微分方程(可分离变量的微分方程)

dy 2y 例： 求方程 ( x 1) 的通解.
5 2
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
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一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
(使用分离变量法)
dy P ( x ) y 0. dx
dy P ( x )dx , y
dx cos udu , x
sinu ln x C ,
y 微分方程的解为 sin ln x C . x
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三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7 e2 x

C 7 e2 x
4
例题讲解

例3 求解微分方程
4xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2xy2dx的通解
解 分离变量 (4 x 2 xy2 )dx (3 y 3x 2 y)dy 2 x(2 y 2 )dx 3 y(1 x 2 )dy
2x 3y dx dy 2 2 1 x 2 y 两端积分 2x 3y 1 x 2 dx2 2 y 2 dy,
ln(1 x 2 )
x cu u 3
2
y y 将u 代入，x c x x x cy y 3 x
3 2 2
y 3 2 x
9
2
例题讲解

y 解：令 u , y ux x dy du ux u t anu dx dx dx du dx du x t anu x t anu ln | x | ln | sin u | c
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
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dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
2
例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2 xy的通解 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y dy 2 xdx , 两端积分 y
ln y x2 C
x2
y Ce 为所求通解.
3
例题讲解

例2 求解微分方程 (7 e2 x )dy ye2 x dx 0的通解 解 分离变量
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
2
3
ln( 2 y 2 ) C
2 3 2
1 x c(2 y )
( c 0)
5
二、齐次微分方程
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x 解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程 解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换
y u , x
y 令 u, y ux , dy udx xdu x
du 3u 6u ux dx 3 2u 2
3
y 3 y 3( ) 6( ) dy y x x 解： f( ) y 2 dx x 3 2( ) x
dy 3 y 6 x y x 2 2 dx 3x 2 y
( ) y 将 u 代入, 得通解 x Ce x , x
y y dy y 2 : 当f (u ) u时, 即f ( ) , x x dx x dx dy , ln | x | ln | y | c x y
c
得齐次方程的通解 | x | e | y |
7
例题讲解

例：求齐次微分方程
9.2一阶微分方程

最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
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一、可分离变量方程

分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比 C u( x )
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解法
例题讲解

dx x 1 解 这是非齐次线性方程 . 先求对应的齐次方程的 通解. 2 dy 2 dy 2dx y C ( x 1 ) . y 0, , dx x 1 y x1 2 用常数变易法, 把C换成u,即令 y u( x 1) , dy u( x 1) 2 2u( x 1), dx 1 代入非齐次方程, 得 u ( x 1) 2 . 3 两端积分, 得 u 2 ( x 1) 2 C . 3 3 2 2 故所求通解为 y ( x 1) [ ( x 1) 2 C ]. 15 3
例：dy y tan y dx x x
y x c sin x
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例题讲解
例：求解微分方程 解 令u
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x y x
x ， 则 dy xdu udx，
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu ) 0,
3 2
du u 3u x 2 dx 3 2u
3
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例题讲解（续）

( 2 )du x u u 3 1 ln | x | ln | u | ln | u 2 3 | c 2

2 dx 3 2 u 1 u 分离变量方程： du ( 2 )du 3 u u 3 dx 1 u x u 3u
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,

4 5
4 5
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.