微分方程(可分离变量的微分方程)

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可分离变量的微分方程56244

特殊一点的形式： y f (x, y) dy f (x, y)
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y

1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.

dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

可分离变量微分方程的意义

可分离变量微分方程的意义
可分离变量微分方程（Separable Variable Differential Equation）是物体
沿某一方向移动的情况下，描述受力间相互作用产生的加速度-时间变化的一类常
见的微分方程，它具有几何和动力学的双重含义，深受科学家及数学家的喜爱。

这种微分方程式将具有可分离变量特性的函数以微分形式表示，即对函数中的
变量可以进行“分离”求解。

举个简单的例子来说，一些质点定义在直角坐标系中，在 x-y 平面中受重力影响而运动时，x、y方向上的加速度可分别由以 x 或 y 为
分离变量的函数表示。

将其积分后，就可以得到质点沿不同方向的速度及位置变化的关系式，从而可以描述出其运动规律。

可分离变量微分方程是一种常见的数学模型，大多数时间受力间变化的性质可
以被描述成可分离变量微分方程，因此具有重要的基础地位并应用广泛于物理、化学、地理学等各个领域。

此外，它还有一定的逼近性，能够更为深入地考察解析物体受力的变化特征，对理解定性及定量的物理规律具有重要的指导作用。

总而言之，可分离变量微分方程是一类特殊的微分方程，它可以用来描述复杂
的物理实验的结果，是理解物理实验结果的实用工具。

它能够准确描述某种受力间产生的变化，助力科学家们发掘科学规律、实现定量分析，从而达到更好地研究物理、化学等科学知识的目的。

可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
； 4 x 2、cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0
三、质量为 1 克的质点受外力作用作直线运动,这外力 t 10 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 2 50 厘米 / 秒 4 克厘米 / 秒秒时,速度等于 ,外力为 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路线 .
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2

高数课件第七章微分方程第二节可分离变量微分方程

从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变化规律. 解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h h r
1m
流量系数
孔口截面面积重力加速度
O hdh
即设在
dV k S 2 g h d t
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
对应下降体积 d V r 2 dh
h h r
1m
π
O hdh
h
t 0
14 π 10 3 3 5 2 t (1 h h 2 ) 7 7 15k S 2 g
1
则得容以k 0.62, S 104 m2 , g 9.8 m s 2 代入上式，器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
5 10 3 3 t 1.068 10 (1 h 2 h 2 ) (s) 7 7 可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
y x 1 1
2
例4. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有即解得
1 u sin 2 u
tan u x C
所求通解: tan( x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量即
e y e x C ( ex C ) e y 1 0 ( C < 0 ) u 1 eu

( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v t mg k m 代入上式后化简, 得特解 v (1 e ) k
例8. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积开始时容器内盛满了水, 求水

什么是可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是指可以通过分离变量的方法将微分方程转化为两个只包含一个变量的方程，然后分别对这两个方程进行积分的微分方程形式。

具体而言，可分离变量的微分方程可以写成以下形式：
dy/dx = f(x)g(y)
其中，f(x)是关于自变量x的函数，g(y)是关于因变量y的函数。

为了解这个微分方程，我们可以将dy/dx 移至方程的一边，将g(y) 移至方程的另一边，得到：
1/g(y) dy = f(x) dx
然后我们可以对两边同时积分，得到：
∫(1/g(y)) dy = ∫f(x) dx
这样就将原始的微分方程分离成两个只包含一个变量的方程，分别是关于y的方程和关于x的方程。

最后，通过求解这两个方程，可以得到原始微分方程的解析解或者特定的解形式。

需要注意的是，并非所有的微分方程都是可分离变量的微分方程，但可分离变量的微分方程是一类比较容易求解的常见微分方程形式。

可分离变量的微分方程精选

可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。

2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。

3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。

方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。

3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。

其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。

常见的常微分方程的一般解法

常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。

如无意外，本文将不包括解的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。

难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。

伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。

可分离变量的微分方程

M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m

可分离变量的微分方程典型例题分析

解由力学知识得,水从孔口流出的流量为 Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２求解微分方程 y e y2x 的通解.
解分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；

常见的微分方程类型归纳

常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。

未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。

咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。

例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1）若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。

求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2）分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。

常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。

例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。

可分离变量的微分方程

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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念可分离变量微分方程的概念说明］［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如方程
y x 提示］［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】【补例】当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛顿冷却定律（顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质温度之差成正比）开始变凉。温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温并且假定周围空气的温度保持空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间求出自谋杀发生后尸体的温度以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度画出温度——时间曲线；时间曲线；画出温度时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示最终尸体的温度如何？最终尸体的温度如何这种结果；这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C，时间是下午如果尸体被发现时的温度是30° ，时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是那么谋杀是何时发生的？时，那么谋杀是何时发生的？

《微积分》第二节可分离变量的微分方程

x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y

第二节可分离变量的微分方程Differentialequationsofthe

解由力学知识得,水从孔口流出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
2019/9/25
6
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为 t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
即M cet ,
代入M t0 M0 得 M0 ce0 C ,
M M0et
衰变规律
2019/9/25
5
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中
容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离) 随时间t的变化规律.
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
1t
x |t0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e 6 ,
x |t6 0.03 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
解设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在[t, t dt]内,

可分离变量的微分方程

解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
4
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
或
说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
3
xydx ( x2 1) dy 0 例2. 解初值问题 y(0) 1
2020年7月26日星期日
(Spring 2010, 21ppt. L.G.YUAN)
10
例6. 解微分方程
解: 方程变形为 dy 2 y y 2 ,令 u y , 则有
dx x x
x
u xu 2u u2
分离变量
u
d
2
u
u
dx x
即 1 1 du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
12
*二、可化为齐次方程的方程
( c2 c12 0 )
1.当 a1 b1 时,作变换 x X h, y Y k ( h, k 为待 ab
定常数), 则d x d X , d y dY , 原方程化为
ahbk c a1h b1k c1

一、可分离变量的微分方程二、齐次方程

十、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:
1、 dy 1 1； dx x y
2、 y y 2 2(sin x 1) y sin2 x 2sin x cos x 1； 3、 dy 1 y .
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
三、质量为 1 克的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
xy
x2 y2 y,
y
1
y 2
y,
x x
原方程是齐次方程.
3. dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
六、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y 2 3x 2 )dy 2xydx 0, y x0 1； 2、( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2 2xy x 2 )dy 0 ,
y 1 . x1
七、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx