第1章计算方法引论
计算方法引论
计算方法引论今天，计算方法正在深刻地影响着我们的生活，但是大多数人对这些方法一无所知。
本文旨在解释计算方法的内涵，介绍它如何在科学研究和工程设计中发挥作用，并就计算方法的发展前景及可能的改进提出建议。
计算方法的基本含义是使用计算机完成计算或信息处理任务，以达到实现特定功能的目的。
它是一种基于计算机科学的方法，可以将定义问题转换为可解决问题，从而提供我们有效的解决方案。
计算方法包括算法设计、编程语言、数学统计和信息论。
计算方法有助于解决复杂的现实问题，在工程设计、金融分析、社会科学研究、语音识别和机器人技术等领域均有广泛的应用，但它也可用于图像处理、语音处理、人工智能和虚拟现实。
计算方法的应用非常普遍，可以提高数据处理的效率，使系统中的任务变得更容易，最大限度地减轻人的劳动强度。
此外，计算方法也可以应用于科学研究。
例如，统计建模可以帮助我们理解和预测未来趋势，机器学习可以帮助我们建立更复杂的模型，以发掘隐藏的结构信息，从而发现未知的规律。
计算方法的运用有助于加快科学研究水平的提高，为研究者提供更多的参考资料，更好地了解特定领域的现象。
计算方法可以持续改进，以应对现代社会不断提出的新问题。
随着计算机科学和信息技术的发展，计算方法能够更好地应对复杂的现实问题，并覆盖更多的领域。
计算方法需要人类介入，并受人类知识、技能和思考动力的驱动，因此可以推动社会发展。
自现代信息技术的出现以来，如今人们正在构建更复杂的数学模型，以提高信息的获取效率，并以此为基础提出更高效的解决方案。
此外，计算方法也在持续改进以应对不断增加的信息量，使得可以从更大范围的数据中进行研究。
总之，计算方法是不可或缺的基础，在当今社会中发挥着重要作用。
除了有助于工程设计和科学研究外，它还可以改进我们的日常生活。
因此，计算方法也许是我们未来发展的重要力量，值得我们继续深入研究。
计算方法
计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。
已知时， 当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*| 已知时
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y的近似值哪一个精度高些? 的近似值哪一个精度高些? 解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
某个量的数学模型是sin 由泰勒展式 例 某个量的数学模型是 x,由泰勒展式
x x x sin x = x + +L , ∞ < x < +∞ 3! 5! 7!
sin x ≈ x x3 x5 x7 cos ξ 3 x + +L = 截断误差 sin x x = 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
少位有效数字？ 少位有效数字？ 解法1 解法 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。 位有效数字。
x = 0.312036 × 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 解法
所以x有5位有效数字。 位有效数字。
故n= 5,
1.2.3.4 算术运算的误差
1.2.2 误差的来源与分类
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
计算方法引论- 计算方法
曣涞枓狺鴑筢絈縬丶毱莚呛腠琔 蒐歩呸瓉邧芏昛閝蟷颔陀嬺鬊帬
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• 1222222222222223211
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41
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• 快快快快快歼击机
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• 化工古古怪怪古古怪 怪个
• Ccggffghfhhhf • Ghhhhhhhhhh • 1111111111
• 2222222222 • 555555555555 • 8887933 • Hhjjkkk • 浏览量力浏览量了 • • • 111111111111 • 000
2
2
27
在近似计算中应该注意的事项
1、避免两个相近的数相减； 2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法； 3、要防止大数“吃掉”小数； 4、尽可能减少运算次数； 5、要设法控制误差的传播。
28
第一讲完！ 谢谢大家！
再见！
29
遳氜鋅牒拘預隠簹櫊 畒邱咷嬏懍愸鵢暳脨 靐躋薆戬倴薰灈僖雤 苯咅腋艤匥噎伻沋熵 矹灯璖熙陏猣岷妢礟
x2
xn
Sn (x) 1 x 2!
n!
计算部分和 Sn (x) 作为 ex 的值必然产生误差，其误
差为：
Rn ( x)
e
x n1
(n 1)!
在0与x之间
这个误差就是“截断误差”。
ex 1 x x2 ... xn ...
2
n
12
舍入误差
• 在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而 引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入， 这个误差称为舍入误差。
第一章计算方法
令
D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入
a11, a12 , a21, a22 , b1, b2 S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果
D0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则
D0
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 x2 D D
(i) (ii)
高斯消 去法
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
x y 17 (II) (4 2) y 48 - 17 2
48 17 2 y 7 只小兔 42
例：求解二元一次联立方程组
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
sin( x ) sin x 2 cos x sin 2 2
2. 避免大数吃小数
例：用单精度计算 精确解为 的根。 x 2 (109 1) x 109 0
b b 2 4ac x 2a
x1 109 , x2 1
算法1：利用求根公式
例: 求
y x 1 x
的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580
（1）、直接相减
y 1001 1000 31 .64 31 .62 0.02
（2）、将该式改写为
y x 1 x 1 x 1 x
则
y = 0.01581
x 类似地 ln x ln y ln y
d 2s m 2 mg dt
其中 g 为重力加速度。
（1.1）
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
第1讲算法引论
第一章 算法引论
Sailes1m;taonur(n)0;min∞
while i<=(n-1)! do { pPHRMUTI(n-1,i); // PHRMUTI(n-1,i)是生成1到n-1的第i个排列的子过程 cost(T(p))EFP(c,T(p))； // EFP(c,T)是由费用矩阵c及路线T(p)所算得的总费用 if cost(T(p))<min { tourT(p); mincost(T(p)) } ii+1; } print min, tour
定义1.3 如果存在两个正常数c和n0,对于所有n> n0,有 |f(n)| ≥c|g(n)|
则记为f(n)=Ω(g(n))。 定义1.4 如果存在两个正常数c1 ,c2,和n0,对于所有的n>
n0,有 c1 g(n) | f (n) | c2 | g(n) | 则记为f(n)=Θ(g(n))。 一个算法的f(n)=Θ(g(n))意味着该算法在最好和最坏情况
第一章 算法引论
对于货郎担问题，其数学模型是带权图，与此图相关的 是费用矩阵。
1
5 5
1
7
2
2
3
4
4
3
2
1
3
4
1 2 7 5
1
4
4
3
2 4 1 2
7
4
1
3
5 3 2 3
第一章 算法引论
三、算法的详细设计 算法的详细设计是指设计求解某个具体问题的一系 列步骤，并且这些步骤可以通过计算机的各种操作 来实现。 以货郎担问题为例：相同的。
计算方法引论-第一章
– β称为基 – 这样表示的数称为β进制数
• 上溢、下溢
计算方法引论( 第三版)
1.3
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差
• 误差
– 准确数x、近似数x*
– 误差e*=x*-x 、误差限ε*≥|x*-x|
– x=x2 65…
近似数
x* 3 3.14 3.141 6
max(0.005 /1.21 0.005 / 3.65, 0.005 / 9.81)
max(0.005 5, 0.000 5) 0.005 5
– 设y = xn, y的相对误差与x的相对误差之间的关
系: dr y | d( ln y) || nd( ln x) | ndr x
计算方法引论( 第三版)
2.4×10-6≈2×10-6
计算方法引论( 第三版)
1.6
徐萃薇、孙绳武 高教2007
相对误差(续)
• 相对误差与有效数字关系
– 设数x*可表成(1.1)，
–
若x*有n位有效数字则有相对误差限
1
21
101n
x * x
1 2
10 pn
，x *
1 10p1
,相除．
–
若x*相对误差限
* r
1 2(1 1)
dlnf(x)= f′(x)/ f(x)dx= xf′(x)/f(x)dlnx
drf(x)= | x f′(x)/f(x) | drx
计算方法引论( 第三版)
1.10
徐萃薇、孙绳武 高教2007
误差的传播:例
•例
– 设a 1.213.65 9.81,其中每个数据的绝对误差 限为0.005,求a的绝对误差限和相对误差限
1-引论
2011-11-9
2、图解法 配方得： 配方得： +c（x+b)2+c-b2=0 由此知，它与x 由此知，它与x轴至多有两 个交点。 个交点。 3、公式法
x1,2 = −b ± b − c
2
数值计算方法——引论 数值计算方法 引论
15
算法的描述：
开始 输入b,c 输入 < d=b2-c<0 >= d=0
课程特点：
方法是近似的 与计算机不能分离 语言进行上机实习操作） （用C语言进行上机实习操作）
2011-11-9
数值计算方法——引论 数值计算方法 引论
13
算法：
什么是算法？ 什么是算法？ 算法——对操作的描述，即解决问题的操作步骤。 ——对操作的描述 算法——对操作的描述，即解决问题的操作步骤。
2011-11-9 数值计算方法——引论 数值计算方法 引论 20
秦九韶算法流程：
1.输入a ,k的初值 1.输入an,v0,k的初值 输入 2.循环计算 循环计算v 2.循环计算vk的值 3.当k=n时 循环结束， 3.当k=n时，循环结束， 此时v 此时v中的值就是多 项式p(x)= 项式p(x)= anxn +…+a2x2+a1x+ a0 的值
计算方法引论课后答案.
计算⽅法引论课后答案.第⼀章误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是⽅法误差.解: 例如,把地球近似看为⼀个标准球体,利⽤公式24A r π=计算其表⾯积,这个近似看为球体的过程产⽣的误差即为模型误差.在计算过程中,要⽤到π,我们利⽤⽆穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=?其中112,3,...n q q n +?=??==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的⽆穷乘积公式中第9项后的部分产⽣的误差就是⽅法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五⼊的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五⼊原则得到的近似数,它们各有⼏位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位4. 若1/4⽤0.25表⽰,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍⼊后得到的近似值,问:,a b a b +?各有⼏位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=?+?=?所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ?=?,()43321110.94710 1.1062100.600451010222所以a b ?有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍⼊后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ?与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+?=?, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --==≈=≈? ???;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --==≈=≈? ???;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---?=+≈?+?≈?.7. 正⽅形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其⾯积的误差不超过1cm 2.解: 设正⽅形⾯积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==?.所以边长的误差不能超过20.510-?cm.8. ⽤观测恒星的⽅法求得某地维度为4502'''o(读到秒),试问:计算sin ?将有多⼤误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022*''?'''==o.9 . 真空中⾃由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重⼒加速度.现在假设g 是准确的,⽽对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加⽽相对误差却减⼩.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ??d s 与t 成正⽐,d s s与t 成反⽐,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加⽽相对误差却减⼩.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x δ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知34 3V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =?.第⼆章插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建⽴y =的⼆次插值多项式,,且给出误差估计.⽤其中的任意两点,构造线性插值函数,⽤得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建⽴⼆次Lagrange 插值函数可得:()()()()21211441001441011100121100144121100121144121100 12144121144100x x x x L x x x ----= +------+--()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以20.00065550.001631R <<利⽤前两个节点建⽴线性插值函数可得:()()()()()11211001011100121121100x x L x --=+--()111510.7143L ≈=.利⽤后两个节点建⽴线性插值可得:()()()()()11441211112121144144121x x L x --=+--()111510.7391L ≈=.利⽤前后两个节点建⽴线性插值可得:()()()()()21441001012100144144100x x L x --=+()111510.6818L ≈=.,⼆次插值⽐线性插值效果好,利⽤前两个节点的线性插值⽐其他两个线性插值效果好.此说明,⼆次插值⽐线性插值效果好,插⽐外插效果好.2. 利⽤(2.9)式证明()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤证明: 由(2.9)式()()()()0101,2!f R x x x x x x x ξξ''=--<<当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有()()()()()()()()()011011............j j n j jj j j j j n x x x x x x x x l x xx x x x x x x -+-+----=证明()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑证明: 由于() 1 ;0 .j i ij i j l x i j δ=?==?≠? 且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,⽽且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,⽤⼆次插值进⾏计算,若希望截断误差⼩于5 10-,问函数表的步长最⼤能取多少? 解: 记插值函数为p(x),则()()()()()11sin sin 3!i i i x p x x x x x x x ξ-+'''-=--- 所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()()()[]3112,0,2i g x th h t t t t -+=--∈⼜()()()[]12,0,2t t t t t ?=--∈的最⼤值为10.3849??= ?,所以有 350.3849max sin 106x x p h ππ--≤≤-≤< 所以 0.0538h ≤.5. ⽤拉格朗⽇插值和⽜顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12302330101020310121301301223202123303132 31033101622731033 .2781/5x x x x x x x x x x x x L x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------= +------------++--------+--=++-+-++⽜顿插值: ⾸先计算差商3 10 2 13 2 1.333 0.38896 104 0.8889 0.1420-----()()()()()3130.38893 1.142033.N x x x x x x x =-++-+++-也可以利⽤等距节点构造,⾸先计算差分。
计算方法引论
计算方法引论计算方法是当代科学技术发展的重要组成部分，以及它的发展的趋势和未来的预测。
计算方法的应用越来越广泛，既有在工程设计领域中心的应用，如机械，航空航天，机电，计算机，航海和航空，电力，电子和通信，也有在工业自动化，军事和安全，环境科学等领域的应用。
计算方法被广泛应用于解决各种实际的复杂问题，如经济分析，系统优化，管理决策，工程设计，生物学和化学研究，天文学，气象学和地理信息系统等问题的计算。
它的应用还包括电子商务，物联网，虚拟世界，计算机网络，多媒体，图像处理，自然语言处理，机器学习，智能设计/模拟/控制等等。
计算方法的发展有着显著的改变，从一种数学工具变成一个可以解决复杂问题的强大技术。
此外，计算方法与新兴技术如大数据，智能分析，人工智能等也有千丝万缕的联系。
计算方法的发展取决于多种因素，如计算机系统的发展，新兴技术的应用，以及社会需求的改变。
在当代社会，计算方法可以通过优化算法，建模方法和智能工具技术来解决复杂问题，并有效地辅助决策，产品设计，市场分析等。
同时，使用改进的计算技术可以实现更加高效，可靠和准确的计算，以满足工程设计，科学研究，和各行各业的需求。
此外，计算方法也可以通过网络和云技术，开放数据以及互联网的应用，为社会提供新的服务，以帮助改善生活和工作的状况。
未来的计算方法领域将会更加深入，其发展将伴随着技术的发展，以及计算服务、硬件、软件和传感器等现代技术的迅速发展。
计算方法应用将进一步服务于基础科学，工程技术，企业管理，社会服务，娱乐和法律等各个领域，为世界提供更广泛，更普遍的解决方案。
本文综述了当前计算方法的发展和应用，以及计算方法未来的发展趋势。
它的发展可以归结为技术的进步，新兴技术的应用，社会需求的变化，以及市场的发展。
它将服务于各种领域，并将为企业创建了无限的机遇。
计算方法将是当今和未来科学和技术发展的重要组成部分，它也将为世界提供解决各种实际问题的解决方案。
数值分析第一章 数值计算引论
减少运算误差的若干原则
两个相近的数相减，会严重损失有效数字
设y=x-A
其中A和x均为准确值，假设A运算时不发生误差， 而x有误差，其近似值为x*，由此可估计出当用x* 近似代替x时，y的相对误差
r
*(
y*)
*( y*) y*
(x A) (x * A) x*A
x x* x*A
*(x*)
所以，四舍五入得到近似数的绝对误差限是其 末位的半个单位，即
例1.4.2：圆周率л＝3.14159…，用四舍五入取 小数点后4位时，近似值为3.1416，此时m=1， n=5，m-n=1-5=-4，绝对误差限ε*＝1/2×10-4。 取小数点后2位时，近似值为3.14，其绝对误差 限ε*＝1/2×10-2
11
有效数字
例1.4.6：л＝3.141592…，当取3.142和3.141作 为其近似值时，有效数字分别为多少位？
解： |л-3.142|=0.000407<0.0005=1/2×10-3 即m-n=-3，m=1, n=4, 所以3.142作为л的近似值具有 4位有效数字 当取3.141作为л的近似值时 |л-3.141|=0.00059<0.005=1/2×10-2 即m-n=-2, m=1, n=3, 所以3.141作为л的近似值时有3 位有效数字
0.1000
106
x2
0.2000105
解得 x1=0, x2=－0.2
准确解为x1=1.399972…, x2=－0.199986…
x*
0.x1 0.x1
x2 x2
...xn 10m ,当xn1 （4 四舍） ...xn1(xn 1) 10m ,当xn1 （5 五入）
5
计算方法引论
计算方法引论计算是一种计算机语言，也被称为数值分析。
它涉及对不同问题的数学表达、分析和求解，这些问题是通过计算机程序来实现的。
计算方法是指用科学的方法使计算机程序实现更有效的结果。
计算方法可以分为两类：图或矩阵方法和数值分析方法。
图或矩阵方法是使用图论或线性代数来解决某些数学问题的方法。
这些方法通常用于求解网络流问题，最短路径问题和最优流问题。
它们也可以应用于其他类型的问题，如图像检测和处理、视觉机器人和机器学习。
数值分析方法是使用数学分析或算法来求解一类数学问题的方法。
这些方法可以应用于解决梯度优化问题、回归问题和控制问题。
此外，数值分析方法还可以用来求解复杂系统的分析和稳定性问题。
计算方法的历史可以追溯到18世纪，当时数值分析方法是用于解决复杂数学问题的一种有效方法。
在20世纪，随着计算机技术的发展，计算方法也发生了重大改变。
随后，计算方法在科学研究、工程设计和商业实践中都发挥了重要作用。
现代计算方法可以分为三个主要类别：数值分析、机器学习和计算机视觉。
数值分析方法的通常目的是求解数学模型的近似解，其中包括求解微分方程和数值积分。
机器学习方法利用计算机来实现学习概念，以发展模型，以实现预测、分类和聚类。
计算机视觉利用数字图像处理和模式识别技术，处理和提取来自视觉传感器的数据，有助于实现视觉目标的识别、定位和追踪。
总而言之，计算方法是用于解决数学问题的一类非常重要的方法。
它不仅在科学研究中发挥重要作用，而且在工程设计和商业实践中也以不可估量的价值出现。
现代计算方法还可以分为机器学习、数值分析和计算机视觉三大类，为不同领域的研究提供了极大的便利。
计算方法-第1章
13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则 ， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地， 求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机 上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的 运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1） 数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学 发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输 出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法
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掌握常用的科学与工程计算的基本方法
能用所学方法在计算机上算出正确结果
计算方法
第一章
引 论
本章内容
引言
误差的来源及分类
误差的度量
误差的传播
减少运算误差的原则
计算方法
第一章
引 论
要求掌握的内容
概念
包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误
差、相对误差限等
误差
截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等 分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则
∴
e
*
r
1 10 m n 1 ( n 1) 2 10 2 x1 x1 10 m 1
er
1 10 ( n 1) 2 x1
计算方法
第一章
引 论
一般应用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越 大,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
(n) f (0) f (0) 2 f (0) n pn(x) f(0) x x x 1! 2! n!
则数值方法的截断误差是
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) f ( x) p n ( x) x (n 1)!
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
可见研究和选择好的算法是非常重要的。
计算方法
第一章
引 论
算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问题的过程。 数值算法的特点
目的性，条件和结论、输入和输出数据均要有明 确 的规定与要求。 确定性，精确地给出每一步的操作(不一定都是运算)定 义, 不容许有歧义。 可执行性，算法中的每个操作都是可执行的 有穷性，在有限步内能够结束解题过程 计算机上的算法，按面向求解问题的不同，分为数值算 法和非数值算法。
例3
而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3
A
可见，绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好
a-ε a a+ε
计算方法
第一章
引 论
相对误差和相对误差限
只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每 100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一 个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,
计算方法
第一章
引 论
计算方法又称数值分析, 它是研究各种数学问题 的数值解法及其理论的一门学科。
计算方法的任务
实际问题 数值结果 数学模型 上机计算 数值计算方法
程序设计
根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编 出程序上机算出结果，这一过程是计算方法研究的 对象
计算方法
第一章
引 论
数值方法解题的一般过程
天气预报 亿次计算机设计与有限元 CT/核磁共振 计算流体力学与爆炸工程
计算方法
第一章
引 论
计算方法课程主要讨论如何构造求数学模 型近似解的算法，讨论算法的数学原理、 误差和复杂性，配合程序设计进行计算试 验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值计算方 法所求出的结果一般不是解的精确值或者 准确的解析表达式，而是所求真解的某些 近似值或近似曲线。
计算方法
第一章
引 论
例如方程
解。
x2=2sinx
在区间(1,2)内有唯一根, 但找不出求根的解析式, 只能用数值计算方法求其近似
例如线性方程组 y=Ax
Cramer法则原则上可用来求解线性方程组,用这种方法解一个n元方程组,要 算n+1个阶行列式的值,总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,当n=20时,其乘除法运算次数 约需1021次方,即使用每秒千亿次的计算机也得需要上百年,而用高斯（Guass） 消去法约需2660次乘除法运算,并且愈大,相差就愈大。
e
* r
1 100 100
乙打字时的相对误差
1 e 0.1 0 0 1000
* r
计算方法
第一章
引 论
定义1.5
设x的近似值 x
*
0.x1 x2 xn 10 m
其中 x i 是0到9之间的任一个数,但 x1 0, i 1,2,3,, n
n是正整数, m是整数,若
<0.005=1/2 10-2
m-n=1-n=-2 所以n=3具有3位有效数字
推论
如果近似数x*误差限是某一位的半个单位,
由该位到x*的第一位非零数字一共有n位x*就有n
位有效数字,也就是说准确到该位
计算方法
第一章
引 论
再如3.1416作为 的近似值时
-3.1416 = 0.3141592…101-0.31416101
计算方法
第一章
引 论
1.2 误差的来源及分类
早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学
实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个
精确的值，而是含有误差的近似值。事实上，误差在我
们的日常生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量 与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。
计算方法
第一章
引 论
1. 对于要解决的问题建立数学模型
2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程
3. 按照2进行计算，得到计算结果
分析实 际问题
建立数 学模型
转化为 数值公式
进行 计算
获得 结果
计算方法
第一章
引 论
数值计算以及计算机模拟（包括当前流行的 虚拟现实的方法），已经是在工程技术研究和经 济、社会科学中广泛应用的方法，带来巨大的经 济效益
* ( x 定义1.4 设存在一个正数 r )
，使
* * * e x x * * er * ( x ) r * * x x x
* ( x 则称 r ) 为近似值 x * 的相对误差限。
r ( x * ) 简记为 r*
计算方法
第一章
引 论
例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差
计算方法
第一章
引 论
4. 舍入误差
在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算
，需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处
理工作，这种处理工作称作舍入处理用有限位数字代替 精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考 虑的一类误差。
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026…
xx
*
*
1 10 m n 2
*
则称 x 为x的具有n位有效数字的近似值， x 准确到第n
* . x x x 位， 1 2 n 是 x 的有效数字。
计算方法
第一章
引 论
例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解：
1 10 3.141592…= 0.3141592…×
1 10 3.142 = 0.3142×
计算方法
第一章
引 论
计算方法研究的基本内容
如何把数学模型归结为数值问题
如何制定快速的算法 如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播
如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量
如何分析算法的优缺点
计算方法
第一章
引 论
本课程的基本要求
掌握数值方法的基本原理
数学模型的准确解与实际问题的真解不同
为减化模型忽略次要因素
实际问题的 真解
定理在特定条件下建 立与实际条件有别
数学模型的 真解
计算方法
第一章
引 论
2. 观测误差
在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长
度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来
了误差，这种误差叫观测误差
数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的
由于精确值一般是未知的,因而e* 不能求出来, 但可以根 据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误 差绝对值的一个上界或称误差限。
计算方法
第一章
引 论
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x * *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 实际应用中经常使用这个量来衡量误差限, 这就 * * * * * * x x x 是说, 如果近似数 x 的误差限为 , 则 表明准确值 x 必落在 x * , x * 上, 常采用下面的写
计算方法
第一章
引 论
定理1.1
若近似数x*=0.x1x2…xn10m具有 n 位
有效数字，则其相对误差
er
*
1 10 ( n 1) 2 x1
m-1 m - n
证: ∵ x* = 0.x1x2…xn10m
∴ x* ≥x110
又
x x* x*
*
∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210
还必须顾及量的本身。
定义1.3 绝对误差与精确值x的比值
* * e x x er ( x * ) x x
* * e ( x ) e 称为相对误差。 r 简记为 r
计算方法
第一章
引 论
相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通 常是不知道的,因此可用下列公式计算相对误差