人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷

3．如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ，且交线段 于点 ，连结 பைடு நூலகம்若 ，设 ，则 关于 的函数表达式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出 的度数即可得到 关于 的函数表达式．
【详解】
∵ 是 的角平分线，
【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ= （180°-∠C'PQ）=90°- θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.
【答案】20°或40°
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ= （180°-∠C'PQ）=90°- θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP= BC= ×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有 ，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
∵AB＝BE，
∴AB＝FG，
在△DAB和△DFG中，
，
∴△DAB≌△DFG（SAS），
∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，
∵MG＝BM，
∴DM⊥BM，
∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝ ×BG×DM＝ ×8×3＝12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．
∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，
∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，
∴∠NPD=∠DPO=30°，
∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，
∴△PND≌△PMD，
∴ND=7，
∵EF=6，
∴DF=ND-NF=7-3=4，
∴OF=DF+OD=14+4=18.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【详解】
解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△A2B2A3的边长为1，
同理可得：△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．
12．如图， ，点 是 内的一定点，点 分别在 上移动，当 的周长最小时， 的值为（）
故答案为：2.25或3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．
5．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________
【答案】2.25或3
【解析】
【分析】
【详解】
延长BD交AC于点E，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=900，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5，
∴AE=AC-CE=8-5=3，
∵ ,
∴BE=AE=3，
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.
7．如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， .若 ，则 的长为____.
【答案】18
【解析】
【分析】
由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N，证明△PMD≌△PND，进而求出DF长度，从而求出OF的长度.
【详解】
如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.
分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP= BC= ×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出 ，解得：v=3．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB1A1，
∴B1A1=OA1= ，
∴△A1B1A2的边长为 ，
同理得：∠OB2A2=30°，
∴OA2=A2B2=OA1+A1A2= + =1，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA= ，
∴∠ADB=30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．
4．已知如图，每个小正方形的边长都是 都在格点上， 都是斜边在 轴上，且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则 的坐标为___________
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°- θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°- θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°- θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°- θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
解：设到第n个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
【答案】30°
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出 的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________.
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明 ≅ ，再证明 ≅ ，求出 ，然后求出 ，，通过设 求出x，即可求出AF的长.
【答案】12
【解析】
【分析】
延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．
【详解】
延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：
∵M为EF中点，
∴ME＝MF，
在△BME和△GMF中，
，
∴△BME≌△GMF（SAS），
∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，
∴FG∥BE，
∴∠C＝∠GFC，
∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，
∴∠A＝∠DFG，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=36°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=8．
10．如图， 为 内一点， 平分 ， ， ，若 ， ，则 的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据 ，求出BE 的长即可求得BD.
故答案为：20°或40°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，已知： ，点 、 、 …在射线 上，点 、 、 …在射线 上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为( )
A．6B．12C．16D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1= ，得出△A1B1A2的边长为 ，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为1，△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．
∴A19是第9个三角形的最后一个顶点,
∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....
∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,
由图可知,第奇数个三角形在x轴下方,关于直线x=1对称,
∴OA19=9-1=8,
∴ 的坐标为
故答案是
【点睛】
本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键
【答案】8cm.
【解析】
【详解】
解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
【详解】
解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J
在 和 中
∴ ≅
∴
∴ （8字形）
∴
在 和 中
∴ ≅
∴
∴
在 和 中
∴
设
则
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
2．如图，在 中， ，点 和点 在直线 的同侧， ，连接 ，则 的度数为__________．