第二章 状态方程的解

− 2e − t + 2e −2t − e −t + 2e − 2t
方法三、 方法三、利用相似变换求解
f (λ) = λI − A = λ(λ + 3) + 2 = λ2 + 3λ + 2 = (λ + 1)(λ + 2)
λ1 = −1，λ2 = −2
对应于 λ1 = −1的特征向量为 对应于 λ2 = −2的特征向量为 2 v1 = 1 1 v2 = 1
5、 、
[Φ(t)]n = Φ(nt)
6、 A 、 证明： 证明：
∫
t
0
e A τ d τ =e A t − I A ∫ e Aτ dτ = e Aτ
0 t t 0
=e A t − I
四、 Φ(t)与e At 之间的关系
矩阵指数函数和状态转移矩阵是从两个不同的角度所提出来的概念。 矩阵指数函数和状态转移矩阵是从两个不同的角度所提出来的概念。 矩阵指数函数是从数学的角度提出来的一个数学函数的名称， 矩阵指数函数是从数学的角度提出来的一个数学函数的名称，而状态转移 矩阵是一个满足矩阵微分方程和初值条件的解， 矩阵是一个满足矩阵微分方程和初值条件的解，它表征了初始状态对某个 时刻的状态转移关系，对于线性定常系统， 时刻的状态转移关系，对于线性定常系统，其状态转移矩阵的数学表达式 即是矩阵指数函数。 即是矩阵指数函数。
x (t ) = e At x0
x (t ) = e A(t − t0 ) x (t0 )
e
At
1 2 2 1 3 3 1 k k = I + At + A t + A t + ⋯ + A t + ⋯ 2! 3! k!
ɺ x = ax x(t ) t =0 = x0
x(t ) = b0 + b1t + b2t 2 + ⋯ + bk t k + ⋯ b1 + 2b2t + ⋯ + kbk t k −1 + ⋯ = ab0 + ab1t + ab2t 2 + ⋯ + abk t k + ⋯
例 已知系统的齐次状态方程为
ɺ 1 x1 x1 0 x = − 3 − 4 x ɺ2 2
初始状态为
x1(0) 2 x (0) = 5 2
试求系统的自由响应 x(t) 。
−1 解：1、先求预解矩阵 (sI − A) 、
b1 = ab0 1 1 ab1 = a 2b0 2 2 1 11 2 1 b3 = ab2 = a b1 = a 3b0 3 32 3! ⋯⋯ 1 bk = a k b0 k! b2 =
b0 = x0
1 2 2 1 33 1 k k x(t ) = (1 + at + a t + a t + ⋯ + a t + ⋯) x0 = e at x0 2! 3! k!
s − 1 s + 4 1 1 (sI − A) = = 2 s + 4s + 3 − 3 s 3 s + 4
−1
−1
1 1 1 1 1 1 3 1 − − 2 s +1 2 s + 3 2 s +1 2 s + 3 = 3 1 3 1 1 1 3 1 + − + − 2 s + 1 2 s + 3 2 s +1 2 s + 3
2 1 P= 1 1
e At e − t = P 0
P
−1
1 − 1 = −1 2
− 2e − t + 2e −2t − e −t + 2e − 2t
0 −1 2e −t − e −2t P = −t − 2t − 2t e e −e
2.3
一、基本概念
状态转移矩阵
状态转移矩阵是满足如下矩阵方程和初值条件的唯一解： 状态转移矩阵是满足如下矩阵方程和初值条件的唯一解：
ɺ Φ(t) = AΦ(t) Φ(0) = I n
对于定常系统， 来表示。 对于定常系统，状态转移矩阵一般用符号 Φ(t) 或 Φ(t − t0 ) 来表示。
7、对角矩阵的矩阵指数函数 、
λ1 0 0 λ 2 Λ= ⋮ ⋮ 0 0
e λ1t 0 = ⋮ 0 0 e λ2 t ⋮ 0
0 0 ⋱ ⋮ ⋯ λn ⋯ ⋯
0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ λn t ⋯ e ⋯
e Λt
8、相似变换 、
b0 = x0
1 2 2 1 33 1 k k x (t ) = ( I + At + A t + A t + ⋯ + A t + ⋯) x0 2! 3! k!
x (t ) = e At x0
e At：矩阵指数函数
2.2
一、定义
矩阵指数函数
∞ At Ak t k 1 22 1 k k e = I n + At + A t + ⋯ + A t + ⋯ = ∑ 2! k! k! k =0 A0 = I n
−1wk.baidu.com
s+3 −2 (s + 1)( s + 2) (s + 1)( s + 2) = 1 s (s + 1)( s + 2) (s + 1)( s + 2)
e At
2e − t − e −2t = L−1[( sI − A)−1 ] = −t e − e − 2t
x(t 2 ) = Φ(t 2 − t1) x(t1)
= Φ(t 2 − t1)Φ(t1 − t0 ) x(t0 ) = Φ(t 2 − t0 ) x(t0 )
因此有
Φ(t 2 − t1)Φ(t1 − t0 ) = Φ(t 2 − t0 )
3、 、
Φ −1(t − t0 ) = Φ(t0 − t)
Φ(t1 + t 2 ) = Φ(t 2 )Φ(t1) = Φ(t1)Φ(t 2 )
x(t1) = Φ(t1) x(0) x(t 2 ) = Φ(t 2 ) x(0)
x(t1 + t 2 ) = Φ(t1 + t 2 ) x(0) x(t1 + t 2 ) = Φ(t 2 ) x(t1) = Φ(t 2 )Φ(t1) x(0) x(t + t ) = Φ(t ) x(t ) = Φ(t )Φ(t ) x(0) 1 2 1 2 1 2
10、Laplace变换 、 变换
L[e At ] = (sI − A)−1
∞
即
e At = L−1[( sI − A)−1]
∞ ∞ ∞ Ak t k Ak k A k k! Ak L[e At ] = L[∑ ] = ∑ L[t ] = ∑ = ∑ k +1 k +1 k = 0 k! k = 0 k! k = 0 k! s k =0 s
Φ(t − t0 )Φ(t0 − t) = Φ(t − t) = Φ(0) = I n
证明： 证明：
Φ(t0 − t)Φ(t − t0 ) = Φ(t0 − t0 ) = Φ(0) = I n x(t) = Φ(t − t0 ) x(t0 ) x(t0 ) = Φ(t0 − t) x(t)
4、 4、状态转移矩阵的可交换性 证明： 证明：
We AtW −1 = exp(WAW −1t )
9、特征值 、 两两互异， 设矩阵 A 的特征值 λ1 , λ2 , ⋯ , λn 两两互异，则矩阵指数函数 e A t 的特
λt t ），且 征值为 e λ1t , e λ 2 t , ⋯ , e λ n（即 e i ， i = 1,2,⋯ , n ），且 A 与 e A t 的特征向 量矩阵相同。 量矩阵相同。
二、矩阵指数函数的基本性质
1、微分公式 、
d At e = Ae At = e At A dt
d At d 1 22 1 k k e = ( I + At + A t + ⋯ + A t + ⋯) dt dt k! 2! 1 32 1 2 = A + A t + A t +⋯+ Ak t k −1 + ⋯ 2! ( k − 1)! 1 1 = A( I + At + A 2t 2 + ⋯ + Ak −1t k −1 + ⋯) 2! ( k − 1)! = A e At
7 − 2t + 3t 2 − t 3 + ⋯ 1 − t2 + t3 + ⋯ 3 = 3 2 7 3 7 2 5 3 t − t + t + ⋯ 1 − 3t + t − t + ⋯ 6 2 2 2
方法二、 方法二、利用拉普拉斯变换方法求解
2 s At −1 L[e ] = (sI − A) = − 1 s + 3
三、状态转移矩阵的性质
1、 、
Φ(0) = I n
2、 Φ(t 2 − t1)Φ(t1 − t 0 ) = Φ(t 2 − t0 ) 、 证明： 证明：
x(t 2 ) = Φ(t 2 − t1) x(t1)
x(t1) = Φ(t1 − t0 ) x(t0 ) x(t 2 ) = Φ(t 2 − t0 ) x(t0 )
第二章 状态方程的解
2.1 线性定常系统状态方程的零输入响应
ɺ x = Ax + Bu y = Cx + Du
u=0
ɺ x = Ax x (t ) t =0 = x0
上式称为齐次状态方程，其解称为齐次状态方程的解（自由解，零输入响 上式称为齐次状态方程，其解称为齐次状态方程的解（自由解， 应）。
d At d 1 1 e = ( I + At + A2t 2 + ⋯ + Ak t k + ⋯) dt dt 2! k! 1 1 = A + A 2 t + A 3t 2 + ⋯ + Ak t k −1 + ⋯ 2! ( k − 1)! 1 2 2 1 = ( I + At + A t + ⋯ + A k −1t k −1 + ⋯) A 2! ( k − 1)! = e At A
ɺ x = Ax x (t ) t =0 = x0
x (t ) = b0 + b1t + b2t 2 + ⋯ + bk t k + ⋯
b1 + 2b2t + ⋯ + kbk t k −1 + ⋯ = Ab0 + Ab1t + Ab2t 2 + ⋯ + Abk t k + ⋯
b1 = Ab0 1 1 Ab1 = A2 b0 2 2 1 11 2 1 b3 = Ab2 = A b1 = A3b0 3 32 3! ⋯⋯ 1 bk = Ak b0 k! b2 =
2、 A e 、
k
At
= e At A k
3、乘法公式之一 、
e At e Aτ = e A(t +τ ) = e Aτ e At
4、乘法公式之二 、
AB = BA
5、 、
e At e Bt = e ( A+ B ) t
e − At = e A ( − t )
6、逆矩阵 、
(e At )−1 = e − At = e A( − t )
2、计算 e At 、
e At
3 − t 1 − 3t 2e − 2e = L−1[(sI − A)−1 ] = 3 − t 3 − 3t − e + e 2 2
1 − t 1 − 3t e − e 2 2 1 − t 3 − 3t − e + e 2 2
3、计算 x(t) 、
∞ ∞ Ak Ak A k +1 A k (sI − A)L[e ] = (sI − A)∑ k +1 = ∑ k − ∑ k +1 = k s k =0 s k =0 s k =0 s At ∞
k =0
= In
例
0 − 2 A= 1 − 3
方法一、 方法一、根据定义求解
At
e
1 0 0 − 2 1 − 2 6 2 1 6 − 14 3 = + 1 − 3t + 2! − 3 7t + 3! 7 − 15t + ⋯ 0 1
二、状态转移矩阵是齐次状态方程
ɺ x(t) = Ax(t)
在初始状态为下列 n 个基向量
1 0 e1 = ⋮ 0
0 1 e2 = ⋮ 0
⋯
0 0 en = ⋮ 1
时的一个基本解矩阵。 时的一个基本解矩阵。