电场的能量能量密度
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20S
q2 l q2 d
20S 20S
F ld
W0 A 外力作正功，电容器能量增加。
7
由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。
§5-5 电场的能量
1
一、带电体系的能量
带电体系的带电过程可看成是从电势0点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是带电体系的能量。(含互能、与自能）
移动 dq 作的元功
dAVdq
q
q
E
极板带电量从 0 到Q 作功
A
Q
Q
dA VdqW
0
0
外力所做的功A转化为带电体的 能量W。
dq u
2
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。
由： dA=Vdq 得：
dA q dq
40R
将导体球的电荷从0增加到Q,所作的功为
W Q
A
q
dq q2
Q
Q2
0 4 0R
80R 0 80R
QR
r
由电场能量密度积分得：
r>R时电场的能量元为
dw120(4Q0r2)24r2dr
W
R
Q2
10rS(Ed)2
2d
120rE2Sd
1 2
E
2V体
由 DE 有
W
1 2
EDV体
1 2
D2
V体
W
1 2
E2V体
1 2
EDV体
1 2
D
2
V体
21
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单位长度电容
c C 20r
h ln(R2 / R1) ④单位长度贮存能量
h 长贮存能量
We 12qU12
12h20r
lnR2 R1
r h
R1 R2
r
18
We
2h 40r
lnR2 R1
单位长度贮存能量
we
We h
2 ln R2 40Fra Baidu bibliotek R1
r h
R1 R2
r
19
0
0
r
K U0 20
W
1 CU 2 2
以充满介质的平行板电容器为例
C 0rS , VEd
d
能量由：
W
1 CV 2 2
120drS(Ed)2120rE2Sd
1 2
E
2V体
5
三、电场的能量密度
W
1 2
E2V体
单位体积内的电场能量。
W
w
V体
w 1 E2 1 ED 1 D 2
22
2
非均匀电场能量计算
W V wdV
只要确定 w 就可计算电场能量 W。
W120E2V体
120(q0S)2Sd
q2 2 0S
d
该能量恰与电容器的能量增量相同。
W q2 l q2 d
20S 20S
8
四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如
下
0,E0,V0,D0, C0 ,W0
①.充电后断开电源，插入介电常 数为 r 介质；
②.充电后保持电压不变，
插入 r 介质；
EdE0d, EE0
3.自由电荷面密度
0 ,
r
0 0r
d
r0
K V0 12
4.电位移矢量D
D0 0 Dr0
rD0
5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
CrC0
0 0
r d K U0
13
6.电容器能量We
W0
1 2
q0V0
W
1 2
qV0
1 2
r q0V0
rW0
由于q增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以 W也增加。
D d S q0
D 2 r h h
D 2r
r h
R1 R2
r
场强 E D 0 r 2 0rr
16
②极间电压
U12R R12Edl
R2
R1
Edr
RR1220r
dr r
r
R1
R2
lnR2
h
r
20r R1
③单位长度电容
h 长电容 C h 20rh
U 12 ln(R2 / R1)
17
80r2
dr
Q2
8 0 r
R
Q2 8 0 R
3
二、电容器存储的能量：
q
电容器的电压由：V q C
A
Q Vdq 0Q
0
q dq C
1Q2 2C
外力作功等于电容器能量增量，
AW 1 Q 2
2C
CV 2
2
1 QV 2
W 为电容器能量，单位：焦耳，J。
q E
dq
V
4
三、电场的能量
带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下：
求： ,E,V,D,C,We
① 解：充电后断开电源，极板上
电量不变
0
0 0
r d K V0
9
2.介质中场强：E E0 0 r r0
3.电压：插入介质后
VEd
E0
r
d
V0 r
4.电位移矢量:插入介质后
D0rE
0r
E0
r
0 0
r d
0E0 0 D0
K
由于 D = 0 ，断开电源后 0 不变，D 也不变。
6
例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将极
板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能量的
增量。
解：拉力
F qEq 20
q
将极板拉开时外力作的功为
q q
Aq d q2 d 20 20S
电容器拉开后，其电能为
W q2
q2
2C 20S /(l d )
q2 (l d)
0
0
r
K U0 14
例5：同轴电缆由内 径为 R1、外径为 R2的 两无限长金属圆柱面
构成，单位长度带电
量分别为 +、 -， 其间充有 r 电介质。
求：①两柱面间的场 强 E；②电势差 U； ③单位长度电容 ；④
单位长度贮存能量。
R1 R2
r
15
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
V0 10
5.电容
由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
Cr0S
d
rC0
6.能量
W0
q
2 0
2C0
,
W
q
2 0
q
2 0
W0
2C 2 rC 0 r
0 0
r d K V0
11
②.充电后保持电压不变，插入 r 介质；
解：电压不变即电键 K 不断开。
0
0
1.电压 V V0
2.场强 V V0
q2 l q2 d
20S 20S
F ld
W0 A 外力作正功，电容器能量增加。
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由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。
§5-5 电场的能量
1
一、带电体系的能量
带电体系的带电过程可看成是从电势0点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是带电体系的能量。(含互能、与自能）
移动 dq 作的元功
dAVdq
q
q
E
极板带电量从 0 到Q 作功
A
Q
Q
dA VdqW
0
0
外力所做的功A转化为带电体的 能量W。
dq u
2
例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。
由： dA=Vdq 得：
dA q dq
40R
将导体球的电荷从0增加到Q,所作的功为
W Q
A
q
dq q2
Q
Q2
0 4 0R
80R 0 80R
QR
r
由电场能量密度积分得：
r>R时电场的能量元为
dw120(4Q0r2)24r2dr
W
R
Q2
10rS(Ed)2
2d
120rE2Sd
1 2
E
2V体
由 DE 有
W
1 2
EDV体
1 2
D2
V体
W
1 2
E2V体
1 2
EDV体
1 2
D
2
V体
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单位长度电容
c C 20r
h ln(R2 / R1) ④单位长度贮存能量
h 长贮存能量
We 12qU12
12h20r
lnR2 R1
r h
R1 R2
r
18
We
2h 40r
lnR2 R1
单位长度贮存能量
we
We h
2 ln R2 40Fra Baidu bibliotek R1
r h
R1 R2
r
19
0
0
r
K U0 20
W
1 CU 2 2
以充满介质的平行板电容器为例
C 0rS , VEd
d
能量由：
W
1 CV 2 2
120drS(Ed)2120rE2Sd
1 2
E
2V体
5
三、电场的能量密度
W
1 2
E2V体
单位体积内的电场能量。
W
w
V体
w 1 E2 1 ED 1 D 2
22
2
非均匀电场能量计算
W V wdV
只要确定 w 就可计算电场能量 W。
W120E2V体
120(q0S)2Sd
q2 2 0S
d
该能量恰与电容器的能量增量相同。
W q2 l q2 d
20S 20S
8
四、应用举例
例1：平行板电容器真空时参数如
下
0,E0,V0,D0, C0 ,W0
①.充电后断开电源，插入介电常 数为 r 介质；
②.充电后保持电压不变，
插入 r 介质；
EdE0d, EE0
3.自由电荷面密度
0 ,
r
0 0r
d
r0
K V0 12
4.电位移矢量D
D0 0 Dr0
rD0
5.电容 由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
CrC0
0 0
r d K U0
13
6.电容器能量We
W0
1 2
q0V0
W
1 2
qV0
1 2
r q0V0
rW0
由于q增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以 W也增加。
D d S q0
D 2 r h h
D 2r
r h
R1 R2
r
场强 E D 0 r 2 0rr
16
②极间电压
U12R R12Edl
R2
R1
Edr
RR1220r
dr r
r
R1
R2
lnR2
h
r
20r R1
③单位长度电容
h 长电容 C h 20rh
U 12 ln(R2 / R1)
17
80r2
dr
Q2
8 0 r
R
Q2 8 0 R
3
二、电容器存储的能量：
q
电容器的电压由：V q C
A
Q Vdq 0Q
0
q dq C
1Q2 2C
外力作功等于电容器能量增量，
AW 1 Q 2
2C
CV 2
2
1 QV 2
W 为电容器能量，单位：焦耳，J。
q E
dq
V
4
三、电场的能量
带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下：
求： ,E,V,D,C,We
① 解：充电后断开电源，极板上
电量不变
0
0 0
r d K V0
9
2.介质中场强：E E0 0 r r0
3.电压：插入介质后
VEd
E0
r
d
V0 r
4.电位移矢量:插入介质后
D0rE
0r
E0
r
0 0
r d
0E0 0 D0
K
由于 D = 0 ，断开电源后 0 不变，D 也不变。
6
例2：平行板电容器带电量为 q，极板面积为 S，将极
板间距从 l 拉大到 l+d ，求外力作功 A，和电场能量的
增量。
解：拉力
F qEq 20
q
将极板拉开时外力作的功为
q q
Aq d q2 d 20 20S
电容器拉开后，其电能为
W q2
q2
2C 20S /(l d )
q2 (l d)
0
0
r
K U0 14
例5：同轴电缆由内 径为 R1、外径为 R2的 两无限长金属圆柱面
构成，单位长度带电
量分别为 +、 -， 其间充有 r 电介质。
求：①两柱面间的场 强 E；②电势差 U； ③单位长度电容 ；④
单位长度贮存能量。
R1 R2
r
15
解： ①极板间作高为 h 半径为 r 的高斯柱面， 由介质中高斯定理：
V0 10
5.电容
由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时
Cr0S
d
rC0
6.能量
W0
q
2 0
2C0
,
W
q
2 0
q
2 0
W0
2C 2 rC 0 r
0 0
r d K V0
11
②.充电后保持电压不变，插入 r 介质；
解：电压不变即电键 K 不断开。
0
0
1.电压 V V0
2.场强 V V0