一维方势阱
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(2.180)
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
由此可见，无论是 还是 ，只要是在周期场中运动，粒子的能量都取带状结构，叫做能带结构。
故能带结构是粒子在周期场中运动的特征。
图2.11所示的模型，在固体物理中叫做一维晶体的克朗尼克-彭尼模型（Kronig-Penny模型），也叫K-P模型。
这个模型在以前，只是一个理想模型。而今天它已变为现实，这应归功于江崎（Esaki）江崎等人于1970年首次提出超晶格，现在利用“分子束外延生长”技术已能制备出各种各样的超晶格和量子阱。
(2.124)
式中
(2.125)
将式（2.123）所得到的各个能级的k2与相应的k1值代入式（2.124），即可得到与该能级相应的波函数。
图2.9表示能级，图2.10则表示前两个在记的波函数。
图2.9有限深方势阱的前几个能级图2.10基态能级与第一激发态能级波函数
由上面的讨论可知，当粒子的能量E小于零而大于—U0时，其能量值只能取一系列离散值。至于其取值的大小与多少，则完全由势阱的深度U0和宽度a决定。此时，粒子数的数波数函数 当 时，很快地趋于零，即粒子被束缚在势阱中。相应的量子态叫做束缚态，其中能量值最小的态叫做基态，其余的束缚态叫做激发态。
（2） 的情形。
当 时， 为虚数，令
(2.154)
故只需将 用 代替即可。
(2.155)
利用
(2.156)
有
(2.157)
此时取 的极限得
(2.158)
(2.159)
（2.160）
设 ，则有
(2.161)
（2.162）来自百度文库
(2.163)
式中
(2.164)
由图2.13可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值，而这显然是被分割成一段一段的带状结构，在带内能量可取连续的值，在两带状之间的叫禁带，能量不能取值。
又由 处的连续性条件，得
(2.135)
A，B，C，D具有非零解（又叫非平庸解）的条件是，其系数行列式为零，即
(2.137)
展开并整理后得
(2.138)
或用 相除得
(2.139)
（2.140）
(2.142)
为方便起见，只讨论 的极限情形，此时，有：
(2.143)
(2.144)
(2.145)
同时，此时有
一维谐振子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
（2.166)
为了求解方便起见，现引入一个无量钢的变量 来代替x，二者之间的关系为
(2.167)
式中
(2.169)
则方程（2.127）可改写为
(2.170)
这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大量， ，上式中的 可以略去。从而，得到上式的渐近方程为
(2.171)
再由连续性条件，即由
得
(2.108)
由
得
(2.109)
又由
得
(2.110)
由
得
(2.111)
由式（2.109）与式（2.108）之比，得
(2.112)
又由式（2.111）与式（2.110）之比得，
(2.113)
由式（2.112），得
(2.114)
利用公式
(2.115)
则式（2.114）可以改写为
(2.116)
（2.77）
（2.78）
(2.79)
式中 与 分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。
为方便起见，令
（2.80）
则上述三式可改写为
(2.81)
(2.82)
(2.83)
其解分别为
（2.84）
（2.85）
（2.86）
显然，C必须为零，利用 及其导数的连续性条件即可求得 与A关系为
(2.87)
2.5一维周期场
在本节中，我们讨论由一维方势垒与一维方势阱交替而构成的一维周期场，如图2.11所示。
设其空间周期为 ，考虑到势场 的周期性条件：
图2.11一维周期场
或者
(2.126)
则其概率密度 也将会满足相同的周期性条件，即
(2.127)
或者说
为x，
(2.128)
这就要求其定态薛定谔方程
(2.129)
只有当超晶格被人工制备出来以后，K-P模型才变成了现实，即现在已真正有了这种空间周期结构的人工材料了。
2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.121)
以及
(2.122)
可见，直线即式（2.121）与曲线式（2.122）在 内的交点即为所求的解，如图2.8所示。
图2.8有限限深方势阱能级图解
由
就有
(2.123)
将图中的直线与曲线族交点处的横坐标 的值代入上式即式（2.123）中，就求得粒子的能量值。由于与交点对应的 只取组离散值，故其能量值也只能取离散值，即在势阱中的能量值是量子化的，并把量子化的能量值叫做能级。最后，得到归一化的波函数：
(2.186)
（4）完备性：
(2.187)
式中的展开系数为
(2.188)
由式（2.175）即可求得能量本征值En为
(2.189)
式中， 叫做振动量子数。
相应的 为
(2.190)
从而，得其波函数为
(2.191)
式中归一化常数Nn为
(2.192)
由式（2.189）可见，一维谐振子的能量也量子化的，如图2.14所示，且相邻两能级之间的间隔均为 ，即
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
2.4一维方势阱
本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即
（2.76）
其相应的势能曲线如图2.6所示
图2.6一维方势阱
下面我们就E大于与小于零的两种情形分别讨论如下：
（1）E>0的情形。
此时，描述粒子运动状态的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
En叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T与人射粒子能量E的关系如图2.7所示。
图2.7势阱的透射系数T与入射能量的关系
当粒子能量E与阱深一定时，有
(2.93)
又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U0的函数，且当满足
(2.94)
时，T=1。
（2）E<0的情形。
此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
与之相应的能量为
(2.92)
的解也是周期性的，故有
下面先在第n周期 中求解式（2.129），即有
（2.130）
下面就E大于U0与E小于U0两种情形分别讨论如下：
（1） 的情形。
令
(2.131)
则式（2.130）的解为
(2.132)
同理，得在下一个周期（如第n+1个周期） 中的解为
(2.133)
由在 处的连续性条件，得
(2.134)
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
(2.173)
式中的待定函数 ，当 为有限时应为有限；而当 时， 的行为也必须使得 为有限。这样一来，就把问题归结为求 了。为此，将式（2.134）代入式（2.131）中，即得待定函数 所应满足的方程为
(2.146)
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.95)
(2.96)
(2.97)
若令
(2.98)
则上面三式可改写为
(2.99)
(2.100)
(2.101)
其解分别为
(2.102)
(2.103)
(2.104)
由有限性条件可知，在左方区间为了使 有限，必须令A为零，同理，在右方区间为使 有限， 也必须为零，于是得
(2.105)
(2.106)
(2.107)
对于第一激发态 而言，当 时，有
按照经典力学的观点，处于第一激发态的谐振子只允许在 的区间中运动，而 的区间则属于经典禁区。但按照量子力学中关于波函数的统计解释，一维谐振子有一定的概率处于经典禁区之中，如图2.16所示。这显然是一种量子效应。
图2.16一维谐振子n=0，1，2的概率分布
至于零点能量 ，显然，这一能量是不能从振子上取走的，因为按照本质它乃是振子所固的能量。只能用减小频率 来改变振子本身的性质，才能把这种零点能量从振子上取走。不难证明，零点能量的存在乃是量子力学所特有的，它是与测不准原理共存的最小能量。与零点能量相应的振动叫做零点振动，其意义是即使当温度降低至绝对温度的零度时，谐振子也不会停止振动，故叫做零点振动，这已被实验所证实。
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
由此可见，无论是 还是 ，只要是在周期场中运动，粒子的能量都取带状结构，叫做能带结构。
故能带结构是粒子在周期场中运动的特征。
图2.11所示的模型，在固体物理中叫做一维晶体的克朗尼克-彭尼模型（Kronig-Penny模型），也叫K-P模型。
这个模型在以前，只是一个理想模型。而今天它已变为现实，这应归功于江崎（Esaki）江崎等人于1970年首次提出超晶格，现在利用“分子束外延生长”技术已能制备出各种各样的超晶格和量子阱。
(2.124)
式中
(2.125)
将式（2.123）所得到的各个能级的k2与相应的k1值代入式（2.124），即可得到与该能级相应的波函数。
图2.9表示能级，图2.10则表示前两个在记的波函数。
图2.9有限深方势阱的前几个能级图2.10基态能级与第一激发态能级波函数
由上面的讨论可知，当粒子的能量E小于零而大于—U0时，其能量值只能取一系列离散值。至于其取值的大小与多少，则完全由势阱的深度U0和宽度a决定。此时，粒子数的数波数函数 当 时，很快地趋于零，即粒子被束缚在势阱中。相应的量子态叫做束缚态，其中能量值最小的态叫做基态，其余的束缚态叫做激发态。
（2） 的情形。
当 时， 为虚数，令
(2.154)
故只需将 用 代替即可。
(2.155)
利用
(2.156)
有
(2.157)
此时取 的极限得
(2.158)
(2.159)
（2.160）
设 ，则有
(2.161)
（2.162）来自百度文库
(2.163)
式中
(2.164)
由图2.13可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值，而这显然是被分割成一段一段的带状结构，在带内能量可取连续的值，在两带状之间的叫禁带，能量不能取值。
又由 处的连续性条件，得
(2.135)
A，B，C，D具有非零解（又叫非平庸解）的条件是，其系数行列式为零，即
(2.137)
展开并整理后得
(2.138)
或用 相除得
(2.139)
（2.140）
(2.142)
为方便起见，只讨论 的极限情形，此时，有：
(2.143)
(2.144)
(2.145)
同时，此时有
一维谐振子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
（2.166)
为了求解方便起见，现引入一个无量钢的变量 来代替x，二者之间的关系为
(2.167)
式中
(2.169)
则方程（2.127）可改写为
(2.170)
这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大量， ，上式中的 可以略去。从而，得到上式的渐近方程为
(2.171)
再由连续性条件，即由
得
(2.108)
由
得
(2.109)
又由
得
(2.110)
由
得
(2.111)
由式（2.109）与式（2.108）之比，得
(2.112)
又由式（2.111）与式（2.110）之比得，
(2.113)
由式（2.112），得
(2.114)
利用公式
(2.115)
则式（2.114）可以改写为
(2.116)
（2.77）
（2.78）
(2.79)
式中 与 分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。
为方便起见，令
（2.80）
则上述三式可改写为
(2.81)
(2.82)
(2.83)
其解分别为
（2.84）
（2.85）
（2.86）
显然，C必须为零，利用 及其导数的连续性条件即可求得 与A关系为
(2.87)
2.5一维周期场
在本节中，我们讨论由一维方势垒与一维方势阱交替而构成的一维周期场，如图2.11所示。
设其空间周期为 ，考虑到势场 的周期性条件：
图2.11一维周期场
或者
(2.126)
则其概率密度 也将会满足相同的周期性条件，即
(2.127)
或者说
为x，
(2.128)
这就要求其定态薛定谔方程
(2.129)
只有当超晶格被人工制备出来以后，K-P模型才变成了现实，即现在已真正有了这种空间周期结构的人工材料了。
2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.121)
以及
(2.122)
可见，直线即式（2.121）与曲线式（2.122）在 内的交点即为所求的解，如图2.8所示。
图2.8有限限深方势阱能级图解
由
就有
(2.123)
将图中的直线与曲线族交点处的横坐标 的值代入上式即式（2.123）中，就求得粒子的能量值。由于与交点对应的 只取组离散值，故其能量值也只能取离散值，即在势阱中的能量值是量子化的，并把量子化的能量值叫做能级。最后，得到归一化的波函数：
(2.186)
（4）完备性：
(2.187)
式中的展开系数为
(2.188)
由式（2.175）即可求得能量本征值En为
(2.189)
式中， 叫做振动量子数。
相应的 为
(2.190)
从而，得其波函数为
(2.191)
式中归一化常数Nn为
(2.192)
由式（2.189）可见，一维谐振子的能量也量子化的，如图2.14所示，且相邻两能级之间的间隔均为 ，即
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
2.4一维方势阱
本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即
（2.76）
其相应的势能曲线如图2.6所示
图2.6一维方势阱
下面我们就E大于与小于零的两种情形分别讨论如下：
（1）E>0的情形。
此时，描述粒子运动状态的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
En叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T与人射粒子能量E的关系如图2.7所示。
图2.7势阱的透射系数T与入射能量的关系
当粒子能量E与阱深一定时，有
(2.93)
又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U0的函数，且当满足
(2.94)
时，T=1。
（2）E<0的情形。
此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
与之相应的能量为
(2.92)
的解也是周期性的，故有
下面先在第n周期 中求解式（2.129），即有
（2.130）
下面就E大于U0与E小于U0两种情形分别讨论如下：
（1） 的情形。
令
(2.131)
则式（2.130）的解为
(2.132)
同理，得在下一个周期（如第n+1个周期） 中的解为
(2.133)
由在 处的连续性条件，得
(2.134)
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
(2.173)
式中的待定函数 ，当 为有限时应为有限；而当 时， 的行为也必须使得 为有限。这样一来，就把问题归结为求 了。为此，将式（2.134）代入式（2.131）中，即得待定函数 所应满足的方程为
(2.146)
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.95)
(2.96)
(2.97)
若令
(2.98)
则上面三式可改写为
(2.99)
(2.100)
(2.101)
其解分别为
(2.102)
(2.103)
(2.104)
由有限性条件可知，在左方区间为了使 有限，必须令A为零，同理，在右方区间为使 有限， 也必须为零，于是得
(2.105)
(2.106)
(2.107)
对于第一激发态 而言，当 时，有
按照经典力学的观点，处于第一激发态的谐振子只允许在 的区间中运动，而 的区间则属于经典禁区。但按照量子力学中关于波函数的统计解释，一维谐振子有一定的概率处于经典禁区之中，如图2.16所示。这显然是一种量子效应。
图2.16一维谐振子n=0，1，2的概率分布
至于零点能量 ，显然，这一能量是不能从振子上取走的，因为按照本质它乃是振子所固的能量。只能用减小频率 来改变振子本身的性质，才能把这种零点能量从振子上取走。不难证明，零点能量的存在乃是量子力学所特有的，它是与测不准原理共存的最小能量。与零点能量相应的振动叫做零点振动，其意义是即使当温度降低至绝对温度的零度时，谐振子也不会停止振动，故叫做零点振动，这已被实验所证实。