上海市浦东新区2020届高三数学二模

上海市浦东新区2020届高三二模数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则

U

A =

2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，这这组数据的中位数为

3. 若函数1

2

()f x x =，则1(1)f -=

4. 若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,R p q ∈），则

p q +=

5. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为

6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1

x t y t

=-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方

程为cos sin x y θ

θ=⎧⎨

=⎩

（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是

7. 若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为42，则23lim()n n x x x x →∞

+++⋅⋅⋅+= 8. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双 曲线的方程是

9. 从m （*N m ∈，且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人发言，假设事件A 表示选出 的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同，如果事件A 和事件B 的概率相等， 则

10. 已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合 为

11.如图，在△ABC 中，3

BAC π

∠=

，D 为AB 的中点，

P 为CD 上一点，且满足AP t AC =1

3

AB +，若△ABC

的面积为33

2

，则||AP 的最小值为

12. 已知数列{}n a 、{}n b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有22

1n n n n n

a a

b a b +=+++，22

1n n n n n

b a b a b +=+-+，设11

3()n n n n

c a b =+，则数列{}n c 的前2020项之和为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若x 、y 满足010x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 14. 如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱

1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行

的直线（ ）

A. 有一条

B. 有二条

C. 有无数条

D. 不存在 15. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2

k π

π+（Z k ∈）；

③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；

④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15

{|,Z}88

x k x k k +<<+∈； 则正确结论的序号是（ ）

A. ①②

B. ②③④

C. ①③④

D. ①②④

16. 设集合{1,2,3,,2020}S =⋅⋅⋅，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ） A. 711949⋅ B. 7021949⋅ C. 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120°得到的. （1）求此几何体的体积；

（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

18. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，终边与单位圆分别交

于P 、Q 两点，若P 、Q （1）求cos()αβ+的大小；

（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，

3

tan 4

A =

，且22a bc c λ=+，求λ的值.

19. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额 在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列 两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不 低于原纳税额x （万元）的50%，经测算政府决定采用函数模型()44x b

f x x

=-+（其中b 为 参数）作为补助款发放方案.

（1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围.

20. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆2

22:1x y a

Γ+=（0a >）的左、右焦点，

直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；

（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；

（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.

21. 若数列{}n a 对任意连续三项i a 、1i a +、2i a +，均有221()()0i i i i a a a a +++-->（*N i ∈），则称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1，2，3，4，5，⋅⋅⋅； ② 等比数列：1，12-

，1

4

，18-，116，⋅⋅⋅；

（2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11n a

n a a +=（10a >），证明：数列{}n a 是跳

跃数列的充分必要条件是101a <<；

（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有2

1195

n

n a a +-=，求首项1a 的取值范围.