第11章 章末综合提升-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件

整
末
合
[解] 由已知11＋＋ccooss 22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22CB＝bcccooss CB，
综 合 测
提
升
评
层 题
得ccooss CB＝bc.
型
探 究
可有以下两种解法．
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·
24
·
巩
法一：(利用正弦定理，将边化角)
固 层
知
由正弦定理得bc＝ssiinn CB，∴ccooss CB＝ssiinn CB，
识
章
整
即 sin Ccos C＝sin Bcos B，
末
合
综
即 sin 2C＝sin 2B．
合
提 升
∵B，C 均为△ABC 的内角，
测 评
层
∴2C＝2B 或 2C＋2B＝180°.
题
型 探
即 B＝C 或 B＋C＝90°.
究
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
返
首
页
·
25
·
巩
法二：(利用余弦定理，将角化边)
测
升
评
层
所以 B＝π－(A－B)或 B＝A－B，因此 A＝π(舍去)或 A＝2B，所
题
型 探
以 A＝2B．
究
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·
7
巩
(2)由 S＝a42，得12absin C＝a42，根据正弦定理及(1)所求 A＝2B，
·
固 层
知
故有 sin Bsin C＝12sin 2B＝sin Bcos B，
识 整
因为 sin B≠0，所以 sin C＝cos B，
·
巩
固
层
知 识
第11章 解三角形
章
整
末
合
章末综合提升
综 合
测
提
升
评
层
题 型 探 究
·
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2
·
巩 固 层
知
识
章
整 合
巩固
层知
识整
合
末 综 合
测 提
升
评
层
题 型 探 究
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·
3
·
巩 固 层
知
识
章
整
末
合
综
合
测
提
升
评
层
题 型 探 究
返 首 页
·
4
·
巩 固 层
知
识
章
整 合
提升
层题
型探
究
末 综 合
层
知 条笔直的公路 a 经过三个景点 A，B，C．景区管
识
章
整 合
委会开发了风景优美的景点 D．经测量景点 D 位
末 综
于景点 A 的北偏东 30°方向上 8 km 处，位于景
合 测
提
升 层
点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75°方
评
题 型
向上．已知 AB＝5 km.
探
究
·
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28
题
型 探
形和钝角三角形．
究
返 首 页
·
22
·
巩 固 层
知
识
章
整
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成 末
合
综
边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角 合
测
提
升 知识求解．
评
层
题 型 探 究
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·
23
·
巩
[跟进训练]
固
层
知 识
2．在△ABC 中，若bcccooss CB＝11＋＋ccooss 22CB，试判断△ABC 的形状． 章
·
6
·
巩
固 层
[解] (1)证明：由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，故 2sin
知 识
Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是 sin B
章
整
末
合 ＝sin(A－B)．
综
合
提
又 A，B∈(0，π)，故 0<A－B<π，
章
即12×2×32×
23＝12×2×BD×12＋12×BD×32×12，解得
BD＝6
7
3 .
末 综
合
若选③.在△ABC 中，由余弦定理，得
测
评
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝22＋322－2×2×32×cos 3π＝
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15
·
巩
固 层
所以 AC＝
13 2.
知
识
章
整 合
因为 S△ABC＝12BA·BC·sin B＝34 3，又 S△ABC＝12BD·AC＝
测 提
升
评
层
题 型 探 究
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·
5
·
巩
利用正、余弦定理解三角形
固
层
知
【例 1】 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
识
章
整 合
c.已知 b＋c＝2acos B．
末 综
(1)证明：A＝2B；
合 测
提
升 层
题
(2)若△ABC 的面积 S＝a42，求角 A 的大小．
评
型
探
究
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章 末
合
又 B，C∈(0，π)，所以 C＝π2±B．
综 合
测
提 升 层
当 B＋C＝π2时，A＝π2；
评
·
题 型 探
当 C－B＝π2时，A＝π4.
究
综上，A＝π2或 A＝π4.
返 首
页
8
·
巩
固
解三角形的一般方法
层
知 识
(1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C， 章
整
末
章 末
合
在△CBD 中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝
综 合
测
提 升
0.8×0.26
＋
0.6×0.97
＝
0.79
，
由
正
弦
定
理
得
CD ＝ 评
层
题 型 探
sin∠DBC×sin∠BDDCB≈3.9.故景点 C 与景点 D 之间的距离约为 3.9
究
km. 返
首
页
测 提
升 3>8，应舍去，所以 x＝4 3－3≈3.9，即这条公路的长约为 3.9 km. 评
层
题 型 探 究
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·
31
·
巩 固
(2) 在 △ABD
中
，
由
正
弦
定
理
得
AD sin∠ABD
＝
AB sin∠ADB
，
所以
层
知 识 整
sin∠ABD＝sin∠CBD＝AADB·sin∠ADB＝45＝0.8，所以 cos∠CBD＝0.6.
整
末
合 定理求 B，由 A＋B＋C＝π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c，要 综
合
提 注意解可能有多种情况．
测
升
评
层
(4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C．
题
型
探
究
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·
10
[跟进训练]
巩
固
1．在锐角△ABC 中，设角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c，且
413BD，
末 综
合
提 升
所以 413BD＝34 3，
测 评
层
题 型 探
解得
BD＝3
39 13 .
究
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·
16
·
巩
判断三角形的形状
固
层
知
【例 2】 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC
识
章
整 合
的形状．
末 综
合
提 升
[思路点拨]
利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的
返
首
页
·
12
·
(2)若选①.在△ABC 中，由余弦定理，得
巩
固 层
知 识
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝22＋322－2×2×32×cos 3π＝ 章
整
合 143，
末 综 合
测
提 升 层
所以 AC＝
213，所以 AD＝DC＝
13 4.
评
题
型 探
在 △ABD 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 AB2 ＝ BD2 ＋ DA2 －
层
·
知 识 整
bsin
A＝
3 2 a.
章 末
合
综
(1)求 B 的大小；
合
测
提
升 层
(2)若 AB＝2，BC＝32，点 D 在边 AC 上，________，求 BD 的长． 评
题
型 探
请在①AD＝DC; ②∠DBC＝∠DBA; ③BD⊥AC 这三个条件中
究
选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
返
·
巩
固 层
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判
知 识
断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的
章
整
末
合 关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型， 综
合
提 此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰 测
升
评
层 三角形和等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角
型 探 究
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·
33
·
巩
固
层
[跟进训练]
知
识 整
3．如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 章 末
合 处有一个水声监测点，另两个监测点 B，C 分别在 A 的正东方 20 km 综 合
测 评
层
题 关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．
型
探
究
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·
17
·
巩
固
层
[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
知
识
得 2sin B＝sin A＋sin C．
章
整
末
合
∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
综 合
提
∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C．
升
升
评
层 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，
题
型 探
cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
究
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29
·
巩
固
层 知
[思路点拨] (1)以 BD 为边的三角形为△ABD 和△BCD，在
识
章
整 △ABD 中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD 中利用余弦定理 末
合 由正弦定理求 a，b.
综
合
提
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定 测
升
评
层 理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B＋C＝
题
型 探
π，求另一角．
究
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·
9
·
巩 固 层
知 识
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦 章
究
2BD·DA·cos∠ADB 返
首
页
·
·
13
巩
即 4＝BD2＋1136－ 213BDcos∠ADB，
固 层
在 △BDC 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 BC2 ＝ BD2 ＋ DC2 －
知
识 2BD·DC·cos∠CDB
章
整
末
合
即94＝BD2＋1136－ 213BDcos∠CDB．
综 合 测
·
32
·
巩
固
层
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的
知
识
章
整 有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路 末
合
综
是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现 合
测 提
升 已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定 评
层
题 理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
合
综
求解 DB．
合
测
提
升
(2)以 CD 为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关 评
层
题 系易得，考虑应用正弦定理求解．
型 探 究
返 首 页
·
30
·
巩 固 层
知
识
章
整
[解] (1)设 BD＝x km，则在△ABD 中，由余弦定理得 52＝82＋ 末
合
综
x2－2×8xcos 30°，即 x2－8 3x＋39＝0，解得 x＝4 3±3.因为 4 3＋ 合
·
巩
固 层
(1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不
知 识
考虑其他因素，求出这条公路的长；
章
整
末
合
(2)求景点 C 与景点 D 之间的距离．(结果精确到 0.1 km)
综
合
提
( 参 考 数 据 ： 3 ≈1.73 ， sin 75°≈0.97 ， cos 75°≈0.26 ， tan 测
知
识 整 合
∵B＝60°，b＝a＋2 c，
章 末 综
合
提 升 层
∴a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°，
测 评
题 型
化简得(a－c)2＝0.
探
究
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20
·
巩 固 层
知 识
∴a＝c.
章
整
末
合
又 B＝60°，
综
合
提
∴a＝b＝c.
测
升
评
层
∴△ABC 为等边三角形．
题
型
探
究
返 首 页
·
21
固
层 知
∵bc＝ccooss CB，
识
章
整 合
a2＋b2－c2
末 综
提
∴由余弦定理得a2＋2ca2b－b2＝bc，
合 测
升 层
2ac
评
题 型
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
探
究
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
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26
·
巩
固
层 知
即 a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
首
页
·
11
·
巩 固
[解]
(1)在△ABC
中，由正弦定理sina
A＝sinb
B，及
bsin
A＝
3 2a
层
知 识 整
得，sin
Bsin
A＝
3 2 sin
A．
章 末
合
提
因为△ABC 为锐角三角形，所以 A∈0，π2，所以 sin A>0.
综 合 测
升
评
层 题
所以
sin
B＝
3 2.
型
探 究
又因为 B∈0，2π，所以 B＝π3.
测 评
层
题 型
展开整理得
3 2 sin
C＋12cos
C＝1.
探
究
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18
·
巩
固
层 知
∴sin(C＋30°)＝1.
识
章
整
∵0°<C<120°，
末
合
综
∴C＋30°＝90°.
合
测
提
升
∴C＝60°，则 A＝60°.
评
层
题
∴△ABC 为等边三角形．
型
探
究
返 首 页
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19
·
巩
固
层
法二：(余弦定理法)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B．
提
升 层
又∠ADB＋∠CDB＝π，所以 cos∠ADB＋cos∠CDB＝0.
评
题
型 探 究
所以 4＋94＝2BD2＋183，所以 BD＝
37 4.
·
若选②.
返 首
页
·
·
巩 固 层
知 识 整 合
提 升 层
题 型 探
究 13 4
14
在△ABC 中，S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，
即12BA·BCsin π3＝12BA·BDsin 6π＋12BD·BCsin π6，
识
章
整
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
末
合
综
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
合
测
提 升
∴b2＝c2 或 a2－b2－c2＝0，
评
层
题
即 b＝c 或 a2＝b2＋c2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
型
探
究
返 首 页
·
·
27
正、余弦定理的实际应用
巩
固
【例 3】 如图所示，某市郊外景区内有一