第1章计算方法引论

(n) f (0) f (0) 2 f (0) n pn(x) f(0) x x x 1! 2! n!
则数值方法的截断误差是
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) f ( x) p n ( x) x (n 1)!
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
法
x x* *
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
计算方法
第一章
引 论
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074…，有 x-x*=0.0000074… 0.000008=0.810-5
∴
e
*
r
1 10 m n 1 ( n 1) 2 10 2 x1 x1 10 m 1
er

1 10 ( n 1) 2 x1
计算方法
第一章
引 论
一般应用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越 大,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
e
* r
1 100 100
乙打字时的相对误差
1 e 0.1 0 0 1000
* r
计算方法
第一章
引 论
定义1.5
设x的近似值 x
*
Baidu Nhomakorabea
0.x1 x2 xn 10 m
其中 x i 是0到9之间的任一个数,但 x1 0, i 1,2,3,, n
n是正整数, m是整数,若
例3
而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926…，有 x-x*=0.0000926… 0.0001=0.110-3
A
可见，绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好
a-ε a a+ε
计算方法
第一章
引 论
相对误差和相对误差限
只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每 100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一 个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,
1. 对于要解决的问题建立数学模型
2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程
3. 按照2进行计算，得到计算结果
分析实 际问题
建立数 学模型
转化为 数值公式
进行 计算
获得 结果
计算方法
第一章
引 论
数值计算以及计算机模拟（包括当前流行的 虚拟现实的方法），已经是在工程技术研究和经 济、社会科学中广泛应用的方法，带来巨大的经 济效益
≤0.00000074 101
≤ 0.0000074<0.00005
<0.5 10-4
m-n=1-n=-4
所以 n=5
x*= 3.1416有5位有效数字
计算方法
第一章
引 论
关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位 有效数字。 如3.142作为 的近似值有4位有效数字，而3.141为3位 有效数字 ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。 例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字， 但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3 ③ 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数 ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 因为0.5是真值,没有误差 *=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字
掌握常用的科学与工程计算的基本方法
能用所学方法在计算机上算出正确结果
计算方法
第一章
引 论
本章内容
引言
误差的来源及分类
误差的度量
误差的传播
减少运算误差的原则
计算方法
第一章
引 论
要求掌握的内容
概念
包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误
差、相对误差限等
误差
截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等 分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则
<0.005=1/2 10-2
m-n=1-n=-2 所以n=3具有3位有效数字
推论
如果近似数x*误差限是某一位的半个单位,
由该位到x*的第一位非零数字一共有n位x*就有n
位有效数字,也就是说准确到该位
计算方法
第一章
引 论
再如3.1416作为 的近似值时
-3.1416 = 0.3141592…101-0.31416101
计算方法
第一章
引 论
计算方法又称数值分析, 它是研究各种数学问题 的数值解法及其理论的一门学科。
计算方法的任务
实际问题 数值结果 数学模型 上机计算 数值计算方法
程序设计
根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编 出程序上机算出结果，这一过程是计算方法研究的 对象
计算方法
第一章
引 论
数值方法解题的一般过程
* ( x 定义1.4 设存在一个正数 r )
，使
* * * e x x * * er * ( x ) r * * x x x
* ( x 则称 r ) 为近似值 x * 的相对误差限。
r ( x * ) 简记为 r*
计算方法
第一章
引 论
例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差
可见研究和选择好的算法是非常重要的。
计算方法
第一章
引 论
算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问题的过程。 数值算法的特点
目的性，条件和结论、输入和输出数据均要有明 确 的规定与要求。 确定性，精确地给出每一步的操作(不一定都是运算)定 义, 不容许有歧义。 可执行性，算法中的每个操作都是可执行的 有穷性，在有限步内能够结束解题过程 计算机上的算法，按面向求解问题的不同，分为数值算 法和非数值算法。
数学模型的准确解与实际问题的真解不同
为减化模型忽略次要因素
实际问题的 真解
定理在特定条件下建 立与实际条件有别
数学模型的 真解
计算方法
第一章
引 论
2. 观测误差
在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长
度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来
了误差，这种误差叫观测误差
数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的
由于精确值一般是未知的,因而e* 不能求出来, 但可以根 据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误 差绝对值的一个上界或称误差限。
计算方法
第一章
引 论
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x * *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 实际应用中经常使用这个量来衡量误差限, 这就 * * * * * * x x x 是说, 如果近似数 x 的误差限为 , 则 表明准确值 x 必落在 x * , x * 上, 常采用下面的写
m = 1
|π-3.142 |=|0.3141592…×
1
1 1 10 -0.3142× 10 |
＜ 0.000041×10 ＜ 0.0005=
1 3 10 × 2
m –n =1–n =-3
所以 n =4，具有4位有效数字
计算方法
第一章
引 论
例6. 取3.141作为的近似值时，有几位有效数字
-3.141=0.3141592…101 -0.3141101 ≤0.0000592 101
计算方法
第一章
引 论
计算方法研究的基本内容
如何把数学模型归结为数值问题
如何制定快速的算法 如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播
如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量
如何分析算法的优缺点
计算方法
第一章
引 论
本课程的基本要求
掌握数值方法的基本原理
计算方法
第一章
引 论
1.2 误差的来源及分类
早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学
实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个
精确的值，而是含有误差的近似值。事实上，误差在我
们的日常生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量 与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。
计算方法
第一章
引 论
就是舍入误差。
计算方法
第一章
引 论
上述种种误差都会影响计算结果的准 确性，因此需要了解与研究误差，在数值 计算中将着重研究截断误差、舍入误差， 并对它们的传播与积累作出分析
计算方法
第一章
引 论
误差的度量
绝对误差和绝对误差限 定义1.1 设精确值x的近似值 x* ，称差 e(x*) =x-x* 近似值x*的绝对误差，简称误差。 e(x*)又记为e* 当 e*>0 时， x* 称为弱近似值，当 e*<0 时， x* 称为强近似值 |e*|越小， x*的精度越高
还必须顾及量的本身。
定义1.3 绝对误差与精确值x的比值
* * e x x er ( x * ) x x
* * e ( x ) e 称为相对误差。 r 简记为 r
计算方法
第一章
引 论
相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通 常是不知道的,因此可用下列公式计算相对误差
* * e x x er* * x x*
计算方法
第一章
引 论
例如方程
解。
x2=2sinx
在区间(1,2)内有唯一根, 但找不出求根的解析式, 只能用数值计算方法求其近似
例如线性方程组 y=Ax
Cramer法则原则上可用来求解线性方程组,用这种方法解一个n元方程组,要 算n+1个阶行列式的值,总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,当n=20时,其乘除法运算次数 约需1021次方,即使用每秒千亿次的计算机也得需要上百年,而用高斯（Guass） 消去法约需2660次乘除法运算,并且愈大,相差就愈大。
在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来
有如下几类：
1. 模型误差
2. 观测误差 3. 截断误差
4. 舍入误差
计算方法
第一章
引 论
1. 模型误差
用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学
模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本 身总含有误差，这种误差叫做模型误差。 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的 有关量的描述
计算方法
第一章
引 论
4. 舍入误差
在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算
，需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处
理工作，这种处理工作称作舍入处理用有限位数字代替 精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考 虑的一类误差。
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026…
，由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据 含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差，根据实际 情况可以得到误差上下界 数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方 法与之适应
计算方法
第一章
引 论
3. 截断误差 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差
例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式
天气预报 亿次计算机设计与有限元 CT/核磁共振 计算流体力学与爆炸工程
计算方法
第一章
引 论
计算方法课程主要讨论如何构造求数学模 型近似解的算法，讨论算法的数学原理、 误差和复杂性，配合程序设计进行计算试 验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值计算方 法所求出的结果一般不是解的精确值或者 准确的解析表达式，而是所求真解的某些 近似值或近似曲线。
xx
*
*
1 10 m n 2
*
则称 x 为x的具有n位有效数字的近似值， x 准确到第n
* . x x x 位， 1 2 n 是 x 的有效数字。
计算方法
第一章
引 论
例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解：
1 10 3.141592…= 0.3141592…×
1 10 3.142 = 0.3142×
计算方法
第一章
引 论
定理1.1
若近似数x*=0.x1x2…xn10m具有 n 位
有效数字，则其相对误差
er
*

1 10 ( n 1) 2 x1
m-1 m - n
证: ∵ x* = 0.x1x2…xn10m
∴ x* ≥x110
又
x x* x*
*
∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210