1.2函数及其表示知识点及练习题

函数及其表示

（一）知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成

值域。 (3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

1.2函数及其表示练习题（2）

一、选择题

1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=

x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；

⑶x x f =)(，2)(x x g =

；

⑷()f x =

()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .

A. ⑴、⑵

B. ⑵、⑶

C. ⑷

D. ⑶、⑸

2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）

A. 1

B. 0

C. 0或1

D. 1或2

3. 已知集合{}{}

421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）

A. 2,3

B. 3,4

C. 3,5

D. 2,5

4. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，若()3f x =，则x 的值是（ ）

A. 1

B. 1或32

C. 1，32

或 D.

5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）

A. 沿x 轴向右平移1个单位

B. 沿x 轴向右平移

12

个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)

10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

二、填空题

1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x

x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数4

22--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，

则这个二次函数的表达式是 .

4.

函数0

y =_____________________.

5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.

三、解答题

1.

求函数()f x =

.

2. 求函数12++=

x x y 的值域.

3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又

2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.

4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.

参考答案（2）

一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D

∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =

5. D 平移前的“1

122()2

x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122

x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.

二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=

-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a

<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠

3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-

4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨

->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244

f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-

2. 解： ∵221

331(),244

x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-

224(1)2(1)

4102m m m m =--+=-+

∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.

4. 解：对称轴1x =，[]

1,3是()f x 的递增区间， max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即

min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.1

44a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得