角动量理论

这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的

四、自旋进动

基于该H的时间演化算符为
若将ωt看作Φ ，则u(t,0)与转动算符相同。由此容易理解 该H导致自旋进动。自旋期待值随时间变化为

运动周期为T= 2π/ω. 态矢的“进动”周期则为 4π/ω,为自旋进动周期的2倍
五、2π转动的中子干涉测量研究
，再用
即：
与直接求法结果一致。
作业
3.1、3.2


n 的本征值为1的本征态 九、

相当于： （可直接求解） 下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念 设n的方位角为α，与z轴夹β 角。将自旋向上态绕y轴旋转 β ，再绕z轴旋转α，所得态矢对应于沿n轴的自旋向上态。
1 由此可见，新本征态对应先用exp(-iσ2 β/2)作用于 0 exp(-iσ3 α/2)作用的结果

Rkl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元 由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。
对一般的角动量算符Jk也有:
以后会知道该结果可适用于任意矢量算符。


矢量图像有利于对角动量的简明理解
三、转动2π的结果

对 有： 即



需转4π才能使态矢复原（复原<S>只需转2π）


要观测到态矢转2π后的负号，需将转动前后的态矢进行 比较。 如图所示，

当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为ωT/2 , T为经过有场区的时间,ω为自旋进动频率 g n eB m c
p

干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(ωT/2). 产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度):

实验结果证实了量子力学预言的正确性。
六、自旋态的二分量形式

对自旋½ 体系，取 则


上述|α>的列矩阵被称为二分量旋量，记为

相应地：
七、Pauli矩阵
取 Sk
k 2
则
基本性质
(a的分量为实数
八、二分量表述形式中的转动算符

转动算符：
矩阵表示


得

转动作用下： 由矩阵表示知 (即任何态矢|α>经2π转动都相应变为- |α> ）

§3.2 自旋1/2体系和有限转动
一、自旋1/2体系的转动算符 能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2. 电子的自旋算符：

容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2 体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。
二、转动对自旋角动量的影响

考虑绕Z转Φ ，态的变化为： 物理量如Sx的测量结果变为：


需要计算

上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：

由于该推导只利用了角动量的对易关系，适用于角动量高 于1/2的体系。


即对自旋1/2体系有：
类似可得： 以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转
了Φ 角

即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：
§3.1 转动及角动量的对易关系
一、有限转动

绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：
二、转动的数学描述
转动不改变矢量的长度：
转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：
正交矩阵：RRT=RTR=1 (T表示矩阵的转置） 如绕Z轴转Φ 角的矩阵为：
三、无穷小转动

由：

得：
（若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）
第3章 角动量理论
本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。
角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是 必须的；
散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方
面的考虑。
角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的 基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数
五、有限转动

有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：
六、转动算符的性质假定

D(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：
七、角动量算符的对易关系

对应于 有：

得对易关系： 综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易 关源自文库： 该式归纳了三维转动的所有基本性质。 由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群。

或：
四、 量子力学中的无穷小转动
1）态矢的变化： R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定 2）转动算符的构造 参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑 ˆ 所表征 到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 n 的轴转dΦ的转动算符 ：

这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子动力学中 角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义 更普适，适用于自旋等。