上海市浦东新区2020届高三数学二模
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上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷
一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1. 设全集{0,1,2}U =,集合{0,1}A =,则
U
A =
2. 某次考试,5名同学的成绩分别为:96、100、95、108、115,这这组数据的中位数为
3. 若函数1
2
()f x x =,则1(1)f -=
4. 若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根(其中i 为虚数单位,,R p q ∈),则
p q +=
5. 若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为
6. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1
x t y t
=-⎧⎨=⎩(t 为参数),圆O 的参数方
程为cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
(θ为参数),则直线l 与圆O 的位置关系是
7. 若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为42,则23lim()n n x x x x →∞
+++⋅⋅⋅+= 8. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±,且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则这个双 曲线的方程是
9. 从m (*N m ∈,且4m ≥)个男生、6个女生中任选2个人发言,假设事件A 表示选出 的2个人性别相同,事件B 表示选出的2个人性别不同,如果事件A 和事件B 的概率相等, 则
10. 已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个,则实数a 的取值集合 为
11.如图,在△ABC 中,3
BAC π
∠=
,D 为AB 的中点,
P 为CD 上一点,且满足AP t AC =1
3
AB +,若△ABC
的面积为33
2
,则||AP 的最小值为
12. 已知数列{}n a 、{}n b 满足111a b ==,对任何正整数n 均有22
1n n n n n
a a
b a b +=+++,22
1n n n n n
b a b a b +=+-+,设11
3()n n n n
c a b =+,则数列{}n c 的前2020项之和为
二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13. 若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
,则目标函数2f x y =+的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 14. 如图,正方体1111A B C D ABCD -中,E 、F 分别为棱
1A A 、BC 上的点,在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行
的直线( )
A. 有一条
B. 有二条
C. 有无数条
D. 不存在 15. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅,给出下列结论: ①()f x 是周期函数; ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2
k π
π+(Z k ∈);
③若12()()f x f x =,则12x x k π+=(Z k ∈);
④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15
{|,Z}88
x k x k k +<<+∈; 则正确结论的序号是( )
A. ①②
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
16. 设集合{1,2,3,,2020}S =⋅⋅⋅,设集合A 是集合S 的非空子集,A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径,那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( ) A. 711949⋅ B. 7021949⋅ C. 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅
三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120°得到的. (1)求此几何体的体积;
(2)设P 是弧EC 上的一点,且BP BE ⊥,求异面直线FP 与CA 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
18. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴正方形重合,终边与单位圆分别交
于P 、Q 两点,若P 、Q (1)求cos()αβ+的大小;
(2)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长,若已知角C αβ=+,
3
tan 4
A =
,且22a bc c λ=+,求λ的值.
19. 疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额 在3万元至6万元(包括3万元和6万元)的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列 两个条件:①补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加;②补助款不 低于原纳税额x (万元)的50%,经测算政府决定采用函数模型()44x b
f x x
=-+(其中b 为 参数)作为补助款发放方案.
(1)判断使用参数12b =是否满足条件,并说明理由; (2)求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围.
20. 在平面直角坐标系xOy 中,1F 、2F 分别是椭圆2
22:1x y a
Γ+=(0a >)的左、右焦点,
直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且12||||AF AF +=(1)求椭圆Γ的方程;
(2)已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ,P 、Q 是椭圆上两点,四边形ABPQ 是菱形,求直线l 的方程;
(3)已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ,直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列,求直线l 在y 轴上截距的取值范围.
21. 若数列{}n a 对任意连续三项i a 、1i a +、2i a +,均有221()()0i i i i a a a a +++-->(*N i ∈),则称该数列为“跳跃数列”.
(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列: ① 等差数列:1,2,3,4,5,⋅⋅⋅; ② 等比数列:1,12-
,1
4
,18-,116,⋅⋅⋅;
(2)若数列{}n a 满足对任何正整数n ,均有11n a
n a a +=(10a >),证明:数列{}n a 是跳
跃数列的充分必要条件是101a <<;
(3)跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有2
1195
n
n a a +-=,求首项1a 的取值范围.