2015年数学花园探秘(迎春杯)八年级试卷解析

E'
三．填空题Ⅲ（每小题 12 分，共 48 分）
9.
甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有 7 种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订三份不 同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有 ________多少种不同的订阅方式． 〖答案〗5670 〖作者〗高思教育方非 〖解答〗满足要求的订阅方式分为两类， 第一类：甲（ a, b, d ） 、乙（ b, c, e ） 、丙（ c, a, f ） ，其中相同字母代表同一份报纸，不同字母 代表不同报纸，这样共有 A76 5040 种； 第二类：甲（ a, b, c ） 、乙（ a, d , e ） 、丙（ a, f , g ） ，其中相同字母代表同一份报纸，不同字母 代表不同报纸，这样共有 7 C62 C42 C22 630 种； 故总共有 5040 630 5670 种．
2015 年“数学花园探秘”科普活动 初二年级组初试试卷 A
（测评时间：2014 年 12 月 20 日 10:30—11:30）
一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 32 分）
7 2 4 2 2014 1 43 1.5 1 4 7 3 ________． 计算： 2 7 1 3 5 5
W X Z Y
12. 请参考《2015 年“数学花园探秘”科普活动初赛试题评选方法》作答．
(8B 7 B)(8B 5B) 15 13 65 ． (8B 7 B)(8B 5B) 1 3
A
D
二．填空题Ⅱ（每小题 10 分，共 40 分）
5. 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4，M 是 AB 的中点，N 是对角线 AC 上一点， MND 90 ，则 AN 2 =________． 〖答案〗18 〖作者〗巨人教育许欣 〖解答〗过 N 作 AB 、 CD 的垂线，垂足分别为 E , F 则△ AEN 为等腰直角三角形，从而 EN AE DF ， 又 MEN 90 NFD ， MNE 180 MND DNF 90 DNF NDF 故△ MEN ≌△ NFD ，从而 ME NF ， 又△ CFN 也为等腰直角三角形， CF NF ， 故 ME NF EB ，故 AE 3 ， AN (3 2) 18 ．
2 2
M N B C
A
D
M E B N F C
6.
满足方程 | 2 x 6 | | 2 x 2 | | 3 y 1| | 3 y 8 | 13 的所有点 ( x, y ) 在平面直角坐标系上组成的图 形的面积是_________． 〖答案〗6 〖作者〗巨人教育王鹏 〖解答〗由绝对值的几何意义知， 2 x 6 2 x 2 4 等号当且仅当 1 x 3 时取到，
S3 S 2 2 ，故 S3 72 ， S2 S1
3.
在 2014 年北京 APEC 会议期间，京津冀实施道路限行和污染企业停工等措施，来保证空气质 量达到良好水平．在经历了一个月三场霾后，北京 11 月 3 日空气达到一级优水平，人们称为 “APEC 蓝” ．2013 年北京优良空气天数为 175 天，2014 年上半年实行减排 30%的措施，优良 空气天数比 2013 年同期增加了 20 天，要达到全年优良空气天数增加 20%的目标，2014 年下半 年需要使优良天气比 2013 年同期至少增加________天． 〖答案〗15 〖作者〗学而思培优厉程远 〖解答〗 175 20% 20 15 （天） 若A
S ABCDE 1 (SABE SBCA SCDB SDECห้องสมุดไป่ตู้ SEAD ) 4
B F J G HI C D E
A D' B F J G HI C A' D C' E B'
而 S ABE S BCA S CDB S DEC S EAD S ABCDE S FGHIJ S阴 ， 故 S阴 4 (2014 1300) 2014 350=1192 ．
10. 20! 的正约数中，有________个数除以 4 的余数是 1． 〖答案〗1080 〖作者〗优才教育李天翼 〖解答〗 20! 218 38 54 72 11 13 17 19 ， 其中质因子 3、7、11、19 除以 4 余 3，而 5、13、17 除以 4 余 1， 若该数除以 4 余数是 1，一定为奇数，并且它的因子中除以 4 余 3 的必定有偶数个； 因子 3、7、11 任意选取，共有 (8 1) (2 1) (1 1) 54 种取法，若其中因子总数为奇数，则 必须配上 19 才能使得除以 4 余数为 1，若其中因子总数为偶数，则必须不含因子 19 才能使得 除以 4 余数为 1．故除以 4 余 3 的因子数为奇数共 54 种不同的取法，而除以 4 余 1 的因子任意 选取，共 (4 1) (1 1) (1 1) 20 种． 故满足要求的数总共有 54 20 1080 个．
b 4 4b3 b 2 2b n 2 2n (8 2n)b ， ( 2 ) na 8 ( 2 ) nb 同理可得， 故8
， ∵a b， ∴8 2 n0 ，
故n4．
A
8.
如图，五边形 ABCDE 的面积为 2014，五边形 FGHIJ 的面积为 350，顺次连接 AB、BC、CD、DE、EA 中点形成的五边形面积为 1300，则阴影部分面积为________． 〖答案〗1192 〖作者〗优才教育陈龙 〖解答〗 S ABCDE S ABCDE SACD SBDE SCEA SDAB SEBC
4.

7 5 ，B

3

7 5

3
，则
A 7 B A 5B 的值是________． A 7 B A 5B
〖答案〗65 〖作者〗北京资优教育科技中心陈平
〖解答〗由于
1 7 5

7 5 ，则 A 23 B 8B ，代入所求式，可得 2
1.
〖答案〗1155 〖作者〗优才教育陈龙
7 9 64 ( 3) 1 319 4 4 1155 ． 〖解答〗原式 10 1 29 21 5 105
2.
一个等比数列前 10 项的和为 18， 前 20 项的和为 54， 则这个等比数列前 30 项的和为___________． 〖答案〗126 〖作者〗高思教育班昌 〖解答〗记前 10 项的和为 S1 ，第 11-20 项的和为 S 2 ，第 21-30 项的和为 S3 ， 则 S1 18, S1 S2 54 ，从而 S2 36 ，而 从而前 30 项的和为 18 36 72 126
8 1 3 y 1 3 y 8 9 等号当且仅当 y 时取到，故满足原方程的所有点 ( x, y ) ， 3 3 8 1 即满足 1 x 3 ， y ，故面积为 2 3 6 ． 3 3
7.
已知 a, b 为关于 x 的方程 x 2 3x n 0 的不相同的非零实根， 且满足 a 4 4a 3 a 2 2a b4 4b3 b2 2b ，那么 n 的值为________． 〖答案〗4 〖作者〗高思教育方非 〖解答〗由于 a, b 为方程的根，故满足方程，可得 a 2 3a b2 3b n 而 a 4 4a 3 a 2 2a (a 2 3a )(a 2 a ) 2(a 2 3a ) 8a n(n 2a ) 2n 8a n 2 2n (8 2n)a ，
11. 将数字 1-9 填入空格（白色）内，黑格内右上提示数表示右边一组连续空格内数字之和，黑格 内左下提示数表示下方一组连续空格内数字之和（连续空格指的是黑格向右或向下直至遇到黑 格或边界为止） ，并且连续一组空格内不能出现相同数字．那么 ABCD 所表示的四位数为 ________． 〖答案〗3576 〖作者〗北京数独协会陈岑 〖解答〗首先 X , Y , Z 处只能依次填入 2、1、3； 从而 U ,V ,W 处只能依次填入 1、2、1， 类似地，可填得如图结果， 从而 ABCD 所表示的四位数为 3576 V U