，∴（4k2+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m2+12=0，∴（4k2+3）•+（4km-6）（-）+4m2+12=0，∴2k2+m2+3km=0，∴m=-k或m=-2k，均符合＞0．若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）．解析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中直线过定点的问题，属于中档题．（Ⅰ）先由k=0，设M（-2，m），N（2，m），表示出k1，k2，进而可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点．20.答案：解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数==250．频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，ξ 235245255265P0.10.30.40.2（）①＜，∈ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x-1.8（245-x）=0.2x+49，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（0.2x+49）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=0.2x+92.7 ②245≤x＜255，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=-0.52x+225 ③255≤x≤265，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x=510-1.6x，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（510-1.6x）+0.2×（0.2x+53）=-1.24x+408.6 ∴x=245时，E（Y）max=97.6（元）．故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润Y的期望值最大．解析：（I）根据题意完善频率分布直方图，平均数等于每组的中间值乘以该组频率再求和；众数为频率最大的一组的中间值；（Ⅱ）（1）由（I）中频率分组直方图可直接得到分布列；（2）分别计算235≤x＜245、245≤x＜255、以及255≤x≤265时的利润期望，比较大小即可得出结果．本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机分布列与期望等，结合相关知识点求解即可，属于常考中档题型．21.答案：解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）=0，F（x）在递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．（ii）当a时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a=时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴，∴∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，取k=1，2，3，…，n得n个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．解析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，得到f′（1）=2，再由f（1）=1，根据直线的点斜式方程即可求出y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出y=g（x）在（1，1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令F（x）=g（x）-f（x），对函数F（x）求导，通过讨论a≤0与、研究函数F（x）的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立，得，分别令x=1，2，…，n得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于较难题目．22.答案：解：（Ⅰ）易知直线l的方程为y=x+1，曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）将（t参数），代入+=1中得7t2-6-18=0，△＞0设AB所对应的参数分别为t1，t2，t1+t2=，t1t2=-，|AB|=|t1-t2|==．解析：（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入+=1得到关于t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB|=|t1-t2|即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.答案：证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a4+b4≥≥[]2=×4解（II）a＞0，b＞0，c＞0，∴a3+b3+c3+（）3≥3+（3）3≥2=18当且仅当a=b=c=时，原式取最小值18．解析：（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。
黑龙江省2020届高中毕业班数学第二次质量检测试卷(I)卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） (共12题；共60分)
1. （5分） (2018·成都模拟) 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
B . 6
C . 8
D . 12
10. （5分） 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为 （ ）
A .
B .
C .
D .
11. （5分） 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P（A）=P（B）= ，则“出现1点或2点”的概率为（ ）
A .
B .
C .
A . 15°
B . 75°
C . 30°或60°
D . 15°或75°
8. （5分） (2018高二下·晋江期末) 设 ，则 是 的（ ）
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
9. （5分） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 3
（1） 求 的值；
（2） 求 在点 处的切线方程．
22. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 在极坐标系中，点 坐标是 ，曲线 的方程为 ；以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 的直线 经过点 ．
（1） 写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2） 求证直线 和曲线 相交于两点 、 ，并求 的值．
三、 解答题（本大题共6小题，共70分） (共7题；共80分)
17. （12分） (2020·泉州模拟) 记 为数列 的前n项和.已知 ， .
2020年黑龙江省高考数学(文科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
1+??
2．（ 5 分）已知 i 为虚数单位， a， b∈R，复数 2-?? - i ＝ a+bi ，则 a﹣ bi＝（
）
12 A ． - ??
55
12 B ． + ??
55
21 C． - ??
55
21 D． + ??
55
3．（ 5 分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域
PM 2.5 主要来自工业和民用污染，
100
户居民进行调查，发现每户的用气量都在
150 立方米到 450 立方米之间，得到如图所示
的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间
[300 ， 350）的户数为（
）
A ．5
B ．15
C． 20
D． 25
→→
→
→
→→ →
→
→→
4．（ 5 分）已知平面向量 ??，??满足 |??| = 2， |??| = 1 ，且 (2??- ??) ?(??+ 2??) = 9 ，则向量 ??，??
取回，则取回的钱的总数为（
）
17
A ．a（ 1+ r）
B．
?? [（
1+r）
17﹣（
1+
r）
]
??
C． a（ 1+ r） 18
D．
?? [（
1+r） 18﹣（
1+r）
]
??
12．（ 5 分）设函数 f（ x）＝ alnx+bx2（ a＞ 0，b＞ 0），若函数 f（ x）的图象在 x＝ 1 处的切线
2020 年黑龙江省高考数学（文科）模拟试卷（ 2）
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．76【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到坐标为()6,23b b ，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为33y x =，设点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为()6,23b b ，代入双曲线得到22221371.366b b e a a =⇒=+= 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．4．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A【解析】【分析】 根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.5．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】【分析】 由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.7．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A 6B ．10C 5D 15 【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r ．设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =， 得(1,3,0)n =r ．设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ， 则11236sin 484||BC n BC n θ⋅-===⋅⋅u u u r r u u u r r ， 2610cos 14θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴直线1BC 与平面11ACC A 15 故选：D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( )A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C C A 将选中2名男生平均分为两组：112122C C A 则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C = 所以所求的概率为42189= 故选：B【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果.【详解】 ()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.11．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.12．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE14SB =.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．5C．1316D．113【答案】D【解析】【分析】可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF===，，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵14SE SB=，∴13SE BE=，又OB＝3，∴113OF OB==，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴32SC=；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴10SF=；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴10CF=，∴等腰△SCF中，2232(10)()112332tan CSF∠-==.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.2．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．3．已知双曲线C：2222x ya b-=1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x=，则C为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.5．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =. 因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.6．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B．3-C．3-D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b∴r r 1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.7．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤， 等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.8．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．20151008【答案】D 【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336s t i s t i s t i =====+===++=L直至1111,2016;12123122015t i =++++=++++++L L 结束循环，输出1111111112(1)1212312201522320152016t =++++=-+-++-++++++L L L120152(1)20161008=-=，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A．5B．4C．2D．22【答案】D【解析】【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r 可知，0a c b c ⋅=⋅=r r r r ，故()0a b c -⋅=r r r 也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江高三二模数学试卷(理科)
2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（ ）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则； （）若，，，则；（）若，，，则； （）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（ ）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |0＜lnx ＜2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．设z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．34．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−125．函数f （x ）＝|x |−ln|x|x 2的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →=a →，AC →=b →，AF →=xa →+y b →，则1x+4y+1的最小值为（ ）A ．6+2√2B ．6√3C ．6+4√2D ．3+2√27．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出的S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．9228．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ，则cos ∠APA 1的最小值是（ ） A ．√22B ．√55C ．13D ．2√239．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．510．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+1411．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−1212．已知不等式x +alnx +1e x≥x a 对x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．−√eB ．−e2C ．﹣eD ．﹣2e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．14．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 ． 15．若函数f （x ）={e x −a ，x ＜1(x −2a)(x −a 2)，x ≥1恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足CP→=λCC1→（λ＞0），当λ=12时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为π3，求λ的值．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：年份201020112012201320142015201620172018时间代号x123456789实体店纯利润y（千万）2 2.3 2.5 2.93 2.5 2.1 1.7 1.2根据这9年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这9年的数据，进行预测；方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适．附：相关性检验的临界值表：n﹣2小概率0.050.013 0.878 0.9597 0.666 0.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望． 20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值．21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2． （1）若a ≥0，讨论g （x ）的零点个数； （2）证明：f （x ）≤g （x ）．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的最小值记为m ，设a ＞0，b ＞0，且有a +b ＝m ．求1a+1+2b+2的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |0＜lnx ＜2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B 的真子集的个数．解：∵集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x ∈Z|﹣1≤x ≤4}＝{﹣1，0，1，2，3，4}， B ＝{x |0＜lnx ＜2}＝{x |1＜x ＜e 2}， ∴A ∩B ＝{2，3，4}，∴A ∩B 的真子集的个数为：23﹣1＝7个． 故选：C ．【点评】本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”⇒“z 2∈R ”，反之不成立，例如取z ＝2．即可判断出结论．解：∵z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”⇒“z 2∈R ”，反之不成立，例如取z ＝2． ∴“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据正态分布N ∽（0，1）的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x ＝0，欲求图中阴影部分面积，只须求12−P （X ≤﹣a ），再结合对称性进行代换即可求得答案．解：：∵Φ（﹣a ）＝P （X ≤﹣a ），∴图中阴影部分的面积为12−P （X ≤﹣a ）=12−Φ（﹣a ），根据对称性可知阴影部分的面积为P （X ≤a ）−12=Φ（a ）−12， ∴①③正确， 故选：C ．【点评】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键．4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−12【分析】由等差数列的中项性质可得2S 3＝S 1+S 2，再由等比数列的通项公式解方程可得q ．解：S 1，S 3，S 2成等差数列， 可得2S 3＝S 1+S 2，即为2（a 1+a 2+a 3）＝a 1+a 1+a 2， 即有2a 1（1+q +q 2）＝a 1（2+q ）， 化为2q 2+q ＝0，解得q =−12（q ＝0舍去）， 故选：D ．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．函数f （x ）＝|x |−ln|x|x 2的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x＞0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D．当x＞0时，f(x)=x−lnxx2，f′(x)=x3+2lnx−1x3，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1．所以f（x）在x＝1处取得极小值，排除B，故选：A．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．6．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设AB→=a→，AC→=b→，AF→=xa→+y b→，则1x +4y+1的最小值为（）A．6+2√2B．6√3C．6+4√2D．3+2√2【分析】用AD→，AC→表示AF→，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到1x +4 y+1关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．解：AF→=xa→+yb→=2x AD→+y AC→．∵C，F，D三点共线，∴2x+y＝1．即y＝1﹣2x．由图可知x＞0．∴1x +4y+1=1x+21−x=x+1x−x2．令f（x）=x+1x−x2，得f′（x）=x2+2x−1(x−x2)2，令f′（x）＝0得x=√2−1或x=−√2−1（舍）．当0＜x＜√2−1时，f′（x）＜0，当x＞√2−1时，f′（x）＞0．∴当x=√2−1时，f（x）取得最小值f（√2−1）=√2(√2−1)−(√2−1)2=3+2√2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是（）A．910B．1011C．1112D．922【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+110×11的值，可得：S=11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（）A ．√22B ．√55C ．13D ．2√23【分析】连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =∥PM ，从而A 1P ＝C 1M ，由此能求出cos ∠APA 1的值．解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ， 设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =∥PM ，∴A 1P ＝C 1M =AC 4=√24，∴cos ∠APA 1=A 1PAP=√24√A1P2+AA 12=√24√18+1=13，即cos ∠APA 1的最小值是13．故选：C ．【点评】本题考查角的余弦函数值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．5【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可． 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ，由{x =3x −y +1=0，解得A （3，4）， 设z ＝x ﹣2y 得：y =12x −12z ，平移直线y =12x −12z ，结合图象直线过A 时，z 最小，z 的最小值是：﹣5， 故选：B ．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 10．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+14【分析】设P 的坐标为（m ，√m ），求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m ＝4，根据双曲线的定义求出a ，c 即可． 解：设P 的坐标为（m ，√m ），左焦点F （﹣4，0）， 函数的导数f ′（x ）=2√x ，则在P 处的切线斜率k ＝f ′（m ）=2√m =√mm+4， 即m +4＝2m ，得m ＝4，则P （4，2），设右焦点为A （4，0），则2a ＝|PF |﹣|PA |=√64+4−√0+4=2（√17−1）， 即a =√17−1， ∵c ＝4，∴双曲线的离心率e =c a =√17+14，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出a ，c 是解决本题的关键．考查运算能力．11．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−12【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案． 解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形， 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1， 由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为√1−14=√32，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为√3−12，故选：D ．【点评】本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．12．已知不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−e2C．﹣e D．﹣2e【分析】将原不等式化为e﹣x﹣lne﹣x≥x a﹣lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；设函数f（x）＝x﹣lnx，即f（e﹣x）≥f（x a）对x∈（1，+∞）恒成立；讨论函数f（x）的单调性；解：不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈（1，+∞）恒成立；即x+1e x≥x a−alnx=x a−lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；即e﹣x﹣lne﹣x≥x a﹣lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；设函数f（x）＝x﹣lnx，则f′(x)=1−1x=x−1x；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；即f（e﹣x）≥f（x a）对x∈（1，+∞）恒成立；∵x∈（1，+∞）时，e−x∈(0，1e)；根据选项，只需讨论a＜0的情况；当a＜0 时，y＝x a在x∈（1，+∞）上单调递减，则x a∈（0，1）；则e﹣x≤x a，两边取e为底的对数，得：﹣x≤alnx（x＞1）；即a≥−xlnx（x＞1）设函数h(x)=−xlnx，则h′(x)=1−lnx(lnx)2；所以h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；则h（x）最大值＝h（e）＝﹣e，即a≥﹣e；故选：C．【点评】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p=1 2，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，12）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14．已知向量a→=（4，2），b→=（λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【分析】先求出a→+2b→与a→−b→的坐标，再根据a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，求出实数λ的取值范围．解：∵向量a→=（4，2），b→=（λ，1），∴a→+2b→=（4+2λ，4），a→−b→=（4﹣λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，即4+2λ4−λ≠41，且（a→+2b→）•（a→−b→）＝（4+2λ，4）•（4﹣λ，1）＝20+4λ﹣2λ2＞0，求得1−√11＜λ＜1+√11，且λ≠2，故答案为：（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．15．若函数f（x）={e x−a，x＜1(x−2a)(x−a2)，x≥1恰有2个零点，则实数a的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e，+∞）．【分析】分四种情况讨论当a≤0时，当0＜a＜2时，当a＝2时，当a＞2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点．解：当a ≤0时，不满足题意，当0＜a ＜2时，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即{e −a ＞0a 2＜1≤2a ⇒12≤a ＜1， 当a ＝2时，满足题意，当a ＞2时，a 2＞2a ＞4，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即e ﹣a ≤0．所以a ≥e ， 综上所述：实数a 的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．故答案为：[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13．【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，在分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科； 则有C 42A 33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，有C 32A 22+C 31A 22＝12种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．【分析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求cos B =√32，结合范围B ∈（0，π），可得B =π6，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin （C +π3）＝1，进而结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，由余弦定理，基本不等式可求得ac ≤32﹣16√3，进而根据三角形的面积公式即可求解． 解：（1）由于sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2，可得：sin B =2√3⋅12acsinB a 2+c 2−b2，所以a 2+c 2−b 22ac=√32，可得cos B =√32，所以由B ∈（0，π），可得B =π6，由sinBcos(π2−C)=cos 2A2，可得sin B sin C =1+cosA2， 可得：12sin C =1+cosA2， 可得sin C ＝1+cos （5π6−C ），可得sin （C +π3）＝1，因为C ∈（0，π），可得C +π3∈（π3，4π3），可得C +π3=π2， 可得C =π6．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，有AB ＝c ，AD ＝a ，∠BAD =5π6，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac •（−√32），即16＝a 2+c 2+√3ac ，可得16−√3ac ＝a 2+c 2≥2ac ，可得ac ≤32﹣16√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号， 可得△ABC 的面积S =12ac sin B =12×12×ac ≤8﹣4√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号，即△ABC 面积的最大值是8﹣4√3．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→（λ＞0），当λ=12时，AB 1⊥BP ． （1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1﹣AB ﹣P 的大小为π3，求λ的值．【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC 1的长．（2）求出平面PAB 的一个法向量，和平面ABB 1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．解：（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1（3，0，m ）， B （3，0，0），P （0，4，λm ），所以AB 1→=(3，0，m)，PB →=(3，−4，−λm)，AB →=(3，0，0)，…2分 当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3，0，m)⋅(3，−4，−12m)=0解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为n 1→=（x ，y ，z ），则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0，即{x =04y +3√2λz =0， 令z ＝1，则y =−3√2λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0，−3√2λ4，1)，…6分又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0，1，0)， 因二面角B 1﹣AB ﹣P 的平面角的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=12−3√2λ4(3√2λ4)+1结合λ＞0，解得λ=2√69．…10分．【点评】本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号x 123456789实体店纯利润y （千万）22.32.52.932.52.11.71.2根据这9年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254； 根据后5年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985； （1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这9年的数据，进行预测； 方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适． 附：相关性检验的临界值表：n ﹣2小概率 0.050.0130.8780.95970.6660.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望．【分析】（1）选取方案二更合适，理由是①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．②中相关系数|r |越接近1，线性相关性越强， 根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959，从而有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B（5，25），由此能求出ξ的分布列和E （ξ）． 解：（1）选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据． ②相关系数|r |越接近1，线性相关性越强，∵根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959， ∴有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位， 开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B （5，25），P （ξ＝0）=C 50(25)0(35)5=2433125， P （ξ＝1）=C 51(25)(35)4=162625， P （ξ＝2）=C 52(25)2(35)3=216625， P （ξ＝3）=C 53(25)3(35)2=144625， P （ξ＝4）=C 54(25)4(35)=48625， P （ξ＝5）=C 55(25)5(35)0=323125， ∴ξ的分布列为：ξ 0 12345P243312516262521662514462543625323125∵ξ～B （5，25），∴E （ξ）＝5×25=2． 【点评】本题考查方案的确定，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查线性回归方程、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆过两个点及e 与a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线PF 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D 的坐标，同理可得E 的坐标，求出直线DE 的斜率可得为定值．解：（1）由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=1e 2a2+34b 2=1e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程{y =kx +1y 2=4x ，整理可得：k4y 2﹣y +1＝0，△＝1﹣k ＞0即k ＜1，且k ≠0，y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k，由（1）可得左焦点F （﹣1，0），所以直线FP 的方程为：y =y1x 1+1（x +1），联立直线PF 与抛物线的方程：{y 2=4x y =y 1x 1+1(x +1)整理可得：y 2−4(x 1+1)y 1y +4＝0，所以y 1y D ＝4，所以y D =4y 1，所以D 的坐标（4y 12，4y 1）， 同理可得：E 的坐标（4y 22，4y 2），所以k DE =4y 1−4y 24y 12−4y 22=y 1y 2y 1+y 2=1，所以可证得直线DE 的斜率为定值1．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题． 21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2．（1）若a≥0，讨论g（x）的零点个数；（2）证明：f（x）≤g（x）．【分析】（1）求导可得g′（x）＝x（e x+2a），然后分a＝0及a＞0讨论即可得出零点个数；（2）令H（x）＝g（x）﹣f（x），连续求导后，可得H(x)min=H(x0)=(x0−1)e x0−ln(x0−1)−x0−1，且e x0=1x0−1，结合H（x0）＝1+x0﹣x0﹣1＝0，即可得证．解：（1）由题意，g′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），①当a＝0时，则函数g（x）＝（x﹣1）e x，此时函数g（x）有唯一的零点x＝1；②当a＞0时，令g′（x）＝0，易知当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）min＝g（0）＝﹣1，故函数g（x）最多有两个零点，当x＜0时，可得e x＜e0＝1且x﹣1＜0，故（x﹣1）e x＞x﹣1，∴g（x）＞ax2+x﹣1，故x→﹣∞时，g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）有一个零点；当x＞0时，g（1）＝a＞0，故g（x）在（0，+∞）上有一个零点；综上可知，当a＝0时，g（x）有唯一零点，当a＞0时，g（x）有两个零点；（2）证明：令H（x）＝g（x）﹣f（x）＝（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，x＞1，则H′(x)= xe x−1x−1−1=xe x−x x−1=x(e x−1x−1)，令t(x)=e x−1x−1，可得t（x）在（1，+∞）上是增函数，且t(1+e−2)=e1+e−2−e2＜0，t(2)=e2−1＞0，∴t（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0∈（1，2），当x∈（1，x0）时，H′（x）＞0，H（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＜0，H（x）递增，故H(x)min=H(x0)=(x0−1)e x0−ln(x0−1)−x0−1，且e x0=1x0−1，∴H（x0）＝1+x0﹣x0﹣1＝0，∴H（x）≥H（x0）＝0，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的零点以及不等式的证明，考查分类与整合思想，转化思想等数学思想，考查运算求解，逻辑推理等数学能力，属于中档题．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosϕy =1+√3sinϕ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣2ρsin θ﹣1＝0．（2）把直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），代入（x +1）2+（y ﹣1）2＝3，得到（﹣2+t cos α+1）2+（t sin α﹣1）2＝3， 整理得t 2﹣2（sin α+cos α）t ﹣1＝0， 所以t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1•t 2＝﹣1，则：|MA |2+|MB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4（1+2sin αcos α）+2＝4sin2α+6，当α=π4时，|MA |2+|MB |2的最大值10． 此时直线C 1的倾斜角为π4．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的最小值记为m ，设a ＞0，b ＞0，且有a +b ＝m ．求1a+1+2b+2的最小值．【分析】（1）将函数f （x ）化为分段函数的形式，再作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象，观察图象即可得解；（2）易知(a +1)+(b +2)=92，再利用柯西不等式即可求得最小值． 解：（1）f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x ，x ＜−1−x +2，−1≤x ≤123x ，x ＞12，作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0，1]；（2）由图可知，函数y ＝f （x ）的最小值为32，即m =32，∴a +b =32，∴(a +1)+(b +2)=92， ∴1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2)≥29(1+√2)2=6+4√29，当且仅当“b+2a+1=2(a+1)b+2”时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．。
2020-2021学年度黑龙江省齐齐哈尔市高考第二次模拟数学(理)试题及答案
高三第二次模拟考试 数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}1M N x x =<I D ．{}0M N x x =>U 2.设(2)(3)3(5)i xi y i +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则x yi +等于（ ） A ．5 B ．13 C ．22 D ．23.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.530，，样本数据分组为[]17.520，，[]2022.5，，[]22.525，，[]2527.5，，[]27.530，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）A ．68B ．72C ．76D ．80 4.521(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C.5 D ．-55.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=><5，左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN ∆的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -= B ．22148x y -= C.22182x y -= D ．22184x y -= 6.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4+2πB ．2+6π C.4+π D ．2+4π 7.执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6 C. 3.9 D ．4.98.等比例数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若6359,62S S S ==则，1a =（ ） A 2 B ．2 5 D ．3 9.已知函数()cos(2.)0,2f x x πωωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos 2.g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线23x π=对称B ．关于直线6x π=对称 C.关于点2-03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 10.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面,5,12,13ABC AB BC AC ===,则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）A ．352 B ．352 C.5226 D ．22611.已知椭圆2222=10)x y a b a a+>>（的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆，点P 为椭圆上的任意一点，则1211+PF PF 的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C.⎤⎦D ．[]14，12.已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2xa e x >恒成立（其中 2.71828...e =，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．02e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．0e （，）C.(,2)e -∞- D ．24(,)e-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件40,220,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩的最小值为-8,则实数=a ．14.若函数()f x 是偶函数0x ≥时,()1(1)f x g x =+,则满足(21)1f x +<的实数x 取值范围是．15. 已知平行四边形ABCD 中,2AD =,120BAD ∠=o,点E 是CD 中点，1AE BD •=u u u r u u u r ,则BD BE •=u u u r u u u r．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24a =,4=30S ,2n ≥时,112(1)n n n a a a +-+=+,则{}n a 的通项公式n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，已知sin 12sin sin 2cos B A C C*=- (I)求角B 的大小； (Ⅱ)若1,a b ==求ABC ∆的面积.18.在四棱锥A DBCE -中，底面DBCE 是等腰梯形,2BC DE =,,BD DE CE ADE ==∆是等边三角形，点F 在AC 上.且3AC AF =. （I ）证明://AD 平面BEF ;(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCED ,求二面角A BE F --的余弦值.19.近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组 ①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x ,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为y ,求x y <的概率. 参考数据:参考公式:(2=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++），其中n a b c d =+++20. 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F 在y 轴的正半轴上,点A 是抛物线上的一点，以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F . (I)求抛物线的标准方程:(Ⅱ)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P ,Q 两点,连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程. 21.已知函数-1()1x f x k nx x=-,且曲线()y f x =在点1(1))f （，处的切线与y 轴垂直. (I)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若对任意(0,1)(1,)x e ∈U (其中e 为自然对数的底数),都有()11(0)1f x a x x a+>>-恒成立,求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=sin cos ρθθ+，点P 的曲线C 上运动.(I)若点Q 在射线OP 上,且4OP OQ •=,求点Q 的轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)设34,4M π⎛⎫⎪⎝⎭,求MOP ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲设0,0a b >>，且222a b ab +=，求证：（Ⅰ）332a b +≥； （Ⅱ）55()()4a b a b ++≥高三第二次模拟考试 数学试卷（理科）一、选择题1.B {}{}2001N x x x x x M =-<=<<⊆2.A2)(3)3(5)i xi y i +-=++（，6(32)3(5)x x i y i ++-=++，4,5y x yi =+= 3.B 3200.02+0.07 2.5=72⨯⨯（）. 4.C 24555C C-=. 5.A 由5c a=可得22222225,5,4b c a a b a a =+==，∴渐近线方程为2y x =±，则(,2)M c c -，-,2)N c c -（，∴14202OMNS C C ∆=⨯⨯=,210,c ∴=222,8a b ==，∴双曲线方程为22128x y -=. 6.D 该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体，体积=22+12=2+4V ππ⨯⨯.7.C 21,122k S ==+=；282,2=33k S ==+；8219=3=+=346k S ，；1921074,6530k S ==+=；1072117=5=+==3.930630k S ，.输出=3.9S . 8.B 显然1q ≠±，由639S S =得31+9q =，38,2q q ∴==，又5151(12)=62212a S a -==-，. 9.D ()cos(2)3f x x π=+.10.C 由222+AB BC AC =知AB BC ⊥,设球半径为1,R AA x =,则由1AA ⊥平面ABC 知22213(2)x R +=，又24194R ππ=，5x ∴=，从而11AB C ∆的面积为，又1ABB ∆面积为252，设点B 到平面11AB C 的距离为d，则1125=12335⨯⨯⨯，d ∴=，113BC =,∴直线1BC 与平面11AB C所成角正弦值为1d BC =11.D 由22222,b a b c ==+，12()22a cb --=，得2,1,a b c ===1212111122(4)a a PF PF PF PF PF PF ∴+==-,又1PF ≤≤,12111+4PF PF ∴≤≤. 12.A 由2xae x >得12121,x nx nx a a x >>，令21()nx f x x =，则22(11)'()0,0nx f x x e x -=><<， ()f x ∴在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数，在2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，12()f e a e >=，02e a ∴<<. 二、填空题13.-2 作出约束条件40,220,0,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的可行域,(0,0),(0,1),(2,2),(4,0)OABC O A B C ,y ax z =-+，平移直线y ax =-至点40（，）时，min 4z a =，由48a =-，得2a =-. 14.-54（，）-9219,54x x <+<-<< 15.13 由1AE BD •=u u u r u u u r,得1(+)()12AD AB AD AB •-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,设AB m =u u u r ，所以2114+122m m -=，解得3m =，所以22131319()+4+23+13222222BD BE AD AB AD AD AB AB •=-=-•=⨯⨯⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .16.2n 由112(1)n n n a a a +-+=+得112n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为2的等差数列，又3122(1)10a a a +=+=，412344=1430S a a a a a +++=+=，416a ∴=， 又4232(1)a a a +=+，39a ∴=，11a ∴=，213a a ∴-=， 所以132(2)21n n a a n n --=+-=-， 累加法得2n ≥时，2112211()()...()(21)(23)...1n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=-+-++=，又11a =，所以2n a n =. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由sin 12sin sin 2cos B A C C=-及sin sin()A B C =+得2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin B C B C C B C C C =+-=+-，2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC ∆KH ,sin 0C ≠，1cos 2B ∴=，0<<,3B B ππ∴=Q (Ⅱ)在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-21,7,,713a b B c c π===∴=+-Q260c c ∴--=0c >Q ，3c ∴=，ABC ∴∆的面积133sin 2S ac B ==. 18.解：（Ⅰ）连接DC ,交BE 于点G ，连接FG .∵在等腰梯形DBCE D 中，,2BD DE CE BE DE ===,//BC DE ∴,2CG BC DG DE ∴==, 3AC AF =Q ,2CFAF∴=, CF CGAF DG∴=,//AD FG ∴, 又AD ⊄平面BEF ，FG ⊂平面BEF ,所以//AD 平面BEF . （Ⅱ）取DE 中点O ，取BC 中点H ,连接,AO OH ,显然AO DE ⊥,又平面ADE ⊥平面BCED ,平面ADE I 平面BCED DE =,所以，AO ⊥平面BCED . 由于O H 、分别为DE 、BC 中点，且在等腰梯形DBCE 中，2BC DE =,则OH DE ⊥,故以O 为原点，以OD 方向为x 轴，OH 方向为y 轴，以OA 方向为z 轴，建立下图所示空间直角坐标系.设=2(0)BC a a >，可求各点坐标分别为,,0,,0,0,000,02222a B a a C a a E A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、、，，可得3,,0,,,022a a AB a AE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u r 、、BE=224++(2,0,0),-,333BF BC CF BC CA a a a ⎛⎫⎛⎫===-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 设平面ABE 的一个法向量为111(,,)u x y z =，由00AB u AE u •=•=u u u r u u u r 、可得11111002ax a x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令11z =可得1x =13y =，则(u =.设平面FBE 的一个法向量为222(,,)v x y z =，由00BE v BF v •=•=u u u r u u u r、可得222223-0,240,3a x ax ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2y =221,x z =-=则，(v =-.从而11cos ,13u v u v u v •====•， 则二面角A BE F --的余弦值为1113. 19.解：（Ⅰ）由22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++可得其观测值2100(20204020)400400100 2.778 2.706604060405760000k ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈≥⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”.（Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3， 90后组中，愿意接受外派人数为4，②“x y <”包含“0,1x y ==”“0,2x y ==”“0,3x y ==”“1,2x y ==”“1,3x y ==”“2,3x y ==”六个互斥事件.且031213342(0,1)3310066C C C C P x y C C ===⨯=，0321333420,2)3310066C C C CP x y C C ====⨯=（, 0330133420,3)3310066C C C C P x y C C ====⨯=（，1221273342=1,2)3310066C C C CP x y C C ===⨯=（， 123093342=1,3)3310066C C C C P x y C C ===⨯=（，213093342=2,3)3310066C C C CP x y C C ===⨯=（， 所以13127991()1002P x y +++++<==.20.解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为22(0)x py p =>，由以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，所以=2p ，即该抛物线的标准方程为24x y =.（Ⅱ）由题知，直线m 的斜率存在，不妨设直线1122:6,(,),(,)m y kx P x y Q x y =+， 由264y kx x y=+⎧⎨=⎩，消y 得24240x kx --=，即1212424x x k x x +=⎧⎨•=-⎩. 抛物线在点121(,)4x P x 处的切线方程为1121()42x x y x x -=-，令1y =-，得12412x x x -=，所以241,1)21x R x --（，而,,Q F R 三点共线，所以QF FR k k =,及01F （，），得212211142412x x x x ---=-，即1222(4)(4)16012x x x x --+=，整理得2212121212)4()216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦（,将*（）式代入得214k =，即12k =±，故所求直线m 的方程为162y x =+或162y x =-+.21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2211'()k kx f x x x x-=-=， 由题意知，'(1)=0f ，211,'()x k f x x -∴==Q ，所以由'()0f x >得1x >，由'()0f x <01x <<， ()f x ∴的单调减区间为01（，），单调增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1()11f x nx x=-+，()111111111(1)1f x nx nx x x x x x x x x ∴+=-++=-----， 法一：设1()1nxm x x =-，则211'()(1)x x nx m x x x --=-，令()11n x x x nx =--，则'()1111n x nx nx =--=-，1x ∴>时，'()0n x <，()n x ∴在[)1+∞，上递减，()(1)0n x n ∴≤=， (]1,x e ∴∈时，'()0m x <，()m x ∴在(]1e ，上是减函数， (]1,x e ∴∈时，1()()1m x m e e >=-由题意知，111a e ≤-，又0,1a a e >∴≥-， 下证1,01a e x ≥-<<时，111nx x a>-成立， 即证11a nx x <-成立，令)11x a nx x ϕ=-+（，则'()1a a xx x xϕ-=-=， 由1,1a e x x ≥-<<，'()0,()x x ϕϕ∴>∴在(]01，是增函数， (0,1)x ∴∈时，()(1)0x ϕϕ<=，11a nx x ∴<-成立，即111nx x a>-成立，∴正数a 的取值范围是[)1,e -+∞. 法二：①当(0,1)x ∈时，11(0)1nx a x a>>-可化为110(0)a nx x a -+<>， 令()11(0)g x a nx x a =-+>，则问题转化为验证()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立.'()1(0)a a x g x a x x-=-=>，令'()0g x >，得0x a <<，令'()0g x <，得x a >， 所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减. ()i 当01a <<时，下面验证()110((0,1))g a a na a a =-+>∈.设()11(01)T x x nx x x =-+<<，则'()11110(01)T x nx nx x =+-=<<<. 所以()T x 在01（，）上单调递减，所以()(1)0T x T >=.即()0((0,1)g a a >∈. 故此时不满足()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立；)ii （当1a ≥时，函数()g x 在01)（，上单调递增.故()(1)0g x g <=对任意(0,1)x ∈恒成立，故1a ≥符合题意, 综合()i )ii （得1a ≥.②当(1,)x e ∈时，11(0)1nx a x a>>-，则问题转化为验证()0h x >对任意(1,)x e ∈恒成立. '()1(0)a a x h x a x x-=-=>， 令'()0h x >得 0x a <<; 令'()0h x <，得x a >，所以函数()h x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减. ()i 当a e ≥时，()h x 在1,)e （上是增函数，所以()(1)0h x h >= )ii （当1a e <<时，()h x 在1,)a （上单调递增，在(,)a e 上单调递减， 所以只需()0h e ≥，即1a e ≥-()iii 当11a <≤时，()h x 在1,)e （上单调递减，则需()0h e ≥. 因为()0h e a e =+-<不符合题意.综合()i )ii （()iii ，得1a e ≥-. 综合①②，得正数a 的取值范围是[)1,+e -∞22.解：（Ⅰ）设(,),(1,)(>0,10)Q P ρθρθρρ>,则1=sin cos ρθθ+， 又4OP OQ •=,14ρρ∴=,14ρρ∴=,4sin cos θθρ∴=+，cos sin 4ρθρθ∴+=将cos ,sin x y ρθρθ==代入得，点Q 轨迹方程为4x y += （Ⅱ）设(,)(>0)P ρθρ则3=cos sin ,4,4M πρθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q ，MOP ∴∆的面积134sin 2242S πρθρθθ⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭2cos sin )sin 2)θθθ+=+≤当且仅当sin 21θ=时，取“=”，取=4πθ即可，MOP ∴∆面积的最大值为（用直角坐标方程求解，参照给分） 23. 解：（Ⅰ）220,0,2a b a b ab >>+=Q ， 33332222)2()()a b a b a b ab a a b b b a ∴+-=+--=-+-（222=)()()()0a b a b a b a b --=-+≥（，332a b ∴+≥.（Ⅱ）5566553323355()()()2a b a b a b a b ab a b a b a ab ++=+++=+-++ 3324224332222=()(2)()()a b ab a a b b a b ab a b ++-+=++-， 330,0,2,a b a b >>+≥Q 552)(2=4a b a b ∴++≥（.。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知z+5−6i=3+4i，则复数z为()A. −4+20iB. −2+10iC. −8+20iD. −2+20i2.已知集合U={1,2，3，4，5，6，7}，A={2,3，4，5}，B={2,3，6，7}，则A∩∁U B=()A. {1,4}B. {1,4，5}C. {4,5}D. {6,7}3.设x，y满足约束条件{x−y+1≤0x+y−3≥0y≤4，则z=2x+y的最大值是()A. 10B. 5C. 4D. 24.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α//β，则l⊥m；②若α⊥β，则l//m；③若l//m，则α⊥β；④若l⊥m，则α//β．其中正确的两个命题是()A. ①与②B. ①与③C. ②与④D. ③与④5.甲、乙、丙、丁四人，只有一人是说谎者．甲说：乙丙说真话；乙说：甲丁有一人说假话；丙说：我说真话；丁说：我说真话．判定四人中，说谎者是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 已知正项等比数列{a n }，若向量a ⃗ =(8,a 2)，b ⃗ =(a 8,2),a ⃗ //b ⃗ ，则log 2 a 1+log 2 a 2+⋯+log 2 a 9=( )A. 12B. 8+log 25C. 5D. 187. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒．若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为A. 36πB. 72πC. 81πD. 216π8. 已知函数f (x )=4cos 2x ，则下列说法中正确的是( )A. f (x )为奇函数B. f (x )的最小正周期为π2 C. f (x )的图象关于直线x =π4对称D. f (x )的值域为[0,4]9. 已知tan(π4−α)=43，则sin 2(π4+α)=( )A. 725B. 925C. 1625D. 242510. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. √2B. √22 C. 3√32D. 2√211. 过双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 做圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为M ，切线交y 轴于点P ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √512. 已知函数，若方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根时，则实数a 的取值范围是( )A. (0,e)B. (1e ,4]C. (e,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某学校为了解全校三个年级学生对安全常识掌握的情况，采用分层抽样的方法从全校3500名学生中抽取一个容量为50的样本，其中高一年级抽取16人，若高三年级有1120名学生，则从高二年级抽取的人数为________．14. 某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是______．15.设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cos(A−C)+cosB=3，b2=ac，则B=2 ______ ．16.点P是抛物线y2=x上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n.(2)若数列{1a n a n+118.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=π，△ADP为等边三角形．3(1)求证：AD⊥PB；(2)若AB=2，BP=√6，求二面角D−PC−B的余弦值．19. 已知函数f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)在x =1处取得极小值，求函数f(x)的极大值； (2)若x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a 的取值范围．20. 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X ，已知X ～N(1000,302).要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.7%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？21. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,(t为参数).以坐标原点为极点，y=tsinα以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知a、b、c∈R+且a+b+c=1，求√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z +5−6i =3+4i ， ∴z =3+4i −5+6i =−2+10i ． 故选：B ．直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z 即可． 本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.答案：C解析：本题主要考查集合的交集及补集运算，属基础题． 由交集、补集的定义直接求解即可．解：因为集合U ={1,2，3，4，5，6，7}，A ={2,3，4，5}， B ={2,3，6，7}， 则∁U B ={1,4，5}， 所以A ∩∁U B ={4,5}． 故选C ．3.答案：A解析：解：由约束条件{x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4作出可行域如图，联立{y =4x −y +1=0，解得A(3,4)，化z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+4=10．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：B解析：解：①根据面面平行的性质可知，若α//β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l//β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l//m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α//β不一定成立，所以④错误．故选B．①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5.答案：D解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属于基础题．经过推理即可得结果．解：(1)若丙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故丙说真话；(2)若乙说谎话，则甲也说谎话，与条件不符，故乙说真话；(3)由(1)(2)知：甲说真话；(4)故丁说谎话．故选D．6.答案：D解析：解：由题意，向量a⃗=(8,a2),b⃗ =(a8,2),a⃗//b⃗ ，则8⋅2−a2⋅a8=0，即a2⋅a8=16，根据等比中项的知识，可得a2⋅a8=a52=16，∵a5>0，∴a5=4，∴log2a1+log2a2+⋯+log2a9=log2(a1a2 (9)=log2[(a1a9)⋅(a2a8)⋅(a3a7)⋅(a4a6)⋅a5]=log2a59=9log24=18．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得a2⋅a8=16，再根据等比中项的知识，可计算出a5=4，在求和时根据对数的运算及等比中项可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，向量共线的充要条件，属中档题．7.答案：B解析：本题考查圆锥体积的求解及利用基本不等式求最值，同时考查两角和与差的三角函数，画出轴截面，然后设角，将体积表示为三角函数，利用基本不等式求解即可，属于中档题．解：由已知球为圆锥的内切球，画出轴截面如下图，)，设∠OCB=α，α∈(0,π4∵由已知OB=3，∴BC=3 tanα,AB=BC×tan2α=3tan2αtanα=61−tan2α，∴圆锥的体积 V=13π×(3tanα)2×61−tan2α，=18π×1tan2α(1−tan2α)，≥18π×1(tan2α+1−tan2α)24=72π，当tanα=√22时，取等号，∴其包装盒的体积的最小值为72π．故选B．8.答案：D解析：本题考查余弦函数的图象与性质，考查二倍角公式及其应用，属于基础题．由二倍角公式可得f(x)=4cos2 x=2cos 2x+2，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可．解：∵f(x)=4cos2x=2cos2x+2，该函数的定义域为R．对于A选项，f(−x)=2cos(−2x)+2=2cos2x+2=f(x)，函数y=f(x)为偶函数，A选项错误；对于B选项，函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π，B选项错误；对于C选项，∵f(π4)=2cos(2×π4)+2=2，所以f(π4)既不是函数y=f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C选项错误；对于D选项，∵−1≤cos2x≤1，∴f(x)=2cos2x+2∈[0,4]，D选项正确．故选D．9.答案：B解析：本题考查了三角函数的综合运用，属于基础题．利用两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数公式进行计算即可． 解：由题意得tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=43， 解得tanα=−17，而sin 2(π4+α)=(√22sinα+√22cosα)2=1+sin2α2=12+sinαcosαsin 2α+cos 2α=12+tanα1+tan 2α=925，故选B ．10.答案：A解析：解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得|AC|=√2，并且B ，D 在以BC 为直径的圆上， 显然|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆的直径，√2． 故选：A ．利用已知条件分析判断然后求解BD 的最大值．本题考查向量在几何中的应用，向量的模的最大值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．11.答案：B解析：解：设P(0,3y)，则M(13c,2y)， 则∵OM ⊥PF ，∴2y13c ⋅3y−c =−1，取y =√c 18，M 的坐标代入圆x 2+y 2=a 2，即圆19c 2+418c 2=a 2，∴e =√3，故选：B ．求出M 的坐标，代入圆的方程求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出M 的坐标是解题的关键．12.答案：C解析：本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想，属于中档题． 方程f(x)=ax 恰有两个不同的实根，即与函数y =ax 的图象有且只有两个交点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，数形结合可得实数a 的取值范围． 解：函数f(x)={4(x −1),x ≤0e x ,x >0的图象如下图所示：设y =ax 与y =e x 相切于点(x 0,y 0)，y =e x 的导数为y ′=e x ， 则有{a =y 0x 0=e x 0,y 0=e x 0，解得x 0=1，a =e ．由图象可得：当a <e 时，两个函数的图象无交点; 当a =e 时，两个函数的图象有一个交点; 当e <a ≤4时，两个函数的图象有两个交点; 当a >4时，两个函数的图象有三个交点． 综上所述：实数a 的取值范围是(e,4]． 故选：C ．13.答案：18解析：本题考查分层抽样，考查考生的数据处理能力和运动求解能力，属基础题，难度不大．由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，进而知从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．解：由题意知抽样比为503500=170，所以从高三年级抽取的人数为1120×170=16，所以从高二年级抽取的人数为50−16−16=18．14.答案：56解析：本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，由此能求出甲、乙两人不在同一边远地区的概率．解：某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)， 基本事件总数n =C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36，甲、乙两人在同一边远地区包含的基本事件个数m =C 22A 33=6，∴甲、乙两人不在同一边远地区的概率是p =1−m n=1−636=56．故答案为：56．15.答案：π3解析：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．将B =π−(A +C)代入已知等式左边第二项，左边两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出sin A sin C 的值，利用正弦定理化简b 2=ac ，将sin A sin C 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数．解：∵B =π−(A +C)，∴已知等式变形得：cos(A −C)−cos(A +C)=32，即cosAcosC +sinAsinC −cosAcosC +sinAsinC =2sinAsinC =32，∴sinAsinC =34，将b 2=ac 利用正弦定理化简得：sin 2B =sinAsinC =34， ∴sinB =√32或sinB =−√32(舍去)， ∴B =π3或B =2π3，∵b 2=ac ，∴b ≤a 或b ≤c ， 则B =π3． 故答案为：π316.答案：√112解析：解：∵点P 是抛物线y 2=x 上的动点， ∴设P(x,√x)， ∵点Q 的坐标为(3,0)，∴|PQ|=√(x −3)2+(√x −0)2 =√=√(x −52)2+114，∴当x =52，即P(52,√104)时， |PQ|取最小值√112．故答案为：√112．由已知条件，设P(x,√x)，利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值． 本题考查线段长的最小值的求法，中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．17.答案：解：设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，(1)由a 3=5，a 5=9得： a 1+2d =5，a 1+4d =9； 解得a 1=1，d =2； ∴a n =2n −1；(2)∵1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)，∴T n=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1) =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用，属于中档题．(1)利用等差数列通项公式求解即可．(2)利用裂项相消求和．18.答案：(1)证明：取AD中点E，连结PE，BE∵ABCD为菱形，∠DAB=60∘，∴ΔABD为等边三角形，∴BE⊥AD,∵ΔADP为等边三角形，∴PE⊥AD，∵PE∩BE=E∴AD⊥平面PBE，∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB;解：(2)∵ΔPAD,ΔBAD为等边三角形，边长为2，∴PE=BE=√3,∵PB=√6，∴PE2+BE2=PB2，∴PE⊥EB，∵PE⊥AD,AD∩BE=E，∴PE⊥平面ABCD，如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,√3),D(−1,0,0),B(0,√3,0),C(−2,√3,0)，设平面PCD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{(x,y,z)⋅(−1,0,−√3)=0(x,y,z)⋅(−1,√3,0)=0,{−x −√3z =0−x +√3y =0，取z =1，则x =−√3,y =−1,m ⃗⃗⃗ =(−√3,−1,1) ， 设平面PCB 的法向量为n⃗ =(a,b,c) {n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，{(a,b,c)⋅(0,√3,−√3)=0(a,b,c)⋅(−2,0,0)=0,{−2a =0√3b −√3c =0， 取c =−1，则a =0,b =−1,n ⃗ =(0,−1,−1) ， 设二面角D −PC −B 的平面角为θ ∴，cosθ=cos <m →,n →>=m →·n→|m →||n →|=√3,−1,1)·(0,−1,−1)√5×√2=0，二面角D −PC −B 的余弦值等于0．解析：本题主要考查空间线面垂直的性质，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．(1)根据线面垂直的性质定理即可证明AD ⊥PB ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求半平面APB 和PBC 的法向量，求法向量夹角的余弦值，即可求二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)∵f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，f′(x)=2x −a +1x ，∴f′(1)=0， ∴2−a +1=0，解得a =3，经过验证满足条件．(2)∵x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a ≥x +lnx x−1x =ℎ(x)．ℎ′(x)=1+1x 2+1−lnx x 2=x 2+2−lnxx 2>0，∴函数ℎ(x)在x ∈(0,e]单调递增，∴x =e 时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e +1e −1e =e ． ∴a ≥e ．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)=x 2−ax +lnx(a ∈R)在x =1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a 即可得出． (2)x ∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a ≥x +lnx x−1x=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．20.答案：解：∵灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).∴X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%， ∴X 在(910,1090)内的取值的概率为99.7%，解析：由于灯泡的寿命为X ，X ～N(1000,302).可得X 在(1000−3×30,1000+3×30)的概率为99.7%，即可得出．本题考查了正态分布的“3σ原则”，属于基础题．21.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85，∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813． ∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由柯西不等式得(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2≤(12+12+12)(4a +1+4b +1+4c +1)=3[4(a +b +c)+3]=21， 当且仅当a =b =c =13时等号成立，故√4a+1+√4b+1+√4c+1的最大值为√21．解析：本题考查柯西不等式．利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2进行求解即可．。
黑龙江省2020届高三数学10月第二次调研考试试题 理(含解析)
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学10月第二次调研考试试题 理（含解析）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知全集(){}{}21,ln 1,2x U R A x y x B y y -===-==，则()UA CB ⋂=（ ）A. ()1,0-B. )1,0⎡⎣C. ()0,1D. (]1,0- 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别化简集合,A B ，再根据交集与补集的运算，即可得出结果. 【详解】因为(){}{}2ln 111A x y x x x ==-=-<<，{}{}120x B y y y y -===>，所以{}0U C B y y =≤， 因此()(]1,0⋂=-U A C B . 故选D【点睛】本题主要考查集合交集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.若复数z 满足(1)2i z i +=-，则在复平面内，z 的共轭复数的虚部为（ ） A.32B.32i C. 32-D. 32i -【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出复数z ，再求出其共轭复数，即可求出结果. 【详解】因为(1)2i z i +=-，所以2(2)(1)13131(1)(1)222----====-++-i i i i z i i i i ， 因此1322z i =+，即z 的共轭复数的虚部为32.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的概念，熟记除法运算法则与复数的概念即可，属于常考题型.3.已知向量,a b 满足()5,1,3,5a b a b ==⋅=，则a b +在a 方向上的投影为（ ）B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义得到：a b +在a 方向上的投影为cos ,++a b a b a ，结合题中数据，直接计算，即可得出结果.【详解】因为()5,1,3,5a b a b ==⋅=，所以10=b 所以a b +在a 方向上的投影为2()cos ,5+⋅+⋅++====a a b a b aa b a b a aa故选B【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.4.已知曲线2xy e x ax =+-在区间(0,1)内存在垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为（ ）A. (0,1)e +B. (1,1)e +C. (0,2)e +D. (1,2)e +【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得'20x y e x a =+-=，即2x a e x =+在区间(0,1)内有解，设()2xg x e x =+，利用函数()g x 的单调性，求得最值，即可求解。
2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)答案：A先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 解：因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<.所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 点评：本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 2．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 答案：B 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 解：由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 点评：本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 3．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）A．427B．13C．127D．19答案：C由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为13，结合独立事件发生的概率计算即可. 解：∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题. 4．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元答案：D根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.解：由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<.故D项不正确.故选：D.点评：本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.5．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-答案：C22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 解：因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 点评：本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2BC ．D ．答案：A由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可. 解：由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b aba b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)-+∞ C ．(,2)-∞- D ．(2,)-+∞答案：D由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.解：因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-. 故选：D. 点评：本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u uu r u u u rB ．5799BA BC +u uu r u u u rC ．11099BA BC +u u ur u u u r D ．2799BA BC +u uu r u u u r答案：B23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r代入化简即可.解：23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r1233BA BC =+-⨯u u ur u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B. 点评：本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.9．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π答案：Ccos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 解： ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 点评：本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 解：如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =123S =故选：B. 点评：本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.11．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =-- B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+答案：A过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 解：过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，，则直线AM 的方程为(1)y x=?.故选：A. 点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)答案：C先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 解：先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11 log321log54aaa⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a<<.故选：C.点评：本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.答案：20π由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.解：由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成，其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：20π. 点评：本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题. 14．()5232x x-的展开式中x 的系数为________.答案：80.只需找到25(2)x -展开式中的4x 项的系数即可. 解：25(2)x -展开式的通项为52521552()(1)2r r r r r r r r T C x C x --+=-=-，令2r =，则2234435(1)280T C x x =-=，故()5232x x -的展开式中x 的系数为80.故答案为：80. 点评：本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.15．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”). 答案：＞注意到1,0a b ><，故只需比较11a b+与1的大小即可. 解：由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211log 0.3log 2log 0.61a b+=+=<， 故有a b ab +>. 故答案为：＞. 点评：本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．已知点F为双曲线2221(0)yE x bb-=>：的右焦点，M N，两点在双曲线上，且M N，关于原点对称，若MF NF⊥，设MNFθ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E的焦距的取值范围是________.答案：[22,232]+设双曲线的左焦点为F'，连接',MF NF'，由于MF NF⊥.所以四边形F NFM'为矩形，故||2MN FF c'==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a-=-=可得12cos4cπθ=⎛⎫+⎪⎝⎭，再求2cos4yπθ⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域即可.解：如图，设双曲线的左焦点为F'，连接',MF NF'，由于MF NF⊥.所以四边形F NFM'为矩形，故||2MN FF c'==.在Rt FMN∆中||2cos,||2sinFN c FM cθθ==，由双曲线的定义可得'22||||||||2cos2sin22cos4a NF NF NF FM c c cπθθθ⎛⎫==-=-=-=+⎪⎝⎭124cπθ∴=⎛⎫+⎪⎝⎭126ππθ≤≤Q，53412πππθ∴≤+≤3122cos 242πθ-⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭231 222232c c ∴≤≤+≤≤+，.故答案为：[22,232]+ 点评：本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题17．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）217（1）要证明AC ⊥平面11BB D D ，只需证明AC BD ⊥，1AC DD ⊥即可： （2）取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r分别为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出OB uuu r 与平面11OB D 的法向量n r，再利用cos ,||||O n OB n BO n B ⋅<>=⨯u r u u u u r rr u ru u u r 计算即可. 解：（1）∵底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=Q .AC ∴⊥平面11BB D D ；（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系：3,1AE BE ==Q ，点1131(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),(3,0,0),,122B B D A O ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设平面11OB D 的法向量为(,,)n x y z =r，11133(0,2,0),,122D B OB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，有1112033022D B n y OB n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，令2x =，0,3y z ==得3)n =r又33,1,23,||7,||22OB n OB n OB ⎛⎫=-⋅=-== ⎪⎝⎭u u u r r u u u r u u u r ， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ，所以2321 sin|cos,|||727n OBθ-=<>==⨯r u u u r故直线OB与平面11OB D所成的角的正弦值为217.点评：本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（1）求a b，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在[10,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X，求X的分布列及数学期望.答案：（1）0.01,5a b==，乙公司影响度高；（2）见解析，()2E X=（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；（2）易得总收入在[10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数X的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.解：（1）由直方图知，(0.0250.0350.02)101a a++++⨯=，解得0.01a=，由频数分布表中知：22010340b++++=，解得5b=.所以，甲公司的导游优秀率为：(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=，乙公司的导游优秀率为：103100%32.5%40+⨯=， 由于32.5%30%>，所以乙公司影响度高.（2）甲公司旅游总收入在[10,20)中的有0.0110404⨯⨯=人，乙公司旅游总收入在[10,20)中的有2人，故X 的可能取值为1，2，3，易知：12423641(1)205C C P X C ====，214236123(2)205C C P X C ====;343641(3)205C P X C ====.所以X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.点评：本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题. 19．已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .答案：（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可；（2）利用分组求和法解决. 解：（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n na b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----. 点评：本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k . 附：多项式因式分解公式：()()622424351141t t t t t t ---=+--答案：（1）证明见解析（2）（1）由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222214220k x ktx t +++-=令0∆=可得2221t k =+，进而得到21,k P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ⋅u u u r u u u r 即可； （2）31222PQF t S k t∆=+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 解：（1）证明：点F 的坐标为(10)，. 联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-=有()()222216421220k t k t ∆=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt k x k t t =-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,k k t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，(1,2)FQ k t =+u u ur .有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=u u u r u u u r , 故有PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥， 由（1）知||||FP FQ ====u u u r u u u r 222221(2)1441(22)41||||2222PQFk t k kt t t kt t S FP FQ t t t∆+++++-+++=⋅===u u ur u u u r 2341312222t kt t k t t+-==+-①因为0k ≥时.由（1）知k =3122PQF t S t ∆=由函数31()(1)22t f t t t=-≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ∆≥=. ②当k 0<时，由（1）知3122PQF t k S t∆==令222313131()(1),()22222t t g t t g t t t t '+=-≥=+=由()()()()()222222262262222444423131183123512414141t t t t t t t t t t t t t t t t ++--⎛⎫⎛⎫+----=-== ⎪---⎝⎭()()()()44222224221(2(21414(1)41t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+---+--⎣⎦⎣⎦==--，故当t >时，'()0g t >，此时函数()g t单调递增：当1t ≤<()0g t '＜，此时函数g()t 单调递减，又由(1)1g =，故函数()g t的最小值1g <，函数()gt 取最小值时2212k +=+k =由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ∆的面积最小时，直线m的斜率为点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题. 21．已知函数()222()e1e ()xx f x ax ax a R =+--∈.（1）证明：当2e x ≥时，2e x x >；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.答案：（1）见解析；（2）2e (,)4+∞（1）要证明22(e )e x x x ≥>，只需证明2ln x x >即可；（2）2e 0xax -=有3个根，可转化为2e x a x =有3个根，即y a =与2e ()xh x x=有3个不同交点，利用导数作出()h x 的图象即可. 解：（1）令()2ln g x x x =-，则'2()1g x x=-，当2x e ≥时，'()0g x >， 故()g x 在2[e ,)+∞上单调递增，所以22()(e )e 40g x g ≥=->，即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e1e e 1x x x xf x ax a ax x ==---++，依题意，()f x 有3个零点，即2e 0xax -=有3个根，显然0不是其根，所以2ex a x=有3个根，令2e ()x h x x=，则'3e (2)()x x h x x -=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'()0h x <，当0x <时，'()0h x >，故()h x 在(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，作出()h x 的图象，易得2e 4a >.故实数a 的取值范围为2e(,)4+∞.点评：本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角02ρπθ≤<（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.答案：（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可； （2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 解：（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<)22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 236ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 点评：本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.第 21 页 共 21 页 23．已知函数()|2||4|f x x x =-+-.（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围 答案：（1）[1,5]（2）(1,3)-（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可；（2）只需找到()f x 的最小值即可.解：（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤；若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<；若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤；故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<，故实数m 的取值范围为(1,3)-.点评：本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。
数学高考利器NO0033-含详细解析-2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模理科数学考试试题
数学高考利器NO0033-含详细解析-2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模理科数学考试试题2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3) 2．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 3．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）A ．427B ．13C ．127D ．194．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元5．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49-6．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2BC ．D ．7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞ 8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=u u u r u u u r（ ）A ．1233BA BC +u u u r u u u rB ．5799BA BC +u u u r u u u r C ．11099BA BC +u u u r u u u r D ．2799BA BC +u u u r u u u r 9．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．12π10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+ 12．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，数学高考利器NO0033-含详细解析-2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模理科数学考试试题()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64) 13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.14．()5232x x -的展开式中x 的系数为________.15．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”).16．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b -=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________. 17．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O .（1）求证：AC ⊥平面11BB D D ；18．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在[10,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .20．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q .（1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k .附：多项式因式分解公式：()()622424351141t t t t t t ---=+--21．已知函数()222()e 1e ()x x f x ax ax a R =+--∈.（1）证明：当2e x ≥时，2e x x >；数学高考利器NO0033-含详细解析-2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模理科数学考试试题22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角02ρπθ≤< （1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.23．已知函数()|2||4|f x x x =-+-.（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围参考答案1．A【解析】【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可.【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 2．B【解析】【分析】 易得2i 1i z +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3．C【解析】【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为13，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】 ∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.4．D【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题. 5．C【解析】【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.6．A【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 232222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．D【解析】【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.8．B【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将13BQ BA AQ BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r 代入化简即可.【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3BA BC BA AQ =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r 1233BA BC =+-⨯u u u r u u u r 13AC u u u r 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.9．C【解析】【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 10．B 【解析】 【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当x =S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 11．A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+， 则2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x=?.故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 12．C 【解析】 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 13．20π 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可. 【详解】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆 柱组合而成，其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：20π. 【点睛】本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题. 14．80. 【解析】 【分析】只需找到25(2)x -展开式中的4x 项的系数即可.【详解】25(2)x -展开式的通项为52521552()(1)2r r r r r r r r T C x C x --+=-=-，令2r =，则2234435(1)280T C x x =-=，故()5232x x-的展开式中x 的系数为80.故答案为：80. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题. 15．＞ 【解析】 【分析】注意到1,0a b ><，故只需比较11a b+与1的大小即可. 【详解】由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211log 0.3log 2log 0.61a b+=+=<， 故有a b ab +>. 故答案为：＞. 【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．2] 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得14c πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求4y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域即可. 【详解】 如图，设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '==.在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得'22||||||||2cos 2sin cos 4a NF NF NF FM c c πθθθ⎛⎫==-=-=-=+ ⎪⎝⎭14c πθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 126ππθ≤≤Q，53412πππθ∴≤+≤1242πθ-⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭122c c ≤≤+≤≤，.故答案为：2]+ 【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.17．（1）证明见解析（2）7【解析】 【分析】（1）要证明AC ⊥平面11BB D D ，只需证明AC BD ⊥，1AC DD ⊥即可：（2）取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r分别为, , x y z 轴建立空间直角坐标系，分别求出OB uuu r 与平面11OB D 的法向量n r ，再利用cos ,||||O n OB n BO n B ⋅<>=⨯u r u u u u r rr u ru u u r 计算即可. 【详解】（1）∵底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=Q .AC ∴⊥平面11BB D D ；（2）如图，取11B D 中点F ，连EF ，以E 为原点，, , EA EB EF u u u r u u u r u u u r分别为, , x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系：1AE BE ==Q ，点111(0,1,0),(0,1,2),(0,1,2),,122B B D A O ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 设平面11OB D 的法向量为(,,)n x y z =r，1113(0,2,0),,122D B OB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，有11120302D B n y OB n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，令2x =，0,y z ==得n =r又3,1,||22OB n OB n OB ⎛⎫=-⋅=-== ⎪⎝⎭u u u r r u u u r u u u r ， 设直线OB 与平面11OB D 所成的角为θ，所以sin |cos ,||7n OB θ=<>==r u u u r 故直线OB 与平面11OB D所成的角的正弦值为7. 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18．（1）0.01,5a b ==，乙公司影响度高；（2）见解析，()2E X = 【解析】 【分析】（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a ，由导游人数为40人可得b ，再由总收人不低于40可计算出优秀率；（2）易得总收入在[10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数X 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可. 【详解】（1）由直方图知，(0.0250.0350.02)101a a ++++⨯=，解得0.01a =， 由频数分布表中知：22010340b ++++=，解得5b =.所以，甲公司的导游优秀率为：(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=， 乙公司的导游优秀率为：103100%32.5%40+⨯=，由于32.5%30%>，所以乙公司影响度高.（2）甲公司旅游总收入在[10,20)中的有0.0110404⨯⨯=人，乙公司旅游总收入在[10,20)中的有2人，故X 的可能取值为1，2，3，易知：12423641(1)205C C P X C ====，214236123(2)205C C P X C ====;343641(3)205C P X C ====.所以X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.19．（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---【解析】 【分析】（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩ 又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n na b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩ 解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----. 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题. 20．（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222214220k x ktx t +++-=令0∆=可得2221t k =+，进而得到21,k P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ⋅u u u r u u u r 即可； （2）31222PQF t S k t∆=+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 【详解】（1）证明：点F 的坐标为(10)，. 联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-=有()()222216421220k t k t ∆=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt kx k t t=-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,k k t FP t t t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，(1,2)FQ k t =+u u ur .有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=u u u r u u u r , 故有PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥，由（1）知||||FP FQ ====u u u r u u u r 222221(2)1441(22)41||||2222PQFk t k kt t t kt t S FP FQ t t t∆+++++-+++=⋅===u u ur u u u r 2341312222t kt t k t t+-==+-①因为0k ≥时.由（1）知k =3122PQF t S t ∆=由函数31()(1)22t f t t t=≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ∆≥=. ②当k 0<时，由（1）知3122PQF t k S t∆==令222313131()(1),()22222t t g t t g t t t t '+=-≥==由()()()()()222222262262222444423131183123512414141t t t t t t t t t t t t t t t t ++--⎛⎫⎛⎫+----=-== ⎪---⎝⎭ ()()()()44222224221(2(21414(1)41t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+--+--⎣⎦⎣⎦==--，故当t > '()0g t >，此时函数()g t单调递增：当1t ≤<()0g t '＜，此时函数g()t 单调递减，又由(1)1g =，故函数()g t的最小值1g <，函数()gt 取最小值时2212k +=k =由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ∆的面积最小时，直线m的斜率为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.21．（1）见解析；（2）2e (,)4+∞【解析】 【分析】（1）要证明22(e )e x x x ≥>，只需证明2ln x x >即可；（2）2e 0x ax -=有3个根，可转化为2e x a x =有3个根，即y a =与2e()xh x x=有3个不同交点，利用导数作出()h x 的图象即可. 【详解】（1）令()2ln g x x x =-，则'2()1g x x=-，当2x e ≥时，'()0g x >， 故()g x 在2[e ,)+∞上单调递增，所以22()(e )e 40g x g ≥=->，即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e1e e 1x x x xf x ax a ax x ==---++，依题意，()f x 有3个零点，即2e 0xax -=有3个根，显然0不是其根，所以2ex a x=有3个根，令2e ()x h x x=，则'3e (2)()x x h x x -=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'()0h x <，当0x <时，'()0h x >，故()h x 在(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，作出()h x 的图象，易得2e 4a >. 故实数a 的取值范围为2e(,)4+∞.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.22．（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2【解析】 【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可； （2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<) 22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭， 由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 2364ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题. 23．（1）[1,5]（2）(1,3)- 【解析】 【分析】（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可； （2）只需找到()f x 的最小值即可. 【详解】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤； 若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<； 若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤；故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<， 故实数m 的取值范围为(1,3)-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。
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数学试题
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， .则集合 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先算出集合 ，再与集合B求交集即可.
【详解】
因为 或 .所以 ，又因为 .
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【详解】
∵直线 是曲线 的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线 为 .
曲线 的一个对称中心为 .
.
，注意到
故 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
【答案】A
【解析】过 作 与准线垂直，垂足为 ，利用抛物线的定义可得 ，要使 最大，则 应最大，此时 与抛物线 相切，再用判别式或导数计算即可.
【详解】
过 作 与准线垂直，垂足为 ， ，
则当 取得最大值时， 最大，此时 与抛物线 相切，
易知此时直线 的斜率存在，设切线方程为 ，
则 .则 ，
则直线 的方程为 .
【详解】
因为 在 上是奇函数.所以 ，解得 ，所以当 时，
，且 时， 单调递增，所以
在 上单调递增，因为 ，
故有 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
8．如图，在 中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 为线段 上靠近点 的三等分点，则 （）
二、填空题
13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.
【答案】20
【解析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆
故选：C.
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
6．已知 中内角 所对应的边依次为 ，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得 ，结合 可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得 ，由 ，解得 ，
2．设复数 满足 为虚数单位)，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易得 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知， ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（）
故答案为：80.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.
15．已知 ，则 ________. (填“>”或“=”或“<”).
【答案】
【解析】注意到 ，故只需比较 与1的大小即可.
【详解】
由已知， ，故有 .又由 ，
故有 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．已知点 为双曲线 的右焦点， 两点在双曲线上，且 关于原点对称，若 ，设 ，且 ，则该双曲线 的焦距的取值范围是________.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，由于 .所以四边形 为矩形，故 ，由双曲线定义 可得 ，再求 的值域即可.
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
5．已知 为锐角，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，再利用 计算即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 .
【详解】
先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，
如图所示，当 时，对称后的图象不可能与 在 的图象有3个交点；
当 时，要使函数 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时， 且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
乙公司旅游总收入在 中的有2人，故 的可能取值为1，2，3，易知：
， ;
.
所以 的分布列为：
1
2
3
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
19．已知数列 ， 满足 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）分别求数列 ， 的前 项和 ， .
10．半径为2的球 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，利用 ，可得 ，进一步得到侧面积 ，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，则 ，
柱组合而成，其体积为 .
故答案为：20 .
【点睛】
本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.
14． 的展开式中 的系数为________.
【答案】80.
【解析】只需找到 展开式中的 项的系数即可.
【详解】
展开式的通项为 ，令 ，
则 ，故 的展开式中 的系数为80.
所以， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，所以 ，由 为定义在 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知 在 上单调递增，注意到 ，再利用函数单调性即可解决.
（2）易得总收入在 中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知， ，解得 ，
由频数分布表中知： ，解得 .
所以，甲公司的导游优秀率为： ，
乙公司的导游优秀率为： ，
由于 ，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在 中的有 人，
∵ 平面 .
.
平面 ；
（2）如图，取 中点 ，连 ，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点 ，
设平面 的法向量为 ，
，
有 ，令 ，
得
又 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
在 中， ，化为 ，
，
，
当且仅当 时取等号，此时 .
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
11．已知焦点为 的抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，则当 取得最大值时，直线 的方程为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
18．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为 .∴这3个实数都小于1的概率为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
4．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）
【答案】（1） （2） ；
【解析】（1） ， ，可得 为公比为2的等比数列， 可得 为公差为1的等差数列，再算出 ， 的通项公式，解方程组即可；