数值计算方法教学教材
数值计算方法教学大纲（精选五篇）
数值计算方法教学大纲（精选五篇）第一篇：数值计算方法教学大纲《数值计算方法》课程教学大纲课程编码：0405034 课程性质：专业选修课学时：52 学分：3 适用专业：数学与应用数学一、课程性质、目的和要求本课程为数学系数学与应用数学专业的专业必修课。
通过本课程的学习，要求学生了解数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
本课程主要介绍数值计算的基本方法以及数值计算研究中的一些较新的成果。
以数学分析、线性代数、高级语言程序设计为先行课，包含解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、解非线性方程的迭代法、矩阵特征值与特征向量的计算、数据拟合、多项式插值、数值积分与数值微分等基本内容，为微分方程数值解、最优化方法、数学实验等后继课程作好准备。
通过实验使学生掌握各种常用数值算法的构造原理，提高算法设计和理论分析能力，为在计算机上解决科学计算问题打好基础。
二、教学内容、要点和课时安排第一章误差（4学时）教学目的：学习误差的相关概念，了解残生误差的原因，在函数中误差的传播规律，并且掌握实际运算中可以减小误差的方法。
教学难点：误差的传播规律，公式的推导。
第一节误差的来源第二节绝对误差、相对误差与有效数字一、绝对误差与绝对误差限二、相对误差与相对误差限三、有效数字与有效数字位数第三节数值计算中误差传播规律简析第四节数值运算中应注意的几个原则思考题：1、什么是绝对误差与绝对误差限？2、什么是相对误差与相对误差限？3、在数值计算的过程中函数的自变量的误差与函数值的误差只有什么样的关系？4、在数值计算的过程中我们应该注意那些原则来使得误差尽量的小？第二章非线性方程求根（14学时）教学目的：学习非线性方程求根的方法，主要介绍二分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法，要求掌握每一种方法的理论思想，会用学习的方法求解非线性方程的根。
教学难点：分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法的计算过程的理解，记忆，尤其是迭代法收敛性的判定。
《数值计算方法》教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数值计算方法》在信息与计算科学，信息安全领域有着非常重要的地位,为计算机编程提供算法;对培养学生的抽象思维能力,提高学生的编程能力有很重要的作用;是为我系信息与计算科学专业、信息安全专业高年级学生开设的一门重要课程，它为计算机及其相关专业人员解决数值计算方面的问题提供方法，对提高学生的利用计算机解决实际问题的能力有很大帮助。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握数值计算方面问题的常见解法，并能利用计算机编程实现这些算法，更进一步，学习这些算法的“灵魂”，做到举一反三，使学生在以后碰到问题时能设计出合理的算法解决问题。
掌握：Matlab软件在工程计算和数值分析方面的主要功能和实用技术，误差理论，数据插值，数据拟合，数值积分的经典方法，常微分方程初值问题初步，解线性方程组的直接法和迭代法，解非线性方程的迭代法。
理解：以上各种问题算法的误差估计，解方程迭代法的收敛情况，矩阵特征值、特征向量的幂法与反幂法。
了解：最优化问题，微分方程的数值计算（三）课程教学方法与手段教学方法：本课程采用老师讲授、上机实验结合学生自学的方法；教学手段：在条件允许的情况下，采用多媒体教学，教师口授结合电脑演示。
（四）课程与其它课程的联系本课程涉及到微积分、矩阵(线性代数)、程序设计语言等方面的内容，需要先修这方面的课程。
由于本课程主要为数值计算提供算法，因而对其他课程的开设影响不大。
（五）教材与教学参考书教材：白峰杉，《数值计算引论》，高等教育出版社，北京，2004年教学参考书：郑咸义，《计算方法》，华南理工大学出版社，广州，2002年二、课程的教学内容、重点和难点第一章数值计算工具Matlab内容：认识Matlab，用Matlab处理矩阵，用Matlab绘图，用Matlab编程重点：用Matlab处理矩阵，用Matlab绘图，用Matlab编程。
数值计算方法课件
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
数值计算方法教案
数值计算方法教案一、教学目标1.理解数值计算方法的基本原理和应用范围。
2.掌握数值计算方法中常用的数值近似、数值求解和数值积分计算方法。
3.能够灵活应用所学的数值计算方法解决实际问题。
二、教学内容1.数值计算方法的概述和基本原理。
1.1数值计算方法的定义。
1.2数值计算方法在实际问题中的应用。
1.3数值计算方法的误差分析。
2.数值近似方法。
2.1多项式插值法。
2.2最小二乘逼近法。
2.3数值微分和数值积分公式。
3.数值求解方法。
3.1方程求根的迭代法。
3.2线性方程组的直接解法和迭代法。
4.数值积分计算方法。
4.1梯形法则和辛普森法则。
4.2高斯求积公式。
4.3自适应积分法。
5.实际问题的数值计算方法应用案例。
三、教学方法1.讲授法：通过讲解数值计算方法的基本原理和应用范围，引导学生建立正确、完整的知识体系。
2.实例分析法：通过实际问题的例子，引导学生灵活运用所学的数值计算方法解决问题。
3.实验法：通过具体的数值计算实验，让学生通过编程实现数值计算方法，对算法和误差有更深入的理解。
四、教学步骤1.引入：通过生活中的例子，引导学生认识到数值计算方法在实际问题中的重要性。
2.理论讲解：依次讲解数值计算方法的基本原理和应用范围，结合具体的例子加深学生理解。
3.数值近似方法的讲解：分别介绍多项式插值法、最小二乘逼近法和数值微分和积分公式，讲解其原理和算法步骤。
4.数值求解方法的讲解：分别介绍方程求根的迭代法和线性方程组的求解方法，讲解其原理和算法步骤。
5.数值积分计算方法的讲解：分别介绍梯形法则、辛普森法则和高斯求积公式，讲解其原理和算法步骤。
6.案例分析：通过具体的实际问题案例，引导学生应用所学的数值计算方法解决问题，并进行算法正确性和误差分析。
7.总结与提高：对整节课内容进行总结，并引导学生对数值计算方法进行思考和提高。
五、教学评价1.课堂练习：在课堂上进行数值计算方法的相关练习，检查学生对知识的掌握情况。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
0110316-《数值计算方法》教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲课程编号：0110316课程名称：数值计算方法英文名称：Numeric Computational Method课程类型：专业课总学时：40 讲课学时：28 实验学时：12学分： 2.5适用对象：电气工程及其自动化各专业方向先修课程：高等数学，计算机C语言一、课程性质、目的和任务数值计算方法课程是电力系各专业方向的一门主要选修课。
其目的是使学生了解采用计算机技术解决复杂、繁琐的工程计算问题。
掌握数值计算各种方法的基本原理、误差分析方法和基本编程技能，培养学生分析问题与解决问题的能力，为进一步学习专业课以及毕业后从事专业工作打下必要的基础。
二、教学基本要求本课程以计算机数值算法的基本理论为重点，学完本课程应达到以下基本要求：1．了解算法与误差的基本概念。
2．掌握非线性方程的数值求解方法。
3．掌握线性方程的数值求解方法。
4．掌握函数插值与曲线拟合方法。
5．掌握数值积分。
6．掌握常微分方程的数值解法。
7．了解数值计算方法在电力系统大型计算中的应用技术。
三、教学内容及要求1．算法与误差部分了解计算方法对解决大型电力工程计算问题的重要性；掌握误差的来源和误差的计算分析方法；掌握有效数字的基本概念。
2．非线性方程的求解部分掌握二分法、一般迭代法、牛顿法；掌握各种迭代法的误差特性。
了解弦截法。
3．线性代数方程求解部分了解简单迭代法和塞德尔迭代法；熟练掌握高斯消去法、主元素消去法和矩阵分解法。
4．掌握矩阵特征值和特征向量的算法5．函数插值与曲线拟合部分掌握线性插值、二次插值和插值余项误差估计方法；掌握分段插值方法；掌握数值微分方法；掌握二次多项式曲线拟合方法。
6．数值积分部分掌握梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。
7．常微分方程的数值解法部分掌握欧拉方法和改进欧拉方法；掌握四阶龙格-库塔方法。
四、实践环节安排4次上机，每次3个学时。
五、课外习题及课程讨论为达到本课程的教学基本要求，课外习题（包括自测题）不少于30题。
《数值计算方法(二)》课程教学大纲
适用对象：本科
4．先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《算法语言》
5．首选教材：《数值线性代数》徐树方北京大学出版社2000.09
二选教材：
参考书目：《矩阵计算的理论与方法》徐树方北京大学出版社1999
《数值线性代数》曹志浩复旦大学出版社1996
《Applied Numerical Linear Algebra》J. W. Demel 1997
课
程
内
容
及
学
时
分
配
课
程
内
容
及
学
时
分
配
（一）矩阵分析（6学时）
掌握矩阵和向量的范数概念，范数的极限及性质，摄动引论，理解浮点数运算。
（二）线性方程组的直接解法（12学时）
掌握Gauss消去法，理解Gauss消去法的变形，了解扰动分析及向后误差分析。
（三）线性方程组的迭代法（12学时）
掌握Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，理解SOR迭代法，理解简化迭代法的收敛性分析。了解SOR迭代法最佳松弛因子的选择，了解共轭梯度法及其收敛性分析。
年月日
（六）非线性方程求根（8学时）
掌握二分法、简单迭代法、割线法Newton法及其收敛性分析。了解收敛阶的概念及 加速技巧。
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
信息与计算科学
（教研组）
张建军（签名）
2001年06月30日
系
审核
意见
数学
（系）
顾桂定（签名）
2001年06月30日
学院
审核
意见
张金仓
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。
《数值计算方法》课程教学大纲
《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。
通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。
其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
数值计算方法第二版教学设计
数值计算方法第二版教学设计一、教学目标本教材以数值计算方法为主线，重点介绍数值积分、求解非线性方程、插值和拟合、最优化方法和常微分方程数值解等计算方法，使学生掌握数值计算方法的基本思想、基本方法和基本技能，具备使用计算机完成科学和工程计算问题的能力，提高学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容第一章引论1.1 数值计算的概念和发展历程1.2 数值计算的基本思想和方法1.3 计算误差的概念和估计方法第二章数值求解非线性方程2.1 零点定理和解法的分类2.2 二分法、牛顿法、割线法、迭代法、单点迭代法的基本原理与形式2.3 解的存在唯一性和非线性方程组的求解第三章数值积分3.1 描述数值积分法的基本思想和原理3.2 复化求积公式和高斯求积公式3.3 自适应方法、迭代法和复杂区域积分的处理方法第四章插值与拟合4.1 插值多项式的存在唯一性和稳定性问题4.2 样条插值法的基本思想和原理4.3 最小二乘拟合和参数估计第五章最优化方法5.1 最优化问题的定义和分类5.2 无约束优化问题和约束优化问题的求解方法5.3 解的全局性和收敛性的判断方法，随机方法的基本思想和原理第六章常微分方程的数值解法6.1 基本理论和方法6.2 单步法、多步法和预测修正法的基本思想和原理6.3 初值问题和边值问题的求解方法三、教学方法本课程采用讲授、实验、实践教学相结合的方法。
教师在讲述基础理论和概念的同时，注重引导学生探究、思考、分析问题，指导学生进行数值计算方法的算法设计和实现过程。
教师将安排实验和实践环节，让学生亲自动手掌握计算机编程和计算方法的应用，完成一些小型计算项目，提高学生的实际动手能力和解决实际问题的能力。
四、教学评价本课程采用多元化的教学评价手段。
除了一般的考试，还将从平时教学活动、作业质量、实验和课程设计等多个方面进行评价，综合考察学生的基础理论知识、计算能力和实践操作能力。
同时，本课程将根据实际需要，安排一些综合实践活动，进一步考察学生成果。
数值计算方法1教材
1 mn 设x 10 0.a1a2 a3 ...an ...,若 10 则 2 an为有效数字，且 a1 , a2 ...an 1均为有效数。
m
在计算机中表示为：
m
f
a1
a2
……
an
设近似数x 有规格化形式 x * 10m 0.a1a2 a3 ...an ... 其中m和ai (i 1,2,...,n,...)是整数且 a1 0,0 ai 9。如果x 的绝对误差满足
因此绝对误差和相对误差常常是无
法计算的，但有可能给出估计。误
差限就是用于误差估计的。
误差估计
设x*是精确数x的一个近似数 , 若有正数和 r 满足 : | ( x) || x x* | | x x* | | r ( x) | | x| 则称和 r为近似数x*的绝对误差限和相对误 差限。
2 1 1 1 1 1 20 ln 2 (1 2 ... ( ) ) 4 3 3 53 21 3 其截断误差为 2 1 1 1 1 T ( 11 12 ...) 3 23 9 25 9 2 1 1 1 1 1 1 11 10 1012 1 12 23 9 3 23 9 1 9 两种算法，同样计算 ln 2，计算精度及速度 差距很大。
2.存储量。 大型问题有必要考虑。
3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差是积
累还是能控制,这与算法有关。
秦九韶算法
选定合适的算法是整个数值计算中非常 重要的一环
对于多项式
5 4 3 2 P x x x x x x 1
秦九韶算法
将多项式改写为
Px x 1x 1x 1x 1x 1
《数值计算方法》电子教案
Rn (x b)
f (n1) ( ) (x b)n1
(n 1)!
为x、b之间的数，
主讲教师：宋红伟
25
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
设 f(x) 是一元函数，x 的近似值为x*，以 f(x*) 近似 f(x)
（即f(x*) 为 f(x) 的近似值），其误差限为 ( f (x))，可用泰
重点讨论
程序 设计
Yangzte University
第一章 绪论
可 收敛性：方法的可行性
则 数 靠 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值性
方 法
分 析
误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且
的
能够控制误差
设 计
计 算
便于编程实现：逻辑复杂度要小
原 复 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短
x x* 1 10mn1 2
主讲教师：宋红伟
21
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
例： 3.1415926538597932;
* 3.14, 3.1416
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
m=0
n=3
证明：* 3.14 100 (3 1101 4 102)
主讲教师：宋红伟
17
绝对误差限
往往未知
代替相对误差
代替相对误差限
* r
(
x
*
)
2 15
13.33%
* r
(
y
*
)
5 1000
0.5%
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
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2 .5 3 3
[2.87,2 5.363 ,1]6 T x(2) x(1) 2.132720
华长生制作
0
x(3) BJx(2) f
4 11
1 2
3 8 0
1 4
1 4 1
11
0
2 . 875 2 . 3636
1
2 .5 3 3
[3.13,2 6.044,5 0.957]T 16 x(3) x(2) 0.4127
定义4. 由(7)式确定的 A称为从属于给定向量
范数x
的矩阵范数
简称为从属范数或算子范数
11 华长生制作
显然，由定义不难推出
AxA x
--------(8)
定义5. 对于给定的向 和 量矩 范阵 数范 , 数 若 xRn,ARnn,都有
AxA x
--------(9)
则称所给的向 和 量矩 范阵 数 范 相数 容 .
由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的
12 华长生制作
根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数
(1)
A1m x0 a A xx1 x1
n
max
1 jn i1
aij
--------(10)
A的每列绝对值之和大 的值 最, 称A的列范数
(2)
Am x0 aA xx x
max
1in
n j1
设 a ii 0(i 1 ,2 , ,n ),则可从上式解出xi
华长生制作
x1a1 11 [b1(a1x 22a1nxn)]
20
x2a 1 2[2 b 2(a 2x 1 1a 2x 3 3a 2nxn)]
依此类推,线性方程组(1)可化为
华长生制作
x1
a111(b1
n
a1j
j1
xj
)
j1
x1a111(b1j n1a1jxj)
--------(1)
设 A R n n ,b R n ,x R n
17 华长生制作
如果能将线性方程组(1)变换为 xBxf
其 B 中 R n n ,f R n ,x R n
--------(2)
显然,(1)式和(2)式同解, 我们称(1)(2)等价
对线性方程组(2),采用以下步骤:
取初始 x(0向 ),代量 (入 2)可 , 得
而且可以验证 A F t(r A T A )1 2 t(r A T )A 1 2
华长生制作
tr为矩阵的迹
--------(6)
10
设xRn,ARnn, 为一种向量范数
则Ax对所有 x0的 有最大 ,令值 x
A
max x0
Ax x
--------(7)
可以A验 满证 足 2的 定 4个义 条件
x ( k 1 ) x ( k ) D 1 A ( k ) x D 1 b
华长生制作
x (k 1 ) D 1 (D A )x (k ) D 1 b --------(6)
22
令
L
0
a21
0 0
00 A的下三角部分
的负矩阵
an1 an2 0
U
00
a12 0
0 0
一、简单迭代法(基本迭代法)
设线性方程组(1)的一般形式为
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1
a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n x n n b n
lk i m xi(k)xi (i1 ,2 ,L,n )
x x 则 华长生制作 (k) 称收敛于
,记为
lim x(k)
k
x.
7
x 定理6 设N(x) x是 R n上任一向量范数,则N(x)是
的分量 x1,x2,,xn 的连续函数。
定理7 设 x
在常数c1，c2
,x
s
0
,使是t 得R对n 一上切向量x的任R意n 两有种范数，则存
U
0 0 0
3 0 0
2 1 0
L
0 4 2
0 0 1
000
25 华长生制作
0
BJ D1(LU)
4 11
3 ห้องสมุดไป่ตู้ 0
1 4 1
11
1 2
1 4
0
f
D1b
2 .5 3 3
取初 x(0)[值 000]T,使J用 ac 迭 ob 代 i 法
x(k1) BJx(k)f (k0 ,1 ,2 , n , )
Axb
称(5)式和(7)式为解线性方程组(1)的Jacobi迭代法(J法)
华长生制作
BJ为Jacob迭 i 代法的迭代矩阵 24
例6. 用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4
284
3 11 1
241xxx231
123203
解:
A 284
3 11 1
241
D
8 0 0
0 11 0
0 0 4
x1
x2
x3
3.0000
2.0000
1 . 0000
1.0000 d = 3.0647e-005
线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭,
华长生制作
也称为向量空间
3
一、向量和矩阵的范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间 任意一x个 , 向量 若存在唯一x一 R与 个 x对 实应 数，且满
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
A1
A
A2
A F
容易计算
计算较复杂 不是从属范数
对矩阵元素的 变化比较敏感
较少使用
性质较好
华长生制作
使用最广泛
16
§7.6 解线性方程组的迭代法
在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换
如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大
并且大量占用计算机资源
因此对线性方程组
Axb 要求找寻更经济、适用的数值解法
( 2 )( 齐 ) 次 x x ， 性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y， 式 x ,y R n . 则称 x为向x的 量范. 数 对于复线性C空 n中间 的向量范数可定以义类似
4 华长生制作
x p (x 1px 2p x np)1p --------(4) x的 p范,数 p1
第七章 解线性方程组的数值方法
1 华长生制作
第七章 解线性方程组的数值方法
§7.1 引言 Axb i§2 7,.3 2,G,n auss消去法
§7.3 选主元的Gauss消去法
a11
A
a21
an1
华长生制作
aa12§22 § 7.47.5aa矩21nn阵向 的量三和角矩分阵解的范数
§ 7.6
对(4)作迭代过程
x(k1) i
xi(k)a 1 ii(bi j n1aijx(jk))
( i 1 ,2 , ,n ;k 0 ,1 ,2 , )
--------(5)
设 D d( a i1 , a a 1 2 , 2 g ,a n )n
则(5)式转化为矩阵形式
x(k 1 )x(k)D 1 (bA(k)x )
依此类推,得方程组满足精度的解为x12
x4 = 3.0241 x5 = 3.0003 x6 = 2.9938 x7 = 2.9990 x8 = 3.0002 x9 = 3.0003 x10 = 3.0000 x11 = 3.0000 华x长1生2制=作 3.0000
1.9478 1.9840 2.0000 2.0026 2.0006 1.9999 1.9999 2.0000 2.0000
解: x 1 x 1 x 2 x 4 9
x 2 (x 12 x 22 x 42)1 2 273 3
x
m 1ia4xxi
4
定义（向量序列的极限）
设 x(k) 为向量序列，记 x ( k ) ( x 1 ( k ),x 2 ( k ),L ,x n ( k )) T R n
及 x (x 1 ,L,x n )T R n . 如果n个数列极限存在且
x2
a122(b2
n j1
a2
j
xj
)
j2
x2
a122(b2
n
a2jxj)
j1
-----(4)
xi
1 aii
(bi
n
aijxj )
j 1
xi
a1ii (bi
n
aijxj)
j1
j i
xn
a1nn(bn
n
anjxj )
j1 jn
xn
a1nn(bn
n
anjxj)
j1
21
( 1 ) ( 正 )A 定 0 , 且 A R n 性 n ,A 0 A 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 A A ， 性 A R n n , R ;
(3 )(三角 )A 不 B A 等 B ， 式 A ,B R n n . ( 4 ) A B A B ， A ,B R n n .
显然
x
和
1
x2
是xp在p1和p2时的特例
并且由于
m 1ianxxi (x1px2p xnp)1p(nm 1inaxxi p)1p
1
n pm 1ian xxi m 1inaxix(p )
xp x(p 时 ),所以x
也是x
的特例
p
华长生制作
且xx2x1
6