1.2函数及其表示知识点及练习题

合集下载

高中数学必修一1.2函数及其表示练习题及答案

高中数学必修一1.2函数及其表示练习题及答案一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分)1. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A 1B 0C 0或1D 1或22. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（）A 沿x 轴向右平移1个单位B 沿x 轴向右平移12个单位C 沿x 轴向左平移1个单位D 沿x 轴向左平移12个单位3. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）A 2,3 B 3,4 C 3,5 D 2,54. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x fA ⑴、⑵B ⑵、⑶C ⑷D ⑶、⑸5. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（）A 10 B 11 C 12 D 13 6. 函数f (x )＝的定义域是（）A ．－∞，0]B ．[0，＋∞C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）7. 若函数f(x) = + 2x+ log 2x 的值域是 {3, －1, 5 + , 20}，则其定义域是( ) (A) {0，1，2，4} (B) {，1，2，4} (C) {，2，4} (D) {，1，2，4，8}8.反函数是（） A. B.C. D.9. 若任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，都有成立，则称f (x ) 是[a ，b ]上的凸函数。

高中数学第2章函数2.1.2函数的表示方法练习(含解析)新人教B版必修1

高中数学第2章函数2.1.2函数的表示方法练习（含解析）新人教B版必修12.1.2 函数的表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x 1 23f(2 11x)x 1 23g(3 21x)则满足f(f(x))<g(g(x))的x的值为()A.1或3B.2或3C.3D.1或2解析当x=1时,f(f(1))=f(2)=1,g(g(1))=g(3)=1,不满足;当x=2时,f(f(2))=f(1)=2,g(g(2))=g(2)=2,不满足;当x=3时,f(f(3))=f(1)=2,g(g(3))=g(1)=3,满足.综上可知,x的值为3.答案C2已知某函数的图象如图所示,则该函数的值域为()A.(0,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-1]∪(0,+∞)D.[-1,0)解析由函数图象易知,当x>0时,y>0;当x≤0时,y≤-1,故该函数的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).答案C3函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,a=f(-1.01),b=f(-1),c=f(1.5),则a,b,c 的大小关系是()A.a<b<cB.b<a=cC.a=b<cD.a<b=c解析因为a=[-1.01]=-2,b=[-1]=-1,c=[1.5]=1,所以a<b<c.答案A4已知f,则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2-x+1(x≠0)B.f(x)=(x≠0)C.f(x)=x2-x+1(x≠1)D.f(x)=1+(x≠1)解析设=t,则x=,t≠1,则f(t)=+t-1=t2-t+1,t≠1.故f(x)=x2-x+1(x≠1).答案C5已知f(x)=则f的值为()A.2B.4C.6D.8解析由已知,得f=f+1=f+1=f+2=f+2=3×+2+2=2.答案A6某学生从家去学校,因为怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下列选项中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个选项中较符合该学生到校的图象的是()解析由题意,知学生离学校越来越近,故排除选项A,C;又由于开始跑步,后来步行,故体现在图象上是先“陡”后“缓”,故选D .答案D7已知一个函数的部分对应关系由下表给出:x -3 -2 -10 1 2 3 f (x ) -4 -3 -2 -1 0 1 2则此函数的解析式可能为 .答案f (x )=x-1(答案不唯一)8已知函数f (x )满足f (x )+2f (3-x )=6x ,则f (x )= .解析在f (x )+2f (3-x )=6x 中,令x 取3-x ,得f (3-x )+2f (x )=18-6x.由解得f (x )=12-6x.答案12-6x9函数y=的值域为.解析因为当x≤-1时,y=;当x>-1时,y=1,所以值域为{y|y=1或y≥}.答案{y|y=1或y≥}10函数f(x)=若f(x)=3,则x的值的集合为. 解析(1)令x+2=3,得x=1.因为1∉(-∞,-1],所以x=1不符合题意.(2)令x2=3,得x=±.因为-∉(-1,2),∈(-1,2),所以x=符合题意.(3)令2x=3,得x=.因为∉[2,+∞),所以x=不符合题意.综上可知,满足条件的x的值的集合为{}.答案{}11已知函数f(x)=(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1)的值;(3)若f(m)=9,求m的值.分析分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0上的图象,合在一起即得函数f(x)的图象.解(1)函数图象如图所示.(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1.(3)若m>0,则f(m)=m2=9,解得m=3,m=-3(舍去);若m<0,则f(m)=-=9,解得m=-.综上可知,m的值为3或-.★12某人开车以52 km/h的速度从A地驶往260 km远处的B地,到达B地并停留1.5 h后,再以65 km/h的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(单位:km)表示为时间t(单位:h)的函数.分析本题中的函数是分段函数,要根据时间t属于哪个时间段,得到相应的解析式.解从A地到B地,路上的时间为=5(h);从B地回到A地,路上的时间为=4(h).当0≤t<5时,s=52t;当5≤t≤6.5时,s=260;当6.5<t≤10.5时,s=260+65(t-6.5)=65t-162.5.故走过的路程s与时间t的函数关系式为s=★13对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|},x∈R,求f(x)的最小值.解在同一平面直角坐标系中分别画出y=|x+1|和y=|x-2|的图象,如图所示.依题意,得函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}=该函数的图象为图中的实线部分.故f(x)的最小值为图中点P的纵坐标.。

人教A版数学必修一1.2函数及其表示.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.2函数及其表示1．2.1函数的概念基础达标1．下列对应法则是集合M上的函数的有()．①M＝Z，N＝N*, 对应法则f：对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x＞0}，对应法则f：对M中的三角形求面积与N中元素的对应．A．1个B．2个C．3个D．0个解析①M中的元素0在N中无对应元素，③M中的元素不是数集．②是函数．答案 A2．(2013·九江高一检测)函数f(x)＝x－2＋1x－3的定义域是()．A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)解析要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2≥0，x －3≠0，解之得x ≥2，且x ≠3. 答案 C3．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( )．A ．1B ．0C ．－1D ．2 解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f [f (－1)]＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0， ∴a ＝1或a ＝0(舍去)．答案 A4．下列各组函数是相等函数的是________(只填序号)．①f (x )＝x －1，g (x )＝(x －1)2； ②f (x )＝|x －3|，g (x )＝(x －3)2； ③f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；④f (x )＝(x －1)(x －3)，g (x )＝x －1·x －3. 解析 ①③④中两函数定义域不同，②是相等函数．答案 ②5．设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则g [f (2)]＝________. 解析 ∵f (2)＝2×22＋2＝10， ∴g [f (2)]＝g (10)＝110＋2＝112. 答案 1126．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ，故函数值域为{1,2,3,4}．答案 {1,2,3,4}7．求函数f (x )＝(x ＋2)2x ＋2－2－x 的定义域，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值．解要使f (x )有意义，需使⎩⎨⎧x ＋2≠0，2－x ≥0，解之得x ≤2，且x ≠－2，∴原函数的定义域为{x |x ≤2，且x ≠－2}．又f (x )＝x ＋2－2－x ，x ≤2且x ≠－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34＋2－2－34＝11－254.能力提升8．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )．A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析 C 中，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2. ∴f (2x )≠2f (x )，则C 项不满足f (2x )＝2f (x )．答案 C9．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，即⎩⎨⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2.从而0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．答案 (0,2)10．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？证明你的发现．解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1，∴f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－114＋1＝15.f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1.。

1.2函数及其表示练习题及答案1

1.2函数及其表示练习题一．选择题1 函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（） A 3 B 3- C 33-或 D 35-或2. 已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于（） A 15 B 1C 3D 303．函数2y =的值域是（）A [2,2]-B [1,2]C [0,2] D[]4 已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为（）A21x x + B 212x x+- C 212x x + D 21x x+-5．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数6. 下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（）7．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为（）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关 8. 已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（） A ．)2,1[-B ．]1,1[-C ．)2,2(-D ．)2,2[-9. 已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式（）A ．x bc ac y --=B ．x c b a c y --=C ．x a c b c y --=D ．x ac cb y --= 10．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +11. （2010陕西文数）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +]（D ）y ＝[510x +]12.（2009海口模拟）已知函数()()2113,f x x x =+≤≤则A ．()()12202f x x x -=+≤≤B ．()()12124f x x x -=-+≤≤C ．()()12202f x x x -=-≤≤D ．()()12104f x x x -=-≤≤ 13.（2009江西理）函数ln 1x y +=的定义域为A ．()4,1--B ．4,1-C ．()1,1-D ．(1,1]-14.（2008山东）设函数()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为 A ．1516B ．2716-C ．89 D.1815.（2008陕西) 定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=则()3f -等于（）A. 2B. 3C. 6 D ．916.（2009福建）下列函数中与函数y =有相同定义域的是（） A ．()ln f x x = B 。

1.2 函数及其表示

1 0.5 -2 -1 O -1 -2
1
2
x
练习: (课本23页) 1. 如图, 把截面半径为 25 cm 的圆形木头据成矩形木料, 如果矩形的一边长为 x cm, 面积为 y cm2, 把 y 表示为 x 的函数. 解: 由勾股定理得矩形的宽为 502 - x 2 , 则矩形面积的函数为 y = x 502 - x 2 , (0<x<50)
5 公里的分段. 设里程为 x, 票价为 y, 则解析式为:
2, 0<x≤5, y= 3, 5<x≤10, 4, 10<x≤15, 5, 15<x≤20. 其图象为:
y 5 4 3 2 1 o
5
10 15 20
x
练习: (补充题) 画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域:
1 (0 x 1) ; (1) y = x x ( x 1)
笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10
y 25 20 15 10 5
3 15
4 20
(直接反 25 映函数值)
5
(3) 图象表示: 问: 三种表示方法各有什么优点?
(直观反映出定义域, 值域及大 O 1 2 3 4 5 x小关系)
· · · · ·
例4. 下表是某校高一 (1) 班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
1.2.2 函数的表示法
第一课时
函数的表示
返回目录
1. 函数有哪三种表示方法? 2. 函数的各种表示方法各自最能反映函数的哪些特性? 3. 函数的各种表示方法怎样互相联系, 互相转化?
问题1. 初中我们学了一次函数, 二次函数, 反比例函数等, 这些函数可以用哪些方法进行表示? 函数的表示一般有三种方法: 解析法、图象法和列表法. 解析法, 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系, 这个表达式又称解析式. 图象法, 就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 列表法, 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

高考数学 1.2 函数及其表示练习

【师说高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 1.2 函数及其表示练习一、选择题1．(2014·嘉兴调研)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( )A. B. C. D.解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中函数的定义域是[－2,0)，C 中任一x ∈[－2,2)对应的值不唯一，D 中的值域不是N ，故选B. 答案：B2．已知f ：x→－sinx 是集合A(A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：由－sinx ＝0，得sinx ＝0.又x ∈[0,2π]，故x ＝0或π或2π；由－sinx ＝12，得sinx ＝－12.又x ∈[0,2π]，故x ＝7π6或11π6.选B. 答案：B3．已知f(x ＋1)＝－f(x)，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－1＜x ＜0，00≤x≤1，则f(3)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．1或0解析：f(3)＝－f(2)＝f(1)＝0，故选B.答案：B4．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：在2f(x)－f(－x)＝3x ＋1①将①中x 换为－x ，则有2f(－x)－f(x)＝－3x ＋1②①×2＋②得3f(x)＝3x ＋3，∴f(x)＝x ＋1.答案：B5．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1| (0≤x≤2) B ．y ＝32－32|x －1| (0≤x≤2) C ．y ＝32－|x －1| (0≤x≤2) D ．y ＝1－|x －1| (0≤x≤2)解析：取x ＝1，则y ＝32，只有B 、C 满足．取x ＝0，则y ＝0，在B 、C 中只有B 满足，所以选B.答案：B6．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x 10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510] 解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B二、填空题7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x2＋1x2，则函数f(3)＝________. 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.答案：118．(2014·荆州质检)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ，x ＞0，10x ，x≤0，则f[f(－2)]＝__________. 解析：因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ，x ＞0，10x ，x≤0，又－2＜0，∴f(－2)＝10－2,10－2＞0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.答案：－29．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f[f(－4)]＝________.解析：f[f(－4)]＝f(24)＝24＝4.答案：4三、解答题10．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x ＋5.解析：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c ＝1.把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有a(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax2＋bx ＋1)＝2x.∴2ax ＋a ＋b ＝2x.∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x )＝x2－x ＋1.(2)由x2－x ＋1＞2x ＋5，即x2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x|x ＞4或x ＜－1}．11．函数f(x)对一切函数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．解析：(1)令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x2＋x －2.12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ cx ＋1， 0＜x ＜c2－x c2＋1， c≤x＜1)满足f(c2)＝98.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f(x)＞28＋1.解析：(1)因为0＜c ＜1，所以c2＜c ，由f(c2)＝98，即c3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，0＜x ＜122－4x ＋1，12≤x＜1由f(x)＞28＋1得，当0＜x ＜12时，解得24＜x ＜12，当12≤x＜1时，解得12≤x＜58，所以f(x)＞28＋1的解集为{x|24＜x ＜58}．。

函数的概念

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念知识点1 函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. （3）区间的表示 (1)一般区间的表示.设a ，b ∈R数轴表示(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________.题型一函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【训练1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个题型二相等函数【例2】 (1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1； ②f (x )＝x x ，g (x )＝xx； ③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3；④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).(2)试判断函数y＝x－1·x＋1与函数y＝（x＋1）（x－1）是否相等，并说明理由.规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数：(1)f(x)＝(x)2；g(x)＝x2.(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.题型三求函数值【例3】已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义.【训练3】已知函数f(x)＝x＋1x＋2. (1) 求f(2)；(2) 求f(f(1)).方向1已知函数的解析式求函数的定义域【例4－1】求下列函数的定义域：(1)y＝（x＋1）2x＋1－1－x；(2)y＝5－x|x|－3.方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？【例4－3】若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，且自变量t ＝x ＋1，那么函数y ＝f (t)的定义域是什么？【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )2.下列各组函数中表示相等函数的是( )A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *) D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)3.函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.4.已知函数f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值.1.2.2函数的表示法知识点题型一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0，3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示. 规律方法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.题型二列表法表示函数【例2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.规律方法列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.【训练2】已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出(1)f(g(3))＝__________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.题型三求函数表达式方向1待定系数法求函数解析式【例3－1】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.方向2换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【例3－2】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).知识点分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x 的不同取值范围内，有着不同的对应关系； (3)结论：这样的函数称为分段函数.【例1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.【变式1】例1条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.【变式2】例1的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围.题型二分段函数的图象及应用【例2】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). ①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象； ③写出函数f (x )的值域.【训练2】已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（－1≤x ≤1），1 （x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域.。

高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念优化练习新人教A版必修1(202

2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念优化练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念优化练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念优化练习新人教A版必修1的全部内容。

1。

2.1 函数的概念[课时作业］［A组基础巩固]1．函数y＝f（x)的图象与直线x＝1的公共点有（)A．0个B．1个C．0或1个D．无数个解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x）的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1)）；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．答案:C2．已知四组函数：①f(x）＝x，g(x)＝(错误!)2;②f（x）＝x，g（x）＝错误!;③f（n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f（x)＝x2－2x－1，g（t）＝t2－2t－1。

其中是同一函数的为（）A．没有B．仅有②C．②④D．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同;对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C。

答案：C3．y＝x2（－1≤x≤2）的值域是( )A．[1,4] B．[0,1］C．[0，4] D．［0,2]解析：由图可知f（x）＝x2（－1≤x≤2）的值域是［0，4]．答案:C4．函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞,2］B．（－∞，2）C．（－∞，1)∪（1,2）D．(－∞，1）∪(1,2]解析:要使函数y＝错误!有意义，则错误!解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞,1)∪（1,2］．答案：D5．图中可以表示以M＝｛x|0≤x≤1｝为定义域，以N＝｛y|0≤y≤1｝为值域的函数的图象的是（)解析：根据函数的定义,在定义域［0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应,同样，对于值域［0,1]中的任意一个函数值,在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1］，B中函数定义域不是［0,1］，故可排除A,B；再结合函数的定义,可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D。

高一数学函数一二次函数知识点及测试题

高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题一次函数二次函数知识点：一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2021年高中数学 1.2函数及其表示习题新人教A版必修1

2021年高中数学 1.2函数及其表示习题新人教A版必修1典例1：作出下列函数的图象.(1)y=2x+2.(2)y=(3)y=(4)y=|log2x-1|.分析：(1)(3)(4)可通过图象变换画出函数的图象，对于(2)可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图象.规范解答 (1)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图.(2)因y= ，先作出y= 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y= 的图象，如图.(3)作出y= 的图象，保留y= 图象中x≥0的部分，加上y= 的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y=的图象，如图实线部分.(4)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图.【易错警示】关注函数定义域本例在作函数图象时,有时会忽略定义域而致误,在作函数图象时要注意函数定义域.【规律方法】作函数图象的三个重要方法及适用类型(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:①若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序;②对不能直接找到熟悉函数的,要先变形,同时注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行分析.提醒:当函数表达式是较复杂的高次、分式、指数、对数及三角函数式时,常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.【变式训练】作出下列函数的图象.(1)y=e lnx. (2)y=|log2(x+1)|.(3)y= . (4)y=x2-2|x|-1.解析如下：（1）（2）（3）（4）典例2:(1)(xx·杭州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-1|)-1的图象可能是( )(2)(xx·山东高考)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )分析：(1)根据函数f(x)的单调性及图象的平移、对称变换求解.(2)利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解.规范解答:(1)选 B.根据题意,由于函数f(x)是定义在R上的增函数,那么可知函数y=f(|x-1|)-1的图象先是保留在y轴右侧的图象不变为增函数,再作关于y轴对称的图象,再整体向右平移一个单位,再整体向下平移一个单位,那么可知为先减后增,同时关于直线x=1对称,故选B.(2)选D.函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,C.当x=π时,f(π)=-π<0,排除A,故选D.【互动探究】若本例题(1)中,函数f(x)是定义在R上的增函数改为“减函数”,则结果如何? 26928 6930 椰 26566 67C6 柆'32817 8031 耱 24780 60CC 惌@38706 9732 露22994 59D2 姒Y 99。

函数的概念与表示知识点总结及练习

2.1 函数概念与表示学习目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.重点难点：函数的定义域和值域一、知识要点1．函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x ∈A,其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域．对于A 中的每一个x 都有一个输出值y 与之对应，我们将所有的输出值y 组成的集合A 叫做函数的值域．函数的“三要素”：2．函数定义域的一般方法：(1)若f （x ）是整式，则定义域为R(2)若f （x ）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合(3)若f （x ）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合(4)若f （x ）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(5)复合函数定义域：已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域．由解出．已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域．是_______在____________上的值域3．求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；4．求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域．求法：①直接法、②配方法、③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合．二、例题精讲题型1：函数的概念1．判断下列对应是否为函数（1）,,;x y y x x R y Z →∈∈其中为不大于的最大整数，（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤；（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 2．下列函数函数中： ⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y = 与函数x y =是同一个函数为（填序号）3．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．变式2：已知函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值．题型2：求函数解析式1.f(x+1)=3x+2;求f(x)2．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．题型3：求函数定义域1．求下列函数的定义域．（1）43)(2--=x x x f （2）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域_____________．（3）已知：f （x ）定义域为[]12,0，求f （2x-3）的定义域．（4）已知：f （2x-2）的定义域为[]13,1，求f （x ）的定义域．变式：函数f (2x －1)的定义域是(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是__________．题型4：求函数值域1．求下列函数的值域．三、基础练习1．下各组函数中表示同一函数的有．（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．2．函数y=x x x +-)1(的定义域为______________．3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；4．函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是______________．5．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = __________ ．四、巩固训练1．已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，(0)1f =-，则)(x f 解析式是_________．2．函数y ＝x^2＋12-x 的定义域是____________． 3．如果函数f （x ）的定义域为[－1，3]，那么函数f （x ）－f （－x ）的定义域为________．4．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+[1,3]x ∈；（2）y =（3）312x y x +=-5．函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3032x x x x x x 的最大值是______．。

高中数学必修一知识点习题1.2函数及其表示教师用.doc

函数及其表示（一）知识梳理1. 映射的概念设、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f ,对A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射，记作MB.2. 函数的概念（1）函数的定义：没、B是两个非空的数集」矣按照某种对应法则f,对A中的任意数x ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则这样的对应关系叫做A到B的一个函数，通常记为y=f（x）,x G A（2）函数的定义域、值域在函数y = f（x）, x^A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，对这样的函数值所有的集合松戦（3）函数的三要素：走文域:—值域:去则3. 函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3） .解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4. 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数 f[g （x ）]的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f （X ）B ・⑵、（3）C ・（4）D. ⑶、（5）1.、O判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（（x+3）（x_5）f(x)x +3x,g —w,y2 = x-5；(2)yi = Jx +1 Jx -1, y 2 = J(x +1)(x -1)；x"x-；1Fx1（X ） 2(2x 5)A.⑴、f 2(x) 2x 5.2.函数y = f （x ）的图象与直线x =1的公共点数目是（ C ） A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2考点：函数的概念及其构成要素分析：根据函数的定义，对于每一个自变量的值，有且只有一个元素与它对应，需要针对于函数在处有没有定义，若有则有一个交点，若没有，则没有交点，综合可得答案. 解答：若函数在丁=1处有意义，在函数"= /（・「）的图象与直线X=1的公共点数目是1, 若函数在J — I 处无意义，在两者没有交点，・••有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个 •综上所述，答案为C.= T使B 中元素y 3x 1和A 中的元素x 对应，则a, k 的值分别为（ D ）A. 2,3B. 3,4 C ・ 3,5 D. 2,5 若4 , B 9使B 中元康y 3x+ l 和4中的元素x 对应.・・・ a 1E lOjlJ a 2卜 3a = 10, d 二 3JU 1解得a=2,4=5 3.已知集合 A = J ,2,3, k 1 B = <4,7, a", a" * 3a }11a N则当工 1时， 9=4 ；当r=2时.y 当r=3时.y 当x -k 时"y 又由a£ N ・，函数值答案即可.4-已知f (x)I +<- x 2(x1)-< V2X ( 1> X 则X 的值是A. 1B. 2)C.1,D. 3分析: 首先把函数值f 2x( x的值，根据X 的不同取值范围，求得（x ） =3分别代入函数解析式，建立方程，求出 x解答：①当x+2=3,解得x=1,因豹所以不成立;②当X2=3,解得x=±37, ®^J<x<2,所以只有3丁成立；③当2x=3,解得x=32,因消2,所以不成立。

1.2函数及其表示同步练习及答案解析

（1） y (x 1)0 ； | x | x
（2） y
2x 3
1 2
x

1 x
．
11.（16 分）作出下列各函数的图象： (1)∈Z； (20)．
12. （16 分）求下列函数解析式． (1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)； (2)已知 f(x)满足 2f(x)＋f(1x)＝3x，求 f(x)
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共 18分)
7.设函数 f (x) 2x 3, g(x 2) f (x) ，则 g(x)
.
8.已知函数则 f ( f (6))
9．已知且＝4，则的值
为
．
三、解答题（本大题共 3 小题，共 46 分） 10．（14 分）求下列函数的定义域：
1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法
建议用时
实际用时
满分
45 分钟
100 分
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 6
36 分）
1. 设集合，，则在下面四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）
实际得分分，共
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
2.已知函数
Hale Waihona Puke fx1 x 1
，则函数
f
f x 的定义域是（
）
A. {x | x 1}
B. {x | x 2}
C. {x | x 1且x 2}
D. {x | x 1或x 2}
3.定义域为R的函数的值域为[]，则函数) 的值域为（）

人教A版数学必修一1.2 函数及其表示

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2 函数及其表示一、填空题1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1()(2)f f ＝________. 解析本题主要考查分段函数问题．正确利用分段函数来进行分段求值．∵f (2)＝4，∴1()(2)f f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 答案 15162. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析当x <0时，f (x )＝2x∈(0,1)，故y ＝f (f (x ))＝－2－f (x )∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12；当x >0时，f (x )＝－2－x ∈(－1,0)，故y ＝f (f (x ))＝2f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，从而原函数的值域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12xx ，1xx ＜，若f (a )＝a ，则实数a 的值是________．解析当a ≥0时，1－12a ＝a ，所以a ＝23.当a ＜0时，1a＝a ，所以a ＝－1.答案23或－1 4．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的序号有________．解析由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个x 对应着一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案 ②5.下列函数中与函数y =x 相同的是_______．①2()y x =；②33y t = ；③2y x =； ④2x y x=解析因为33y t t ==,所以应天②. 答案 ②6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案 117．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)．当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34.答案－348．若f (x )＝1log12x ＋，则f (x )的定义域为________．解析因为log 12(2x ＋1)＞0，所以0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，09.设函数f (x )=2020x bx c x x ⎧++,≤,⎨,>.⎩若f (-3)=f (0),f (-1)=-2,则关于x 的方程f (x)=x 的解的个数为______．解析由f(-3)=f(0),f(-1)=-2可得b=3,c=0,从而方程f(x)=x 等价于0()2x x f x >,⎧⎨==⎩ 或203x x x x ≤,⎧⎨+=.⎩ 解203x x x x ≤,⎧⎨+=⎩得到x=0或x=-2,从而得方程f(x)=x 的解的个数为3. 答案 310．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析当(x 2－2)－(x －1)≤1时，－1≤x ≤2，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＜－1或x ＞2，f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 恰有两个解，由图象可知当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时满足条件．答案 (－2，－1]∪(1,2]11．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为________．解析因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b·b 2a ＝52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，所以－12a －2b 的上确界为－92. 答案－9212．设函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为________．解析令x ＝1，f (3)＝1f 1＝－15.由f (x ＋2)＝1f x得f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1) ＝1f－1＋2＝1f 1＝－15.答案－1513．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为________．解析 f (x )＝lg 2＋x 2－x 有意义，则2＋x2－x＞0，即(x ＋2)(x －2)＜0，∴－2＜x ＜2.对f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x2＜2，－2＜2x ＜2⇒⎩⎨⎧－4＜x ＜4，x ＜－1或x ＞1.∴－4＜x ＜－1，或1＜x ＜4. 答案 (－4，－1)∪(1,4) 二、解答题14．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x －a 的定义域为A ，值域为B .(1)当a ＝4时，求集合A ；(2)当B ＝R 时，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝4时，由x ＋3x －4＝x 2－4x ＋3x＝x －x －x＞0，解得0＜x ＜1或x ＞3，故A ＝{x |0＜x ＜1或x ＞3}．(2)若B ＝R ，只有u ＝x ＋3x－a 可取到一切正实数，则x ＞0及u min ≤0，∴u min ＝23－a ≤0. 解得a ≥2 3.实数a 的取值范围为[23，＋∞)． 15．已知函数f (x )＝2a ＋1a－1a 2x，常数a ＞0.(1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．解析 (1)证明任取x 1，x 2∈[m ，n ]，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1a 2·x 1－x 2x 1x 2.因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[m ，n ]，所以x 1x 2＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[m ，n ]上单调递增．(2) 因为f (x )在[m ，n ]上单调递增，f (x )的定义域、值域都是[m ，n ]⇔f (m )＝m ，f (n )＝n ，即m ，n 是方程2a ＋1a－1a 2x＝x 的两个不等的正根⇔a 2x 2－(2a 2＋a )x ＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a 2＋a )2－4a 2＞0，2a 2＋aa2＞0⇒a ＞12.即常数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1xx ，x 2＋－1≤x，2x ＋x <－(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫1－12－1，f (f (f (－2)))的值； (2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a 的值．解析 (1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－1＝f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f (f (－2))＝f (－1)＝2，∴f (f (f (－2)))＝f (2)＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，则f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤23，则f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，则f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 3x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >23，9x 2－6x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤23，6x ＋x(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，有a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.17．已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)求实数a 的取值范围，使得函数f (x )满足：当定义域为[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立．解析 (1)由4－a x ≥0，即a x ≤4，当0<a<1时，x≥log a4，当a>1时，x≤log a4，故f(x)的定义域为：当a>1时，为(－∞，log a4]，当0<a<1时，为[log a4，＋∞)．令t＝4－a x，则t∈[0,2)，所以y＝4－t2－2t－1＝4－(t＋1)2.当t∈[0,2)时，y＝4－(t＋1)2是减函数，所以函数的值域为(－5,3]．(2)由(1)知，若a>1，f(x)是增函数，当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝a－24－a －1，由于f(x)≥0恒成立，∴a－24－a－1≥0，解得3≤a≤4.若0<a<1，f(x)在[1，＋∞)上是减函数，f(x)max＝a－1－24－a<0，即f(x)≥0不成立．综上知，当3≤a≤4时，在[1，＋∞)上f(x)≥0恒成立．18．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(k m/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(k m)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 k m，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解析(1)由图象可知；当t＝4时，v＝3×4＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12·t·3t＝32t2当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150＜650.当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650. 当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40,0＜t ≤35故t ＝30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．。

高中数学第一章集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1

§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三求函数值【例3】已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2，于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。

3.1.2 函数的表示法 2025年高考数学知识点题型及考项复习

⋯
−2, −2 ≤ < −1,
−1, −1 ≤ < 0,
【解析】 = [] = 0,0 ≤ < 1,
1,1 ≤ < 2,
2,2 ≤ < 3,
⋯
函数图象如图3.1.2-3所示.
图3.1.2-3
数形结合可知函数的值域为整数集，即Z.
知识点3 函数的图象变换
例3-3 已知函数 = 的图象如图3.1.2-4所示，则 = (1 − )
【解析】如图3.1.2-2，函数的图象是由20个点组成的一个点列.
图3.1.2-2
（本题中函数的定义域是不连续的，因此作图时应注意函数图象是一些点，而不是曲线）
知识点2 分段函数
例2-2 ［教材改编P74 T13］画出函数 = []（该函数也常称为取整函数）
([]表示不大于的最大整数)的图象,并求其值域.
2025年高考数学一轮基础知识复习
第三章
函数的概念与性质
3.1.2 函数的表示法
必备知识解读
知识点1 函数的表示法

例1-1 已知完成某项任务的时间与参加此项任务的人数之间适合关系式 = + ，
当 = 2时， = 100；当 = 14时， = 28，且参加此项任务的人数不能超过20．
2.(2024·江苏省苏州市期末)设函数
1+
1−
A.
1+
−1
≠ −1
【解析】令 =
∴ =
1−
1+
B.
1−
1+
≠ −1
≠ −1 ，得 =
≠ −1 ．故选C．
1−
1+
= ,则 =( C