2.3向量组与矩阵的秩(1)

1 行变换 0 a1 , a2 , a4 ~ 0 0 1 1 0 0 1 1 , 1 0
R(a1 , a2 , a4 ) 3, 故a1 , a2 , a4线性无关.
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为把a3 , a5用a1 , a2 , a4 线性表示，
例:讨论下列向量组: (1):a1 (1, 1,1), a 2 (2,1, 1), a 3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a 2 (1,3, 4)的线性相关性.
分析：
1 1 2 (2)设A ,由于矩阵A中有一个2阶子 1 3 4 1 1 式D2 2 0, 1 3
则称A 为行阶梯形矩阵。
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例如
1 0 0 0 2 -8 4 0 0 0 5 0 1 0 3 0 8 0 -2 ， 0 3 -2 9 0 0 4 8 1 都是行阶梯型矩阵。 0 0 2 4 0 0 0 0
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1 0 A~ 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含3个向量。 而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列， 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。 这是因为
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华南农业大学理学院应用数学系
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第2.3节 向量组与矩阵的秩
如何判断向量组是否线性相关？
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A (aij ) mn 矩阵,在A中任取k行k列,由这些行列相交 处的元素按原来的相对位置构成的k阶行列式,称为 A的k阶子式,若A是一个n阶方阵,则只有一个n阶子 式,就是A的行列式
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定理2.6 矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩 阵的非零行的行数。 例2.6 计算前面矩阵A的秩.
解：对系数矩阵A进行初等行变换：
1 1 A 2 1 2 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 5 1 1 2 2 r 1 r r3 2 r1 2 r4 r1 0 1 0 1 3 0 0 1 1 2 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1
在A中，容易看出一个2阶子式 A的三阶子式只有一个
1 2 2 3
0
A
经计算可知
A 0
因此R（A）=2。
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定理2.4 : m n矩阵A的m个行向量线性相关的 充要条件是R(A)<m.
例:讨论下列向量组: (1):a1 (1, 1,1), a 2 (2,1, 1), a 3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a 2 (1,3, 4)的线性相关性.
把 A 再变成行最简形矩阵。 1 行变换 0 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ~ 0 0
即得a3 a1 a2 ,
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 , 1 3 0 0
a5 4a1 3a2 3a4 .
3.
分析 : 利用定理2.4, 那么 1 -1 1 1 -1 1 (1)设A= 2 1 -1 ,由于A中只有一个3阶子式,即|A|= 2 1 -1 0 4 -1 1 4 -1 1 因此R( A) 3, 故a1 , a2 , a3线性相关.
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知R( A) 3,
故a1 , a2 , a4 为A 的列向量组的一个最大无关组 ( 不
唯一 ) 。且有： a3 2a1 a2 ; a5 5a1 2a2 .
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a11 |A|= ... a12 ... ... a1n ... ... a 21 a 22 ... a 2n an1 a n2 ... a nn
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定义2.6 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A的秩(rank),记为R(A).
s中的每一个向量都可以 由向量组1 , 2 , r 线性表示,则称向量组1 , 2 s可以由向量组1 , 2 , r 线性表示.
定义2.9:如果向量组1 , 2
如果向量组1 , 2
s与向量组1 , 2 , r
可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
对n阶方阵, 如果
| A | 0
则称A为满秩矩阵; 否则，称A为降秩矩阵. 另外，零矩阵的秩为0.
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如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子 式都为0，则矩阵A的秩等于r.
例 求矩阵的秩
解
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
所以R( A) 2,因此向量组a1, a2线性无关.
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推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
1 0 2 3 5 设A 2 6 2 0 2 , 3 6 0 4 3
求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。 解
对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
行变换 1 0 2 0 5 A ~ 0 1 1 0 2, 0 0 0 1 0
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例2.7 : 求下列向量组的一个最大无关组，并把 其它向量用此最大无关组线性无示。 1＝（2，1，4，3）; 2＝（-1，1，-6，6）;
3＝（-1，-2，2，-9）; 4＝（1，1，-2，7）; 5＝（2，4，4，9）;
解：把它们按列排成矩阵A，对A施初 等行变换化为行最简型矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 1 4 0 4 0 9 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 4 3 1 3 0 0
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2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7
2 1 4 0 4 0 9 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 1 3 0 0
1 2 1 0 可验证: R(A)=2,这里A的2阶子式 D 1 1 因此,包含D的两个向量 1 ,2线性无关,
1 ,2 ,3 ,4中任意3个向量都线性相关。
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有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？
实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的 秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。 因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型 矩阵，就可较快求出矩阵的秩。
引理2.1: (1)设向量组1 , 2
s可以由向量组1 , 2 , r 线性表示,如果s>r,则1 , 2 s 线性相关.
(2)两个等价的向量组秩相等.
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定理2.8 设有向量组T, 如果：
r 线性无关; (2)T中任意一个向量 都可以由向量组1 , 2 , r 线性表示, 则1 , 2 , r 是向量组T的一个最大无关组.
1 0 T T T 因为(1 , 2 , 4 ) 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
故1 , 2 , 4线性无关,由以上行最简形矩阵 可知:3 1 2 , 5 41 3 2 3 4 .
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定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在 列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ， 0
1 0 0 0 0 1 0 1 都是行最简矩阵。 0 0 1 4 0 0 0 0
Hale Waihona Puke Baidu
1 2 1 2 1 r3 r2 0 1 0 3 1 r4 r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2, 因此R(A)=2.
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定义 2.8 设有向量组T, 如果:
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
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定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r 个行 向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线 性相关。
1 1 矩阵A 2 1 2 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 5 1 2 3 0
2 4 , 4 9
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
1 行变换 0 A ~ 0 0
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1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
(1)在T中有r个向量1 , 2 ,
一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可 以保证它们都含有相同个数的向量.
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练 习
1.
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2 1 1 1 1 1 2 1 2. 设矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
(1)在T中r个向量1 , 2 , r 线性无关; (2)T中任意r 1个向量(如果有的话)都线性相关.
则称1 , 2 , r是向量组T的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组,数r称为向量组T的秩.
定理2.7 : 矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。
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定义2.7
设A为m n矩阵，若A满足下列三个条件：
1 a11 , a22 , , amm以下的元全为零； 2 每一行的第一个非零元前面的零元个数大于前一行这种
零元的个数；
3 如果某一行的元全为零，则以下所有行的元全为零。