角动量理论
角动量课件
角动量的物理意义
总结词
角动量决定了物体旋转运动的特征。
详细描述
角动量的大小决定了物体旋转运动的快慢和方向。在无外力矩作用的情况下，角动量守恒，即物体的角动量保持 不变。这表明旋转运动的特性是保持不变的。
角动量的守恒定律
总结词
无外力矩作用时，系统角动量守恒。
详细描述
根据牛顿运动定律和角动量定理，当系统受到的外力矩为零时，系统角动量守恒。这意味着在封闭系 统中，如果没有外力矩作用，物体的旋转运动特性保持不变。这一原理在分析旋转机械、行星运动等 问题中具有重要应用。
角动量理论的发展
02
随着物理学的发展，角动量理论逐渐完善，被广泛应用于天体
物理、量子力学等领域。
角动量理论的挑战
03
随着研究的深入，角动量理论面临一些挑战，如对非线性系统
的描述、高维空间中的角动量等问题。
角动量理论的现代研究方法
数值模拟方法
利用计算机进行数值模拟，研究角动量在不同系 统中的演化规律。
详细描述
力可以改变物体的运动状态，包括速度和角速度。当物体受到外力作用时，其角动量会 发生变化。根据牛顿第二定律，力的大小等于角动量对时间的导数与质量的乘积。因此
，力、角动量和时间之间存在密切的联系。
06 角动量理论的发展与展望
角动量理论的历史发展
角动量理论的起源
01
角动量理论起源于经典力学，最初用于描述旋转运动的物体。
角动量课件
目录
CONTENTS
• 角动量基本概念 • 角动量在日常生活中的应用 • 角动量在科学实验中的应用 • 角动量在工程技术中的应用 • 角动量与其他物理量的关系 • 角动量理论的发展与展望
01 角动量基本概念
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
角动量理论
角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。
通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。
在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。
角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。
在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。
课本第五章讲到轨道角动量。
轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。
而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。
对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。
在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。
专题讲座6-角动量理论
专题讲座6-角动量与自旋在量子力学中角动量算苻(包括轨道角动量,自旋角动量)满足对易关系L L i L ⨯= 即及2[, ]=0.L L 即222[, ]0, [, ]0, [, ]0,x y z L L L L L L === 另外有2222,x y z L L L L =++下面由这些对易关系来求本征值和本征态 2L 同L 的各分量是对易的的，我们可以期望找到2L 和（比如说）z L 的共同本征态：2L f f λ= 和 .z L f f μ=引入算苻我们有()11, ()22x y L L L L L L i+-+-=+=-††, L L L L +--+== (L ±不是厄密算苻)L ±与z L 的对易关系为[, ][, ][, ]()(),z z x z y y x x y L L L L i L L i L i i L L iL ±=±=±-=±±所以[, ].z L L L ±±=±当然，也有2[, ]0.L L ±=定理: 如果f 是2L 和z L 的本征函数，那么L f ±也是： 证: 22()()()(),L L f L L f L f L f λλ±±±±===所以L f±是2L 具有相同的本征值λ的一个本征函数。
()()() =()(),z z z z L L f L L L L f L L f L f L f L f μμ±±±±±±±=-+=±+±所以L f ±是z L 的一个本征函数，但是本征值为μ± 。
我们称L +为“升阶”算符，因为它使z L 的本征值增加一个 ，L -为“降阶”算符，它使z L 的本征值减少一个 。
第三章 量子力学中的角动量
J 2 j1 , j2 , j , m = j ( j + 1) J z j1 , j2 , j , m = m
2
j1 , j2 , j , m
j1 , j2 , j , m
显然，总角动量量子数 j，它的 z 分量量子数 m 与 j1 , j 2 , m1 , m 2 有关，为了找出它们之间 的关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢
J Z j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑ (J
1Z
+ J 2 Z ) j1 , m1 , j2 , m2 × j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
于是有
m = m1 + m2
上式可写成
j1 , j2 , j , m = ∑ j1 , m1 , j2 , m − m1
j1 , j 2 , j , m 按无耦合表象的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 展开，得
j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑
j1 , m1 , j2 , m2
j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
上式中的系数 j1 , m1 , j 2 , m 2 j1 , j 2 , j , m 称为克莱布希一高登(Clebsch 一 Gordon)系数。以算 符式 J z = J1z + J 2 z 分别作用于上式的两端，得
2 2 J , J2 =0
另外显然还存在
2 J Z , J12 = 0, JZ , J2 =0
J 2, JZ =0
这些对易关系表明 J12 , J 22 , J 2 , J Z 这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封 闭的本征函数系。记相应于量子数 j1 j 2 , j, m 的本征函数为 j1 , j 2 , j , m 有
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
量子力学中的角动量
L = nh
我们由一堆复杂的公式得到一个如此简单优美的结 果，这是令人惊异的，无疑暗示了新物理的出现， 而且促使我们相信这个式子是正确的。接下来需要 的就是通过实验证明它。 Stern-Gerlach实验（1921） 德布罗意假设：电子波长 驻波条件 2πr = nλ 即
λ=
h h = p mv
mvr = n
h
π
根据对应原理，定义角动量算符 r r r L=r×p 在球坐标中，相应的算符
ˆ = −ih ∂ Lz ∂φ
ˆ2 = −h 2 1 ∂ L sin θ ∂θ Schrödinger方程
∂ 1 ∂2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ φ
h2 2 r r ∂ − 2m ∇ + V (r , t ) ψ = ih ∂t ψ (r , t )
d dt r L =
外力矩为零时，体系角动量不变，为守恒量
0
考虑下图所示
另一种方式 r r δr = δφ × r
同样有
• • r r δ r = δφ × r
力学体系由拉氏量 L 描述，如果 在转动下Lagrangian不变，则体 系具有空间各向同性。
∂L r ∂L r • δL = ∑ r δra + • δ r a = 0 r ∂ra a ∂ra
量子力学中，假设态形成线性的流形。将经典 物理中对称性只是有趣的观测，变成了一个很 有用的技术。 通过对称性可以对算符分类，这样促进了群论 的研究。
迄今为止我们讨论了角动量的基本理论，但是 这远远不足，主要还有 一、欧拉转动及相应的数学描述 二、两个及两个以上角动量的耦合，C-G系数 三、张量转动，张量积及矩阵元， Wigner- Eckart 定理
第五章质点的角动量角动量守恒定1
第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定1第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定理§5-1 质点的⾓动量⾓动量定理⼀质点的⾓动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有⽤的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量⽽v 是质⼼的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为⾓动量。
下⾯就单个质点这⼀特殊情况来定义⾓动量，以后推⼴到质点系统。
假设有⼀质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置⽮量为r 如图()15-所⽰图 ()15-定义这个质点对原点0的⾓动量为v r p r L m ?=?= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置⽮量2）其⼤⼩θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹⾓，它的⽅向垂直与r 与p 所组成的平⾯，并由右⼿螺旋法则确定,见图（5-1）3）我们也可将L 的⼤⼩表⽰为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故⾓动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的⾓动量与位置⽮量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的⾓动量时，必须指明是对哪⼀点的⾓动量。
5）在国际单位制中，⾓动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表⽰为J ·s⼆质点的⾓动量定理质点在运动时导致⾓动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ?= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dt=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的⾓动量随时间变化率dtd L等于位置⽮量r 和质点所受的合外⼒F 的⽮量积。
角动量理论
本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。 角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学 现象是必须的； 散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角 动量方面的考虑。 角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用 和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因:平动和转动是粒子运 动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数
§3.2 自旋1/2体系和有限转动
一、自旋1/2体系的转动算符 能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2. 电子的自旋算符：
容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋 1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。
二、转动对自旋角动量的影响
考虑绕Z转Φ，态的变化为：
物理量如Sx的测量结果变为： 需要计算
(a的分量为实数
八、二分量表述形式中的转动算符
转动算符：
矩阵表示
据
有
得
八、二分量表述形式中的转动算符（续）
转动作用下：
由矩阵表示知 (即任何态矢|α>经2π转动都相应变为- |α>
九、 n 的本征值为1的本征态
相当于：
（可直接求解）
下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念
设n的方位角为α,与z轴夹β角.将自旋向上态绕y轴 旋转β,再绕z轴旋转α,则所得态矢对应于沿n的自旋 向上态.
§3.1 转动及角动量的对易关系
一、有限转动 绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是
不对易的：
二、转动的数学描述
转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：
正交矩阵：RRT=RTR=1 (T表示矩阵的转置）
如绕Z轴转Φ角的矩阵为：
转动不改变矢量的长度：
《角动量理论》课件
本PPT课件旨在介绍角动量理论，深入浅出地讲解了什么是角动量，如何计算 角动量，以及角动量守恒定律和角动量定理的应用与意义。
什么是角动量？
角动量是物体旋转运动中的重要物理量，代表物体的转动能力和转动状态。 角动量的单位是千克式
角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的物理定律，它指出当物体受到外力矩作用时， 角动量的变化率等于力矩的大小。 这个定理在解释物体旋转时的转动动力学问题时非常有用。
前提知识
• 向量的定义和基本运算 • 力矩的定义和计算 • 运动的动量和动能
总结
角动量理论的应用广泛，不仅在物理学和工程学中有重要地位，还对现代科技的发展产生了深远影响。 通过理解和应用角动量理论，我们能更好地解释和控制旋转运动。
线性运动中的角动量计算公式是 L = mvr，其中 m 是物体的质量，v 是物体的速度，r 是物体相对于旋转 轴的距离。 旋转运动中的角动量计算公式是 L = Iω，其中 I 是物体的转动惯量，ω 是物体的角速度。
角动量守恒定律
角动量守恒定律指的是在没有外力矩作用的情况下，系统的总角动量保持不 变。 这一定律在自然界的许多现象中起到了重要作用。
角动量
内力对体系的总力矩为零，上式变为
dL ri Fi M i M dt i i
体系角动量定理的微分形式
8
体系角动量定理的积分形式
t L L0 Mdt
0
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩 质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化 有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内 的分配是有作用的.
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u
v2 u v12 v1 v2 v1
考虑到质心系是零动量参考系，即 可得
m2v2 0 m1v1
v2 m1 u m1 m2
15
v1
m2 u m1 m2
7
㈡
质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：
L li ri pi ri mi vi
i i i
对t求导，利用质点角动量定理，则得
dL dli ri Fi fi dt i dt i
1,开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一
个焦点上；
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等；
(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比 于公转周期T的平方.即 T a 3 2 22
利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律
有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒. 对②式两边乘r，再对时间积分得
r m 2rr r 2 0 mr 2r d 0 mr 2 dt Lconst mr 2
角动量定理与参考系
角动量定理与参考系角动量（AngularMomentum）定理是物理中一个重要的定理，它是描述旋转系统的角速度、角动量以及它们之间的关系的理论。
它的发现为物理学界和航空航天领域带来了巨大的影响。
角动量定理最初是由英国物理学家爱德华布朗（Edward Brong）于1884年发明的，定义为：一个物体在一个参考系统内的角动量等于旋转系统质心所在点绕某一轴旋转速度的乘积。
乘积取决于物体距离轴心的距离和物体的质量，它是一个定值。
因此，角动量定理可以用来描述球形物体运动的相对复杂性，以及物体及其运动系统之间的某种相互关系。
角动量定理涉及到参考系的概念，参考系就是以旋转系统的质心为原点，以某条轴向为坐标轴的空间坐标系，它是了解旋转系统各种参数的基础。
参考系可以是该物体本身坐标系（质心与轴心重合），亦可以是外部参考系，它也是角动量定理运用的基础。
参考系的设定是根据旋转系统的特性以及研究的目的而设定的，因此，它是应用角动量定理的关键点，也是物理学研究中的重要问题，有必要对它进行更深入的研究。
首先，参考系的设定会直接影响旋转系统的物理性质，因为它将影响旋转系统的物理行为。
例如，如果参考系中的坐标轴与物体质心的关系错误，则会影响质量运动和动量守恒等物理性质，并可能导致误判结果。
其次，参考系也会影响角动量计算。
因为角动量定理是以参考系为标准建立的，当质心在参考系中不重合时，角动量就会发生变化。
最后，参考系的设定也会影响旋转系统的运动方向，如果设定错误，就会导致物体运动方向的变化。
此外，在实际应用中，随着技术的不断发展和精度的提高，参考系的设定也在发生变化。
现代的参考系，例如地心系，动力系，惯性系以及力学系，主要由三部分组成，即物体的坐标系，坐标轴所在位置，以及指示物体运动方向的旋转角。
使用这些系统，可以很好地描述旋转系统的物理特性，为角动量定理的应用提供了更多的依据。
总的来说，角动量定理是物理学界和航空航天领域的一个重要理论，它以角动量和旋转系统的角速度之间的关系为基础，是描述旋转系统中力学参数的重要理论，为理解物体的运动过程提供了支持。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
多电子原子的波函数描述和角动量理论
多电子原子的波函数描述和角动量理论在原子物理学中，多电子原子是指具有多个电子的原子系统。
为了描述和理解多电子原子的性质和行为，科学家们提出了波函数描述和角动量理论。
本文将探讨这两个重要概念在多电子原子中的应用。
一、波函数描述波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
对于多电子原子，波函数描述了每个电子的位置和运动状态。
多电子原子的波函数可以通过Hartree-Fock方法或密度泛函理论等计算方法得到。
波函数的形式是由薛定谔方程决定的。
薛定谔方程是描述微观粒子的运动和行为的基本方程。
对于多电子原子，薛定谔方程可以写成如下形式：HΨ = EΨ其中，H是原子的哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过求解这个方程，可以得到多电子原子的波函数和能级。
在多电子原子中，波函数的形式可以通过一组基函数的线性组合得到。
这些基函数可以是Slater行列式、分子轨道或自旋轨道等。
波函数的形式决定了电子的空间分布和运动状态。
二、角动量理论角动量是描述物体旋转和自旋的物理量。
在多电子原子中，电子的角动量对于原子的性质和行为具有重要影响。
角动量理论可以帮助我们理解多电子原子的能级结构和光谱现象。
在量子力学中，角动量是由角动量算符表示的。
对于多电子原子，总角动量算符可以表示为L = L1 + L2 + ... + Ln，其中L1、L2、...、Ln是每个电子的角动量算符。
角动量算符具有一些重要的性质，如对易关系和本征值问题。
通过求解角动量算符的本征值问题，可以得到多电子原子的角动量量子数和角动量的取值范围。
多电子原子的角动量量子数包括轨道角动量量子数l和自旋角动量量子数s。
轨道角动量量子数决定了电子在原子中的运动方式，而自旋角动量量子数决定了电子的自旋状态。
根据角动量理论，多电子原子的能级结构可以分为不同的能级和能级分裂。
这些能级和能级分裂对应着原子的光谱线和光谱现象。
通过观察和研究原子的光谱，科学家们可以推断出原子的内部结构和电子的行为。
量子力学中的角动量理论与实验观测
量子力学中的角动量理论与实验观测量子力学是描述微观粒子行为的理论，而角动量是量子力学中的一个重要概念。
角动量理论是量子力学中的基础内容之一，它不仅在理论上具有重要意义，也在实验观测中起着关键作用。
本文将介绍量子力学中的角动量理论以及实验观测。
首先，让我们来了解一下角动量的概念。
在经典力学中，角动量被定义为质点的质量乘以其位置矢量与角动量的方向之间的叉乘。
而在量子力学中，角动量的定义稍有不同。
根据量子力学的原理，角动量是由一个算符来描述的，这个算符被称为角动量算符。
对于自旋为零的粒子，其角动量算符为零；对于自旋为1/2的粒子，其角动量算符为泡利矩阵；对于自旋为1的粒子，其角动量算符为角动量矩阵。
这些角动量算符满足一系列的代数关系，如对易关系和升降算符的定义。
在角动量理论中，有两个重要的概念，即轨道角动量和自旋角动量。
轨道角动量是描述粒子围绕某一点旋转的角动量，它与粒子的运动轨道有关。
自旋角动量是描述粒子固有自旋的角动量，它与粒子本身的性质有关。
这两种角动量在量子力学中具有不同的表达形式和物理意义，但都是角动量理论的重要组成部分。
在实验观测中，角动量理论的应用非常广泛。
例如，通过测量粒子的自旋角动量，可以研究粒子的自旋态和自旋翻转现象。
自旋翻转是指粒子自旋方向的改变，它在磁性材料中起着重要作用。
通过实验观测自旋翻转现象，可以研究磁性材料的性质和应用。
此外，角动量理论还可以用于解释和预测粒子的能级结构和光谱现象。
例如，通过测量氢原子的光谱线，可以确定氢原子的能级结构和轨道角动量的量子化规律。
除了实验观测，角动量理论还在量子力学的其他领域中起着重要作用。
例如，在量子力学中，角动量算符是描述粒子状态的基本工具之一。
通过对角动量算符的求解，可以得到粒子的能级和波函数。
这些结果对于理解和解释量子力学中的其他现象和理论具有重要意义。
此外，角动量理论还与其他物理学分支有着密切的联系，如原子物理、核物理和凝聚态物理等。
动力学中的角动量定理及应用
动力学中的角动量定理及应用角动量定理是动力学中的一个重要定理，它描述了物体围绕某一点旋转时角动量的守恒性质。
具体的说，当物体受到外力作用时，它的角动量发生变化，并且这种变化率正比于该物体所受的外力矩。
在本文中，我们将从理论和实际应用两个方面介绍角动量定理及其相关问题。
一、角动量定理的理论分析在分析角动量定理之前，我们先了解一下角动量的定义。
角动量是一个物体的旋转惯量和旋转速度的乘积。
旋转惯量是物体旋转时所表现出的惯性，旋转速度是指物体围绕某一点的角速度。
因此，一个物体在旋转时所具有的角动量L可以表示为：L = Iω其中，I代表物体的旋转惯量，ω代表物体的角速度。
考虑一个物体受到一个外力矩M作用时，它所具有的角加速度α可以通过牛顿第二定律表示为：M = Iα因此，物体所受的外力矩M可以表示为：M = dL/dt也就是说，当一个物体所受的外力矩为零时，它的角动量将保持不变。
这就是角动量定理的基本内容。
二、角动量定理的实际应用角动量定理在现代物理学中有着广泛的应用。
下面我们来看一些常见的例子。
1、陀螺陀螺是一种旋转体，它的旋转轴与自身的主惯量轴不相重合。
当外力矩为零时，陀螺将保持自由旋转，这个过程中陀螺的角动量将会得到保持。
这是因为，陀螺的主惯量轴保持垂直于地面的意义下不变，而旋转轴则也不变化。
因此，陀螺的角动量在保持不变的情况下，它将绕着一个固定的点旋转。
2、行星运动行星的运动是一个非常复杂的问题，它涉及到很多因素，例如引力、惯性、角动量等等。
在这里，我们只介绍角动量的应用。
行星绕着太阳旋转时，它在运动过程中所具有的角动量是守恒的。
这可以通过角动量定理来证明。
当一个行星在距离太阳足够远的地方，外力矩可以被忽略。
因此，行星的角动量将会保持不变。
3、核磁共振成像（MRI）核磁共振成像是一种用于研究人体内部结构的医学成像技术。
它利用磁共振的原理，采集人体内部组织的磁信号，进而重建出一个高分辨率的图像。
在核磁共振成像的过程中，磁共振信号是由原子核所发射的。
角动量理论
角动量理论角动量理论主要有关角动量耦合，我们这里主要总结下二分量系统和三分量系统。
2分量系统：两个角动量和合成一总角动量J 的情况12J = J +J1J 和2J 可以使一个系统的两个子系统的角动量，J 这时就是这个大系统的总角动量；它们也可以使同一个系统的不同的角动量。
设子系统1的角动量算符为21J 和1z J ，本征矢量为11j m ；子系统2的相应量为22J 、2z J 、22j m ；而大系统的角动量为2212()J =+J J 和12()z z z J J J =+，本征矢量为12j j jm ，这是21J ，22J ，2J 和z J 的共同本征矢量，二者的关系为 12121122121212m m j j jm j m j m j j m m j j jm =∑∑1212121122j j mm jmm m j m j m S =∑∑ 式中1212121212j j m m jmS j j m m j j jm = 是在这一1j 2j 确定的子空间中两组基矢变量的幺正矩阵，称为 CG 系数。
这里12121122j j m m j m j m =。
在这一空间中的矢量，若取{1212j j m m }为基矢的表象，称为不耦合表象，若取{12j j jm }为基矢，则称耦合表象。
三分量系统：互相对易的角动量1J 、2J 和3J 的情况，设他们的本征矢量分别为11j m 、22j m 和33j m ，三个角动量的矢量和，即系统的总角动量为J ；123J =J +J +J 描写这个系统的希尔伯特空间中与角动量有关的部分，是三个空间{}()1,2,3iij m i =的直积空间，其基矢是()12121212*121212121212j j j j jmm m mm jmSj j jm j j m m j j m m j j jm S ===112233j m j m j m在这个空间中，也可以找到总角动量2J 和Z J 的本征失量，为此，必须在2J 和Z J 之外，再配上几个与它们对易的算符构成算符完备组而去求他们的共同本征矢量。
高等量子力学第9讲角动量理论
当取 t 2 / 时，有
s
t
s ，
0
故 t 2 / 为平均值的周期。
5
ˆz 的本征态 sz 进行展开， 将初始态按 s
sz sz sz sz ,
在时间 t ，
t e
当 t 2 / ，
ˆ s ˆz , H
eB , mc
比较时间演化算符
ˆ (t ) e U
与绕 Z 轴的转动算符
i ˆ Ht
e
i ˆz t s
ˆ ( ) e R z
i
ˆz s
，
得到转动算符与时间演化算符的对应关系
t ，
即 与 t 一一对应。由旋转前后的自旋角动量平均值关系 y
0
sin ，
ˆ J y
写成矢量形式
ˆ J y
0
ˆ cos J x
0
sin ,
ˆ J z
ˆ J z
0
。
ˆ J
ˆ Rz ( ) J
，
0
角动量（矢量）平均值的变化与经典力学中矢量的变化关系相同。 2. 自旋角动量
4
1）转动与时间演化的关系 考虑自旋为 1/2 的粒子在外磁场中， 设磁场在 Z 方向。 粒子自身坐标系中的 哈密顿算符
ˆ ( ) 的生产元。对于绕 en 方向的无限小转动， 角动量 J 是转动算符 R
i ˆ J en d i ˆ ˆ Rn (d ) 1 J en d e 。
ˆ
考虑到绕同一轴的转动是可对易的，有限的转动可以看成是很多无限小转动的 叠加，故对于有限的转动 有
ˆ ( ) e R n
角动量理论与原子结构
角动量理论与原子结构
角动量理论，又称“角动量模型”，是一种用来描述原子结构的理论。
它是由瑞典物理学家Niels Bohr发明的，他提出了一种新的模型，用来解释原子结构。
角动量理论认为，原子由电子围绕着原子核形成的电子层组成，每一层都有一定的能量和角动量。
角动量理论认为，原子的电子能量和角动量之间存在着对称性。
这意味着，电子的能量和角动量是相互关联的，一旦电子的能量改变，它的角动量也会发生改变。
此外，角动量理论还指出，电子只能处于特定的能量状态，即只能处于特定的角动量状态。
角动量理论的发现对于研究原子结构有重要的意义，它为科学家们提供了一种新的角度来理解原子结构。
例如，角动量理论可以解释原子结构中电子的能量分布，以及电子之间的相互作用。
此外，角动量理论还可以解释原子结构中电子的运动，以及电子在不同能量状态之间的转变。
角动量理论的发现也为科学家们提供了一种新的解释原子结构的方法，它可以帮助我们更好地理解原子结构的细节。
例如，角动量理论可以帮助我们更好地理解原子结构中电子的运动，以及电子在不同能量状态之间的转变。
此外，角动量理论还可以帮助我们更好地理解原子结构中电子的相互作用，以及电子的能量分布。
总之，角动量理论是一种用来描述原子结构的理论，它对于研究原子结构有重要的意义，它为科学家们提供了一种新的角度来理解原子结构，并且可以帮助我们更好地理解原子结构中电子的运动，以及电子在不同能量状态之间的转变。
5-1 角动量理论
−( j +1) m j
(26)
如果两个因子都是负值或 0，则有 j m −( j +1) ，这跟 j 为非负值矛盾，不取。
同样，根据(25)式，可得
5-1 角动量理论
− j m j +1
(27)
条件(26)和(27)是同时成立的，由此便证明了(21)式。
引理 2 (1) Jˆ+ k, j, m = 0 当且仅当 m = j ；(2) Jˆ− k, j, m = 0 当且仅当 m = − j 。
序列
( ) ( ) Jˆ− k, j, m , Jˆ− 2 k, j, m , , Jˆ− p k, j, m
(38)
其中 p 是非负整数，且满足
− j m− p − j +1
(39)
矢量序列(38)均是 Jˆ 2 与 Jˆz 的共同本征矢量，其中 Jˆ 2 的本征值为 j ( j +1) 2 ，而 Jˆz 的本征
( ) Jˆz Jˆ+ k, j, m = Jˆ+Jˆz + Jˆ+ k, j, m = (m +1) Jˆ+ k, j,m
(35)
这表示 Jˆ+ k, j, m 是 Jˆz 的本征矢量，本征值为 (m +1) 。
(2) 首先，由于 m − j ，由引理 2 可知 Jˆ− k, j, m 是个非零矢量。
(10)
Jˆ+ , J− = 2 Jˆz
(11)
此外，由(6)式可知， Jˆ 2 与角动量算符的任意线性组合均对易，因此
Jˆ2, Jˆ+ = Jˆ2, Jˆ− = 0
(12)
我们来计算乘积 Jˆ+ Jˆ− 和 Jˆ− Jˆ+ ：
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Rkl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元 由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。
对一般的角动量算符Jk也有:
以后会知道该结果可适用于任意矢量算符。
矢量图像有利于对角动量的简明理解
三、转动2π的结果
对 有： 即
需转4π才能使态矢复原（复原<S>只需转2π）
n 的本征值为1的本征态 九、
相当于： （可直接求解） 下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念 设n的方位角为α，与z轴夹β 角。将自旋向上态绕y轴旋转 β ，再绕z轴旋转α，所得态矢对应于沿n轴的自旋向上态。
1 由此可见，新本征态对应先用exp(-iσ2 β/2)作用于 0 exp(-iσ3 α/2)作用的结果
要观测到态矢转2π后的负号，需将转动前后的态矢进行 比较。 如图所示，
当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为ωT/2 , T为经过有场区的时间,ω为自旋进动频率 g n eB m c
p
干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(ωT/2). 产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度):
§3.1 转动及角动量的对易关系
一、有限转动
绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：
二、转动的数学描述
转动不改变矢量的长度：
转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：
正交矩阵：RRT=RTR=1 (T表示矩阵的转置） 如绕Z轴转Φ 角的矩阵为：
三、无穷小转动
由：
得：
（若忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）
这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的
四、自旋进动
基于该H的时间演化算符为
若将ωt看作Φ ，则u(t,0)与转动算符相同。由此容易理解 该H导致自旋进动。自旋期待值随时间变化为
运动周期为T= 2π/ω. 态矢的“进动”周期则为 4π/ω,为自旋进动周期的2倍
五、2π转动的中子干涉言的正确性。
六、自旋态的二分量形式
对自旋½ 体系，取 则
上述|α>的列矩阵被称为二分量旋量，记为
相应地：
七、Pauli矩阵
取 Sk
k 2
则
基本性质
(a的分量为实数
八、二分量表述形式中的转动算符
转动算符：
矩阵表示
得
转动作用下： 由矩阵表示知 (即任何态矢|α>经2π转动都相应变为- |α> ）
第3章 角动量理论
本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。
角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是 必须的；
散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方
面的考虑。
角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的 基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数
需要计算
上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：
由于该推导只利用了角动量的对易关系，适用于角动量高 于1/2的体系。
即对自旋1/2体系有：
类似可得： 以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转
了Φ 角
即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：
五、有限转动
有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：
六、转动算符的性质假定
D(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：
七、角动量算符的对易关系
对应于 有：
得对易关系： 综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易 关系： 该式归纳了三维转动的所有基本性质。 由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群。
§3.2 自旋1/2体系和有限转动
一、自旋1/2体系的转动算符 能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2. 电子的自旋算符：
容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2 体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。
二、转动对自旋角动量的影响
考虑绕Z转Φ ，态的变化为： 物理量如Sx的测量结果变为：
，再用
即：
与直接求法结果一致。
作业
3.1、3.2
或：
四、 量子力学中的无穷小转动
1）态矢的变化： R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定 2）转动算符的构造 参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑 ˆ 所表征 到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量 n 的轴转dΦ的转动算符 ：
这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子动力学中 角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义 更普适，适用于自旋等。