欧拉公式的应用

滨州学院

毕业设计（论文）

题目欧拉公式的应用

系（院）数学与信息科学系

专业数学与应用数学

班级2004级本科四班

学生姓名杨明证

学号**********

指导教师徐化忠

职称讲师

2008年04月18日

欧拉公式的应用

摘要

本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．

关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数

Euler's Formula for the Application

Abstract

This text first introduced the Euler's formula and the generalized Euler's formula, and then briefly discussed the characteristics of the Euler's formula. The form of the Euler's formula is numerous ,and the application of the Euler's formula is extensive, this text researches the Euler's formula in the Triangle Function in detail, the Euler's formula in the application of the trigonometric series、the demonstration of the trigonometric identity, the solution of the problems of the trigonometry、the search of the complicated triangle ,the complex triangular transformation can be avoided , the problems can be resolved with more visualized algebraic operation . On the other hand, the use of the decreasing powers of the Euler's formula can express the sine function and the cosine function of higher-power as the algebraic addition of the function of the first power, To overcome the inconvenience of the high-power function in computation.

Key words: Euler's formula trigonometric function series of decreasing powers triangular numbers

目录

摘要............................................... 错误!未定义书签。Abstract ........................................... 错误!未定义书签。目录............................................... 错误!未定义书签。

一、绪论 (1)

二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1)

三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4)

(一) 倍角和半角的三角变换 (4)

(二) 积化和差与差化积的三角变换 (4)

(三) 求三角表达式的值 (5)

(四) 证明三角恒等式 (6)

(五) 解三角方程 (7)

(六) 利用公式求三角级数的和 (7)

(七) 探求一些复杂的三角关系式 (8)

(八) 解决一些方程根的问题 (9)

(九) 欧拉公式大降幂 (10)

（十）三角函数的求积 (13)

结束语 (15)

致谢 (16)

参考文献 (17)

一、绪论

欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用．

二 、欧拉公式的证明、特点、作用

1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．

欧拉公式cos sin i e i θθθ

=+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变

函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．

证明 令()1n

f z i n θ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭ (),R n N θ∈∈．

首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞

=+．

因为 arg 1n

i narctg n n θθ⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

所以 2

2

211cos sin n n

i i narctg i narctg n n n n θθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎝⎭．

从而2

2

2lim 1lim 1cos sin n

n

n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎝⎭．