1期望效用理论

max U ( x1 , x2 )
s.t. p1 x1 p2 x2 w
x1 , x2
一、确定条件下的效用函数
Lagrangian函数为： L U ( x1 , x2 ) (w p1 x1 p2 x2 ) F.O.C. U
U p2 0 x2
x1
p1 0
这通常被称为瓦尔拉预算集（walrasian budget set） ， 记为： {c R M : qc W} 则最大化问题为： max u (.) M s.t. {C R ; qc W )
一、确定条件下的效用函数
消费者效用最大化的解法
1、图示法：无差异曲线与预算线的最高切点
2、偏好应满足的基本公理（Axiom)条件：

公理1 偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 x y 、y x 与 x ～ y 至少一个成立。
有序

公理2 偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有

x x 。
确定序
公理3 偏好具有传递性(transitivity)：
例如：
一、确定条件下的效用函数
（三）效用函数的存在性和唯一性
定义：假设是 u( x)定义在X上的一个正实数值函 数，如果对于C中的任意两个商品组合x，y， x y 的 充分必要条件是 u ( x) u ( y ) ，那么就称函数 u( x) 是 消费者的效用函数。
注：但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样 的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好。
x, y, z C ，如果
x y ， y z ，则 x z 。
非循环序
例5 不服从传递性公理将导致富翁变穷人的例子 张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但 有一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，桃 比苹果好，苹果比梨好，梨比桃好。
Money pump
第1章 期望效用理论
杜晓蓉 金融工程系
教学计划
（一）教学大纲 期望效用理论方面的文献综述 期望效用理论 个体风险态度
资产定价方面的文献综述 经典资产定价理论及其发展 有效市场假说
教学计划
公司财务方面的文献综述 资本结构之谜 公司治理
教学计划
（二）教材及参考文献 陈雨露，汪昌云. 金融学文献通论（微观金融卷）. 中国 人民大学出版社，2006年

公理6 偏好具有凸性（convexity）
x, y, z C, ifxy且yz tx (1 t ) yz
严格凸性（strict convexity）
无差异曲线凸 向原点
x, y, z C, ifxy, yz, x y tx (1 t ) y z
一、确定条件下的效用函数
令x、y、z…是商品集合C的子集，或者称之为商品 束（commodity bundle）或者消费束（consume boundle）。则可以在消费束的集合上建立下面的偏好 关系（preference relation）或者偏好顺序 （preference ordering） ： （1） x y 被称为消费者在商品x、y中，“弱偏好 于”x，即消费者认为x至少与y一样好。
一、确定条件下的效用函数
（2） x y 被称为消费者“严格偏好于”x，即在任 何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
x y ，但 y ~ x 不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，即消 费者认为两样东西同样好，即： x～y
x y
且
y x
一、确定条件下的效用函数
一、确定条件下的效用函数
衣 B x
A
食
字典序偏好
一、确定条件下的效用函数

公理4 偏好具有连续性（continuity） ：
如果 x y ，那么与x“充分接近的”商品组合z， 也满足 z y 。
微小变动的序
z C, 集合{x C : x z}和{ y C : y z}是闭的
二、VNM期望效用函数
2、不确定性下理性决策的原则
（1）数学期望最大化准则 数学期望最大化准则是指使用投资收益的预期值比较各 种投资方案优劣。
上例的解：
计算这两种工作的预期月收入：
ER1 0.5 2000 0.5 1000 1500 ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
其中，
0 t 1
一、确定条件下的效用函数
（四）确定条件下消费者效用最大化
max(u), s.t.W
其中W是由收入或财富构成的预算约束，包含收入和 商品价格等方面的要素。假定消费集C中的所有商品都具 有一个唯一的公开市场价格：
qc q1c1 q2 c2 ... qM cM W
一、确定条件下的效用函数
一、确定条件下的效用函数
非凸
一、确定条件下的效用函数
消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种 可行方案过渡到另一种可行方案的最短路径。
例如：面临选择为 4两米饭 vs 4两馒头
一、确定条件下的效用函数
（二）偏好及其基本假定 效用：消费者消费一定数量的若干商品后所感受到的 满足程度。 效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。
U w p1 x1 p2 x2 0
由假定，U的二阶偏导小于零，因此一阶条件是充要 条件。
一、确定条件下的效用函数
结论：
U / x1 p1 （边际替代率=价格比） U / x2 p2
dx2 U / x1 p1 dx1 U / x2 p2
（无差异曲线斜率=预算约束线斜率）
(1) 张三提出用苹果换梨子，并要求李四 找一分钱。仅花一分钱就能换来更大 的满足，李四不会不答应，成交！ (2) 张三提出用梨子换桃子，并要求李四 找一分钱，李四还会答应，成交！ (3) 张三提出用桃子换苹果，并要求李四 找一分钱，李四依然同意，成交！
桃
梨
苹果
李四的不传递的偏好
交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。 显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。
n
thenx X
C为闭集，因此消费具有 连续性
一、确定条件下的效用函数
2、凸集
如果 S R n ，在S中 任取两点，其连线仍在S 中，则S为凸集。 对消费集合C为凸集 的意思是，如果两个消 费束 x, y C ，则对于任 意实数 a [0,1] ，消费束
z ax (1 a) y C
效用与偏好联系在一起。偏好正是消费者对效用进行 自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价。 cardinal utility vs. ordinal utility
一、确定条件下的效用函数
1、消费者的偏好关系 定义1 偏好（preference): A preference is a complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams. 定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上的 二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。 定义3 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
一、确定条件下的效用函数
定理：如果消费者的偏好关系满足公理1－4的假定， 那么这一偏好关系可以由一个连续的效用函数来表示， 即可以得到一个连续的无差异曲线。
注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效用函 数通过正单调的变换得到的另一个效用函数与原来的效 用函数具有相同的偏好关系。即
u ( x) f [u ( x)]且f ()是单调递增函数，则有 ： u ( x) u ( y ) u ( x) u ( y )
参考文献 经典论文（具体见各章PPT附录）
教学计划
（三）教学方式 专题讲授＋课堂报告、讨论
（四）考核方法 平时成绩（课堂报告、讨论、作业、出勤）：40％ 期末成绩（课程论文）：60％ （五）联系方式：dxraa@163.com
教学计划
课堂讨论的拟定题目： 1、CAPM的缺陷文献综述 2、关于APT与CAPM关系研究的文献综述 3、股票价格决定因素 4、梳理中国证券市场有效性实证检验的文献 5、债权期限结构影响因素的文献综述 6、资本结构之谜的文献综述 7、 亚洲家族控股企业的优缺点，及家族控股如何影响 公司价值 8、中国上市公司不同的股权结构与公司价值之间的关系 文献综述。
一、确定条件下的效用函数
常见效用函数的形式：
完全替代偏好的效用函数：U（x,y）=ax+by 完全互补偏好的效用函数：U（x,y）=min｛ax,by｝ 拟线性偏好的效用函数：U（x,y）=af(x)+by 例如： U（x,y）=2ln(x)+y
一、确定条件下的效用函数
柯布-道格拉斯偏好的效用函数：
一、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关 系为等价关系（equivalence relation)或无差异关系。这样可 以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。即对于 xC，集合 [x]={yC: y x} 称作 x 的等价类或者无差异类 或者无差异曲线，它由两两无差异(一样好)的消费方案构成。
u ( x, y ) x b y c b 令：a bc 则有：u（x，y） x a y1-a
练习：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函数
Maxu( x, y) x 2 y 3
S.T . p x x p y y m
（1） （2）
一、确定条件下的效Fra Baidu bibliotek函数
解：将（2）式带入（1）式可得： 2 m px x 3 Maxu( x, y) x ( ) py 求一阶导数：
x1
x*1
x*2
x2
一、确定条件下的效用函数
2、Lagrangian法 假定：（1）消费者只消费两种不同商品x1、x2，其 效用函数为U（x1.x2)，满足： U U （非满足性）， 2U 2U （边际效 0, 0 0, 2 0 2 x1 x2 x1 x2 用递减）。 （2）假定x1、x2的价格分别为p1、p2，且价格是外生给 定的，消费者的财富为w。 消费者的选择问题可以写成如下：
一、确定条件下的效用函数
主流经济学——新古典理性对消费者的基本假定：消 费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。 满足这一假定的消费者，叫做理性消费者。
一、确定条件下的效用函数
（一）消费集合及其特点 消费集合：商品空间中那些代表可行消费活动的商品 向量的全体（用C表示）。
1、闭集
Ifxn X (n 1,2,...)& lim xn x,
py px 2 3 m px x p y 可得：x
x 2 5 3 y 5 m px m py
二、VNM期望效用函数
（一）不确定性下的理性决策原则
1、确定性下的决策原则——收益最大准则 收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按 照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过 正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。
一、确定条件下的效用函数

公理5 偏好关系具有单调性（monotonicity） ： 多总比少好 x, y C ，如果有 x y ，则有 x y 。 强单调性 ： x, y C ， 例如：
1 0
ifx y且x y，则x y

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一、确定条件下的效用函数
——经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准
则。
二、VNM期望效用函数
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？
例子 假设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。 第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入 是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般， 每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元 的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每 月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每 月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下 国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可 能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能 性为99％。