高数ⅡA卷答案
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
高数ⅱa卷答案
广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）一、填空题（每空3分，共21分）1. 若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( .2. =⎰x xdt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3. 已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(C e F x +--)(4. 设x x f sin )(=时，则='⎰dx xx f )ln （C x +)sin(ln 5. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l l )( 06. 改变二次积分的积分次序，⎰⎰=100),(y dx y x f dy ⎰⎰101),(x dy y x f dx7. 方程032=-'-''y y y 的通解是x x e c e c y -+=231二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1. 解:C x x x d xdx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分） 2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)21(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)12(ln 31） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3分）= )(cos sin x x e d x e x --⎰-- ………（4分）=xdx e e x x x x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）所以，C x x e xdx e x x ++-=--⎰)cos (sin 21sin ………（6分）4. 解: dt t dx t x t x 2333,22=-==+，则令 ……（1分）C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3332222321ln 323)1(231ln 332311131321）（……（6分）5. 解:2sin sin cos cos cos 2220200=-=-=⎰⎰⎰πππππππx x xdx dx x dx x （6分）6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1010112==+=+⎰⎰-x dx x dx x x x …（6分） 三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.1.xy e z xy sin +=，求yz x z ∂∂∂∂，. 解：xy y ye xz xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z xe x xy y∂=+∂ …………（5分） 2.）2ln(y x z +=，求 22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2.解：2221y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分） 2222222(2(1），）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分） 3. )643ln(z y x u -+=，求du . 解：dz zy x dy z y x dx z y x du 643664346433-+-+-++-+= …（5分）四、计算重积分(每小题5分，共10分).1. ⎰⎰-+Ddxdy x y x )(22，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的区域.解：原式=⎰⎰-+x x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )310(2320-⎰ ………（4分） =332 ………（5分） 2. dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中}4),({2222ππ≤+≤=y x y x D .解：原式 =220sin d r r dr πππθ⎰⎰ ………（3分）= -26π ………（5分）五、求解微分方程（8分）. 解：3)1()(12)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：])1([12312C dx ex e y dx x dx x +⎰+⎰=+-+⎰ ………（6分） )21()1(22C x x x +++= ………（8分）六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分） 解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x 设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=02100L 0z y x L xy L xz yz L z y x λλλλ 得7===z y x ………（9分）由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
高等数学二本(A)参考答案
一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。
1314高等数学A(二)试题答案 济南大学
五、综合题（每小题10分，共20分）
2. 设平面区域D是由曲线 和直线 y 0, x 1
所围成的闭区域， 其中 ( 1) n1 x n , n n 1
的和函数.计算二重积分
是幂级数
1 x 1
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(1) n1 x n 解: y(0) 0, y ( x) , n n 1 n 1 n n 1 n 1 ( 1) x ( 1) nx y( x) ( ) n n 1 n n 1 1 n 1 ( x) 1+x n 1 x 1 x d x ln(1 x). x (1,1]. y( x) y(0) y( x) d x 0 1 x 0
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
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全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
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去年高数A( 二)考点总结 • 全微分,复合函数求导,隐函数求导, • 连续,可导和全微分的关系,函数的极值 • 二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分, 球坐标系下的三重积分,第二类曲面积分,格林 公式,曲线积分与路径无关的充要条件 • 交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收 敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理 去年高数B( 二)考点 • 函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.
大学高等数学A-2试卷答案
《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
高等数学试卷2及答案
１高等数学（A2）试卷（二）答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. B,2. D,3. B,4. C,5. D,6. B,7. D,8. B.二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得03332='--'x x z xy yz z z (1分)解得 xyz yzz x -='2(3分) 方程两边对x 求导,得 xyz xzz y -='2(5分) 所以, )(2xdy ydx xyz zdz +-= (7分) 2． 求⎰⎰-=Ddxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰⎰-=1022x dy y x dx I (2分)令t x y cos =, 则有⎰⎰=102022sin πtdt dx x I (6分)12π=(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.解: xx x f --=11ln )(5 (2分)由∑∞=-≤<--=+11)11()1()1ln(i nn t nt t , 可得 (4分) ∑∞=<≤--=-155)11()1ln(i nx n x x (5分) ∑∞=<≤--=-1)11()1ln(i nx nx x (6分) 所以, ∑∑∞=∞=<≤--=151)11()(i ni n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1cos 1222-=-+'x xy x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--x e x dxx xμ得 (2分)x y x dxdcos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1sin 2-+=x cx y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为11sin 2--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)用高斯公式计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.解: 由高斯公式可得２⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++=++=zdxdydzydxdydz xdxdydz dxdydzz y x I 222)222( (2分)又因,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==bcabc a xdx dz dy xdxdydz 0222 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω=c ab ydxdydz 22,⎰⎰⎰Ω=22abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)四、计算题(本题8分)确定b 并求出曲线32121,,:t z t y t x =-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.解: 设Γ上点)121,,(302000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )41,2,1(200t t -=τ (2分)与平面∏的法向量, )1,,1(b n =平行, 即14121120tb t =-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),32,4,2(,4,200=±-±=±=τM b t (6分)得切线方程, )4(1324412-=-=-+=-b z y x)4(1324412=+=+=+b z y x (8分)五、证明题(本题8分)证明曲线积分⎰+-=Cdy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,并计算积分值, 其中C 为椭圆12222=+by a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从),0(b A -到),0(b B .证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy yy P -=-∂∂=∂∂22sin 2)(cos x x x xx Q -=∂∂=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)所以b x y x y d I b b C2|cos )cos (),0(),0(22===-⎰(8分)六、计算题(本题8分)若)(22y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z , 求z , 其中)(r f 有连续的二阶导数.解: 记22y x r +=, 则有3222222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3222222)()(,)(ry r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1)(='+''r f rr f (4分) 解之得 rcr f =')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)３七、应用题(本题8分)要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐的表面积, 则有)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系A h r r =+2332ππ, 解之得)32(132r A r h ππ-=(4分)代入),(h r S 得 rAr r h r S r 238))(,()(2+==πϕ令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点310)83(πAr = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,所以即为所求最小值点, 此时有002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。
高等数学A(二)2009-2010(A)解答
《 高等数学A （二）》（A 卷）(答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、(C)2、(A).3、( A )4、 D5、（A ）二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,31,31 2、dy dx 2- 3、π4、25、062=-+y x三、解答下列各题(本大题共7小题，总计60分)1、(本小题8分)22222222])1()1[()1(2)1()1(1)1()1(1-+----+-=-+--=y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分 22)1()1(1-+--=y x y u y 222222])1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy7分u u xx yy +=0。
（8分） 2、(本小题8分)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=06306322y y z x x z yx ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2xyyy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 06)2,2(,036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。
44= 8分3、(本小题12分)（1）解：,)12(12-+=n n n n u原级数收敛∴<=+==-∞→∞→,141)12(lim 12lim n n n n n n n n u ρ 。
……6分 或nn n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-41221012，所以原级数收敛。
高数II(1)A卷答案
第1页 共1页黄山学院2012－2013学年度第一学期《高等数学II （1）》(本科)期末试卷(A)参考答案及评分细则试卷编号: 2012050003-01院(系) 班 姓名 学号 得分一、选择题（每小题3分，共15分）。
B B AC A二、填空题（每小题3分，共15分）。
1、222x -； 2、充要； 3、>； 4、21x -； 5、()f x dx 。
三、解答题（每小题7分，共70分）。
1、解：原式=11lim 1x x x →-+（3分）=0（7分）2、解：原式=212(1)2212lim 121x x x x x ++⋅+→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭（3分）2(1)212122lim 121x x x x x +++→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦（5分）=e （7分）3、解：由于11lim lim(3)2x x y x ++→→=-=，11lim lim(1)0x x y x --→→=-=，因此函数y 在1x =处间断（4分）。
并且1x =为函数的第一类间断点中的跳跃间断点（7分）。
4、解：'''(2471e y ex ===+分）分）分）5、解；原式=11ln (1)ln lim lim 3(1)ln ln x x x x x xx x x x→→--=-+（1分）（分）11ln ln 11lim 5lim 7ln (1)ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+（分）（分）6、解：曲线方程左右同时对x 求导，得：11'3322033x y y --+=得13'13x y y--=-，则13'1)3)1x y y--=-=-（3分）。
曲线222333x y a +=在点)a处的切线方程：0x y +=（5分）， 曲线222333x y a +=在点)a 处的法切线方程：0x y -=（7分）。
7、解：'2()66126(2)(1)f x x x x x =+-=+-（2分）令'()0f x =，得12x =-，21x =。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
08高数A(2)A卷答案-5页文档资料
s(x) = ( x ) 1 x
=
1 (1 x)2
， (1
x
1) ．
……10 分
第2页
线
4八．、设（10f
分(x)）是设区可域导D函数{(，x, y且) | 满x2 足 y条2 件1}：，计lim算 x0
f((1x)2
D
fy
(21)dxdxy)
2x4
。
1
，则曲线
f11
xf12
f2
yf 21
xyf 22
f11 x y f12 xyf22 f2
……4 ……6 ……8
专业：
订
学院：
装
第1页
五、（8 分）求曲面 x2 yz 3y2 2xz2 8z 上点 (1, 2, 1) 处的切平面和法线方程．
cos 2
d
1D.2
1f
(c3osesc2x)3dsec
x
)
ln1
3dx
0
2
40
2
4
……6 分 ……8 分
三、计算题（(1共 1)491分 5） .
4 4 16
……10 分
1九．、（解求8：分由lxi）m1z求函23x数xzx02，x211z
y2x在区。域 x2
设 s(x) nxn1 ， x (1,1) ．上式两边从 0 到 x 积分，得 n1
x s(x)dx
x
(
nxn1)dx
x nxn1dx xn
x
， (1 x 1) ，……7 分
0
0
n1
高数(二)答案(A卷)
高数（二）答案（A 卷）一．填空题：(每空格5分，共40分) 1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）0y =，（2）2x = 4．1,0-==b a ，5．（1）y x r 2-，（2）xy23.1．解：令)1ln(ln 2+-=x x x y ，（3分）则xx x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--=（7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为34,021==x x （2分）（法一）46''-=x y ，04)0(''<-=y ，1)0(=y （极大值），（5分）04)34(''>=y ，275)34(-=y （极小值）.（7分）（5分）当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值）（7分）3．解：（法一）利用莱布尼兹公式x e x x dxfd ]66[233++=（7分） （法二）xe x x xf )2()(2'+=，（3分） x e x x x f )24()(2''++=， x e x x x f)66()(2)3(++=（7分）4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e5．解：⎰+dx ex211＝=+-+⎰dx e e e x xx 22211(3分) ++-=)1ln(212x e x C （7分）6.解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 10102)12()2(（3分）＝2－⎰+1)12(dx e x x＝2－)13(-e +102x e=＝e e e -=-+-12233。
（7分） 7．解：()22,220F x y x xy y =++=2222222233422202(2)2()021()()(1)()()()220()()dy dy x y xy dx dxdyx y x y dxdy x y x dx x y x y x dy x y x x x x y x d y x y dx dxx y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++（3分）（7分）8．解：])21()1()21()21(211[21]2111[211132 +--++---+--=-+=+=n n x x x x x x y＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ，（5分） 收敛区间为（-1，3）.（7分）9．解：xxx y 2cos sin )'cos (=（5分） 1cos +=x C y （其中C 为任意常数）（7分） 10．解：直线1=x 与圆422=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P ，（2分） 右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.⎰---=332]1)4[(dy yV π（5分）＝ππ34)33(233=-y y （7分） 四．综合题：1．解：⎰π0cos cos mxdx nx ＝⎰-++π0])cos()[cos(21dx x m n x m n （3分）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==≠=mn m n m n ,00 ,0 ,2ππ（10分）2．证明：证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(,（2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ，（4分） 由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξF ，即0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根.（7分）（2）c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<，所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ，)('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.（10分）声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。
10-11高数二(A卷)期未考答案1 北京信息科技大学
4分
7分 四．7 分*2=14 分
1、计算曲线积分 ∫
L
2 y d s ，其中 L 是抛物线 y = x 上点(0,0)与点(1,1)之间的弧.
2、 用格林公式计算 ∫ ( 2 x − y + 4 )d x + ( 5 y + 3 x − 6 )d y ， 其中 L 为三顶点分别为
L
（ 0， 0） ， （ 3， 0） ， （3，2）的三角形正向边界。
∫∫
D
∂ 2u ∂ 2u ( 2 + ) dxdy ∂x ∂y 2
v 证明：设 n 与 x 轴正方向夹角为 α ，则曲线的切向量与 x 轴正方向夹角为 π ---2 分 θ =α + 2
所以， v =
∂u ∂n
∂u ∂u ∂u ∂u cosα + sinα = sinθ − cosθ ∂y ∂x ∂y ∂x
北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期 《高等数学》176学时课程期末考试试卷标准答案（A卷） 一.7 分*2=14 分 1. 已知函数 z = x 2 y + y 2 , 求全微分 dz 。
解 ：dz =
∂z ∂z dx + dy LLLLL (2) ∂x ∂y
= 2 xydx + (x 2 + 2 y)dy LL (7)
(
3
a,3 a,3 a
)
7分
由于问题的实质是在曲面 xyz = a 位于第一卦限内的部分上求一点，使其到原点 的距离平方为最小，而最小距离是存在的。因此应把 a 分成三个 等的正数，即 x = y = z = 3 a ，这时它们的平方和为最小。 2.设 f ( x, y) 是连续函数，其中 a, m 为常数，且 a > 0. 证明
高等数学a2教材答案
高等数学a2教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 极限的运算法则3. 无穷小量与无穷大量4. 极限存在准则5. 无穷小量比较6. 连续函数的概念与性质第二章：导数与微分1. 导数的定义与性质2. 基本求导公式3. 高阶导数与莱布尼兹公式4. 隐函数与参数方程的导数5. 高阶导数的计算方法6. 微分的定义与计算7. 微分中值定理与泰勒公式第三章：一元函数积分学1. 不定积分的基本性质2. 基本积分表与常用积分公式3. 定积分的概念与性质4. 牛顿—莱布尼兹公式5. 定积分的计算方法6. 反常积分的概念与性质7. 反常积分的审敛法与计算方法第四章：向量代数与空间解析几何1. 向量的概念与性质2. 向量的线性运算与数量积3. 向量的标准正交基与坐标表示4. 空间曲线与曲面方程5. 空间直线与平面方程6. 空间几何体积与曲面积分第五章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 多元函数的偏导数3. 隐函数与参数方程的偏导数4. 多元函数的全微分与导数5. 多元函数的泰勒公式6. 多元函数的极值与条件极值7. 重积分的概念与性质第六章：多元函数积分学1. 二重积分的计算方法2. 二重积分的换元法与极坐标法3. 三重积分的计算方法4. 三重积分的换序法与柱面坐标法5. 曲线积分的概念与性质6. 曲线积分的计算方法7. 曲面积分的概念与性质8. 曲面积分的计算方法第七章：常微分方程与级数1. 一阶常微分方程的解法2. 高阶常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 幂级数与展开式5. 幂级数解常微分方程6. 傅里叶级数与函数展开以上为《高等数学A2》教材的章节及内容概述，希望对您的学习有所帮助。
请根据教材中的具体问题进行答案撰写与解答。
高等数学A(二)答案详解
一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将答案填在下面表格内！切记！题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C A C A D D 得分1、已知向量(1,1,0)MA = ，(1,0,1)MB =，则AMB ∠=（ ）。
(A) 3π (B)6π (C) 4π (D) 2π2、函数()y x f ,在点()00,y x 处可微分是()y x f ,在该点处连续的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、函数22y x z -=在点)1,1(沿方向(1,3)的方向导数为（ ）。
（A ）31+ （B ）31- （C ）6 （D ）74、曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为（ ） （A ）23140x y z +++= （B ）23140x y z ++-= （C ）2370x y z +++=（D ）2370x y z ++-=5、设()y x f ,为连续函数，则二次积分⎰⎰11),(ydx y x f dy 交换积分次序后为（ ）。
(A) dy y x f dx x⎰⎰112),( (B) ⎰⎰11),(dy y x f dx (C) dy y x f dx x ⎰⎰201),( (D) ⎰⎰110),(ydy y x f dx6、Lxds =⎰（ ）其中L 为抛物线2y x =上01x ≤≤的弧段。
(A)()155112- (B) 551- (C)112 (D)()15518- 7、设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222（ ）。
(A)4R π (B)42R π (C)44R π (D)46R π 8、下列级数中，条件收敛的是（ ）。
（A ）()-+-=∞∑124131n n n n （B ）()-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∞∑12311n nn（C ）()--=∞∑11121n n n （D ）()--=∞∑11211n n n n 9、幂级数20n n n e x ∞=∑的收敛半径=R （ ）。
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高数ⅡA卷答案 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
广东海洋大学2014—2015学年第二学期
《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）
一、填空题（每空3分，共21分） 1. 若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( .
2. =⎰x x
dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3. 已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰
dx e f e
x x
)(C e F x +--)(
4. 设x x f sin )(=时，则='⎰dx x x f )ln （
C x +)sin(ln 5. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l
l )( 0 6. 改变二次积分的积分次序，⎰⎰=
1
00),(y dx y x f dy ⎰⎰
10
1),(x
dy y x f dx
7.
方程032=-'-''y y y 的通解是x
x e c e c y -+=231
二、计算下列积分（每小题6分，共36分）
1. 解:C x x x d x dx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分）
2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)2
1
(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)1
2
(ln
3
1 ） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3
分）
= )(cos sin x x
e d x e
x --⎰-- ………（4分）
=xdx e e x x x
x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）
所以，C x x e xdx e x x
++-=--⎰)cos (sin 2
1sin ………（6分） 4. 解: dt t dx t x t x 233
3,22=-==+，则令 ……（1
分）
C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3
3322
22321ln 323)1(2
31ln 332
311131321）（……（6分）
5. 解:2sin sin cos cos cos 2
2
20
20
=-=-=⎰⎰⎰
ππ
π
ππ
π
π
x x xdx dx x dx x （6
分） 6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1
01
11
2
==+=+⎰⎰
-x dx x dx x x x …（6
分）
三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.
1.xy e z xy sin +=，求y
z x z ∂∂∂∂，.
解：
xy y ye x
z
xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z
xe x xy y
∂=+∂ …………（5分） 2.）2
ln(y
x z +=，求 22x
z
∂∂和y x z ∂∂∂2.
解：2
221y x y
y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分） 2222222(2(1）
，）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分）
3. )643ln(z y x u
-+=，求du .
解：dz z
y x dy z y x dx z y x du 6436
64346433-+-+-++-+=
…（5分）
四、计算重积分(每小题5分，共10分). 1. ⎰⎰-+D
dxdy x y x )(2
2，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的
区域.
解：原式=⎰⎰-+x
x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )3
10(
23
2
0-⎰ ………（4分） =3
32
………（5分）
2. dxdy y x D
⎰⎰+22sin ，其中}4),({2
222ππ≤+≤=y x y x D .
解：原式 =220sin d r r dr π
π
πθ⎰⎰ ………（3分） = -26π ………（5分） 五、求解微分方程（8分）.
3)1(1
2+=+-x x y dx dy 解：
3)1()(1
2
)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：
])1([1
231
2C dx e
x e
y dx x dx x +⎰
+⎰
=+-
+⎰ ………（6分）
)2
1()1(2
2
C x x x +++= ………（8分）
六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分）
解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x 设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）
因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-++==+==+==+=0
2100
L 0z y x L xy L xz yz L z y x λ
λλλ 得7===z y x ………（9分）
由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
…（10分）。